Stochastik. Inhaltsverzeichnis

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1 Stochastik Inhaltsverzeichnis 1. Allgemeine Definition Laplace-Wahrscheinlichkeit Gegenereignis (häufig bei mindestens -Aufgaben) Vereinigung von 2 Ereignissen ( oder -Formulierungen) Baumdiagramme Baumdiagramme Regeln und Bemerkungen für das Baumdiagramm Dreimal-Mindestens Aufgaben Kombinatorik... 8 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bezeichnungen Satz der Bedingten Wahrscheinlichkeit Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Satz von Bayes Vier-Felder-Tafel Unabhängigkeit von Ereignissen Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert Varianz Standardabweichung Binomialverteilung Die normale Binomialverteilung Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Binomialverteilung Die Kumulierte Binomialverteilung σ-umgebung ( Sigma-Umgebung ) Näherungsformeln für die Binomialverteilung Näherungsformel von Moivre-Laplace für die exakte Trefferanzahl Näherungsformel für kumulierte Binomialverteilungen Hypothesentests Allgemeines

2 16.2 Alternativtest - Irrtumswahrscheinlichkeit gesucht Alternativtest - Entscheidungsregel gesucht Einseitiger Signifikanztest - Irrtumswahrscheinlichkeiten gesucht Einseitiger Signifikanztest - Entscheidungsregel gesucht Zweiseitiger Signifikanztest - Irrtumswahrscheinlichkeiten gesucht Zweiseitiger Signifikanztest - Entscheidungsregel gesucht Allgemeine Definition Der Mathematiker nennt einen Prozess, dessen Ausgang nicht sicher vorhersehbar ist, einen Zufallsversuch bzw. ein Zerfallsexperiment. Die Menge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuches nennt man Ergebnisraum (Bsp. Münzwurf: Kopf, Zahl). Eine Fragestellung nach einem Element oder einer Teilmenge des Ergebnisraumes nennt man Ereignis (Bsp. Würfeln: Ergebnisraum {1,2,3,4,,6}; Mögliches Ereignis: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P eine gerade Zahl zu Würfeln?) Wird ein Zufallsversuch mehrfach durchgeführt und tritt dabei ein Ereignis E genau k-mal ein, nennt man k die absolute Häufigkeit von E. Beträgt die Anzahl der Durchführungen n, so nennt man die relative Häufigkeit des Ereignisses E. Die Wahrscheinlichkeit P mit der ein Ereignis E eintritt, wird mit P(E) bezeichnet. P(E) nimmt hierbei lediglich Werte zwischen Null und Eins an. Gilt P(E)=0, ist E ein Ereignis, das unmöglich eintreten kann, gilt P(E)=1, ist E ein Ereignis, das sicher eintreten wird. 2. Laplace-Wahrscheinlichkeit Sind bei einem Zufallsversuch alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich (Würfel, Münze,...) so spricht man von einem Laplace-Ereignis. Es gilt folgende Formel: 2

3 3. Gegenereignis (häufig bei mindestens -Aufgaben) Bei einem Ereignis E bezeichnet man mit Ē (gesprochen: E-quer) das Gegenereignis (bei vielen Aufgaben das sprachliche Gegenteil der Aufgabenstellung). Es gilt: P(E) + P(Ē) = 1 Anwendung: Gelegentlich ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zu berechnen als die Wahrscheinlichkeit der eigentlichen Aufgabenstellung. In diesen Fällen nutzt man die oben stehende Formel wie folgt: P(E) = 1 - P(Ē) 4. Vereinigung von 2 Ereignissen ( oder -Formulierungen) Ist bei zwei Ereignissen E₁ und E₂ danach gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit E 1 oder E 2 eintreten, gilt folgende Formel: P(E₁ E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁ E₂). Baumdiagramme.1 Baumdiagramme Bei Zufallsversuchen, die mehrfach durchgeführt werden oder eine Kombinationen von verschiedenen einzelnen Zufallsversuchen darstellen, benutzt man Baumdiagramme, um den Sachverhalt übersichtlich darzustellen. Bsp. Ein Würfel wird 3-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mind. zwei 4er zu Würfeln? 3

4 .2 Regeln und Bemerkungen für das Baumdiagramm Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ergibt sich, indem man die Wahrscheinlichkeiten der Äste des Pfades multipliziert. erfüllen mehrere Pfade die Aufgabenstellung, werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addiert. Kurz: Im Baum wird multipliziert; unterm Baum wird addiert! Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Knoten ausgehen, ergeben in der Summe 1. Dies kann man gelegentlich nutzen, um nicht gegebene Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Als Grundregel gilt: Bäume nicht für mehr als drei Durchgänge und nicht bei mehr als drei möglichen Ergebnissen pro Stufe verwenden. Häufig ist es sinnvoll, reduzierte Teilbäume zu erstellen: o reduzierte Bäume: Häufig ist es sinnvoll gemäß der Aufgabenstellung einzelne Ergebnisse zu einem Ergebnis zusammenzufassen. (Bsp.: 4 oder ) o Teilbäume: Häufig kann man mehrere Äste und Pfade des Baumes weglassen, wenn klar ist, dass sie die Aufgabenstellung nicht erfüllen Bei Ereignissen mit zurücklegen ändert sich die Wahrscheinlichkeit in den einzelnen Stufen nicht. Bei Ereignissen ohne zurücklegen müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede Stufe neu überlegt werden. Auch vermeintlich gleichzeitig stattfindende Ereignisse(2 Jäger schießen gleichzeitig etc.) können in einem Baumdiagramm dargestellt werden. 6. Dreimal-Mindestens Aufgaben Ein Glücksrad hat gleichgroße Sektoren, von denen 3 weiß und 2 rot sind. Wie oft muss das Rad mindestens gedreht werden, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal rot zu drehen, mindestens 9% beträgt? In einigen Aufgaben wird als Synonym für mindestens gelegentlich wenigstens verwendet. Rechnung: P(mind. 1 mal rot) = 1 P(kein mal rot) = 1 P(nur weiß) = Nun wird ausgerechnet, wann dieser Term gleich 9 % ist: = 0,9 - und mal - rechnen = 0,0 lg n lg = lg (0,0) n = 8 Antwort: Es sind mindestens 6 Drehungen notwendig (Ergebnis ist immer die nächstgrößere ganze Zahl). 4

5 7. Kombinatorik n Kugeln k Ziehungen ja Werden die Kugeln zurückgelegt? nein Ist die Reihenfolge wichtig? Ist die Reihenfolge wichtig? ja nein ja nein n k n k 1 n! n k ( n k)! k I II III IV n=k? Ja n! IIIa Fakultät: n! n (n 1) (n 2) (n 3) n! (n 1) (n 1)! 0! 1 Binomialkoeffizient: n n k! k! ( n k)! n n 1 0 n n( n 1)( n 2)... ( n k 1) k( k 1)( k 2)... 1 n n n k k

6 8 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 8.1 Bezeichnungen In der 1. Stufe des Baumes stehen die Wahrscheinlichkeiten das Ereignis A eintritt bzw. nicht eintritt. In der 2. Stufe des Baumes stehen die Wahrscheinlichkeiten des Ereignis B unter der Voraussetzung, dass A bereits eingetreten ist bzw. nicht A ( ) bereits eingetreten ist. Diese Wahrscheinlichkeit steht dafür, dass das Ereignis B eintritt und das Ereignis A zuvor bereits eingetreten ist. Kurz: Die Wahrscheinlichkeit von B unter A. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades wird mit P von A geschnitten B angegeben. Kurz: Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten. 8.2 Satz der Bedingten Wahrscheinlichkeit Gemäß den Rechenregeln für Baumdiagramme gilt: Hieraus ergibt sich die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit, mit der man Wahrscheinlichkeiten der 2. Stufe eines Baumes berechnen kann. 8.3 Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Mit diesem Satz berechnet man die Wahrscheinlichkeit mit der ein Ereignis der 2. Stufe eines Baumdiagramms insgesamt eintritt. Auch dieser Satz ergibt sich unmittelbar aus den Rechenregeln für Baumdiagramme. In Worten: Man addiert alle Pfade, die zum gewünschten Ereignis der 2. Stufe führen. 6

7 8.4 Satz von Bayes Mit Hilfe des Satzes von Bayes ist man in der Lage, eine bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, über deren Baumdiagramm man keine Angaben hat. Es genügt vielmehr, wenn man die Wahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms kennt, bei dem der Ablauf der Ereignisse genau umgekehrt ist. Häufig muss man vor der Anwendung des Satz von Bayes mithilfe der Formeln zur bedingten und totalen Wahrscheinlichkeit in linken Teilbaum Vorüberlegungen anstellen. 7

8 9. Vier-Felder-Tafel Für zwei Ereignisse A und B hat die entsprechende Vier-Felder-Tafel folgende Form: B A 1 Die Vier-Felder-Tafel ist eine Alternative zum Baumdiagramm. Die vier Wahrscheinlichkeiten in der Mitte der Tafel(grün) stehen für die Wahrscheinlichkeiten der vier Pfade im Baum. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten (im Baum: die Äste der zweiten Stufe) stehen nicht direkt in der Tafel und müssen über folgende beispielhafte Gleichung berechnet werden: Fehlende Werte in der Tafel können durch Addition bzw. Subtraktion in den einzelnen Zeilen und Spalten berechnet werden. 10. Unabhängigkeit von Ereignissen Zwei Ereignisse A und B werden als unabhängig bezeichnet, wenn die folgenden Gleichungen erfüllt sind: Bei entsprechenden Aufgaben genügt es, eine der drei Gleichungen zu überprüfen. Häufig kommt hierbei der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit hier zum Einsatz. Die dritte Gleichung hat folgende Bedeutung: Die Wahrscheinlichkeit des Pfades im Baum muss das Produkt der Einzel-Wahrscheinlichkeiten sein. Umgekehrt gilt: Weiß man, dass zwei Ereignisse unabhängig sind, kann man mit Gleichung (3) die Wahrscheinlichkeit des Pfades ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. 8

9 11. Zufallsgrößen 11.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung Unter der Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsereignisses versteht man die Auflistung aller möglichen Ergebnisse einer Zufallsgröße X mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. In der Regel geschieht dies in Form einer Tabelle. Beispiel: Ein Glücksrad mit fünf gleich großen Feldern ist von 1 bis nummeriert und wird zweimal gedreht. Es gilt: Einsatz pro Spiel: 0,0 Auszahlung: Summe 10: 4,- Summe 9: 2,- Summe 8: 1,- Verteilung von X: Die Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung ergeben zusammen immer 1. Dies kann man häufig benutzen, um die letzte fehlende Wahrscheinlichkeit zu errechnen Erwartungswert Der Erwartungswert entspricht dem Durchschnittswert bei der Auswertung von Statistiken (z.b. dem Notendurchschnitt bei Klassenarbeiten). Er stellt den Wert dar, der bei der mehrfachen Durchführung eines Zufallsexperiments durchschnittlich pro Durchgang erwartet wird. Ähnlich wie beim Notendurchschnitt kann der Erwartungswert hierbei einen Wert annehmen, der nicht als tatsächlich mögliches Ergebnis existiert. Der Erwartungswert wird berechnet, indem man alle möglichen Ereignisse mit ihren Wahrscheinlichkeiten multipliziert und diese Produkte dann addiert. Als Formel: 9

10 Beispiel: Aus Wahrscheinlichkeitsverteilung ) Bsp. aus 11.1: Dies bedeutet, dass der Spieler langfristig mit einem Verlust von 6 ct pro Spiel rechnen muss! 2) Würfel: Häufig wird für auch der griechische Buchstabe µ (gesprochen: Mü ) verwendet. Häufige Anwendung: Wann ist ein Glücksspiel fair? Wenn E(x) = 0 ist, ist ein Glücksspiel fair! Begründung: Wenn E(x) = 0 ist, ist es gleichwahrscheinlich, Gewinn oder Verlust zu machen Varianz Der Erwartungswert alleine genügt nicht, um ein Zufallsereignis ausreichend zu beschreiben! Beispiel Notenspiegel: 1 Einser und 1 Sechser liefern den gleichen Erwartungswert wie 1 Dreier und 1 Vierer! Daher existiert ein weiteres Maß: Die Varianz Sie gibt an, wie weit die möglichen Ergebnisse vom Erwartungswert entfernt sind. Man nennt dies auch die Streuung der Ergebnisse um den Erwartungswert. Man berechnet die Varianz, indem man die einzelnen Abstände zum Erwartungswert (E(x)) berechnet, diese Abstände quadriert und mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit gewichtet (multipliziert). Als Formel: Bsp. mit Würfeln: 10

11 11.4 Standardabweichung Ein weiteres Maß der Streuung stellt die Standardabweichung dar, sie wird als Wurzel der Varianz berechnet: Formel: 12. Binomialverteilung 12.1 Die normale Binomialverteilung Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen nennt man ein Bernoulli-Experiment. Wird ein Bernoulli-Experiment mehrfach durchgeführt und bei jeder Durchführung bleiben die Wahrscheinlichkeiten identisch, nennt man dies eine Bernoulli-Kette. Beispiel für Bernoulliketten: 1. mehrfacher Münzwurf 2. Umfragen 3. Quizshows und Prüfaufgaben 4. Überprüfung von (defekten) Bauteilen Liegt eine Bernoulli-Kette vor, so kann man die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Durchführungen genau k - mal ein Ergebnis eintritt, mithilfe der Binomialverteilung berechnen. Formel: n: Anzahl der Durchführungen k: gefragte Trefferanzahl p: Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E bei einmaliger Durchführung eintrifft 1-p: Wahrscheinlichkeit des Gegenereignis 12.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Binomialverteilung n 11

12 13. Die Kumulierte Binomialverteilung Bei einer Bernoulli-Kette ist häufig nicht nur die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Trefferanzahl gefragt, sondern man möchte wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer höchstens k Treffer, mehr als k Treffer, weniger als k Treffer, zwischen und Treffer ist. Für den Fall höchstens k Treffer existieren Tabellen, in denen man die gewünschte Wahrscheinlichkeit ablesen kann. Die übrigen Problemstellungen (auch die Fragestellungen nach exakten Trefferanzahlen) lassen sich alle ebenfalls mit dieser Tabelle beantworten. Schreibweisen: n: Anzahl der Durchführungen p: Trefferwahrscheinlichkeit bei einmaliger Durchführung k: Gesuchte Trefferanzahl Höchstens k-treffer: Mindestens k-treffer: Weniger als k-treffer: Mehr als k-treffer: Exakte Trefferanzahl: Bei einem Bereich/Intervall kann man die vorher angegebenen Formeln miteinander kombinieren: Mindestens und höchstens Treffer: 12

13 14. σ-umgebung ( Sigma-Umgebung ) Mithilfe der σ-umgebung um den Erwartungswert kann man beurteilen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine bestimmte Trefferanzahl eintritt oder nicht. Für alle Binomialverteilungen stabilisieren sich diese Wahrscheinlichkeiten, wenn die Anzahl an Durchführungen ausreichend groß ist. Konkret muss die sogenannte Laplace-Bedingung erfüllt sein, um die unten folgenden Wahrscheinlichkeiten anwenden zu dürfen. n In diesem Fall gelten die folgenden Aussagen: Zu 68% fällt die Trefferanzahl in das 1σ-Intervall: [ Zu 9,% fällt die Trefferanzahl in das 2σ-Intervall: [ ] Zu 99,7% fällt die Trefferanzahl in das 3σ-Intervall: ] Beispiel: Würfel: n=300 Würfe Aussage: Es wurden 70 Sechsen gewürfelt Da die Behauptung 70 Sechser außerhalb des 3σ-Bereichs liegt, sollte diese Aussage stark angezweifelt werden! Sie kann aber nicht ausgeschlossen werden (es ist falsch, zu behaupten, dass die Aussage falsch ist), aber sie tritt lediglich in 0,3% der Fälle ein. 13

14 1 Näherungsformeln für die Binomialverteilung Da die exakte Trefferwahrscheinlichkeit für eine große Anzahl von Durchführungen sehr rechenaufwändig bzw. unmöglich wird, gibt es hierfür Näherungsformeln. 1.1 Näherungsformel von Moivre-Laplace für die exakte Trefferanzahl Idee: Nähere das Histogramm, das die Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellt an eine e-funktion aus der Analysis an. Vorgehensweise: 1. Verschiebe die Binomialverteilung auf der x-achse um den Erwartungswert µ nach links, sodass ihr Maximum auf der y-achse liegt. 2. Stauche die Binomialverteilung in x-richtung, indem durch die Standardabweichung σ dividiert wird, so dass die Breite des Histogramms sich an die Breite der Glockenkurve anpasst. 3. Strecke die Funktion in y-richtung, um den Faktor σ, so dass die Höhe des Histogramms den Funktionswerten der Glockenkurve entspricht. --> Diesen Vorgang nennt man Standardisierung der Binomialverteilung Die Glockenkurve besitzt die folgende Funktionsgleichung: Damit die Näherungsformel Ergebnisse liefert, die nicht zu weit von den exakten Werten entfernt liegen, muss die sogenannte Laplace-Bedingung erfüllt sein: n (Die Anzahl der Durchführungen n muss eine gewisse Grenze überschreiten, damit der Näherungswert ausreichend genau ist.) Vorgehensweise bei der Berechnung: 1. Entnehme der Aufgabenstellung n, p und k 2. Berechne (Erwartungswert und Standardabweichung) 3. Überprüfe die Laplace-Bedingung 4. Führe die Standardisierung durch. Setze in die e-funktion ein ( 6. Multipliziere den Funktionswert mit 14

15 Schreibweise und Beispiel: 1. n=00 k=12 p=0, > (Laplace-Bedingung erfüllt) Näherungsformel für kumulierte Binomialverteilungen Analog zur Vorgehensweise von Moivre-Laplace gibt es auch für die kumulierte Binomialverteilung eine Näherung mithilfe der Gaußschen e-funktion (Glockenkurve). Da die Wahrscheinlichkeit der kumulierten Binomialverteilung nichts anderes ist als die aufsummierte Fläche unter den gefragten Histogrammbalken, ist die Fläche unter der e-funktion bis zum standardisierten Wert z gesucht. Somit bildet man das folgende Integral von Da die Berechnung gemäß Moivre-Laplace nur bis zur Mitte des letzten gefragten Histogrammbalkens reichen würde, muss man die Hälfte der Balkenbreite hinzuaddieren: Da die Stammfunktion der Gaußschen Glockenkurve nicht durch eine uns bekannte Funktion darstellbar ist, liegen die Funktionswerte dieser Stammfunktion in Tabellenform vor. Ist z negativ, wendet man folgende Umformung an: 1

16 Beispiel: 1200-maliger Wurf eines fairen Würfels. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit höchstens 220 Sechser zu bekommen? X = Anzahl der gewürfelten Sechser n = 1200 k = 220 (Laplace-Bedingung erfüllt) (Wert 0,9441 aus Tabelle abgelesen) 16. Hypothesentests 16.1 Allgemeines Für alle Hypothesentests gilt: Es gibt zwei sich widersprechende Hypothesen und. Durch ein mehrfach durchgeführtes Testverfahren soll überprüft werden, welche Hypothese zutrifft. Dabei können zwei Fehler passieren: Fehler 1.Art (auch -Fehler oder Signifikanzniveau genannt): Ich entscheide mich für, obwohl eigentlich vorliegt. Schreibweise: Fehler 2.Art (auch -Fehler genannt): Ich entscheide mich für, obwohl eigentlich vorliegt. Schreibweise: Wahl der Hypothesen: Der -Fehler stellt für den Durchführer des Hypothesentests immer den schwerwiegenderen Fehler dar (etwas wird als 1.Wahl eingestuft, obwohl es 2.Wahl ist). Um dies zu gewährleisten, gilt folgendes: ist immer die schlechtere Hypothese (2.Wahl), bzw. die Hypothese, dass sich nichts verändert hat. Entsprechend ist die bessere Hypothese (1.Wahl), bzw. die Hypothese, dass sich etwas verändert hat. Bei jedem Hypothesentest muss es also eine klare Entscheidungsregel geben, wann ich mich für entscheide. Die Zahl, bei der die Entscheidung zwischen und wechselt, nennt man: kritische Zahl k. oder für 16

17 16.2 Alternativtest - Irrtumswahrscheinlichkeit gesucht Den Alternativtest erkennt man daran, dass in der Aufgabenstellung für beide Hypothesen exakte Wahrscheinlichkeiten gegeben sind. Somit können beide möglichen Fehler problemlos berechnet werden. 17

18 16.3 Alternativtest - Entscheidungsregel gesucht In diesem Fall ist die Irrtumswahrscheinlichkeit für den Fehler 1.Art vorgegeben. Übliche Irrtumswahrscheinlichkeiten( auch Signifikanzniveaus genannt) sind 1%, % und 10%. Beispiel: Ein Falschspieler besitzt gefälschte Münzen, bei denen die Wahrscheinlichkeit für Kopf 20% beträgt. Er testet eine Münze durch 12 Probewürfe und möchte dabei eine faire Münze mit nicht mehr als 10% Wahrscheinlichkeit irrtümlich als gefälscht einstufen. (0,1 da das Signifikanzniveau 10 % beträgt) aus Tabelle für n=12 und p=0,: k=3: 0,073 k=4: 0,1938 Lösung: k = 3 da für k = 4 die Wahrscheinlichkeit bereits größer als 0,1 ist. 18

19 16.4 Einseitiger Signifikanztest - Irrtumswahrscheinlichkeiten gesucht Beim einseitigen Signifikanztest ist lediglich die Wahrscheinlichkeit von einer Hypothese bekannt. Zudem ist aus der Aufgabenstellung bekannt, ob die Wahrscheinlichkeit von entweder größer oder kleiner ist als die von. Für diesen Aufgabentyp ist es eigentlich nicht möglich, den -Fehler zu berechnen, außer man setzt für festgelegte Wahrscheinlichkeiten ein. --> Nullhypothese: Hypothese mit der gegebenen Wahrscheinlichkeit!

20 16. Einseitiger Signifikanztest - Entscheidungsregel gesucht 0,01 da laut Aufgabe Signifikanzniveau: 1 % = 0,01 Aus der Tabelle: für k = 33 ist der Wert zum ersten Mal größer als 0,99 20

21 16.6 Zweiseitiger Signifikanztest - Irrtumswahrscheinlichkeiten gesucht Beim zweiseitigen Signifikanztest ist die Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese bekannt und es ist nicht bekannt, ob die Wahrscheinlichkeit von größer oder kleiner als die von H o ist, beides ist möglich. Somit gibt es zwei Entscheidungsregeln für. Entsprechend rechnen wir für beide Entscheidungsregeln die Irrtumswahrscheinlichketen aus. Die Summe dieser beiden Irrtumswahrscheinlichkeiten ergibt insgesamt den gesuchten -Fehler

22 16.7 Zweiseitiger Signifikanztest - Entscheidungsregel gesucht In diesem Fall wird die vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit halbiert und für jede der beiden Entscheidungsregeln für H 1 werden die kritischen Zahlen k 1 und k 2 für das halbe Signifikanzniveau berechnet > Aus der Tabelle: da für k = 34 die Wahrscheinlichkeit bereits größer als 0,1 ist > Aus der Tabelle: für ist der Wert zum ersten Mal größer als 0,9. 22

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