Mathematik 12. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben

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1 Mathematik 2. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben Inhaltsverzeichnis Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Wahrscheinlichkeitsrechnung Binomialkoeffizienten Berechnen Baumaufgabe Zufallsexperimente Fragebogen Urnenmodell mit &< ohne Zurücklegen Zehnmaliger Würfelwurf Laplacewürfel und Bernoullikette Ausschuss bei einer Produktion Allein unter Frauen Werbungsaussagen Hühnereier und Gackerei Parkplätze für Mitarbeiter Zufallsgrößen Maximum und Minimum Würfelwurf Binomialverteilung Kleinkunstabend der Q Farbauswahl bei Tulpen Einseitiger Signifikanztest Signifikanztest - Technikübungen Standardaufgabe - Produktion von Teilen und Ausschuss Wahlumfrage Mikrochips Forever Falten Frei

2 Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wahrscheinlichkeitsrechnung.. Binomialkoeffizienten Berechnen a) 0 e) 0 i m) q) n ) n n! = k k!n k)! b0 c8 d) 5 f) 35 g) 7 h) 5 j) k) l) 4 n) 5 o) 4 p) r) Mit TR über ncr..3 Baumaufgabe Die Gesamtmenge sind n-bäume, wobei eine k-elementige Teilmenge, also die zu fällenden Bäume herauszusuchen ist. ) n k Fehlerhafte Taschenrechner Qualitätskontrolle beim Taschenrechner Die Firma Kasio produziert an einem Tag 2000 TR, wobei immer 30 Stück defekt sind. Wie wahrscheinlich ist es bei 40 gekauften Geräten genau defektes Geräte zu entdecken? N = 2000; K = 30; n = 40; k = 30 ) 970 ) P X = ) = ) 33 %..5 Zufallsexperimente a) siehe Formelsammlung S. 58 Urnenmodell c) Zuordnung a) a) b) b) c) a) d) a) e) a) f) b) g) a) h) b) i) b)..7 Fragebogen p = 4, da völlig ahnungslos. Mindestens richtige heißt, oder 7 oder... alle Reihenfolge ist offensichtlich egal, Wahrscheinlichkeit bleibt identisch! Urnenmodell mit Zurücklegen! P X ) = P X = ) + P X = 7) + P X = 8) + P X = 9) + P X = 0) ) ) 0 = 0 ) 0 + 0, ) 7 0, =, % + 0, 3 % + 0, 04 % + 0, 003 % +... =, 943 %

3 ..8 Urnenmodell mit &< ohne Zurücklegen a) Stichprobe n = 2; Gesamtmenge N = 4; Treffer k = K = 2; a) ohne Zurücklegen ) P X = 2) = ) = 4 2 oder über Pfadregeln PX = 2) = = 2 von 4 mal von 3) b) mit Zurücklegen oder über Pfadregeln P X = 2) = = 4 P X = 2) = ) ) b) Diesmal N = 40; K = 20; n = 2; k = 2 a) ohne Zurücklegen P X = 2) = 2 = 4 4 ) ) ) = 24, 3 % 40 2 Man kann es auch als Baumdiagrammn auffassen mit den Wahrscheinlichkeiten p = Anzahl Treffer Gesamtanzahl und dann die Pfade multplizieren, bei größeren Mengen empfiehlt sich aber die abstrakte Schreibweise, siehe Formelsammlung S. 58 Beispiel Teilaufgabe b) ohne Zurücklegen: 20 rote Kugeln 40 Gesamtkugeln) 9 rote Kugeln 39 Gesamtkugeln) Versuch Man sieht, wie für eine große Gesamtmenge 20 2 die beiden Methoden fast dieselben Ergebnisse liefern 24, 3 % 4 = 25 % oder P X = 2) = = 24, 3 % b) mit Zurücklegen P X = 2) = oder P X = 2) = = 4 ) = Zehnmaliger Würfelwurf Urnenmodell ohne Beachtung der Reihenfolge mit Zurücklegen P X = k) = 0 a x p = & k = 2 0 P X = 2) = 2 ) 0 5 = 2 = 29, 07 % ) ) 0 2 ) 8 ) 2 ) n p) n k p k k ; n = b) Daten identisch P X > 3) = P X 3) = [P X = 0) + P X = ) + P X = 2) + P X = 3)] = [0, + 0, , , ] = 0, 93 = 7 % MODE Achte auf Gleichheit und das Ungleichheitszeichen TABLE verwenden!

4 c) Daten bleiben gleich P < X < 5) = P X = 2) + P X = 3) + P X = 4) = 0, , + 0, 054 = 50, 4 % d) Hier p = 2, da, & größer drei, wobei dies k = 5 mal der Fall ist. ab ) n = a n P X = 5) = = ) 2 ) 0 5 ) 5 2 ) = 24, % 20 b n ; a n a m = a n+m.. Laplacewürfel und Bernoullikette a) P X ) = P X = 0) > 0, 9 über Gegenereignis, dass keine fällt. p = ; k = 0; n =? ) n 0 = ) 0 = 0, > P X = 0) n < 0, ) ) 5 n < 0, ) 5 n lg < lg 0, n > lg 5 lg n > 2, 3 zumindest eine kann eine, oder auch zwei, usw. heißen. Hier ist das Gegenereignis einfacher zu berechnen mit zumindest eine = keine Beachte die Logarithmusgesetze FS S. 54); lg a = log 0 a! 3 Würfe b) keine P X = 0) 50 % ; p = ; k = 0; n =? ) n P X = 0) = ) n 0 ) 0 n = & a 0) 0 = & 0 ) lg a = log b a & log b b = 5 n 0, 50 lg lg 0, 50 n lg 5 Vorzeichen! lg 0, 5 n lg 5 lg = 3, 8..5 Ausschuss bei einer Produktion Urnenmodell ohne Reihenfolge mit Zurücklegen. p = 5 % = 0, 05; n = 50; k = 7 Gesucht sind weniger als 7 P X < 7) = P X = 0) + P X = ) + P X = 2) + P X = 3) + P X = 4) + P X = 5) + P X = ) ) 50 z.b. PX = ) = 0, 05) 50 0, 05 oder allgemein im TR Es ist keine Gesamtmenge N gegeben Sehr wahrscheinlich mit Zurücklegen TABLE unbedingt verwenden!

5 f x) = ) 50 0, 05 X =0,95 50 X 0, 05 X mit Start: 0; End: ; Step: P X < 7) = 0, , , 2 + 0, , , , 0259 = 0, 9878 = 98, 78 % Alternative wäre Gegenereignis zu berechnen, wobei hier nur wenige einen wirklichen Beitrag liefern! z.b P X = 9) = 0, Allein unter Frauen Urnenmodell ohne Beachtung der Reihenfolge mit Zurücklegen Verhältnis von Mann:Frau= 0, 9 im Mittel bei, 9 Personen eine ganze Frau und 0, 9 Mann. p Mann = 0,9 günstiges Ereignis,9 = 0, 49 alle Ereignisse mindestens ein Mann Gegenereignis -kein Mann P X > 0) = P X = 0) hier: n =?; k = 0; P X > 0) > 99, 99 %; p = 0, 49 P X > 0) = = 0, 5 n 0, , 5 n 0, 5 n 0, 000 lg n lg 0, 5 lg 0 4) n 4 lg 0, 5 n 3, 8 ) n 0, 49) n 0 0, n 0) = & a 0 = & lg a = log b a & log b b = Es müssen mindestens 4 Personen ausgewählt werden...7 Werbungsaussagen Treffer sind erfolgreiche Abnahme, p = 0, 8; Stichprobengröße n = 0 und mindestens die Hälfte sind k = 5; ; 7; 8; 9; 0 oder mit CAS binomcdf0,0.8,5,0) P X 5) = ) 0 0, 8) 5 0, 2) = 99, 4% ) 0 0, 8) 0, 2) Hühnereier und Gackerei Urnenmodell ohne Beachtung der Reihenfolge mit Zurücklegen n = ; p = 0, 03; p = 0, 97 ) a) P X = 0) = 0, , 03 0 alle unbeschädigt, heißt kein beschädigtes Ei P X = 0) = 0, 97 0, 83 = 83 % b) mehr als ein beschädigtes Ei zwei beschädigtes oder drei beschädigte oder )... Eier P X > ) = P X 2) = P X = 0) P X = ) = 7 % 0, 97 5 Gegenereignis a) 0, 03 = 7 % 5 % = 2 % n 0) = & a 0 =

6 c) neue Urne mit Schachteln statt Eier! n = 0; p = 0, 83; p) = 0, 7 P X 2) = P X < 2) = [P X = 0) + P X = )] ) 0 P X = 0) = 0, 7 0 0, 83 0 = 0, ) 0 P X = ) = 0, 7 9 0, 83 = 0 0, 7 9 0, 83 P X 2) = [0, , 3 0, 7 9] = [, 0 0 ] P X 2) = 99, 9999 %..24 Parkplätze für Mitarbeiter Urnenmodell ohne Reihenfolge mit Zurücklegen, da p = 0, 0 = konstant a) Wie wahrscheinlich ist es, aus 40 Mitarbeiter, 30 Autofahrer zu ziehen, wenn 0 % Autofahrer sind. p = 0, ; n = 40; k = 30 P X 30) = P X 3) [ ) 40 = 0, ) 0, ) ] 0, ) 8 0, = 0, , , , = 0, , 5 % b) Diesmal k =?, und P X k) > 0, 95 Es können weniger als 30 Parkplätze sein, wir rechnen schrittweise aus, welchen Beitrag jeder Parkplatz liefert. P X = 30) = ) 40 0, 4 0 0, 0 30 =, 9 % 30 98, 5 %, 9 % = 9, 5 % Ab 35 Autofahrer ist die Wahrscheinlichkeit so gering, dass man diese nicht mehr berücksichtigen muss. P X = 29) > P X = 30) ist gültig da 0 % von wäre und somit dies sicherlich wahrscheinlicher ist, als mehr Autofahrer! Damit sind wir fertig, da P X = 29) > P X = 30) und damit die Schwelle 95 % unterschritten wird.

7 .2 Zufallsgrößen.2.4 Maximum und Minimum Würfelwurf X i Wurf ; ; + 2 = 3 ;...; ;...; = 5 p i EX) = = = 9 X i p i = = 4, 47 i= = VarX) = 3 i= X i 5 + p i = , 97 und damit σ = VarX), 40 Bei Betrachtung des Minimums vertauschen sich die Wahrscheinlichkeiten nur p p und die Ergebnisse lauten zur Kontrolle: µ = 2, 53; VarX) =, 97; σ =, 4 σ=,4 σ=,4 µ=4,47

8 .3 Binomialverteilung.3. Kleinkunstabend der Q2 n = 00; p = 0, 20 TzS Seite 7f a) P0,20 00 X = 20) = B 00; 0, 20; 20) = 0, = 0, 758 % ) 00 0, , 8 80 allg. Formel berechnen 20 = nachschauen in TzS Schlüsselbegriff für jeden) p = const. b) pünktlich beachten! Entweder höchstens Schüler zu spät mit P0,20 00 X ) = 0, 9234 = 9, 234 % oder 84 Schüler pünktlich mit p = 0, 80 P0,80 00 X 84) = P0,80 00 X 83) = 0, 807 = 0, 9234 mindestens heißt 84, oder 85, c) P 00 oder... 0,20 5 X 5) = P00 0,20 X 5) P00 0,20 X 4 ) = 0, 285 0, 0000 = 2, 85 % =X<5 Rundung.3.7 Farbauswahl bei Tulpen große Lieferung mit Zurücklegen, da p = 3 = const.; Stichprobengröße n = 0 TzS Seite 20) a) P 0 3 X = 4) = 0, 227 b) P 0 3 X 4) = P 0 3 X 3) = 0, 5592 = 0, c) EX) = n p = 3, 3, also 3 sollten blühen TzS S. 23 d) Hier n = 00 P 00 X 24 3 = 2, 805 % X<25 Sollte sich wohl beschweren, da dies relativ unwahrscheinlich ist. Schlüsselbegriff weniger als

9 .4 Einseitiger Signifikanztest.4. Signifikanztest - Technikübungen H 0 fälschlicherweise ablehnen, heißt H 0 trifft zu, aber es wird dagegen entschieden. Die lila markierten Säulen des Balkendiagramms stehen für die Wahrscheinlichkeit, fälschlicherweise abzulehnen. Aufgabe a) Aufgabe e) a) P 50 0,20 X 2) = 8, % TzS Seite 7 b) P 00 0,90 X 84) = 4, 0 % TzS Seite 38 c) P 35 0,05 X 2) = 25, 4 % per Hand [ ] P0,05 35 X = 0) + P35 0,05 X = ) + P35 0,05 X = 2) d) P 25 0,75 X 4) = 3, 0 % TzS Seite 32 e) P 30 0,30 X 0) = 27, 0 % TzS Seite 7 Bei p p 0 ist der Annahmebereich von A = {k + ;... ; n} über Gegenwahrscheinlichkeit berechnen!.4. Standardaufgabe - Produktion von Teilen und Ausschuss p 0, 25; n = 00 a) Der Annahmebereich ist A = {0;... ; 7} und damit der Ablehnungsbereich A = 0;...;k {8;... ; 00} irrtümlich ablehnen heißt, er findet eben mehr als die höchstens 7 P 00 0,25 X > 7) = P 00 0,25 X 7) = 0, 93 = 0, 07 Schlüsselbegriff höchstens TzS Seite 3 unbedingt kleiner < und kleiner gleich, usw, genau beachten! b) A = {0;... ; 8}, da P0,25 00 X 8) = 0, 9 = 4 % müsste die Nullhypothese H 0 lautet dann weniger als 9 Bauteile, oder höchstens 8 Bauteile.4.7 Wahlumfrage p 0 = 0, 30; n = 00; Gefragt ist, ob p p 0 stimmt, also ob gleich oder mehr Wähler sich für diese Partei entscheiden werden. A = {25;... ; 00} k+;...;n 88, % k = 24 P 00 0,3 X 25) = P00 0,3 X 24) = 0, 4 = Die Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese H 0 abzulehnen, obwohl diese zutrifft beträgt, 4 %. TzS Seite 8 siehe Aufgabe mit mindestens demselben Ergebnis.4.2 Mikrochips a) Gesucht ist ein Annahme- A und Ablehnungsbereich A, um den durchgeführten Test auszuwerten, also auszusagen ob man auf einem Signifikanzniveau α = 5 %

10 die Nullhypothese ablehnen kann. Höchstens 4 % defekt n = 00; H 0 : p 4 % = p 0 P0,04 00 X > k) 5 % mit Gegenwahrscheinlichkeit P0,04 00 X k) 0, 95 TzS S. 0 k = 7 Es ergibt sich ein Annahmebereich von A = {0;... ; 7} und damit kann man bei 9 defekten in der Probe die Nullhypothese ablehnen. Die Produktion ist fehlerhafter! dennoch mehr als 8 defekte {}}{ b) P0,04 00 X > 8) = P0,04 00 X 8) = 0, 980 = 0, 0899 =, 899 % H 0 trifft zu!.4.7 Forever Falten Frei Gesucht ist der Annahmebereich für die Hypothese H 0 : p 0, 0 = p o, also Das Produkt funktioniert. n = 00; α = 5 % a) P0,0 00 TzS Seite 28 X k 5 % k = 5 A = A b) Man lehnt ab A), obwohl p 0 = 0, 70 k+! {}}{ 52 ;... ; 00 P 00 0,70 X 5) = 0, = 0, 005 % Man beachte die Achsenskalierung! Hier ist die Teilaufgabe b) graphisch dargestellt.

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