Gurkensamen. Stochastik ABITUR Torsten Möller. - Mathematik - Prüfungsaufgabe Schleswig-Holstein

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1 Torsten Möller Gurkensamen Stochastik ABITUR Mathematik - Prüfungsaufgabe Schleswig-Holstein vollständige Lösungen mit anschaulichen Grafiken

2 Impressum Torsten Möller Augustastraße Flensburg 1. Auflage 2018 Idee und Ausführung in L A TEX: Torsten Möller Umschlaggestaltung: Torsten Möller Illustrationen: Torsten Möller Das Werk, einschließlich seiner Teile, ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Autors unzulässig. Dies gilt insbesondere für die elektronische oder sonstige Vervielfältigung, Übersetzung, Verbreitung und öffentliche Zugänglichmachung. 2

3 Inhaltsverzeichnis I Aufgaben 2 II Lösungen 4 1 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsbäume Bedingte Wahrscheinlichkeiten Binomialverteilungen Term Durchschnittliche Kosten 8 3 Hypothesentest Einseitiger Signifikanztest Fehler 2. Art Testintervalle σ-umgebung (zweiseitiger Test) Konfidenzintervall Anhang 21 Abbildungsverzeichnis 21 1

4 Teil I Aufgaben Alle in Ihren Lösungen verwendeten Zufallsgrößen müssen explizit eingeführt werden. Machen Sie auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsgrößen. 1. Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualitätsstufe A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%, eines der Qualitätsstufe B mit einer Wahrscheinlichkeit von 70%. Ein Gemüseanbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, davon 65% der Qualitätsstufe A. Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufällig ausgewählten keimenden Samenkorn um ein Samenkorn der Qualitätsstufe B handelt. Der Anbaubetrieb sät 200 Samenkörner der Qualitätsstufe B. Bestimmen Sie für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit: E: "Von den gesäten Samenkörnern keimen genau 140." F: "Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als 130 und weniger als 150." Beschreiben Sie die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang: ( ) ( ) i i i i i i i=0 i=160 (14 P) 2. Keimt ein Samenkorn, so wächst daraus eine Gurkenpflanze heran. Pro Pflanze der Qualitätsstufe B kann im Mittel die gleiche Anzahl von Gurken geerntet werden wie bei Pflanzen der Qualitätsstufe A. Es besteht das Risiko, dass ein Samenkorn zwar keimt, durch Wettereinflüsse oder Schädlinge aber keine erntereife Pflanze heranwächst. Dieses Risiko beträgt für alle 2

5 gekeimten Samenkörner der Qualitätsstufe A 15% und für alle gekeimten Samenkörner der Qualitätsstufe B 25%. Der Preis pro Samenkorn beträgt für die Qualitätsstufe A 17 Cent und für die Qualitätsstufe B 12 Cent. Der Anbaubetrieb verkauft alle geernteten Gurken zum gleichen Preis. Prüfen Sie, ob es für den Anbaubetrieb finanziell sinnvoll wäre, sich auf Samenkörner der Qualitätsstufe B zu beschränken, indem Sie die Samenkosten pro erntereifer Gurkenpflanzen bestimmen. (6 P) 3. Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das keimen eines Samenkorns der Qualitätsstufe B durch eine Weiterentwicklung auf mehr als 70% erhöht habe. Dazu werden nach der Weiterentwicklung 100 Samenkörner der Qualitätsstufe B zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Entscheidungsregel für einen Hypothesentest, der das Ziel hat, die Behauptung des Großhändlers auf einem Signifikanzniveau von 5% zu stützen. Bestimmen Sie für den oben konzipierten Test die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art unter der Voraussetzung, dass die Keimwahrscheinlichkeit auf 80% gestiegen ist. (12 P) 4. Von einer dritten Qualitätsstufe C werden 50 Samenkörner gesät. Von diesen keimen 27. Aus diesem Stichprobenergebnis soll nun die Keimwahrscheinlichkeit eines Samenkorns der Qualitätsstufe C abgeschätzt werden. Prüfen Sie, ob eine Keimwahrscheinlichkeit von 60% (p = 0.6) mit dem Stichprobenergebnis 27 auf einem Signifikanzniveau von 5% verträglich ist. Das ist genau dann der Fall, wenn das Stichprobenergebnis im 95%-Annahmebereich der Hypothese H:p = 0.6 liegt. Bestimmen Sie zu dem Stichprobenergebnis die obere Grenze des zugehörigen 95%-Konfidenzintervalls für die Keimwahrscheinlichkeit auf 3 Dezimalen genau. (8 P) 3

6 Teil II Lösungen 1 Binomialverteilung 1.1 Wahrscheinlichkeitsbäume Folgende Ereignisse seien binomialverteilt: A: Samenkorn der Qualitätsstufe A B: Samenkorn der Qualitätsstufe B K: keimendes Samenkorn K: nicht keimendes Samenkorn A B K K K K Abbildung 1: Wahrscheinlichkeitsbaum mit folgenden Wahrscheinlichkeiten: P A (K) = 0.95 P (A K) = P A (K) = 0.05 P (A K) = P B (K) = 0.7 P (B K) = P B (K) = 0.3 P (B K) =

7 1.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bei dieser Aufgabe haben wir zunächst ein keimendes Samenkorn. Für die fehlenden Wahrscheinlichkeit können wir uns die entsprechende 4-Felder-Tafel anfertigen: A B Σ K K Σ Alternativ können wir die Wahrscheinlichkeit für ein keimendes Samenkorn auch zu Fuß ausrechnen: P (K) = P (A K) + P (B K) P (K) = P (K) = Daraus ergibt sich folgendes Baumdiagramm: K K P K (B) A B A B Abbildung 2: Baumdiagramm 5

8 Um die Wahrscheinlichkeit der Qualität B unter der Voraussetzung, dass das Samenkorn keimt, zu berechnen verwenden wir P K (B) = P (K B) P (K) P K (B) = P K (B) = = 28.41% Binomialverteilungen Bei der Binomialverteilung arbeiten wir mit der Bernoullikette ( ) n P (x = k) = p k k (1 p) n k Wir benötigen also n, p und k. Für das Ereignis E ist n = 200 p = 0.7 k = 140 Die Binomialdichte ergibt P (E) = P (x = 140) = 6.15% Für das Ereignis F ist n = 200 p = < k < 150 6

9 Hier haben wir eine kumulierte Verteilung von 131 bis 149 keimenden Samen. P (F ) = P (130 < x < 150) P (F ) = P (131 x 149) P (F ) = P (x 149) P (x 130) P (F ) = P (F ) = = 85.77% 1.4 Term Der Term ( i i=0 ) 0.7 i i i=160 ( 200 i ) 0.7 i i basiert auf der Bernoullikette wobei das Summenzeichen auf eine kumulierte Verteilung hinweist. p = 0.7 bedeutet, dass es sich hier um keimende Samen der Qualität B handelt. Dabei sind es einmal von 0 bis 120 und von 160 bis 200 Samen. In der Form P n;p (x = k) könnte man den Term auch so schreiben: 1 ( P 200;0.7 (x 120) + P 200;0.7 (160 x 200) ) Es wird also das Gegenereignis von ( P200;0.7 (x 120) + P 200;0.7 (160 x 200) ) beschrieben. Wir haben es also mit zu tun. P 200;0.7 (121 x 159) Mit diesem Term wird berechnet wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass von 200 gesäten Samen der Qualität B mindestens 121 und höchstens 159 Samen keimen. 7

10 2 Durchschnittliche Kosten Folgende Ereignisse seien gegeben: A: keimendes Samenkorn der Qualitätsstufe A B: keimendes Samenkorn der Qualitätsstufe B E: erntereife Gurkenpflanze E: keine erntereife Gurkenpflanze A B E E E E Abbildung 3: erntereife Pflanzen Wir erhalten für ein Samenkorn der Qualität A, dass zu einer erntereifen Gurkenpflanze heranwächst die Wahrscheinlichkeit P (A E) = P (A) P (E) P (A E) = P (A E) = erntereife Pflanzen pro Samenkorn und für ein Samenkorn der Qualität B, dass zu einer erntereifen Gurkenpflanze heranwächst die Wahrscheinlichkeit P (B E) = P (B) P (E) P (B E) = P (B E) = erntereife Pflanzen pro Samenkorn 8

11 Wir berechnen nun die Kosten pro erntereifer Gurkenpflanze. Qualität A: Qualität B: = Cent P flanze = Cent P flanze Die Kosten für ein Samenkorn der Qualität B ist also höher als die der Qualität A. Es wäre finanziell nicht ratsam ausschließlich Samenkörner der Qualität B zu kaufen. 9

12 3 Hypothesentest 3.1 Einseitiger Signifikanztest x beschreibt die Anzahl der keimenden Samenkörner der Qualitätsstufe B und ist binomialverteilt mit n = 100. H 1 : p > 0.7 zu bestätigende Hypothese H 0 : p 0.7 zu testende Hypothese (Nullhypothese) Hier einmal dargestellt: p 0.7 p > Abbildung 4: Binomialverteilung Wir wollen die Hypothese H 1 bestätigen und nehmen die Nullhypothese als Arbeitshypothese, also die blaue Verteilung. Bekommen wir ein Ergebnis im Verwerfungsbereich der Nullhypothese, so haben wir die Annahme des Großhändlers bestätigt. Um das noch etwas deutlicher zu machen zeichne ich hier die beiden Kurven vereinfacht als Funktionsgraphen auf, auch wenn es weiterhin Histogramme (Säulendiagramme) bleiben. 10

13 µ = n p µ = µ = 70 P (x) H 0 : p 0.7 H 1 : p > % 5% 70 Annahmebereich k V erwerf ungsbereich x Abbildung 5: Signifikanztest Der Großhändler geht davon aus, dass die Keimfähigkeit jetzt mehr als 70 % beträgt, hier der rechte Kurvenverlauf. Wir arbeiten mit den Prinzipien des indirekten Beweises. D. h., dass wir die gegenteilige Hypothese ausschließen wollen um damit die Behauptung des Großhändlers zu stützen. Dazu nehmen wir das Gegenteil an, also die Nullhypothese H 0. Haben wir ein Ergebnis im Verwerfungsbereich (oder auch Ablehnungsbereich) von H 0 (x k), so können wir von der Richtigkeit der Behauptung des Großhändlers ausgehen. Man kann allerdings nur eine zu 95 % sichere Aussage machen nach Aufgabenstellung. Es bleibt also eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%, unser Signifikanzniveau α. Wollten wir eine noch sicherere Aussage treffen, so würde k weiter nach rechts wandern. Natürlich ist der Verwerfungsbereich von H 0 der Annahmebereich von H 1 und der Annahmebereich von H 0 der Verwerfungsbereich von H 1. 11

14 Wir haben es hier mit einem rechtsseitigen Test zu tun, denn die Hypothese H 0 wird durch die Grenze k nach rechts gegen H 1 abgegrenzt. Der Verwerfungsbereich, den wir zu testen haben, liegt auf der rechten Seite. Wir sagen jetzt ausgehend von H 0 : Die Hypothese H 0 wird verworfen, falls k oder mehr Samen keimen V = [k; 100] und nehmen die Hypothese H 0 an, falls es weniger sind. A = [0; k 1] Unser primäres Ziel ist es nun, k zu berechnen. Zunächst stellen wir fest mit α = 5%, dass P (x k) 0.05 ist. Dies können wir nicht berechnen, da wir eine Binomialverteilung haben, also einzelne Säulen im Diagramm. Wenn wir statt dessen eine Funktion hätten, so wäre es berechenbar. Wir nehmen also näherungsweise die Normalverteilung zur Hilfe und führen eine Approximation in dieser vor. Zur Verdeutlichung: ϕ(z) Φ(z) = 95% 1 Φ(z) = 5% z 0 z Abbildung 6: Normalverteilung 12

15 Die rote Fläche ist berechenbar mit dem Integral von ϕ(z) z 0 [ Φ(z) ] z 0 ϕ(z)dz = = 1 Φ(z 0 ) wobei wir im Folgenden statt Φ(z 0 ) dann Φ(z) schreiben werden. Jetzt können wir sagen P (x k) = 1 P (x k 1) = 1 Φ(z) 0.05 ist. Mit der Umrechnung wobei z = k+0.5 µ σ σ = n p (1 p) σ = σ = > 3 und damit auch die LaPlace-Bedingung erfüllt ist. P (x k) = 1 Φ( k+0.5 µ σ ) 0.05 P (x k) = 1 Φ( k ) 0.05 Nach Φ( k ) aufgelöst mit 1 Φ( k ) Φ( k ) 0.95 ( 1) Φ( k ) 0.95 Mit der inversen Normalverteilung gilt k Φ 1 µ;σ(0.05) k Φ 1 70; 21 (0.05) 13

16 k k Für die Nullhypothese bekommen wir nun A[0; 77] und V [78; 100] Unsere Entscheidungsregel lautet: Haben wir bei den 100 Samen mehr als 77 keimende Samen, so kann die Behauptung des Großhändlers, dass sich die Keimfähigkeit der Qualitätsklasse B erhöht habe, gestützt werden. 3.2 Fehler 2. Art Für einen Fehler 2. Art (β) gilt per Definition: Eine falsche Hypothese wird nicht verworfen. Das klingt ähnlich wie der Fehler 1. Art (α, unsere Signifikanz): Eine wahre Hypothese wird verworfen. Sehen wir uns dazu einmal die Graphik an. Dazu brauchen wir zunächst den Erwartungswert. µ = n p µ = µ = 80 Wir haben hier also die gleiche Graphik wie beim Signifikanztest. Nur diesmal gehen wir davon aus, dass H 0 die richtige Hypothese ist, obwohl sich die Keimqualität der Samen der Qualitätsklasse B verbessert hat. Wir erhalten 14

17 P (x) H 0 : p = 0.7 H 1 : p = 0.8 β V erwerf ungsbereich Annahmebereich x Abbildung 7: Fehler 2. Art aber bei der Stichprobe ein Ergebnis, dass für H 0 spricht. Der Fehler 2. Art beschreibt also das Risiko solch eine Fehlentscheidung zu fällen. Wir gehen wieder indirekt vor indem die gegenteilige Hypothese getestet wird. n=100 und p=0.8 Wir behalten wir unsere Intervalle, wobei die Bereiche jetzt vertauscht sind V [0; 77] und A[78; 100] und gehen von k 77 aus. Mit der kumulierten Binomialverteilung folgt P 0.8(x 77) = Das Risiko einen Fehler 2. Art zu begehen beträgt 26.11%. 15

18 4 Testintervalle 4.1 σ-umgebung (zweiseitiger Test) Bei der 95%igen σ-umgebung können wir in der Tabelle σ Umgebung Radius 90% % % 2, 58 den Radius=1.96 ablesen. P (x) 95% 2.5% 2.5% a µ b x 1.96 σ 1.96 σ Wie aus der Graphik zu ersehen ist, ist a = µ 1.96 σ b = µ σ Wir erhalten also mit Abbildung 8: σ-umgebung und µ = n p = = 30 σ = n p (1 p) = =

19 Damit ist a = = und b = µ = liegt also im Annahmebereich von A = [24; 36] und wir können davon ausgehen, dass die Keimwahrscheinlichkeit der Qualitätsstufe C 60% beträgt. 4.2 Konfidenzintervall Wie hier zu sehen ist, liegt 27 gerade noch in der 95%igen σ-umgebung sowohl für p L als auch für p R. Diesen Bereich der Wahrscheinlichkeiten nennt man Konf idenzintervall. P (x) p L p R 95% 95% 27 x Abbildung 9: Konfidenzintervall Je größer p ist, desto weiter rechts verläuft die Kurve. Wir sollen nach Aufgabenstellung nur den höheren p-wert bestimmen, aber der Vollständigkeit halber berechne ich beide Werte. 17

20 Ich zeige hier 3 Varianten, wie man das Konfidenzintervall bzw. den höheren Wert des Intervalls berechnen kann. Variante 1 Wir berechnen das Konfidenzintervall I für große n mit I = [ h 1.96 h (1 h) ; h n ] h (1 h) n wobei mit und h = X n X = 27 n = 50 ist. Daraus folgt h = = 0.54 Eingesetzt bekommen wir [ I = (1 0.54) ; I = [ 0.402; ] ] 0.54 (1 0.54) 50 18

21 P (x) p R = % 2.5% 2.5% 27 x Abbildung 10: 95%-Umgebung Variante 2 Wir sehen in der Graphik, dass die kumulierte Binomialverteilung für k < 27 mit n = 50 und p R größer oder gleich als 2.5% sein muss. P (x 27) = ist doch zu niedrig Wir ermitteln den Wert jetzt durch Probieren. Dazu muss p R kleiner werden. P 0.67 (x 26) = P 0.66 (x 26) = P (x 26) = > P (x 26) = Der richtige Wert ist also p R = = 66.3%. Variante 3 In der 3. Variante ermitteln wir p R durch Näherung mit der Normalverteilung. Wir sagen 19

22 P (x pr 26) = Φ( µ σ ) = µ σ = Φ 1 (0.025) µ σ = 1.96 σ 26.5 µ = 1.96 σ p R = p R (1 p R ) : ( 1.96) p R = 50 p R (1 p R ) : ( ) 2 ( p R )2 = 50 p R (1 p R ) p R p R = 50p R 50p R p R p R p R = 50p R 50p R p R p R = 0 Laut Taschenrechner bekommen wir p R 1 = p R 2 = I = [ 0.395; ] Die leichte Ungenauigkeit von p R = = 66.1% ist darauf zurück zu führen, dass die Rechnung mit der Normalverteilung eine Näherung an den richtigen Wert darstellt. 20

23 Abbildungsverzeichnis 1 Wahrscheinlichkeitsbaum Baumdiagramm erntereife Pflanzen Binomialverteilung Signifikanztest Normalverteilung Fehler 2. Art σ-umgebung Konfidenzintervall %-Umgebung