Eindimensionale Darstellungen

Transkript

1 Deskriptive Statistik Eindimensionale Darstellungen, Fraktile, Trimean, Box-Plot; Stem-and-Leaf /52 Fraktile, Quantile und Quartile Allgemein werden Zerlegungen der geordneten Beobachtungsreihen durch so genannte Quantile oder Fraktile beschrieben. Ein α-quantil (α-fraktil) Eigenschaften definiert: xα wird durch die beiden folgenden gleichwertigen Mindestens 100. α% der Beobachtungswerte sind kleiner oder gleich x α und mindestens 100. (1-α)% größer oder gleich. x α Höchstens 100. α% der Beobachtungswerte sind kleiner als 100. (1-α)% größer als x α. x α und höchstens Falls ein α-quantil mit keinem Beobachtungswert übereinstimmt, teilt es die auf- steigend geordnete Beobachtungsreihe im Verhältnis α zu 1-α. Wie der Median können Quantile nur von ordinal oder metrisch skalierten Merk- malen berechnet werden /52

2 Quantile und Quartile Die Beobachtungswerte seien der Größe nach geordnet durch: x x x... x () 1 ( 2) () 3 ( n) Dann kann das α-quantil oder das 100-α%-Quantil wie folgt bestimmt werden: 1.Fall: n. α sei nicht ganzzahlig: Es sei k die auf n. α folgende ganze Zahl, d.h., die kleinste ganze Zahl, welche größer als n. α ist. Dann gilt: x α = x ; k kleinste ganze Zahl mit k > n α nicht ganzzahlig ( ) ( ) k 2. Fall: n. α sei ganzzahlig: Dann sind sowohl x k als auch x k+1 und jeder dazwischen liegende Wert a-quantile. Bei metrisch skalierten Werten benutzt man oft das arithmetische Mittel dieser beiden Stichprobenwerte, um das Quantil eindeutig festzulegen, also: ( ) ( ) 1 xα = x + x ; für k = n α ganzzahlig ( k) ( k+ 1) 2 Bei ordinalen Merkmalen ist diese Mittelwertbildung nicht möglich /52 Quantile und Quartile Bestimmung aus der empir. Verteilungsfunktion 1.Fall: xα Die empir. Verteilungsfunktion F n nimmt den Wert α nicht an. Dann ist das α-quantil der kleinste Merkmalswert, an dem die empir. Verteilungsfunktion größer als α ist. 2. Fall: Die empir. Verteilungsfunktion F n ist auf der gesamten Treppenstufe gleich α. Dann sind alle Abszissenwerte dieser Treppenstufe α-quantile. Zur eindeutigen Darstellung wird auch der Abszissenwert der Stufenmitte gewählt. Das 0,5-Quantil ist der Median. Es gilt also. x Das 025Q 0,25-Quantil 0,25 nennt man unteres Quartil und dd das 075Q 0,75-Quantil oberes Quartil. x 0,5 = x x 0,75 x /52

3 Quantile und Quartile Bestimmung a. d. empir. Verteilungsfunktion Beispiel /52 Quantile und Quartile /52

4 Trimean The trimean, also known as Tukey's trimean, or best easy systematic (BES) esti- mate is a statistically resistant measure of a distribution's s central tendency. A seldom used weighted average of the quartiles, it was discussed by statistician John Tukey in his 1977 book Exploratory Data Analysis. The "statistical resistance" be- nefits of the trimean has been desribed as follows: An advantage of the trimean as a measure of the center (of a distribution) is that it combines the median's emphasis on center values with the midhinge's attention to the extremes. Herbert F. Weisberg, Central Tendency and Variability[1] The formula to calculate the trimean is trivial, given the availability of other common statistical summaries: Q Q Q Q + 2Q + Q ( 2 ) TM = + + = = Q + Q + Q /52 Grafische Darstellungen von Box-Plot Der Boxplot (auch Box-Whisker-Plot) ist ein Diagramm, das zur graphischen Darstellung einer Reihe numerischer Daten verwendet wird. Er fasst verschiedene Maße der zentralen Tendenz, Streuung und Schiefe in einem Diagramm zusammen. Alle Werte der Fünf- Punkte-Zusammenfassung, also der Median, die zwei Quartile und die beiden Extremwerte, sind dargestellt. Als Box wird das durch die Quartile bestimmte Rechteck bezeichnet. eichnet Sie umfasst 50 % der Daten. Durch die Länge der Box ist der Interquartilsabstand (interquartile range, IQR) abzulesen. Dies ist ein Maß der Streuung, welches durch die Differenz des oberen und unteren Quartils bestimmt ist. Als weiteres Quantil ist der Median in der Box eingezeichnet, welcher durch seine Lage innerhalb der Box einen Eindruck von der Schiefe der den Daten zugrunde liegenden Verteilung vermittelt /52

5 Grafische Darstellungen von Box-Plot Oberer Ausreißer Oberer Zaun (Q 75 +(1,5. IQR) Oberer Maximalwert unterhalb oberen Zaunes 75%-Quartil Mittelwert Median (50%-Quartil) 25%-Quartil Unterer Maximalwert oberhalb unteren Zaunes Unterer Zaun (Q 25 -(1,5. IQR) Unterer Ausreißer /52 Grafische Darstellungen von Stem-and-leaf-Diagramm Stem-and-Leaf-Plots t (auch als Stamm-Blatt-Diagramme tt oder Stengel- Blatt-Diagramme bezeichnet) eignen sich ebenfalls zur Darstellung stetiger Merkmale. Der große Vorteil dieser Darstellungsform besteht darin, dass die Originaldaten (bis zu einer gewissen Genauigkeit, da eventuell gerundet werden muss) noch aus der Grafik heraus gelesen werden können. Dies ermöglicht eine bessere Vergleichbarkeit von Verteilungen und gestattet zudem die bereits erwähnte Wiederherstellung der Originaldaten aus dem Diagramm heraus, die ausschließlich beim Stem-and-Leaf-Plot möglich ist /52

6 Grafische Darstellungen von Stem-and-leaf-Diagramm Ein Stem-and-Leaf-Plot ist ähnlich aufge- baut wie ein seitlich gekipptes Histogramm. Es besteht aus einem Stamm, der sich aus der ersten Ziffer der in Klassen eingeteilten Werte zusammensetzt, sowie aus Blättern, die aus den auf die zweite Ziffer gerundeten restlichen Zahlenwerten bestehen. Sehr und kleine Werte werden extra als Extremwerte ausgewiesen. Des Weiteren wird noch die Stammbreite (stem width) und die Gültigkeit der einzelnen Blätter mit ausgegeben, da bei sehr vielen Werten ein Blatt auch für mehrere Fälle (cases) Gültigkeit haben kann /52 Grafische Darstellungen von Stem-and-leaf-Diagramm Dieser Stem-and-Leaf-Plot gibt eine Vertei- lung mit folgenden Werten (geordnet) wieder: 11, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 17, 22, 22, 24, 33, 33, 33, 34, 35, 38, 38, 41, 42, 49, 49, 49, 49, 124, 212 Die beiden größten Werte werden als Extremwerte ausgewiesen, die restlichen Zahlen lassen sich aus dem Diagramm ablesen. Der Darstellungsvorteil ist offensichtlich: im 40er-Stamm kann mit bloßem Auge erkannt werden, dass die höchsten Werte dicht an der 50 liegen. Hätten sich statt 41, 42, 49, 49, 49, 49 die Zahlen 41, 41, 41, 42, 42, 43 in der Verteilung befunden, so wäre die deutlich andere Verteilung der Werte innerhalb der Klasse beispielsweise in einem Histogramm oder einem Balkendiagramm nicht zum Ausdruck gekommen /52

7 Grafische Darstellungen von Stem-and-leaf-Diagramm Nur der Stem-and-Leaf-Plot gestattet es dem Analytiker, diesen Unterschied festzustellen. Dies ist einer der Gründe, warum sich der Stem-and-Leaf-Plot insbesondere im angloamerikanischen Raum so großer Beliebtheit erfreut und dort in vielen Lehrbüchern, aber auch öffentlichen Unternehmensbilanzen oder Veröffentlichungen von Regierungsseite zu finden ist. Ein weiterer Grund für die Beliebtheit des Stem-and-Leaf-Plots liegt in der Möglichkeit, zwei Verteilungen auf übersichtliche Art und Weise gegenüberzustellen und sie direkt miteinander zu vergleichen. Einzige Voraussetzungen hierfür sind eine gleiche Stammbreite sowie die identische Gültigkeit der einzelnen Blätter. Sind diese Voraussetzungen erfüllt, lassen sich zwei Verteilungen an einem gemeinsamen Stamm darstellen, wobei die Blätter jeder Verteilung in eine andere Richtung wachsen /52 Bei einer Klausur in Statistik erzielten 19 teilnehmende Studierende folgende (Einzel-)Punktsummen Konstruieren Sie ein geeignetes Stem- & Leaf-Diagramm sowie ein Boxplot. Interpretieren Sie inhaltlich die Verteilung der erfass- ten Daten anhand dieser Grafiken /52

8 Praktische Tips zum Stem-and-Leaf-Diagramm: Ein Steam- & Leaf-Diagramm ist geeignet für stetige Merkmale und stellt eine Mischung Mischung aus Urliste und Histogramm da. Es enthält konkrete Information über erhobene Zahlen und ist gleichzeitig graphische Darstellung der Verteilungsform. Es verdeutlicht die Verteilungsform (eingipflig/mehrgipflig/symmetrisch etc.) und liefert konkrete Zahlen für Modus, Ausreißer etc. Zunächst erfolgt die Wahl des Stammes (Stem) (1er/ 10er/ er 000er etc.) sowie die Schrittweite Schrittweite (0-9 oder 0-4&59usw)je 5-9 usw.) nach beobachteten Häufigkeiten (Blätter nicht zu lang = unübersichtlich machen) sowie inhaltlichen Gesichtspunkten /52 Praktische Tips zum Box-and Whisker-Plot : Ein Boxplot ist eine graphische Darstellung der Verteilungsform stetiger Merkmale. An der Lage des Medians erkennt man, ob die Verteilung symmetrisch, links- oder rechtsschief ist. Da starke Extreme unmittelbar die Antennenlänge festlegen, gibt es Abwandlungen das Box-Plots um Ausreißer zu kennzeichnen, Festlegung von sog. Fences, zur Definition von Extremwerten. Hier ist der obere Fence = unteres Quartil 1,5 x Boxlänge, untere Fence = oberes Quartil + 1,5 x Quartilsabstand. Folgende Werte werden für ein Boxplot benötigt: Median, 1. Quartil, 3. Quartil, Quartilsabstand, ober und untere Fence sowie min. und max. Werte /52

9 Stem-and-Leaf-Diagramm Schritt 1: Sortierung der Werte /52 Stem-and-Leaf-Diagramm Schritt 2: Wahl der Stamm-Dicke Hier wird die Stammdicke 10 gewählt! Stem- & Leaf-Diagramm: daraus wird bereits deutlich das die Werte eingipflig, evtl. normalverteilt, bzw. symmetrisch sind /52

10 Box-and Whisker-Plot Schritt 1: Werte für den Boxplot n = 19 Median = 10. Wert = 76 Q 25 = unteres Quartil = 5. Wert = 72 Q 75 = oberes Quartil = 15. Wert = 84 Quartilsabstand (IQR) = = 12 Oberer Fence = Q3 + 1,5 IQR = ,5 12 = 102 Max. Wert = 96 Min. Wert = 52 Unterer Fence = Q1 1,5 IQR = = 54 Daraus folgt das alle Werte unter 54 und über 102 Extremwerte sind /52 Box-and Whisker-Plot Schritt 2: Zeichnen des Boxplot /52