Statistik I Übungsblatt 4

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Kristina Hauer
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1 Universität Konstanz Lehrstuhl für Statistik SS 2007 Statistik I Übungsblatt 4 Stem-and-Leaf-Diagramm, Boxplot, Konzentrationssmessung Aufgabe 4.1 a) Bei einem Boxplot gilt allgemein: drei Viertel aller Beobachtungen liegen innerhalb und ein Viertel außerhalb der Box, die Box des Boxplots beginnt immer bei ~ x und geht bis zum Wert ~ x die Differenz zwischen den beiden äußeren Zäunen entspricht gerade der Spannweite. b) Welche Aussagen sind richtig? Eine Varianz von 0 impliziert eine Konzentration von 0. Eine kleinere Varianz impliziert eine geringere Konzentration. Der Wertebereich des Gini-Maßes liegt zwischen 0 und 1. c) Gegeben seien die beiden folgenden Datensätze: Datensatz 1: 3.2, 4.0, 3.8, 5.0, 4.9, 3.6, 4.1 Datensatz 2: 2.0, 8.5, 5.0, 5.8, 11.2, 55.6, Datensatz 3: 100.0, 100.0, 100.0, Welche Aussagen sind richtig? Der zweite Datensatz weist eine höhere Konzentration als der erste auf. Der Gini-Koeffizient des 3. Datensatzes liefert den Wert 0.5. Die Lorenzkurve fällt im 3. Datensatz mit der Winkelhalbierenden zusammen.

2 Aufgabe 4.2 Zahnarzt Dr. A. Cula hat 32 Zähne. Seine sichtbare Zahnlänge in mm gibt er wie folgt an: Geordnete Stichprobe x (i) : (i) ,6 7,6 7,6 7,7 7,7 7,7 7,8 7,8 7,8 7,8 7,8 7,8 7,8 7,9 7,9 7,9 8,1 8,1 8,1 8,2 10 (i) ,1 10,1 10,2 10,2 31,7 32,1 34,6 35,5 Erstellen Sie ein Stem-and-Leaf-Diagramm. Benutzen Sie die Regel von Dixon-Kronmal zur Klassenbildung (Vgl. Formelsammlung S.301). Aufgabe 4.3 Das Anmeldesystem für die Übungsgruppen in Statistik I im SS 2005 erfasste den Anmeldezeitpunkt jedes einzelnen Anmeldevorgangs. Folgende Schaubilder zeigen die zeitliche Verteilung der ersten 350, 200 bzw. 300 Anmeldungen (Schaubilder 1-3). Die Zeitpunkte wurden in der Einheit 'Tage' gemessen. Der Wert 0.1 entspricht also einer zeitlichen Länge von 2 Stunden und 24 Minuten. Die erste Anmeldung wurde als Zeitpunkt Null definiert. Das System wurde offiziell am Mittwoch, den um 18:30 Uhr auf der Homepage des Lehrstuhls verlinkt. Schaubild 1: Histogramm der ersten 350 Anmeldungen Haeufigkeitsdichte Tage

3 Schaubild 2: Stem-and-Leaf-Diagramm der ersten 200 Anmeldungen N = 200 Median = , Quartiles = , Decimal point is 2 places to the left of the colon Low: : : : : : : : : 11 : : : : 12 : 7 12 : 8 13 : 1 13 : 233 High: High: High: High: Schaubild 3: Stem-and-Leaf-Diagramm der ersten 300 Anmeldungen N = 300 Median = , Quartiles = , Decimal point is 1 place to the left of the colon 0 : z00 1 : x 2 : : 6 4 : 5 : 6 : : : : : : : : 0 14 : 15 : 16 : 17 : : : : : 22 : 9 High: High: High:

4 a) Klären Sie anhand der vorliegenden Schaubilder die folgenden Fragen. (i) Innerhalb welchem Zeitraum erfolgten die ersten 350 Anmeldungen? (ii) Wie schnell etwa erfolgten die ersten 100 Anmeldungen? (iii) Was bedeutet vermutlich das "x" im zweiten Blatt des Diagramms von Schaubild 3? (iv) Wie deuten Sie die Ausreißer in Schaubild 2 ("Low" und "High") inhaltlich? (v) Wie lässt sich die Verteilung in Schaubild 1 (zwei Gipfel) deuten? (vi) Wie lässt sich die Verteilung in Schaubild 3 (drei Gipfel) deuten? b) Welche Vor-/Nachteile hat das Stem-and-Leaf-Diagramm gegenüber dem Histogramm? c) Die Stem-and-Leaf-Diagramme wurden mit dem statistischen Programmpaket S-Plus erstellt. In der Befehlsdokumentation steht u. a. zu lesen: "...the multiple of the inter-quartile range used to determine outliers. By default, any point further than 2 inter-quartile ranges from the nearest quartile is considered an outlier, and is printed separately from the body of the stem-and-leaf display. If the inter-quartile range is zero, the algorithm performs outlier detection by means of quartiles of the remainder of the data after exclusion of values equal to the median and quartiles." (i) Vollziehen Sie diese Regel anhand der vorliegenden Schaubilder nach. (ii) Betrachten Sie nun folgende Daten: 2.0, 8.5, 5.0, 5.8, 11.2, 55.6, Wie viele Ausreißer können Sie gemäß der obigen Regel identifizieren? Aufgabe 4.4 Folgende Tabelle zeigt für die 15 alten und die im Jahr 2004 beigetretenen EU-Mitgliedsstaaten das Bruttoinlandsprodukt pro Kopf (in Euro) für das Jahr Land Pro-Kopf-BIP Land Pro-Kopf-BIP Deutschland Belgien Dänemark Finnland Frankreich Griechenland Irland Italien Luxemburg Niederlande Österreich Portugal Schweden Spanien Vereinigtes Königreich Estland Lettland Litauen Malta Polen Slowakei Slowenien Tschechische Republik Ungarn Zypern Quelle: Statistisches Bundesamt unter Zeichnen Sie für die Verteilung des Pro-Kopf-BIP einen Boxplot für die alten und einen Boxplot für die neuen Länder gemeinsam in ein Schaubild. Verwenden Sie im Unterschied zur Formelsammlung (S.308) anstelle der Hinges (H u, H o ) Quartile ( ~ x ~ 0,25, x0, 75 ) und anstelle des H-Spread den Interquartilsabstand ( ~ x ~ 0,75 x0, 25 ).

5 Aufgabe 4.5 Folgende Tabelle zeigt die Verteilung der Höhe des Haushaltsnettoeinkommens in DM von Familien mit Kindern unter 18 Jahren im 1. Halbjahr 1998 für Deutschland (wie Aufgabe 2.4). Monatliches Haushaltsnettoeinkommen in DM [0, 1800) [1800, 2500) [2500, 3000) [3000, 4000) [4000, 5000) [5000, 7000) [7000, 10000) [10000, 35000] Haushalte insgesamt in Prozent Summe 100 Quelle: Erster Armuts- und Reichtumsbericht der Bundesregierung, S. 87. Ermitteln Sie den Ginikoeffizienten und zeichnen Sie die Lorenzkurve.

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