Demo für Mengenlehre Teil 1. Die Grundlagen. Text INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W.

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1 Die Grundlagen Stand..0 Friedrich W. uckel Text 0 FRIEDRIH W. UKEL INTERNETILIOTHEK FÜR SHULMTHEMTIK Mengenlehre Teil

2 0 Mengenlehre Vorwort Die Mengenlehre wurde lange als die unverzichtbare Grundlage für die Mathematik angesehen als eine rt Darstellungsmethode für viele Sachverhalte. Ich selbst war regional führend beteiligt an deren Einführung. Ich habe Hunderte von Lehrern darin ausgebildet. Ich habe aber auch gesehen was man damit anrichten kann wenn man sie nicht als Mittel zum Zweck einsetzt sondern darauf einen Schwerpunkt legt. Heute werden egriffe der Mengenlehre wieder sparsamer eingesetzt. In Klasse und lernt man spielerisch damit umzugehen. Und bei der Lehrer über Teilbarkeit und Vielfache kann man einiges aus der Mengenlehrer verwenden. Ich hatte in meinem alten Text die Mengenlehre auch im Text über Teilbarkeit untergebracht. Nachdem ich dieses Thema aber völlig neu konzipiert habe flog sie dort heraus und erhält zwei eigene Texte. Dies ist er erste Teil ganz einfach eben für die Klassen und falls der behandelnde Lehrer darauf zurückgreift. Im Moment des Schreibens dieses Vorworts übernehme ich zuerst einmal die Seiten aus meinem alten Text. Sie werden 0 neu geschrieben. INHLT Schreibweisen Mengenbilder und Schnittmengen Teilmenge Mengenbilder für drei Mengen Weitere Mengen: Schnittmenge Vereinigungsmenge Differenzmenge Die leere Menge Friedrich uckel

3 0 Mengenlehre Schreibweisen Mengenbilder und Schnittmengen Ich bezeichne jetzt mit die Menge der Zahlen von bis. Das kann man so aufschreiben: ;;;;;;; Zwischen die Zahlen schreibt man am besten Semikolons Kommas gehen auch. Doch mit ihnen kann es Verwechslungen mit Dezimalzahlen geben. ls Mengenbild kann man einen Kreis oder ein Oval verwenden: Den Inhalt einer Menge nennt man ihre Elemente. Die Menge hat diese Elemente: ;;;;;0. Man kann für beide Mengen ein gemeinsames Mengenbild zeichnen. Da und gemeinsame Elemente besitzen müssen sich ihre Mengenbilder dann überlappen: Die Menge der gemeinsamen Elemente von und nennt man ihre Schnittmenge: Man schreibt für sie: ;;; Lies: geschnitten mit ist die Menge. 0 0 Friedrich uckel

4 0 Mengenlehre rbeitsblatt : Mengenbilder () Schreibe auf welche Elemente die Mengen und enthalten: 0 () Schreibe auf welche Elemente die Mengen und enthalten: () Zeichne ein gemeinsames Mengenbild für und : ;;;;0; ; ;;;; () Zeichne ein gemeinsames Mengenbild für und : ;;;; ; ;;;;0 () Zeichne ein eigenes gemeinsames Mengenbild für und : ;;;; ; ;; Friedrich uckel

5 0 Mengenlehre Lösungsblatt : Mengenbilder () Schreibe auf welche Elemente die Mengen und enthalten: 0 () Schreibe auf welche Elemente die Mengen und enthalten: () Zeichne ein gemeinsames Mengenbild für und : ;;;;0; ; ;;;; () Zeichne ein gemeinsames Mengenbild für und : ;;;; ; ;;;;0 () Zeichne ein eigenes gemeinsames Mengenbild für und : ;;;; ; ;; Es fällt auf dass hier alle Elemente von auch zu gehören. Daher ist ein Teil von man sagt jedoch besser: ist Teilmenge von : 0;;;;; ;;;;; ;; ;;;; ;; 0 0 Friedrich uckel

6 0 Mengenlehre Das letzte eispiel war ein Sonderfall: war eine Teilmenge von. Damit blieb das rechts Feld im gemeinsamen Mengenbild von und leer. Wir wollen weitere Mengenbilder untersuchen: Hier gehören alle Elemente von auch zu daher ist eine Teilmenge von : ;; ;;;; Daher ist auch dieses Teilmengenbild möglich: Hier haben wir ;; und ;. und haben keine gemeinsamen Elemente die Schnittmenge ist also leer. Man schreibt das so:. ufgabe Die Schnittmenge ist hier denn die gemeinsamen Elemente von und sind gerade die von! Zeichne Mengenbilder zu diesen Mengen. Wenn ein spezieller Fall vorliegt schreibe das auf und fertige wenn möglich ein spezielles Mengenbild an. Gib die Schnittmenge an! a) ;;;;0;; ;;; b) ;;;;; ;; c) ;;;. ;; d) ;;;;0 ; ;...; ufgabe (hier ohne Lösung) Erfinde selbst zwei Mengen und so dass (a) Teilmenge von ist (b) Teilmenge von ist (c) die Schnittmenge von und leer ist. Friedrich uckel

7 0 Mengenlehre Lösung ufgabe a) ;;;;0;; ;;;. ; 0 b) ;;;;; ;; ist Teilmenge von daher gilt ;; und es gibt ein spezielles Mengenbild: c) ;;;. ;; Die Schnittmenge ist leer: d) ;;;;0 ; ;...; ist Teilmenge von daher ist und es gibt ein spezielles Teilmengenbild: 0 0 Friedrich uckel

8 0 Mengenlehre ufgabe Mengenbilder für drei Mengen etrachte diese Mengen und schreibe auf was Du an esonderheiten entdeckst. Denke dabei auch an die Schnittmengen! ;;;;; ;;;;;; 0;;;;. Versuche dann ein Mengenbild aus drei Kreisen zu zeichnen in das Du alle Elemente der Mengen und einträgst. Schaue erst dann auf die nächste Seite wenn Du fertig bist. ufgabe Mache nun dasselbe mit folgenden Mengen: a) ;;; ;; ;;;. b) ;;;;;... ;;;;0;... ;;;;.... Hier sind die Mengen unendlich groß man kann nicht alle Elemente eintragen. c) ;; ; ;;;; ;;. Erkennst Du was hier für esonderheiten vorliegen? Findest Du ein dazu passendes anderes Mengenbild? Friedrich uckel

9 0 Mengenlehre Wir wollen die Lösung zu ufgabe jetzt gemeinsam beginnen: Man sieht dass die Mengen eine Reihe gemeinsamer Elemente besitzen. Daher notieren wir uns zunächst die Schnittmengen. ;;;;; ;;;;;; 0;;;;. Daraus findet man: ;;; ;; und ;;. ber wer gut aufpasst entdeckt noch etwas: Es gibt zwei Zahlen (Elemente) die zu allen drei Mengen gehören nämlich und. Sie bilden daher die Schnittmenge aller drei Mengen: ;. Ein Mengenbild für drei Mengen zeichnet man am besten so dass man Kreise zeichnet und zwar so dass jeder durch die Mittelpunkte der beiden anderen Kreise geht. Dann gibt es innen genug Platz zum Eintragen der Schnittmengen: Zum Eintragen der Elemente muss man folgendes wissen: In das Feld gehören alle Elemente die zu und zugleich gehören also ;. Die Schnittmenge ;;; gehört zu dem Feldern und. Die Schnittmenge ;; gehört zu den Feldern und. Die Schnittmenge ;; gehört zu den Feldern und. Fülle nun alle Felder aus! Friedrich uckel

10 0 Mengenlehre 0 Hier nochmals die gegebenen Mengen: ;;;;; ;;;;;; 0;;;;. ;;; ;; und ;;. ;. 0 Friedrich uckel

11 0 Mengenlehre a) ;;; ;; ;;; ; ;. b) ;;;;;... ;;;;0;... ;;;;.... ; ; ;... ; ; ;.... Lösung ufgabe enthält alle ungeraden Zahlen alle geraden Zahlen und alle Dreierzahlen. c) ;; ; ;;;; ;;. ;; ist Teilmenge von. ; ;; ist auch Teilmenge von. ;. Spezielles Teilmengenbild: Friedrich uckel

12 0 Mengenlehre ufgabe 0 us der Grundmenge G ; ;... ; werden diese Mengen gebildet: ;;;;;; ;; ::::0 ;;;;0;. erechne daraus diese vier Schnittmengen und und trage alle Elemente der Grundmenge in dieses Mengenbild ein: ufgabe Löse genau wie ufgabe 0: a) G ; ; ;...; ; 0 ; ;... ; ; ; ;... ; 0 ;; ;...; 0 b) G ; ;... ; ; ;... ; ;;;;; und ;;;;;;. c) G;;...; ;;;;;; ; ;...; und ; ;; ; ; ;. Die Lösung folgt auf den nächsten Seiten! G Friedrich uckel

13 0 Mengenlehre G ; ;...; ;;;;;; ;; ::::0 ;;;;0;. ;;; ;; ;;;0 ;. Die Zahl gehört noch zur Grundmenge G aber nicht mehr zu oder. G ; ; ;...; ; 0 ; ;...; ; ; ;... ; 0 ;; ;...; 0 ;;; 0 ;; ; ; ; ;. Lösung ufgabe 0 Lösung ufgabe a 0 0 G G Friedrich uckel

14 0 Mengenlehre Lösung ufgabe b G ; ;...; ; ;...; ;;;;;. ;;;;;; ;;;; 0 ;;;; ;; ;; G ; ;...; ;;;;;; ; ;...; ; ;; ; ; ; ;;;; ; ; ;; ; Lösung ufgabe c 0 G G Friedrich uckel

15 0 Mengenlehre Weitere Mengen 0 uf die Frage Welche Elemente gehören zu und zu? wird man antworten: und. Sie bilden die Schnittmenge ;; Man kann aber auch fragen: Welche Elemente gehören zu oder zu? Die ntwort heißt 0. Sie bilden die sogenannte Vereinigungsmenge 0;;;;;;;;. Man kann noch zwei Fragen stellen: Wie kann man die Elemente 0 und beschreiben? Die ntwort: Sie gehören zu aber nicht zu. Sie liegen im linken gelben Mond. Diese Menge heißt eine Differenzmenge man schreibt dafür und ließt dies ohne Wie kann man die Elemente und beschreiben? Die ntwort: Sie gehören zu aber nicht zu. Sie liegen im rechten blauen Mond. Diese Menge ist auch eine Differenzmenge man schreibt dafür und ließt dies ohne Merke Dir dieses ild: 0;;;;; ;;;;; ;; Friedrich uckel

16 0 Mengenlehre Wir wollen dies an einem weiteren eispiel üben: ;;;;0; ;;;; Schnittmenge: ;; Differenzmengen: ;;0 ; Vereinigungsmenge: ;;;;;0;. Damit man diese Mengenoperationen Schnittmenge Differenzmengen und Vereinigungsmenge auch ohne ein Mengenbild durchführen kann sollte man die Regeln lernen und auswendig aufsagen können: Zur gehören alle Elemente die Schnittmenge zu und zu gehören Vereinigungsmenge zu oder zu gehören Differenzmenge zu aber nicht zu gehören ufgabe estimme Schnittmenge Differenzmengen und Vereinigungsmenge für folgende Mengen. Wenn Du es benötigst dann zeichne ein Mengenbild. a) ;;;;;;0 ;;;;;. b) ;;;0 ; ;. c) ; ; ;;;;;. d) ; ;...;0 ;;;;;. e) ;; ;;;;. Lösung weiter hinten 0 Friedrich uckel

17 0 Mengenlehre Wichtige Ergänzungen Die Zahlen usw. heißen natürliche Zahlen. Die Null gehört dort nicht dazu. Man hat früher das als natürliche Zahl bezeichnet was man zählen kann. Und wenn nichts zum Zählen da ist gibt es auch keine nzahl. Die Römer hatten für die 0 nicht einmal ein Zahlzeichen! Die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet man mit einem fetten N oder N. Es ist also N ; ; ; ;.... Will man die Null dazu nehmen bezeichnet man die Menge: N O 0 ;; ; ; ;.... Manche ufgaben geben eine Grundmenge vor das ist die Menge aus der man die Elemente auswählen darf. Für uns ist die Grundmenge meist N oder N. Grundmengen zeichnet man meist als Rechteck: ufgabe D Notiere die Elemente dieser Mengen: D G. Nicht alle Elemente der Grundmenge G gehören zu oder zu D. Was kann man über die Zahlen und aussagen hinsichtlich ihrer Zugehörigkeit zu beziehungsweise D? Und was kann man über die Elemente und hinsichtlich D aussagen? Und wie ist es mit und der Menge? Vielleicht fällt noch jemand etwas ein zu den Elementen? O G Friedrich uckel

18 0 Mengenlehre Lösung ufgabe a) ;;;;;;0 ;;;;; = {...;0} ; ; ;;;0 ;;. b) ;;;0 ; ; { } = 0 = { ; } : = { } = { 0} c) ; ; ;;;;; = { ; ; } = { ; ;...; } = { } = { ; ; } d) ; ;... ; 0 ;;;;; = { ; ; ; 0} = { } = = e) ;; ;;;; = { } = { ; ;...; } = = D Lösung ufgabe Es ist D ;;; und ; ; sowie G ;;;;;;. Die Zahlen und gehören weder zu noch zu D. Sie gehören nicht zur Vereinigungsmenge von und D: D ;;;;. Man schreibt dafür entweder G D ; oder als bkürzung: D ; und nennt das die Komplementärmenge zu D! und bilden die Komplementärmenge zu D: G D;D denn sie gehören nicht zu D. bilden die Komplementärmenge zu : G ;;; denn sie gehören nicht zu. bilden die Komplementärmenge zur Schnittmenge D: G D D;;;; sie gehören also nicht zur Schnittmenge! G Friedrich uckel

19 0 Mengenlehre Die leere Menge: Die leere Menge Wir hatten schon über die leere Menge gesprochen: Man schreibt sie als Mengenklammer ohne Elemente:. Es gibt in vielen üchern noch eine alte ezeichnung die auch die leere Menge darstellt:. Dieses Zeichen wird aber auch für den Durchmesser eines Kreises verwendet daher lasse ich es hier immer weg. ufgabe Das Rechnen mit der leeren Menge ist ganz leicht. Es sei ;;;. Versuche herauszufinden wie die Ergebnismenge aussieht: Vereinigungsmenge: Differenzmengen: Schnittmenge: und? Die Lösung steht auf der nächsten Seite! ufgabe Rechnen mit Teilmengen Hier die Mengen der bbildung: ; ;;;; und G ; ;...;0. erechne die folgenden ufgaben und versuche nicht nur die passenden Elemente zu finden sondern auch allgemeine Regeln zu entdecken. Wer ist Teilmenge von wem? G G G G G G G G G G G 0 G Friedrich uckel

20 0 Mengenlehre 0 Rechnen mit der leeren Menge Lösung ufgabe Stelle dir ;;; vor. Wir bilden mit ihr und der leeren Menge die Vereinigungsmenge: Differenzmengen:. Schnittmenge:. und. Diese Ergebnisse gelten für jede Menge. Ihre Elemente können beliebig sein. Rechnen mit Teilmengen Lösung ufgabe ; ;;;; und G ; ;... ;0. Teilmengen: ist Teilmenge von und sind Teilmengen von G. G G G G G G G ;; G G ;... ;0 G ; ;...;0 G G G G G G G. Und ganz zum Schluss noch diese Rechnungen: Prüfe nach: G. Friedrich uckel