Berechnen und Darstellen von Wahrscheinlichkeiten

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Berechnen und Darstellen von Wahrscheinlichkeiten"

Paula Becker
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Schule Bundesgymnasiu um für Berufstätige Salzburg Modul Thema Mathematik 8 Arbeitsblatt A 8-: Berechnen und Darstellen von Wahrscheinlichkeiten & Binomialverteilung Berechnen und Darstellen von Wahrscheinlichkeiten Literatur: Schulbuch Malle u.a.: Mathematik verstehen 7,S. 86 ff Beispiel ) 2 Spielerinnen A und B spielen 3 mal dasselbe Spiel, die Gewinnwahrscheinlichkeit für A beträgt p=. 4 Bestimmen Sie Sie W(A gewinnt genau aus 3 Spielen) wie folgt: a. Zeichnen Sie (im Querformat des Hefts) ein Baumdiagramm mit " günstige" jeweils 4 Verzweigungen pro Spielzug und zählen Sie " mögliche" b. Abstrahieren Sie Ihr Baumdiagramm durch bizonale Einteilung : Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit jeweils 2 Verzweigungen pro Spielzug. Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Pfadregeln :. Pfadregel: Entlang eines Pfades werden Wahrscheinlichkeiten multipliziert. 2. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeiten verschiedenerr Pfade werden addiert. c. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung W( k aus n gezogen)= 27 Lösungen: 64 n p k k ( p) n k

2 Erwartungswert Der Erwartungswert E(X) ist ein Schätzwert für den zu erzielenden Mittelwert μ der Zufallsvariable X. Wenn die Zufallsvariable X die Werte x, x2,.xn annehmen kann berechnet sich der Erwartungswert E(X)wie folgt: E(X)= x p(x)+.+ xn p(xn) Definition: Erwartungswert n E(x)= x i p( xi ) =μ Gute Schreibweise für die obige Summe i= Bei stetigen Zufallsvariablen ist E(X)= x f ( x) dx Bei der Binomialverteilung gibt es die Abkürzungsformel E(X)= n p. Beispiel 2) Berechnen Sie für Beispiel den Erwartungswert mit der Definition. 2 3 Anleitung: E(X)= Lösung:, kontrollieren Sie mit der Abkürzungsformel E(X)= n p 4 Varianz Die Varianz V(X) oder σ 2 ist ein Schätzwert für den zu erzielenden Mittelwert der Abweichungen vom Mittelwert. n σ 2 2 (X)= ( x µ ) p( xi ) Definition Varianz σ 2 (X) i= Bei stetigen Zufallsvariablen ist σ 2 2 (X)= ( x µ ) f ( x) dx 2

3 Berechnung von σ 2 (X) ist einfacher durch die folgende Formel. σ 2 (X)=E(X 2 )-μ 2 praktische Berechnungsformel für Varianz σ 2 (X) Bei stetigen Zufallsvariablen σ 2 (X)= 2 2 x f ( x) dx µ Die Standardabweichung σ ist die Wurzel aus der Varianz. Bei der Binomialverteilung gibt es die Abkürzungsformel σ 2 (X)= n p (-p) Beispiel 3) Berechnen Sie für Beispiel ) die Varianz: Anleitung: Lösung: 6 9. Kontrollieren Sie mit der Abkürzungsformel. Beispiel 4)! Stellen Sie die Pfade aus Beispiel ) bei denen A genau mal gewinnt digital codiert dar. Anleitung: A gewinnt, verliert, verliert ( 0 0) oder ( A A A) (A und Nicht-A und Nicht-A) Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Beispiel 5) A und B spielen 3 Partien Schach, Gewinn- Wahrscheinlichkeit pro Spiel für A beträgt 2 Gewinn- Wahrscheinlichkeit für B beträgt 3 Wahrscheinlichkeit für Unentschieden ( Remis ) beträgt 6 Bestimmen und codieren Sie (wie oben) die Wahrscheinlichkeiten: a. A gewinnt alle Partien b. 2 Partien remis c. A und B gewinnen abwechselnd d. B gewinnt mindestens Partie: 3

4 Lösungen: a. 8 5 b c d. 27 Beispiel 6) Auf einen Regentag (heute)folgt mit Wahrscheinlichkeit =0,3 ein Sonnentag (gibt s die in Salzburg irgendwo??), auf einen Sonnentag mit Wahrscheinlichkeit =0,25 ein Regentag. Wie wahrscheinlich ist es, dass a. Morgen b. Übermorgen c. Überübermorgen die Sonne scheint wenn es heute regnet? Codieren Sie analog zu übermorgen : ( R S) ( S S) bedeutetund bedeutetoder Lösungen: a. 0,3 b. 0,435 c. 0,496 Beispiel 7) Eine Sportlerin hat drei Wiederholungen eines Wettbewerbes zu bestehen. Aus Erfahrung weiß Sie, dass Sie den ersten Bewerb mit Wahrscheinlichkeit =0,6 gewinnt. Aus psychologischen Gründen ändert sich die Gewinn-Wahrscheinlichkeit bei den 2 folgenden Bewerben um jeweils +0,05 wenn Sie den Bewerb vorher gewonnen hat, und um jeweils -0,05 wenn Sie den Bewerb vorher verloren hat hat. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit ( gewinnt genau 2 mal ) Lösung: 0,6*0,65*0,3+0,6*0,35*0,6+0,4*0,55*0,6 4

5 Beispiel 7) Eine digitale Nachricht von einem Satelliten zur Erde besteht aus digitalen Nullen (D0) und digitalen Einsen (D). Bei einer bestimmten Nachricht sind 5/8 der Bits D0. Aufgrund atmosphärischer Störungen werden 2/5 der D0 und /3 der D falsch übertragen (es kommt also das jeweils andere Signal an). Sie empfangen nun ein D ( DE für digital empfangen). Bestimmen Sie a. Wahrscheinlichkeit ( D0G ) (digital D0 gesendet) b. Wahrscheinlichkeit ( DG ) (digital D gesendet) Lösungen: jeweils ½ Bedingte Wahrscheinlichkeit Die Schreibweise P( A B) steht in der Mathematik für die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, nachdem B schon eingetreten ist. Man bezeichnet P( A B) als bedingte Wahrscheinlichkeit und spricht Sie aus wie Wahrscheinlichkeit dass A wenn B oder P A wenn B. Wenn A und B eintreten (A UND B) kann dies passieren durch P( A B) * P(B) (lesen Sie von rechts nach links Wahrscheinlichkeit dass B eintritt UND Wahrscheinlichkeit dass A eintritt wenn B schon eingetreten ist ) oder durch P( B A) * P(A) (lesen Sie von rechts nach links Wahrscheinlichkeit dass A eintritt UND Wahrscheinlichkeit dass B eintritt wenn A schon eingetreten ist ). Also : P( A B) * P(B) = P( B A) * P(A). Dies erlaubt eine sehr interessante Beweisumkehr wie das folgende Beispiel zeigt. 5

6 Beispiel 8) (Zahlen erfunden) Wahrscheinlichkeit für Lungenkrebs P(L)=0, Wahrscheinlichkeit für Raucher P(R)=0,5 Wahrscheinlichkeit für Raucher wenn Lungenkrebs P(R L)=0,9 (kann zb in einer onkologischen Station festgestellt werden, wenn man die LungenkrebspatienInnen untersucht, ob Sie RaucherIn sind/waren): Bestimmen Sie nun die interessante Wahrscheinlichkeiten P(L R) und P(L nichtr). Lösungen: 8% und 2%, das Risiko für L ist also für RaucherInnen 9 mal so hoch (900%). Lösen Sie auch mit einer Darstellung, welche von 00 Personen rauchen oder nicht rauchen und wieviele davon L haben. Literatur und Übungen für Zuhause: Malle 7, Kapitel 9.3 S Malle 7, Kapitel 9.5 S , Bild S. 25 Formen.. Wenn Sie die Binomialkoeffizienten nochmals studieren wollen: Malle 7, Kapitel 9.4 S

Ähnliche Dokumente

Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist.

.3. Stochastik Grundlagen Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist. Die RELATIVE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an mit welchem Anteil