Vorwort Praktische Anwendungen stochastischer Methoden Zufallsexperimente und Ereignisse... 5

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1 Stochastik FABI-Trainer Verlag Vorwort Praktische Anwendungen stochastischer Methoden Zufallsexperimente und Ereignisse Zufallsexperimente Ergebnisraum Ereignisse... 9 Aufgabenblock Mehrstufige Zufallsexperimente Aufgabenblock Verknüpfung von Ereignissen Aufgabenblock Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Relative und absolute Häufigkeit Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Laplace-Wahrscheinlichkeit Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe eines Baumdiagramms Berechnung von relativen Häufigkeiten mit Hilfe einer Vierfeldertafel Stochastische Abhängigkeit bzw. stochastische Unabhängigkeit von zwei Ereignissen Aufgabenblock Bernoulli-Ketten (mit Einschub Binomialkoeffizient) Aufgabenblock Zufallsgrößen Was ist eine Zufallsgröße? Aufgabenblock Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße Binomialverteilte Zufallsgrößen Maßzahlen von Zufallsgrößen (Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung) Grafische Darstellung einer Zufallsgröße Aufgabenblock Testen von Hypothesen Aufgabenblock Bedingte Wahrscheinlichkeit Aufgabenblock Grundlagen der Kombinatorik Aufgabenblock

2 FABI-Trainer Verlag Stochastik Vorwort Die Stochastik ist ein relativ junges Gebiet der Mathematik. Mitte des 17. Jahrhunderts wurden erste Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung gelöst. Entscheidende Beiträge lieferten der Schweizer Jakob Bernoulli ( ) und der Franzose Pierre Simon de Laplace ( ). Andrej Kolmogorov ( ), ein russischer Mathematiker begründete mit seinen Arbeiten die heutige moderne Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung legt man gerne auf einen Tag im Juli Der Philosoph und Mathematiker Blaise Pascal ( ) schrieb einen Brief an den französischen Mathematiker Pierre de Fermat ( ). Der Brief beinhaltete des Problem des Chevalier de Méré. Dieser war am Hof des Sonnenkönigs Ludwig XIV und vertrieb sich seine Zeit gerne mit Glückspielen. Er hatte folgendes Problem: Was ist wahrscheinlicher? Bei vier Würfen mit einem Würfel mindestens eine 6 zu würfeln oder bei 24 Würfen mit zwei Würfeln mindestens einen Sechserpasch zu würfeln? Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich nur minimal. Wir lösen es im Kapitel 2.6 Bernoulli-Ketten (S. 76 ff) auf. 2

3 Stochastik FABI-Trainer Verlag 0. Praktische Anwendungen stochastischer Methoden Anmerkung des Verlags: Oft fragen sich Schüler und Schülerinnen gerade auch im Fach Mathematik, wozu bitte braucht man das? Das ist doch nur so eine Denksportgeschichte für Freaks Oder? Haben Sie doch auch schon mal so ähnlich gedacht? Natürlich braucht jeder Mensch jeden Tag Mathe auch wenn man es vielleicht nicht immer so deutlich wahrnimmt, das sei mal vorausgeschickt. Die Anwendungen von Stochastik sind aber wirklich absolut praxisrelevant und zwar gerade auch für junge Menschen: Versicherungsmathematik ist grundsätzlich eine Rechnerei mit Wahrscheinlichkeiten bzw. Risiken so kommen Versicherer zu Risikobewertungen und damit zu Versicherungsprämien. Dass Garagenautos und der Fahrstil einer bestimmten Bevölkerungsgruppe eines bestimmten Alters und Geschlechts als risikoärmer bewertet werden als die einer anderen Bevölkerungsgruppe wissen Sie bestimmt. Evtl. aus leidvoller Erfahrung im Geldbeutel Versicherungen, aber auch Banken bedienen sich stochastischer Methoden. Banken um z. B. Wertpapiergeschäfte zu steuern. Eine Branche, die man evtl. nicht auf Anhieb im Blick der Wahrscheinlichkeitsrechnung hat, ist die Psychologie und die Medizin generell. Angehende Psychologen tun gut daran, sich mit Statistik anzufreunden. Medizinforschung und Evaluation von Therapien und Medikamenten also, ob was überhaupt wirkt braucht unbedingt Stochastik. Gerade auch um erkennen zu können, ob ein Mittel tatsächlich hält was es zu versprechen scheint. 3

4 FABI-Trainer Verlag Stochastik Wenn man sich einfach mal ein bisschen reindenkt in dieses Thema, gerade auch beim zugegeben schwer fassbaren Kapitel bedingte Wahrscheinlichkeiten kann man auch sehen, dass Stochastik einem vor dem Glauben an falsche Zusammenhänge und Kausalitäten bewahren kann. Googeln Sie bei Interesse einfach mal Statistiken zum Zusammenhang vom Rückgang der Storchenpolulation und Geburtenrückgang. J 4

5 Stochastik FABI-Trainer Verlag 1. Zufallsexperimente und Ereignisse Die Stochastik lässt sich in zwei Gebiete aufteilen, o die Statistik und o die Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Statistiker sammeln Daten, auf deren Basis sie dann Vermutungen über künftige Entwicklungen aufstellen. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung entwickelte sich im 17. Jahrhundert. Einige Glücksspieler haben versucht, durch Berechnung einen kleinen Vorteil für sich herauszuschlagen. Beispiel: Ich schlage dir folgendes Spiel vor, das wir ab jetzt täglich 5x spielen. Jeder Spieler zahlt 1 als Einsatz. Gewinnt keiner, erhält jeder Spieler seinen Einsatz zurück. Wir werfen drei Würfel gleichzeitig. Ich gewinne, wenn die drei Würfel die Augensumme 10 zeigen, also beispielsweise wenn die Würfel 4, 2 und 4 zeigen. Du gewinnst, wenn die Würfel die Augensumme 9 zeigen, also etwa durch 6,1 und 2. Ist diese Spiel fair? Wie berechnet man, ob das Spiel fair ist? Zu gegebener Zeit werden wir das Rätsel lösen und zwar mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1.1 Zufallsexperimente Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, das vom Zufall abhängt, bei dem man also keine Aussage darüber treffen kann, wie das Experiment ausgeht. Beispiel: Wir haben zwei Urnen (=Gefäße). In einer Urne befinden sich nur schwarze Kugeln. In einer anderen Urne viele schwarze und viele rote Kugeln. Nun wird eine Kugel aus Urne 1 gezogen sie ist natürlich schwarz. Man weiß vorher schon was passiert. Der Versuchsausgang hängt also nicht vom Zufall ab, sondern ist vor der Durchführung schon klar. Es handelt sich demnach um kein Zufallsexperiment. Anders verhält es sich bei Urne 2. Man entnimmt wieder eine Kugel, diese ist entweder schwarz oder rot. Auch wenn man das Experiment schon fünfmal durchgeführt hat, man weiß nie was beim 6. Mal passiert. Es handelt sich demnach um ein Zufallsexperiment. 5

6 FABI-Trainer Verlag Stochastik Typische Zufallsexperimente sind Ø Lotto (Ziehen von Kugeln mit den Nummern 1-49 aus einer Urne) Ø Münze werfen Ø Würfeln Ø Roulette Ø Ziehen bzw. Ausgeben von Karten 1.2 Ergebnisraum Wir betrachten als Beispiel den einfachen Würfelwurf, es wird also ein Würfel einmal geworfen. Wie kann das Experiment ausgehen? Jeder weiß, dass ein handelsüblicher Würfel die Augen 1 bis 6 enthält, es kann also eine 1, eine 2, eine 3, fallen. Die einzelnen Versuchsausgänge nennt man Ergebnisse oder auch Elementarereignisse (dazu später mehr). Fasst man alle möglichen Ergebnisse zusammen, so erhält man den sogenannten Ergebnisraum. Dieser wird mit dem großen griechischen Omega "Ω bezeichnet. Beispiel 1 In unserem Beispiel gilt: Ω = {1,2,3,4,5,6} Die einzelnen Elemente in Ω werden mit (klein Omega) ω bezeichnet, also Ω = {ω!, ω!, ω!, } Mächtigkeit von Ω: Ω Unser Ergebnisraum hat 6 Elemente. Die Anzahl der Elemente in Ω bezeichnet man als Mächtigkeit von Ω, geschrieben Ω. In unserem Beispiel gilt Ω = 6. Aber nicht jeder Ergebnisraum zu ein und demselben Zufallsexperiment sieht gleich aus. Welcher Ergebnisraum am besten passt, hängt oft von der Fragestellung ab. 6

7 Stochastik FABI-Trainer Verlag Beispiel 2 Beispielsweise ist beim Spiel Mensch ärgere dich nicht eine 6 notwendig, um eine Spielfigur überhaupt an den Start zu bekommen. Es interessiert also nur, ob eine 6 fällt oder nicht. In diesem Fall reicht es dann aus, wenn der Ergebnisraum nur zwei Elemente enthält, nämlich die 6 und 6, wobei 6 für keine oder nicht 6 steht. Ein dazu passender Ergebnisraum wäre Ω = {6, 6}. Die Mächtigkeit von Ω = 2, da Ω zwei Elemente enthält. Ein zum einfachen Würfelwurf passender Ergebnisraum wäre auch { }. Ω = gerade Augenzahl,ungerade Augenzahl Trotzdem muss ein Ergebnisraum aber gewisse Eigenschaften besitzen: Ø Jedem Versuchsausgang muss eindeutig ein Element aus Ω zugeordnet werden können. Ø Jedes Element in Ω muss mögliches Ergebnis des Experiments sein. Beispielsweise ist die Menge Ω = Zahl ist Primzahl, Zahl ist gerade kein Ergebnisraum zum einfachen Würfelwurf, weil der Zahl 1 (was ja gewürfelt werden kann) kein Element aus Ω zugeordnet werden kann (1 ist weder Primzahl, noch gerade). Der Zahl 2 kann kein Element aus Ω eindeutig zugeordnet werden, weil 2 sowohl eine Primzahl, als auch gerade ist. Auch die Menge Ω = 1,2,3,,4,5,6,7 ist kein Ergebnisraum zum einfachen Würfelwurf, weil das Element 7 kein Ergebnis des Zufallsexperiments ist. Wir betrachten ein weiteres Zufallsexperiment und versuchen einige dazu passende Ergebnisräume anzugeben. Aus einer Urne mit vielen roten, schwarzen und blauen Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln entnommen. Es kann also beispielsweise zunächst eine rote, dann eine blaue Kugel gezogen werden. Oder zuerst eine schwarze und dann nochmals eine schwarze usw.. Alle möglichen Ergebnisse fasst man nun in Ω zusammen. Es ergibt sich: Ω = rr, rs, rb, sr, ss, sb, br, bs, bb, Ω = 9 Man könnte diesen Ergebnisraum auch mit Klammern schreiben: Ω = (rr), (rs), (rb), (sr), (ss), (sb), (br), (bs), (bb). Das ist natürlich aufwendiger, aber genauso richtig. 7

8 FABI-Trainer Verlag Stochastik Dieser Ergebnisraum ist der feinstmögliche Ergebnisraum, den wir zu diesem Zufallsexperiment angeben können. Er berücksichtigt nicht nur die Farbe der gezogenen Kugeln, sondern auch welche Kugel als erstes gezogen wurde. Dies ist möglich, weil die Kugeln nacheinander entnommen wurden. Ein weitaus gröberer Ergebnisraum wäre beispielsweise: Ω = 2 rote Kugeln, 1 rote Kugel, keine rote Kugel Auch dies ist ein Ergebnisraum. Jedem Versuchsausgang ist eindeutig ein Element zugeordnet: rr à 2 rote Kugeln rs, sr, br, rb à 1 rote Kugel sb, bs, bb, ss à keine rote Kugel Dieser Ergebnisraum ist nicht so aussagekräftig. Man weiß nur, wie viele rote Kugeln gezogen wurden, aber nicht wann, und man kennt nicht die Farbe der anderen Kugel. Beispiel 3: Wir werfen einen roten und einen grünen Würfel gleichzeitig. Der feinstmögliche Ergebnisraum Ω ist: (1,1),(1,2),(1,3),...,(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),..., (2,6) (3,1),...,(3,6) Ω 1 = (4,1),..., (4,6) (5,1),..., (5,6) (6,1),..., (6,6) Die Elemente (1,6) und (6,1) sind deswegen unterscheidbar, weil beispielsweise der rote Würfel eine 1 und der grüne Würfel die 6 zeigen kann oder der rote Würfel die 6 und der grüne Würfel die 1. Die Mächtigkeit dieses Ergebnisraums ist Ω 1 = 36. Eine Vergröberung stellt der Ergebnisraum Ω 2 dar: Ω! = Pasch, kein Pasch Auch dies ist ein zum Experiment passender Ergebnisraum. Jedem Versuchausgang wird eindeutig ein Element aus Ω zugeordnet. 8

9 Stochastik FABI-Trainer Verlag 1.3 Ereignisse Beispiel 1 Wir betrachten wieder den zweifachen Würfelwurf (mit verschiedenen farbigen Würfeln). Der zugehörige Ergebnisraum ist: Nun können wir folgende Ereignisse definieren: A: Die gewürfelten Augenzahlen ergeben in der Summe 4 B: Es fällt ein Pasch C: Es fallen nur gerade Augenzahlen. Diese Ereignisse können wir nun in der sog. Mengenschreibweise angeben: A = (2,2),(1,3),(3,1) { } Genau diese drei Elementarereignisse aus Ω gehören nun zum Ereignis A, weil die Summe der gewürfelten Augenzahlen 4 ergibt. B = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) } C = {(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(4,6),(6,4) } Alle Mengen A, B und C sind echte Teilmengen von Ω. Man schreibt: A Ω bzw. B Ω oder C Ω. Alle Elemente die in A enthalten sind, sind auch in Ω enthalten. Teilmengen aus Ω nennt man Ereignisse. Hat ein Ereignis nur ein Element, spricht man von einem Elementarereignis. D: Es fällt ein 6er Pasch D = (6,6) ist ein Elementarereignis von Ω. { } Wir definieren drei weitere Ereignisse, die zu diesem Experiment passen, zunächst umgangssprachlich, dann in Mengenschreibweise: E: Die geworfenen Augenzahlen unterscheiden sich um genau 4 Augen 9

10 FABI-Trainer Verlag Stochastik F: Die Summe der gewürfelten Augen beträgt höchstens 12 G: Die Summe der gewürfelten Augen beträgt 1 Jetzt in Mengenschreibeweise: E = {(1,5),(5,1),(2,6),(6,2)} {(1,1),(1,2),...,(6,6 } = Ω F = ) Alle Elemente in Ω sind auch in F enthalten, weil zwei Würfel nie mehr als Summe 12 zeigen können. Man sagt, F ist ein sicheres Ereignis. G = { } leere Menge. Zwei Würfel haben als Summe mindestens 2. Man sagt, G ist ein unmögliches Ereignis. Beispiel 2: Bei einem beliebten Würfelspiel gilt: Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Aus den gewürfelten Augen wird die größtmögliche Zahl gebildet, also beispielsweise wenn eine 4 und eine 6 fällt, ergibt sich die Zahl 64 (die größere Zahl 64, nicht 46!) Folgende Zahlen können entstehen: Ω = { 11,21,22,31,32,33,41,42,43,44,51,52,53,54,55,61,62,63,64,65,66 } Ω = 21 Nun wollen wir folgende Ereignisse in Mengenschreibweise angeben: A: Die entstandene Zahl ist größer als 61 B: Die entstandene Zahl ist kleiner als 11 C: Die entstandene Zahl liegt zwischen 61 und 66 D: Die entstandene Zahl beträgt 63 E: Die entstandene Zahl beträgt höchstens 61 10

11 Stochastik FABI-Trainer Verlag Lösung: A = { 62,63,64,65,66} B = unmögliches Ereignis C = { 62,63,64,65} D = { 63} Elementarereignis E = { 11,21,22,31,32,33,41,42,43,44,51,52,53,54,55,61 } Die Ereignisse A und E sind besondere Ereignisse. A ist genau das Gegenteil von E und E ist genau das Gegenteil von A. Man sagt A und E sind Gegenereignisse. Man schreibt: bzw. A = E beziehungsweise E = A Sprich: A ist nicht E bzw. E ist nicht A. Zwei Ereignisse heißen Ereignis A und Gegenereignis A, wenn kein Element, das in A enthalten ist, auch in A enthalten ist, und die Elemente aus A und die Elemente aus A genau Ω ergeben. Beispiel 3: Wir betrachten eine Klasse mit 12 Mädchen und 13 Jungen. Ω könnte so beschrieben werden: Ω = { M 1,M 2,...,M 12,J 1,...,J 13 } Ω =25 M 1: Mädchen 1! Die Ereignisse M: Person ist weiblich und J: Person ist männlich sind Gegenereignisse und es gilt: M = J bzw. J = M Zusammen ergeben die Ereignisse wieder Ω. 11

12 FABI-Trainer Verlag Stochastik Aufgabenblock 1 Zufallsexperimente Geben Sie für folgende Zufallsexperimente mindestens zwei verschiedene Ergebnisräume an. Aufgabe 1 Zwei unterscheidbare (also beispielsweise eine 1 -Münze und ein 5 Cent Stück) Münzen werden geworfen. Jede Münze hat die beiden Möglichkeiten K: Kopf und Z: Zahl. Aufgabe 2 Eine Tennisgruppe besteht aus 4 Spielern (A B C D). Bei einem Turnier wird das erste Einzel ausgelost. Aufgabe 3 Eine Urne enthält viele blaue und grüne Kugeln. Es werden a) nacheinander b) gleichzeitig drei Kugeln entnommen Aufgabe 4 Beim Knobeln gibt es die Versuchsausgänge Papier (P), Stein (St) und Schere (Sch). Zwei Spieler knobeln gegeneinander. Aufgabe 5 Ein beliebiger Schüler wird gefragt in welchem Monat er Geburtstag hat. 1.4 Mehrstufige Zufallsexperimente Wird ein Zufallsexperiment mehrmals hintereinander ausgeführt, dann spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment oder auch zusammengesetzten Zufallsexperiment. Beispiel 1: Eine Münze wird dreimal hintereinander geworfen. Es interessiert uns das Teilergebnis, ob Kopf (K) oder Zahl (Z) fällt und die Reihenfolge mit der diese auftreten. Der feinstmögliche Ergebnisraum Ω sieht so aus: Ω = {(K,K,K ),(K,K,Z),(K,Z,K ),(Z,K,K ),(K,Z,Z),(Z,K,Z),(Z,Z,K ),(Z,Z,Z)} 12

13 Stochastik FABI-Trainer Verlag Die Elemente von Ω sind geordnete Tupel oder auch 3-Tupel. Die Reihenfolge der Elemente spielt eine Rolle. Das Ergebnis (K,Z,Z) ist vom Ergebnis (Z,K,Z) zu unterscheiden. Beispiel 2: Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen. (1,1),(1,2),(1,3),...,(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),...,(2,6) Ω =! (6,1),..., (6,6) Ω = 36 Beispiel 3: Zwei Spieler knobeln gegeneinander. Es gibt Stein, Schere und Papier. Stein schlägt Schere, Papier schlägt Stein und Schere schlägt Papier. Auch dieses Zufallsexperiment ist mehrstufig, es hat zwei Stufen. Um den Ergebnisraum anzugeben bedienen wir uns einem sog. Baumdiagramm. Die erste Stufe zeigt die Möglichkeit für Spieler 1: S tein S tart S chere P apier Unabhängig davon hat Spieler 2 dieselben Möglichkeiten: 13

14 FABI-Trainer Verlag Stochastik S te in S te in S c h e re P a pie r S te in S ta rt S c h e re S c h e re P a pie r S te in P a pie r S c h e re P a pie r (Schere,Schere),(Schere,Stein),(Schere,Papier ), Ω = (Stein,Schere),(Stein,Stein),(Stein,Papier ), (Papier,Schere),(Papier,Stein),(Papier,Papier ) Die Reihenfolge spielt auch hier eine wichtige Rolle. Beim Element (Schere, Stein) gewinnt Spieler 2, beim Element (Stein, Schere) gewinnt Spieler 1. In der Realität knobeln die Spieler natürlich gleichzeitig. Trotzdem lässt sich das Zufallsexperiment im Baumdiagramm gut darstellen. Ob das Zufallsexperiment gleichzeitig oder nacheinander durchgeführt wird, spielt oftmals eine wichtige Rolle. Das sehen wir im nächsten Beispiel: 14

15 Stochastik FABI-Trainer Verlag Beispiel 4: Wir werfen gleichzeitig zwei a) unterscheidbare Münzen (also z.b. 1 und 10 Cent) b) nicht unterscheidbare Münzen (zwei 1 Münzen) Lösung a): K K Z Start K Z Z Das Experiment entspricht dem zweimaligen Werfen einer Münze unter Beachtung der Reihenfolge Ω = {(K,K ),(K,Z),(Z,K ),(Z,Z)} Ω = 4 Lösung b) Da die Münzen nicht unterscheidbar sind, lässt sich das Ergebnis (K,Z) nicht von (Z,K) unterscheiden. Ω = {(K,K ),(K,Z),(Z,Z)} oder besser Ω = { zweimal Kopf,einmal Kopf,keinmal Kopf } Ω = 3 15

16 FABI-Trainer Verlag Stochastik Beispiel 5: Ein Würfel wird viermal hintereinander geworfen. Das Zufallsexperiment hat also 4 Stufen: S tart Wie man leicht erkennt, stößt man mit dem Baumdiagramm hier an seine Grenzen. Es ist nicht geeignet. Ω = {(1,1,1,1),(1,1,1,2),(1,1,1,3),...,(6,6,6,6) } Trotzdem interessieren wir uns für die Mächtigkeit von Ω. Der erste Wurf hat 6 Möglichkeiten, der zweite, dritte und vierte Wurf ebenfalls. Ω = = 6! = 1296 Den Ergebnisraum kann man hier nicht komplett angeben, aber so wie oben andeuten. 16

17 Stochastik FABI-Trainer Verlag Beispiel 6: Bei unserem letzten Beispiel betrachten wir Familien mit drei Kindern. Auch das kann als Zufallsexperiment mit 3 Stufen gesehen werden. Wir interessieren uns für das Geschlecht des Kindes: J unge J unge Mädchen J unge J unge Mädchen Mädchen S tart J unge J unge Mädchen Mädchen J unge Mädchen Mädchen Verfolgt man nun jeden Pfad vom Startpunkt bis zum Ende, erhält man Ω. Ω = {(J, J, J ),(J, J, M),(J, M, J ),...,(M, M, M) } Ω = 8 In einem späteren Kapitel werden wir sehen, dass es wesentlich häufiger Familien gibt, die beispielsweise 2 Jungen und 1 Mädchen haben, als solche mit 3 Jungen. 17

18 FABI-Trainer Verlag Stochastik Aufgabenblock 2 Mehrstufige Zufallsexperimente Geben Sie für folgende Zufallsexperimente, ggf. unter zu Hilfenahme eines Baumdiagramms, einen geeigneten Ergebnisraum und dessen Mächtigkeit an. Aufgabe 1 In einem Korb liegen Äpfel (Ä) und Birnen (B). Ein Kind entnimmt dem Korb gleichzeitig zwei Obststücke. Aufgabe 2 Bei einem Glücksspiel wirft man zunächst eine 1 -Münze und anschließend einen Würfel. Aufgabe 3 In einer Dose befinden sich Gummibärchen mit 4 verschiedenen Geschmacksrichtungen: - Zitrone - Apfel - Orange - Kirsche Jemand entnimmt a) gleichzeitig b) nacheinander zwei Gummibärchen. Aufgabe 4 Peter darf sich zu seinem 18. Geburtstag ein Auto aussuchen. Der Vater sagt: Du kannst zwischen einem Golf und einem Corsa wählen. Die Mutter sagt: Entweder nimmst du ein blaues, silbernes oder weißes Auto. Die kleine Schwester sagt: Entweder nimmst du ein Auto mit Navigationssystem oder mit Rückfahrkamera. Wie viele Möglichkeiten hat Peter? 18