Ü B U N G S S K R I P T S T A T I S T I K

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1 Ü B U N G S S K R I P T S T A T I S T I K A. Ploner H. Strelec C. Yassouridis Universität für Bodenkultur Department für Raum, Landschaft und Infrastruktur Institut für Angewandte Statistik & EDV Peter-Jordan-Strasse 82, 1190 Wien

2 Inhaltsverzeichnis 2 Beschreibende Statistik 3 Beispiele Lösungen Wahrscheinlichkeitsrechnung 14 Beispiele Lösungen Normalverteilungsverfahren 22 Beispiele Lösungen Varianzanalyse 42 Beispiele Lösungen Mehrfache Gruppenvergleiche 54 Beispiele Lösungen Regressions und Korrelationsrechnung 58 Beispiele Lösungen Nichtparametrische Verfahren 70 Beispiele Lösungen Kontingenztafeln 89 Beispiele Lösungen Statistische Qualitätskontrolle 94 Beispiele Lösungen

3 Kapitel 2 Beschreibende Statistik Beispiele Beispiel Frauen mit Bluthochdruck werden untersucht, wobei u.a. das Gewicht gemessen wurde. Die folgende Tabelle zeigt jeweils das Verhältnis des beobachteten Körpergewichtes zum sogenannten Normgewicht (in %): a) Zeichnen Sie ein Histogramm und das dazugehörende Summenhäufigkeitspolygon. b) Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert aus den nichtklassierten und aus den klassierten Werten sowie den Median. c) Berechnen Sie Varianz, Standardabweichung und den Variationskoeffizienten. d) Berechnen Sie das 0.05-, 0.10-, und 0.95-Quantil, die Quartile und den Interquartilabstand. e) Berechnen Sie Schiefe und interpretieren Sie ihre Bedeutung für die Verteilung der Daten. f) Zeichnen Sie eine Boxplot-Darstellung der Daten. Beispiel 2.2 Am Brillenschötchen (Biscutella laevigata) werden botanisch-morphologische Untersuchungen durchgeführt. Dabei ist u.a. an 40 Exemplaren die Spaltöffnungslänge (in µm) gemessen worden:

4 4 KAPITEL 2. BESCHREIBENDE STATISTIK a) Zeichnen Sie ein Histogramm und das dazugehörende Summenhäufigkeitspolygon. b) Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert aus den nichtklassierten und aus den klassierten Werten sowie den Median. c) Berechnen Sie Varianz, Standardabweichung und den Variationskoeffizienten. d) Berechnen Sie das 0.05-, 0.10-, und 0.95-Quantil, die Quartile und den Interquartilabstand. e) Berechnen Sie Schiefe und interpretieren Sie ihre Bedeutung für die Verteilung der Daten. f) Zeichnen Sie eine Boxplot-Darstellung der Daten. Beispiel 2.3 Bei einem Sojabohnenversuch im Forschungsglashaus wurde u.a. der Ertrag verschiedener Sorten untersucht. Für die Sorte Labrador konnten in 55 Töpfen folgende Ertragswerte (in f) festgestellt werden: a) Zeichnen Sie ein Histogramm der Daten. b) Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert aus den nichtklassierten und aus den klassierten Werten sowie den Median. c) Berechnen Sie Varianz und Standardabweichung der Stichprobe. d) Berechnen Sie die Quartile des Datensatzes. Unter welchem Wert liegen die niedrigsten 30% der Erträge? Über welchem Wert liegen die größten 30% der Erträge? e) Berechnen Sie Schiefe und interpretieren Sie ihre Bedeutung für die Verteilung der Daten. f) Zeichnen Sie eine Boxplot-Darstellung der Daten. Beispiel 2.4 Im Mai und im Juni 1992 wurden Luftmessungen in Roosevelt Island durchgeführt. Unter anderem ergaben sich für die Temperaturen (in Grad Celsius) folgende Messprotokolle: Mai: Juni:

5 a) Zeichnen Sie ein Histogramm für den Monat Mai. b) Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert und den Median für beide Monate. c) Berechnen Sie Varianz, Standardabweichung und den Variationskoeffizienten für beide Monate. d) Berechnen Sie das 0.05-, 0.10-, und 0.95-Quantil und die Quartile für beide Monate. e) Zeichnen Sie eine Boxplot-Darstellung für beide Monate getrennt, aber mit einer gemeinsamen Skalierung. f) Vergleichen Sie die Temperaturverteilung der beiden Monate verbal auf Grund der von Ihnen berechneten Kennzahlen und der angefertigten Graphiken. Lösungen Lösung 2.1 a) Histogramm: Von Bis Anzahl Man beachte: Jeweils einschließlich rechter Klassengrenze! Summenhäufigkeitspolygon: Klassengrenze akkumulierte relat. Häufigkeit 90 4/62 = /62 = /62 = Kann direkt aus dem Histogramm erstellt werden, die akkumulierten relativen Klassenhäufigkeiten werden über der rechten Klassengrenze aufgetragen.

6 6 KAPITEL 2. BESCHREIBENDE STATISTIK Abbildung 2.1: Histogramm und Summenpolygon für Beispiel 2.1 b,c) Lage- und Streuungsmaße: Für die händische Berechnung von Mittelwerten etc. ist es i.a. günstig, sich zunächst die Summe der Werte und der quadrierten Werte zu verschaffen. Hier sind dies x i = 7195 x 2 i = Mittelwert: x = 1 n n x i = 1 62 ( ) = = 7195/62 = Mittelwert klassiert: x K = 1 kj=1 n c j h j wobei c j Klassenmitte k Klassenanzahl Klassenhäufigkeit h j Für die vorliegenden Daten ergibt sich unter Verwendung der Klassierung des Histogramms: x K = 1 62 ( ) = Median: = 7180/62 = x = 1 2 (x (31) + x (32) ) = 1 2 ( ) = 117 Varianz: s 2 1 = n n 1 (x i x) 2 = 1 n 1 ( n x 2 i n x2 ) = =

7 7 Standardabweichung: s = Variationskoeffizient (sinnvoll wegen x 0): v = s/ x = 16.73/ = d) Quantile/Quartile: Um etwa das 5%-Quantil zu bestimmen, wird zunächst die Anzahl von Beobachtungen plus eins mit dem entsprechenden α = 0.05 multipliziert; dies ergibt hier 3.15, das Quantil liegt also zwischen dem 3. und 4. Wert. Da dies gerade zweimal der Wert 89 ist, ist dies das berechnete (geschätzte) 5%-Quantil. Für das 95%-Quantil hingegen, wo die beiden Endpunkte nicht übereinstimmen, verwenden wir deren arithmetischen Mittelwert. Interquartilabstand: Q 3 Q 1 = 21 α nα [nα] + 1 q α e) Gestaltmaße: hier benötigt man als Hilfsgrößen noch zusätzlich die Summe der zur dritten und vierten Potenz erhobenen Werte, für die vorliegenden Daten x 3 i = Schiefe: ˆγ 1 = 1 (x i x) 3 /s 3 n = 1 n n ( x 3 i 3 x x 2 i + 3 x 2 n x i n x 3 )/s 3 = 1 n n ( x 3 i 3 n ( n x i )( x 2 i ) + 2 n n 2 ( x i ) 3 )/s 3 = Die Schiefe ist positiv, die Verteilung der Daten ist also (leicht) linkssteil und rechtsschief (siehe Histogramm). f) Box-Plot: Die benötigten Kenngrößen wurden bereits berechnet: Median: x = 117

8 8 KAPITEL 2. BESCHREIBENDE STATISTIK Quartile: Q 1 = 103, Q 3 = 124 Interquartilabstand: IQR = 21 Damit kann der Boxplot konstruiert werden: Maximale Whiskerlänge: 1.5 IQR = 31.5 Grenzen: Q IQR = 71.5, Q IQR = Kleinster/größter Wert innerhalb der Grenzen: 81, 153 Ausreisser (Werte ausserhalb der Grenzen): Lösung 2.2 Abbildung 2.2: Boxplot für Beispiel 2.1 a) Histogramm/Summenhäufigkeitspolygon: siehe Abbildung. b,c) Lage- und Streuungsmaße: x i = 1116 x 2 i = x 3 i = Mittelwert nichtklassiert: x = Mittelwert klassiert: x K = Median: x = 28

9 Abbildung 2.3: Histogramm und Summenpolygon für Beispiel 2.2 Varianz: s 2 = Standardabweichung: s = 3.38 Variationskoeffizient: v = 0.12 d) Quantile, Quartile: α nα [(nα), (nα) + 1] q α [2,3] [4,5] [10,11] [30,31] [36,37] [38,39] 33.5 Interquartilabstand: Q 3 Q 1 = 5 e) Gestaltmaße: Schiefe: ˆγ 1 = Die Schiefe ist positiv, also ist die Verteilung der Daten linkssteil/rechtsschief (siehe Histogramm). f) Boxplot: Siehe Abbildung - keine Ausreißer.

10 10 KAPITEL 2. BESCHREIBENDE STATISTIK Abbildung 2.4: Boxplot für Beispiel 2.2 Lösung 2.3 a) Histogramm Abbildung 2.5: Histogramm für Beispiel 2.3 b,c) Lage und Streuungsmaße:

11 11 x i = 5139 x 2 i = x 3 i = Mittelwert nichtklassiert: x = Mittelwert klassiert: x K = ( )/55 = 5095/55 = Median: x = x (28) = 94 Varianz: s 2 = ( /55)/54 = Standardabweichung: s = d) Quantile/Quartile: α nα [nα] + 1 q α % der Erträge liegen unter 86.5 g. 30% der Erträge liegen über g. e) Gestaltmaße: Schiefe: ˆγ 1 = 1 ( n x 3 i 3 n n ( n x i )( x 2 i ) + 2 n ) n 2 ( x i ) 3 /s 3 = / / = 0.13 Dementsprechend ist die Verteilung der Erträge leicht rechtssteil/linksschief. f) Boxplot: Bekannt: Also: x = 94 Q 1 = 85 Q 3 = 103 IQR = 18 untere Grenze: 58 obere Grenze: 130 Da kleinster und größter Ertrag (63/119) innerhalb der Grenzen liegen, werden keine Ausreißer eingetragen.

12 12 KAPITEL 2. BESCHREIBENDE STATISTIK Abbildung 2.6: Boxplot für Beispiel 2.3 Lösung 2.4 a) Histogramm Mai: siehe Abbildung 2.7. Beachten Sie, dass das Histogramm auf Grund der ursprünglichen Werte (inklusive Zehntelstelle) gebildet wird! Sie können zwar die Klasseneinteilung aus der Stamm- und Blattdarstellung übernehmen, beim Abzählen der Klassenhäufigkeiten sind aber nur die vollständigen Werte korrekt. b,c) Lage und Streuungsmaße: xi x 2 i x x s 2 s v Mai: Juni: d) Quantile: Hier können die Quantile nicht direkt aus den Stamm- und Blattdarstellungen abgelesen werden, da in diesen die letzte Stelle nicht aufscheint! Mai: α nα [nα] + 1 q α

13 13 e) Boxplot: Juni: α nα [nα] + 1 bzw.[(nα), (nα) + 1] q α [3,4] [27,28] Mai: untere Grenze = 7 obere Grenze = 28.6 Juni: untere Grenze = obere Grenze = f) Interpretation: Wie aus dem Boxplot ersichtlich, unterscheiden sich die Temperaturverteilungen der beiden Monate v.a. durch ihre Lage, indem die mittlere Temperatur im Juni um mehr als 7 Grad höher ist als im Mai. Die Streuung, gemessen als Standardabweichung, ist für beide Monate bis auf Zehntelgrade gleich. Die zwei niedrigsten Werte im Juni erscheinen zwar in der Stamm- und Blattdarstellung etwas abgesetzt vom Hauptteil der Beobachtungen, sind aber im Boxplot nicht als Ausreißer eingetragen. Beide Verteilungen erscheinen im wesentlichen symmetrisch um ihre Mitte zu liegen; im Boxplot erscheint der Juni symmetrischer (Median in der Mitte der Box, Bänder annähernd gleich lang), während für den Mai Mittelwert und Median besser übereinstimmen, und die Stamm- und Blattdarstellung symmetrischer wirkt. Insgesamt erscheinen die Temperaturen im Mai einer flacheren Verteilung zu folgen als im Juni Mai Juni Abbildung 2.7: Histogramm (Mai) und Boxplots für Beispiel 2.4