Diagnose. Statistische Diagnose. Statistische Diagnose. Statistische Diagnose. Einordnung: Diagnose Problemklasse Analyse

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1 Statistische Einordnung: Problemklasse Analyse Kernfrage bzgl. der Modellierung: Wieviel ist bekannt über das zu diagnostizierende System? Begriffe der : System. Ausschnitt aus der realen Welt. Hier: System zeigt Fehlverhalten bzw. einen Fehler. Black box Gray box White box Symptom. Beobachtbare Ausprägung einer Eigenschaft eines Systems, die durch einen Fehler im System verursacht wird. Einfach: Abweichung vom Normalverhalten. Wenn wenig bekannt ist, haben wir es mit einem Black-Box-Modell bzw. assoziativem Modell zu tun. Input Output I. Zustand eines Systems, der alle Symptome erklärt. Hier: = Fehler(zustand) bzw. Menge von Fehler(zuständen) II. Prozess zur Bestimmung einer (im Sinne von I). Hypothese. kandidat, mögliche (im Sinne von I).... Black box Modellierung: statistische Verfahren neuronale Netze Methoden der Identifikation V-1 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-2 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN Statistische Statistische Problemstellung und Rahmen für Modellierung seien vorgegeben. Frage: Welche Problemlösungsmethode ist geeignet? Problemlösungs- methoden für Analyseaufgaben Arzt: Das Medikament wird Sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% heilen. Was könnte damit gemeint sein? 1. Er hat das Medikament bei 20 PatientInnen ausprobiert und 18 wurden geheilt. statistische fallbasierte Logik- Struktur- Fehler- 2. Er glaubt, daß, wenn er immer mehr PatientInnen mit diesem Medikament behandeln würde, sich die relative Häufigkeit der Erfolge bei genügend großer PatientInnen-Zahl bei 0.9 stabilisieren wird. assoziative funktionsbas. Ursache/ Wirkungs- Regel- modell Verhaltens- Fuzzy- 3. Er hält 90 Euro für den fairen Einsatz einer Wette, bei der er 100 Euro bekommt, wenn Sie geheilt werden. verhaltensbas. Black-Box-. Ein statistischer Test mit der Irrtums-Wahrscheinlichkeit 10% hat die Wirksamkeit des Medikamentes bewiesen. [Hennig, Univ. Hamburg] V-3 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V- Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN

2 Statistische Prinzip: Aus einer Menge vorhandener Fälle werden mit Hilfe statistischer Methoden Aussagen über die typische Verteilung möglicher n abgeleitet. Aussagen quantifizieren den Zusammenhang zwischen Symptomen und n Aussagen umfassen oft a-priori-wahrscheinlichkeiten und bedingte Wahrscheinlichkeiten Für gegebene Symptomkonstellationen können Wahrscheinlichkeiten möglicher n berechnet werden Wahrscheinlichste (= Lösung) kann ausgewählt werden. Definition 27 (Zufallsexperiment, Zufallsbeobachtung) Ein Zufallsexperiment ist ein im Prinzip beliebig oft wiederholbarer Vorgang mit folgenden Eigenschaften: Anordnung. Durch eine Beschreibung festgelegte reproduzierbare Gegebenheit. Prozedur. Ein festgelegtes Vorgehen innerhalb der Anordnung zur Durchführung des Experiments. Unvorhersagbarkeit des Resultats. Werden Anordnung und Prozedur nicht künstlich geschaffen, so spricht man von natürlichen Zufallsexperimenten bzw. von Zufallsbeobachtungen. Grundlage wichtiger statistische Ansätze: 1. Theorem von Bayes 2. Dempster-Shafer-Theorie Der Vorgang kann mehrmalig mit demselben System oder einmalig mit gleichartigen Systemen durchgeführt werden. Auch Zufallsexperimente laufen kausal im Sinne von Ursache und Wirkung ab. Die Zufälligkeit des Ergebnisses beruht nur auf dem Fehlen von Informationen über die Ursachenkette. V-5 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-6 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN Definition 28 (Ergebnisraum) Eine Menge Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } heißt Ergebnisraum eines Zufallsexperiments, wenn jedem Versuchsausgang höchstens ein Element ω Ω zugeordnet ist. Die Elemente von Ω heißen Ergebnisse. Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Es gibt Ereignisse, deren relative Häufigkeit nach einer hinreichend großen Anzahl von Versuchen ungefähr gleich einem festen Zahlenwert ist. Motivation zum klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff: Definition 29 (Ereignisraum) Jede Teilmenge A eines Ergebnisraums Ω heißt Ereignis. Ein Ereignis A tritt genau dann ein, wenn ein Ergebnis ω vorliegt mit ω A. Die Menge aller Ereignisse P(Ω) heißt Ereignisraum. Laplace-Experiment. Hierunter versteht man ein Zufallsexperiment, bei dem auf Basis einer Analyse der Anordnung und Prozedur angenommen werden kann, daß alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Definition 30 (wichtige Ereignistypen) Sei Ω ein Ergebnisraums, A Ω und B Ω zwei Ereignisse. Dann sei vereinbart: heißt unmögliches Ereignis. Ω heißt sicheres Ereignis. Ω \ A =: A heißt Gegenereignis zu A. A = 1 A heißt Elementarereignis. A B A heißt Teilereignis von B bzw. A zieht B nach sich. A = B (A B B A). A B = A und B sind unvereinbar (ansonsten vereinbar). Laplace-Wahrscheinlichkeiten. So bezeichnet man die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse eines Laplace-Experiments. Bei n Ergebnissen beträgt die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses 1/n. Laplace-Annahme. Hierunter versteht man die Annahme, daß es sich bei einem Experiment um ein Laplace-Experiment handelt. V-7 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-8 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN

3 Definition 31 (klassischer oder Laplace scher Wahrscheinlichkeitsbegriff) Wird jedem Elementarereignis aus Ω die gleiche Wahrscheinlichkeit zugeordnet, so gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A: = A Anzahl der für A günstigen Elementarereignisse = Ω Anzahl aller möglichen Elementarereignisse Axiomatische Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs: 1. Postulierung einer Funktion, die jedem Element des Ereignisraums eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. 2. Formulierung grundlegender Eigenschaften dieser Funktion in Form von Axiomen. Definition 32 (Wahrscheinlichkeitsmaß) Strenggenommen handelt es sich hierbei nicht um eine Definition. Warum nicht? Trifft die Laplace-Annahme nicht zu, so können die Wahrscheinlichkeiten nur als relative Häufigkeiten bei der Durchführung vieler Versuche geschätzt werden. Motiviert durch das empirische Gesetz der großen Zahlen wurde versucht, den Wahrscheinlichkeitsbegriff frequentistisch, über den (fiktiven) Grenzwert der relativen Häufigkeit zu definieren (hier insbesondere v. Mises, 1951). Dieser Versuch scheiterte, weil dieser Grenzwert im Gegensatz zu Grenzwerten in der Infinitesimalrechnung nicht nachweisbar ist. Sei Ω eine Menge, genannt Ergebnisraum, und sei P(Ω) die Menge aller Ereignisse, genannt Ereignisraum. Dann heißt eine Funktion P : P(Ω) R, die jedem Ereignis A P(Ω) eine relle Zahl zuordnet, Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt: 1. 0 (Axiom I) 2. P (Ω) = 1 (Axiom II) 3. A B = P (A B) = + P (B) (Axiom III) [Kolmogorow 1933] Die drei Axiome heißen auch das Axiomensystem von Kolmogorow. wird als Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von A bezeichnet. Es ist nicht definiert, wie die Wahrscheinlichkeiten P verteilt sind. Allgemein nennt man eine Funktion, welche die drei Bedingungen der Definition erfüllt, ein nicht-negatives, normiertes und additives Maß. V-9 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-10 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN Bedingte Wahrscheinlichkeiten Definition 33 (Wahrscheinlichkeitsraum) Sei Ω ein Ergebnisraum, P(Ω) ein Ereignisraum und P : P(Ω) R ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann heißt das Paar Ω, P bzw. das Tripel Ω, P(Ω), P Wahrscheinlichkeitsraum. Satz (Folgerungen der Axiome von Kolmogorov) 1. + = 1 (aus Axiomen II und III) 2. P ( ) = 0 (aus 1. mit A = Ω) Definition 3 (bedingte Wahrscheinlichkeit) Seien Ω, P(Ω), P ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B P(Ω) zwei Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, daß A eintritt, wenn man bereits weiß, daß B eingetreten ist, ist definiert durch P (A B) = P (A B), falls P (B) > 0 P (B) P (A B) heißt bedingte Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung B. 3. Monotoniegesetz des Wahrscheinlichkeitsmaßes: A B P (B) (aus Axiomen I und II) Die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A B) erfüllt für variables A und festes B die Axiome von Kolmogorov und stellt ein Wahrscheinlichkeitsmaß dar.. P (A B) = + P (B) P (A B) (aus Axiom III) 5. Seien A 1, A 2..., A m paarweise unvereinbar, dann gilt: P (A 1 A 2... A m ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A m ) V-11 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-12 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN

4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Wichtige Folgerungen aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: 1. P (A B) = P (B) P (A B) (Multiplikationsregel) 2. P (A B) = P (B A) = P (B A) 3. P (B) P (A B) = P (B A) Satz 5 (totale Wahrscheinlichkeit) Seien Ω, P(Ω), P ein Wahrscheinlichkeitsraum, B 1,..., B m disjunkte Ereignisse mit Ω = B 1... B m, P (B i ) > 0, i = 1,..., m und A P(Ω). Dann gilt: = m P (B i ) P (A B i ) P (B A) = P (A B) = P (B) P (A B) Beweis 1. P (A B) = 1 P (A B) Im allgemeinen gilt P (A B) 1 P (A B). = P (Ω A) = P ((B 1... B m ) A) = P ((B 1 A)... (B m A)) = m = m = m P (B i A) P (A B i ) P (B i ) P (A B i ) V-13 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-1 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN Unabhängigkeit von Ereignissen Definition 35 (stochastische Unabhängigkeit von zwei Ereignissen) Seien Ω, P(Ω), P ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B P(Ω) zwei Ereignisse. A und B heißen stochastisch unabhängig (bei P ) genau dann, wenn gilt: Satz 6 (Bayes) Seien Ω, P(Ω), P ein Wahrscheinlichkeitsraum, B 1,..., B m disjunkte Ereignisse mit Ω = B 1... B m, P (B i ) > 0, i = 1,..., m und A P(Ω) mit > 0. Dann gilt: P (A B) = P (B) Produktregel P (B i A) = P (B i) P (A B i ) m P (B i ) P (A B i ) Mit 0 < P (B) < 1 gelten folgende Äquivalenzen: P (A B) = P (B) P (A B) = P (A B) P (A B) = Beweis 2 Aus der Multiplikationsregel für P (A B i ) und P (B i A) folgt: P (B i A) = P (A B i) = P (B i) P (A B i ) Definition 36 (stochastische Unabhängigkeit von m Ereignissen) Seien Ω, P(Ω), P ein Wahrscheinlichkeitsraum und A 1,..., A m P(Ω) Ereignisse. A 1,..., A m heißen gemeinsam stochastisch unabhängig (bei P ) genau dann, wenn für alle Teilmengen {A i1,..., A ik } aus {A 1,..., A m } mit i 1 < i 2 <... < i k und 2 k m die Produktregel gilt: P (A i1... A ik ) = P (A i1 )... P (A ik ) Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit für im Nenner des Bruches gibt die Behauptung. P (B i ) heißt a-priori-wahrscheinlichkeit von B i. P (B i A) heißt a-posteriori-wahrscheinlichkeit von B i. V-15 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-16 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN

5 Anwendung von Bayes zur : Aus Wahrscheinlichkeiten für Kausalzusammenhänge P (<symptom> <ursache>) und Ursachen P (<ursache>) kann mittels Bayes die Wahrscheinlichkeit P (<ursache> <symptom>) in einer situation berechnet werden. n entsprechen Ursachen. n und Symptome werden als Ereignisse aufgefaßt. Ereignisse sind Teilmengen eines Ergebnisraums Ω = {ω 1,..., ω n }. Wie Ω tatsächlich aussieht, wird in der statistischen Diagnostik oft nicht betrachtet. Grund: Hier ist die wichtigste Begriffsebene (Knowledge level) auf den Konzepten bzw. Hypothese und Symptom aufgebaut. Man könnte sich den Ergebnisraums Ω als Menge von Vektoren ω i vorstellen, wobei jeder Vektor ω i einer Zufallsbeobachtung des Systems entspricht. Z. B. könnte ω i Informationen über Blutwerte, Herz-Kreislaufwerte etc. beinhalten. Verallgemeinerung auf mehrere Ereignisse. Seien B 1,..., B m Ereignisse. Dann bezeichne P (A B 1,..., B m ) die Wahrscheinlichkeit für A unter der Voraussetzung, daß alle B i eingetreten sind. Schreibweisen auch: P (A B 1... B m ), P (A B 1... B m ) P (A B 1,..., B m ) heißt bedingte Wahrscheinlichkeit für A unter den Bedingungen B i. Anwendung auf die : Situation des Kausalzusammenhangs S 1,..., S k D : Es wird (wurde in der Vergangenheit) immer wieder festgestellt, daß in der Situation D die Symptome S 1,..., S k beobachtet werden können. situation D S 1,..., S k : Umkehrung der Situation des Kausalzusammenhangs. Beobachtet werden die Symptome S 1,..., S k. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß D vorliegt. Wenn sich Daten zur Berechnung von P (D) und P (S 1,..., S k D) akquirieren lassen, läßt sich P (D S 1,..., S k ) mit dem berechnen. V-17 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-18 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN Gegeben sind: Menge von n: D i, i = 1,..., m Menge von Symptomen: S j, j = 1,..., k Wird weiterhin vorausgesetzt: m P (D i ) = 1 (die Menge der n ist vollständig) Mit Bayes folgt: P (D i S 1,..., S k ) = P (D i) P (S 1,..., S k D i ) P (S 1,..., S k ) 1. Der Aufbau einer Datenbasis, um verläßliche Werte für P (S 1,..., S k D i ) schätzen zu können, ist in der Praxis unmöglich. Ausweg durch folgende Annahme ( Naive Bayes Assumption ): P (S 1,..., S k D i ) = k Unter dem Ereignis (der Bedingung) D i sind die Ereignisse S 1,..., S k stochastisch unabhängig. 2. Die Wahrscheinlichkeit P (S 1,..., S k ) ist eine Konstante und braucht nicht bekannt zu sein, um das unter der Naive Bayes Assumption wahrscheinlichste Ereignis D NB aus {D i i = 1,..., m} zu bestimmen: D NB = argmax D {Di,...,m} P (D i, D j ) = 0, 1 i, j m, i j (die n schließen sich gegenseitig aus) dann gilt: P (S 1,..., S k ) = m P (S 1,..., S k D i ) (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit) P (S 1,..., S k ) = m ( Naive Bayes Assumption ) und insgesamt: P (D i S 1,..., S k ) = m Die Formel ermöglicht nicht nur eine Bestimmung der Rangordnung zwischen den D i, sondern auch die Berechnung ihrer a-posteriori-wahrscheinlichkeiten. Beachte aber die gemachten Voraussetzungen. V-19 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-20 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN

6 mit Bayes mit Bayes Beispiel: Eine Krankheit D liege bei 0.8% der Bevölkerung vor. Ein Bluttest liefert in 98% aller Fälle ein positives Ergebnis, falls die Krankheit tatsächlich vorliegt. Liegt die Krankheit nicht vor, liefert der Test trotzdem noch zu 3% ein positives Ergebnis. Die Frage ist nun, wie wahrscheinlich es ist, daß ein Patient an D erkrankt ist, wenn der Bluttest positiv ausgeht. Fortsetzung Beispiel. Modellierung: A-Priori-Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen der Krankheit: P (D + ) = A-Priori-Wahrscheinlichkeit für die Abwesenheit der Krankheit: P (D ) = Bedingte Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis, unter der Annahme, daß die Krankheit vorliegt: P (S + D + ) = 0.98 Bedingte Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis, unter der Annahme, daß die Krankheit nicht vorliegt: P (S + D ) = 0.03 Rangordnung der n gemäß fallender Werte 1. P (D ) P (S + D ) = = P (D + ) P (S + D + ) = = A-Posteriori-Wahrscheinlichkeiten gemäß P (S + ) = m P (D S + ) = / % P (D + S + ) = / % m. = = , 8% V-21 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-22 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN mit Bayes mit Bayes Für einen ansatz nach Bayes müssen umfangreiche, gesicherte Datenmengen vorliegen. Entweder a-priori-wahrscheinlichkeiten für n, P (D i ), sowie bedingte Wahrscheinlichkeiten oder eine Menge von Fällen C, die einen Zusammenhang zwischen n und Symptomen beschreiben: Vorgehensweise: C = {(D i, S) i {1,..., m}, S {S 1,..., S k }} 1. Schätzung der a-priori-wahrscheinlichkeiten und der bedingten Wahrscheinlichkeiten aus C. 2. Schätzung der a-posteriori-wahrscheinlichkeiten für die einzelnen n, P (D i S 1,..., S k ), unter der Annahme, daß die gegebenen Symptome S 1,..., S k vorliegen. Die Anwendung von Bayes Formel zur Verarbeitung von Wissen über n und Symptome ist problematisch: Closed-World-Assumption: Die Menge der n D i muß vollständig sein. Single-Fault-Assumption: Die n müssen sich gegenseitig ausschließen, d. h. es darf nur eine zutreffen. Vereinfachtes Modell: Die Symptome S j dürfen nur von den n abhängen und müssen untereinander unabhängig sein. Welt ändert sich langsam: Die statistischen Daten müssen über einen längeren Zeitraum (relativ) konstant bleiben. Diese Anforderungen sind in den meisten Fällen verletzt. Der ist oft nicht direkt anwendbar. In vielen Systemen werden Varianten des Satzes von Bayes verwendet. 3. Auswahl der mit der höchsten a-posteriori- Wahrscheinlichkeit. Je mehr Annahmen verletzt sind, desto fließender die Grenze zwischen statistischen Verfahren und heuristischen Verfahren. V-23 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-2 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN

7 Interpretation des Konzeptes Wahrscheinlichkeit Subjektivistische Verwendung von Bayes Beispiel: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% hat ein Patient mit den Symptomen Fieber, Husten und Schwäche eine TBC. 1. objektivistische Interpretation Wahrscheinlichkeit ist ein objektives Merkmal materieller Prozesse, die unabhängig vom Beobachter stattfinden. Ein Wahrscheinlichkeitsurteil entspricht einem Wahrnehmungsurteil und kann mehr oder weniger richtig sein. Es gibt einen wahren Wert für die Wahrscheinlichkeit, daß ein Patient mit den Symptomen Fieber, Husten und Schwäche TBC hat. Die Aussage Mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% kann diesem wahren Wert mehr oder weniger gut entsprechen. 2. frequentistische Interpretation Wahrscheinlichkeit ist eine Beschreibung von Beobachtungen im Sinne der Angabe der relativen Häufigkeit bezogen auf eine Referenzmenge. Wahrscheinlichkeit ist der Grenzwert der relativen Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses für n. Von 100 Patienten, die die Symptome Fieber, Husten und Schwäche gezeigt haben, hatten 60 Patienten eine TBC. Die relative Häufigkeit 60% nähert sich der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit mit zunehmendem n an. Sie wird bei Patienten eher der Wahrscheinlichkeit entsprechen als bei 100 Patienten. Subjektivistische Deutung als Lernen aus Erfahrung: Ausgangspunkt sind bedingte Wahrscheinlichkeiten P (A j B i ) für das Eintreffen von beobachtbaren Ereignissen (Symptomen) A j als Folge anderer, nicht beobachtbarer Ereignisse (Systemzustände, n) B i. Die a-priori-wahrscheinlichkeiten P (B i ) der Systemzustände seien unbekannt und sollen zunächst als gleichverteilt angenommen werden. 1. Wird nun Ereignis A j beobachtet, so lassen sich mit der Formel von Bayes die a-posteriori-wahrscheinlichkeiten P (B i A j ) der Systemzustände B i ausrechnen. 2. Die a-posteriori-wahrscheinlichkeiten P (B i A j ) können als neue Schätzung der a-priori-wahrscheinlichkeiten P (B i ) der Systemzustände interpretiert werden: Lernen durch Erfahrung. 3. Eventuell weiter bei subjektivistische Interpretation Wahrscheinlichkeit ist Ausdruck eines subjektiven Grades an Gewissheit bzw. Sicherheit. Ein Wahrscheinlichkeitsurteil kann somit nicht objektiv richtig oder falsch sein, aber es besitzt subjektive Validität. Die Aussage Mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% ist ein Maß für die subjektive Sicherheit des Arztes. D. h., in 60% aller vergleichbaren Fälle würde der Arzt die richtige TBC stellen. Je öfter der Zyklus aus Beobachtung eines Ereignisses und Aktualisierung der a-posteriori-wahrscheinlichkeiten durchlaufen wird, um so exakter ist das erworbene Wissen über die Welt hier: Wissen darüber, welcher Systemzustand B i vorliegen mag. [Sachse 0, TU Berlin] V-25 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-26 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN Subjektivistische Verwendung von Bayes Subjektivistische Verwendung von Bayes Beispiel: Gegeben sind drei Würfel, ein Laplace-Würfel W, ein Riemer- U-Würfel und ein Riemer-L-Würfel: W U L Es wird gewürfelt, die Zahlen genannt, aber nicht der verwandte Würfel gezeigt. Angenommen, es wird dreimal gewürfelt, zuerst 3, dann 1 und schließlich 5. Welche Hypothesen sind zu entwickeln? 2 6 Fortsetzung Beispiel. 1. Beobachtung: 3 fällt. a-priori-wahrscheinlichkeiten: P (W ) = P (L) = P (U) = 1/3 Es ist bekannt: P (3 W ) = 0.17, P (3 L) = 0.21, P (3 V ) = 0.1 a-posteriori-wahrscheinlichkeiten (nach Bayes): P (W 3) = = P (L 3) = P (U 3) = P (W ) P (3 W ) P (W ) P (3 W ) + P (L) P (3 L) + P (U) P (3 U) Aufgrund von Experimenten mit U- und L-Würfeln sind folgende Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die 3 Würfel bekannt: W Laplace-Würfel L L-Würfel U U-Würfel [LearnLine NRW 2002] 2. Beobachtung: 1 fällt. Neue a-priori-wahrscheinlichkeiten sind die alten a-posteriori-wahrscheinlichkeiten: P (W ) = 0.35, P (L) = 0., P (U) = 0.21 Es ist bekannt: P (1 W ) = 0.17, P (3 L) = 0.01, P (3 V ) = 0.21 a-posteriori-wahrscheinlichkeiten: P (W 1) 0.52, P (L 1) 0.0, P (U 1) Beobachtung: 5 fällt. a-priori-wahrscheinlichkeiten: P (W ) = 0.52, P (L) = 0.0, P (U) = 0. a-posteriori-wahrscheinlichkeiten: P (W 5) 0.73, P (L 5) 0.05, P (U 5) 0.22 V-27 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN V-28 Statistical Diagnosis: Bayes c STEIN