Skript Statistik. Gerhard Kuhn, rechnenmachtspass.de Version 3

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1 Skript Statistik Gerhard Kuhn, rechnenmachtspass.de Version 3 1 Deskriptive Statistik 1.1 Grundbegriffe [SR13] Die wichtigsten Skalen 1) nominale Skala: Beispiel: Automarken 2) odinale Skala (Rangskala): Beispiel: Dienstrang beim Militär 3) Kardinalskala (metrische Skala): Beispiel: Länge von Strecken in Metern Unterscheidung: diskretes Merkmal, stetiges Merkmal diskret abzählbar Beispiel: Arbeiter in Unternehmen stetig (kontinuierlich) Zwischenmerkmale möglich Beispiel: Länge in Metern 1.2 Eindimensionale Daten Lageparameter Skalenniveau nominal ordinal (Rang) kardinal (metrisch) Lageparameter Modalwert Median Modalwert arithmetisches Mittel Median Modalwert Streumaße Standardabweichung, Varianz Konzentrationsmaße: Lorentzkurve und Gini-Koeffizient 1) Gini-Koeffizient G Gini-Koeffizient = (Fläche zwischen L und Diagonale)/(Fläche zwischen Diagonale und Koordinatenachse) zwischen 0 und 1, Problem: Maximalwert = (n-1)/n

2 2) normierter Gini-Koeffizient G* = n n Zusammenhangmaße von Daten Kontingenztabelle Sonderfall: Vierfeldertafel Korrelationen bei gleichem Skalenniveau kardinal ordinal nominal kardinal ordinal nominal Bravais-Pearson Spearman Kontingenzkoeffizient Korrelationen bei unterschiedlichem Rangskala Einfach Zusammenhangmaß für den niedrigeren Rang verwenden 1.4 Verhältniszahlen, Indizes, Zeitreihen [BBK12] Preisindizes Laspeyres vs. Paasche Rechnen mit Indizes Umbasierung, Verkettung, Verknüpfung Test: Rundprobe! 1.5 Zeitreihenzerlegung Additives Zeitreihenmodell: y t = T t + Z t + S t +U t Glatte Komponente: G t = T t + Z t 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik mit zurücklegen ohne zurücklegen mit Reihenfolge Zahlenschloss,, 10 4 Siegertreppchen 3!

3 ohne Reihenfolge Kommt so gut wie nie vor! 6 aus 49, Lotto, ( 49 6 ) Wahrscheinlichkeiten 1) Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und 1 2) Wahrscheinlichkeit = Günstige durch alle Bedingte Wahrscheinlichkeiten Beispiel: In einer Schulklasse sind 20 Kinder. 8 Jungen tragen keine Brille. 6 Mädchen tragen eine Brille. In der Klasse sind 8 Mädchen. 1) Stelle den Sachverhalt durch eine Kontingenztabelle (Vierfeldertafel) dar: Brille keine Brille Mädchen Junge ) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler eine Brille trägt, wenn man weiß, dass es sich um einen Jungen handelt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler keine Brille trägt, wenn man weiß, dass es sich um einen Jungen handelt. P J (B)=P (B J) (J)= 4 P 12 P J (kb)=p (kb J ) (J)= 8 P 12 3) Zeichne ein Baumdiagramm (2 sind möglich)

4 2.2 Verteilungsfunktionen [BBK12] Bernoulliexperiment und Binominalverteilung Bernoulli-Experiment: nur zwei Ausgänge möglich: ja/nein, 1/0, Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 6mal Zahl zu werfen? ( 10 6 ) Binominalverteilung: diskret, ziehen mit Zurücklegen = Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich, Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 7 und höchstens 9 mal Zahl zu werfen? Vorsicht: Wahrscheinlichkeit von 7 bis 9 bedeutet Wert von 12 und Wert von 6 (nicht 7) nachschlagen! F(10;0.6;9) F(10;0.6;6) = = Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit höchstens 5 mal Zahl zu werfen? F(10;0.6;5) = Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 5 mal Zahl zu werfen? Hypergeometrische Verteilung 1 F(10;0.6;4) = Hypergeometrische Verteilung: diskret, ziehen ohne Zurücklegen = Wahrscheinlichkeiten ändern sich Poisson-Verteilung Gute Approximation für Bernoulli-Verteilung und Hypergeometrische Verteilung unter der Voraussetzung dass p klein und n groß ist! λ = np für n>50 Poisson-Verteilung: diskret, seltene Ereignisse Gleichverteilung Gleichverteilung: stetig Normalverteilung Normalverteilung: stetig

5 Tabelliert ist nur die Standardnormalverteilung Φ( x μ σ ) Beispiel: Die Durchschnittslänge von Gurken auf einem Bauernhof beträgt 30 cm. Die Standardabweichung beträgt 3 cm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Länge einer zufällig ausgewählten Gurke innerhalb der einfachen Standardabweichung? [SR13],[BBK12] Φ( ) Φ( ) 3 = Φ(1) Φ( 1) = Φ(1) (1 Φ(1)) = 2Φ(1) 1 = = Literaturverzeichnis SR13:, Forschungsmethoden und Statistik, 2013 BBK12: Günter Bamberger, Franz Baur, Michael Krapp, Statistik, 2012