5 Exkurs: Deskriptive Statistik

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "5 Exkurs: Deskriptive Statistik"

Petra Wetzel
vor 6 Jahren
Abrufe

1 5 EXKURS: DESKRIPTIVE STATISTIK 6 5 Ekurs: Deskriptive Statistik Wir wollen zuletzt noch kurz auf die deskriptive Statistik eingehen. In der Statistik betrachtet man für eine natürliche Zahl n N eine Stichprobe vom Umfang n, :=. n Rn (ein Spaltenvektor mit n reellen Einträgen, vgl. MLAE). Der i-te Eintrag i R bezeichnet dabei den i-ten Beobachtungswert. Dies ist z. B. der Wert aus der i-ten Messung irgendeiner Grösse. Bei der deskriptiven (beschreibenden) Statistik geht es darum, Daten (Stichproben) zu verdichten, um sie übersichtlich darstellen zu können. Dazu zählen z. B. die Darstellung der Daten in Tabellenform, die Darstellung der Daten als Diagramm und die Berechnung von Kenngrössen der Daten. 5. Boplot Die direkte Darstellung der Rohdaten als Punkte (i, i ), i {,,...,n}, ist in der Regel unübersichtlich: 4 3 i i Auch das Einzeichnen sämtlicher Beobachtungswerte auf einer Achse trägt nicht viel zur Übersicht bei:

2 5 EXKURS: DESKRIPTIVE STATISTIK Wir können höchstens sehen, dass die Punkte in der Mitte offenbar dichter liegen als aussen. Viel übersichtlicher ist ein sog. Boplot der Daten (MATLAB-Befehl boplot): Hier werden offenbar nur noch die Punkte ganz weit aussen einzeln eingezeichnet dazwischen stehen die (blaue) Bo und die beiden whiskers, die weitere Informationen beinhalten: Der linke Rand der Bo ist das. Quartil oder das 5%-Quantil der Daten, q. 5% der Beobachtungswerte liegen unterhalb dieses Wertes, und entsprechend liegen 75% der Beobachtungswerte darüber. Die rote Linie im Inneren der Bo ist der Median oder das. Quartil oder das 5%-Quantil der Daten, q. 5% der Beobachtungswerte liegen unterhalb dieses Wertes, und entsprechend liegen auch 5% der Beobachtungswerte darüber. Der rechte Rand der Bo ist das 3. Quartil oder das 75%-Quantil der Daten, q 3. 75% der Beobachtungswerte liegen unterhalb dieses Wertes, und entsprechend liegen 5% der Beobachtungswerte darüber. Die Länge der Bo ist der sog. Interquartilsabstand (interquartile range) IQR := q 3 q. Es liegen 5% der Beobachtungswerte im Inneren der Bo. Die Länge der whiskers is üblicherweise festgelegt auf.5 IQR, es gibt aber auch andere Konven-

3 5 EXKURS: DESKRIPTIVE STATISTIK 63 tionen. Die noch weiter ausserhalb liegenden Beobachtungswerte heissen Ausreisser und werden im Boplot einzeln gezeichnet. So kann man im Boplot insbesondere den kleinsten und den grössten Beobachtungswert sehen. 5. Quantile Wir wollen jetzt anschauen, wie man Quantile für gegebene Daten bestimmt. Der erste Schritt ist, die Daten der Grösse nach zu ordnen: () () =. (n) Rn, () () (n). Der Wert (i) R heisst diei-te Ordnungsstatistik der Stichprobe,i {,,...,n} (i) i Die Funktion i (i) ist offenbar monoton wachsend. Für ein i {,,...,n} können wir daher sagen, dass mindestens i Beobachtungswerte in kleiner oder gleich (i) sind. Der Anteil dieser Beobachtungswerte am gesamten Datensatz ist i n. Wir zeichnen nun diesen Anteil i/n gegen (i) und erhalten so Punkte auf dem Graphen der empirischen Verteilungsfunktion:

4 5 EXKURS: DESKRIPTIVE STATISTIK i/n (i) Diese Funktion F n : R [,], F n (), ist definiert durch F n () := Anzahl der Beobachtungswerte, die sind, R. (4) n Sie ist eine monoton wachsende sog. Treppenfunktion, die in MATLAB mit dem Befehl cdfplot gezeichnet werden kann: Empirical CDF F() Wir haben oben rechts einen kleinen Ausschnitt aus dem Graphen gezeichnet, um die Bezeichnung Treppenfunktion zu illustrieren. Beispiel: (n = ) Wir betrachten die Daten i i (i)

5 5 EXKURS: DESKRIPTIVE STATISTIK 65 In der zweiten Zeile haben wir bereits die Ordnungsstatistik aufgeschrieben. Damit können wir die Sprungstellen der empirischen Verteilungsfunktion sofort ablesen (diese sind die Werte (i) ):, < 3.5, < 3.5, 3.5 < 5.., 3.5 < 5. 3, 5. < 5.4.3, 5. < F () =, 5.4 < 6..4, 5.4 < 6. 5 =., 6. < 6..5, 6. < 6. 8, 6. < 7..8, 6. < 7. 9, 7. < 7.5.9, 7. < 7.5, 7.5, 7.5 Empirical CDF.8.6 F() Für ein beliebiges p (,) ist das p-quantil der Daten definiert als die Zahl { ( ) (np) + p := (np+), np N ( np ), np N, (4) wobei für das Aufrunden auf die nächstgrössere ganze Zahl steht. Beispiel: Für den Datensatz aus dem vorherigen Beispiel (n = ) berechnen wir die Quantile p =.5 :.5 p =.5 : q =.5 p =.5 : q =.5 p =.75 : q 3 =.75 p =.8 :.8 np=.5 N = (.5 ) = () = 3.5, np=.5 N = (.5 ) = (3) = 5., np=5 N = ( (5) + (6) ) = (6.+6.) = 6.5, np=7.5 N = ( 7.5 ) = (8) = 6., np=8 N = ( (8) + (9) ) = (6.+7.) = 6.6. Damit erhalten wir den Interquartilsabstand IQR = q 3 q = =..

6 5 EXKURS: DESKRIPTIVE STATISTIK Lagemasse und Streuungsmasse Die Quantile sind Beispiele für sog. Lagemasse der Verteilung der Daten sie geben Hinweise darauf, wo (auf der reellen Achse) die Beobachtungswerte liegen. Der Interquartilsabstand hingegen ist ein Beispiel für ein sog. Streuungsmass der Verteilung der Daten. Ein Streuungsmass gibt Information darüber, wie stark die Daten um einen bestimmten Wert streuen. Weitere Beispiele von Lage- und Streuungsmassen finden Sie in der folgenden Tabelle: MATLAB-Befehl Stichproben- Berechnung quantile Quantile p, p (,) (4) median Median.5 mean Mittelwert := n i n iqr (Inter-)Quartilsabstand.75.5 var Varianz s := n ( i ) n std Standardabweichung s := s mad mittlere abs. Abweichung n i n 5.4 Grafischer Vergleich von Datensätzen Mehrere Datensätze, y, z,... können sehr leicht mittels Boplots verglichen werden: i= i= i= z y Es ist offensichtlich, dass und y denselben Median aber unterschiedliche Interquartilsabstände haben. Ausserdem hat z offenbar einen viel kleineren Median als und y. Ein Quantile-Quantile-Plot (MATLAB: qqplot) kann Hinweise darauf geben, ob zwei Datensätzen dieselbe Verteilung zugrunde liegt. Dabei werden von

7 5 EXKURS: DESKRIPTIVE STATISTIK 67 beiden Datensätzen Quantile berechnet und diese gegeneinander geplottet. Liegt dieselbe Verteilung zugrunde, so müssen die Punkte auf einer Geraden liegen. Gemäss der folgenden Quantile-Quantile-Plots ist dies vermutlich für und y der Fall, aber nicht für und z oder y und z: Quantile von y Quantile von Quantile von z Quantile von 5 Quantile von z Quantile von y Sog. statistische Tests können genauer entscheiden, ob zwei Datensätzen dieselbe Verteilung zugrunde liegt oder nicht.

Ähnliche Dokumente

Bitte am PC mit Windows anmelden!

Bitte am PC mit Windows anmelden! Einführung in SPSS Plan für heute: Grundlagen/ Vorwissen für SPSS Vergleich der Übungsaufgaben Einführung in SPSS http://weknowmemes.com/generator/uploads/generated/g1374774654830726655.jpg Standardnormalverteilung