Begriffe zur Statistik-Vorlesung

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1 Begriffe zur Statistik-Vorlesung 1. Vorlesung Grundgesamtheit gesamte zu beobachtende Menge, über die man eine Aussage machen möchte; z.b. alle Studenten der FH BRS Stichprobe Teil der GGH; nutze ich, um eine Aussage über die GGH zu machen; z.b. 10% der Studenten der FH BRS Statistische Masse sämtliche Elemente (statistische Einheiten) der Stichprobe Statistische Einheit ein Element der Stichprobe, z.b. 1 Student der FH BRS Merkmal / Variable untersuchte Eigenschaft der Stichprobe; z.b. Haarfarbe, Geschlecht Merkmalsausprägung / möglicher (Variablen-)Wert die Ausprägung, in der ein Merkmal auftritt; z.b. blond, braun, schwarz bei dem Merkmal Haarfarbe Beobachtungswert / realisierter (Variablen-)Wert tatsächlich aufgetretene/gemessene Merkmalsausprägungen Urliste direktes Ergebnis einer Datenerhebung, also die ursprüngliche Aufzeichnung der Beobachtungs- und Messwerte Häufigkeit Absolute Häufigkeit ni; zeigt, wie häufig eine Merkmalsausprägung auftritt Relative Häufigkeit fi; zeigt, wie häufig eine Merkmalsausprägung in Relation zum Stichprobenumfang auftritt Summenhäufigkeit Hi; absolute Summenhäufigkeit; Addition der einzelnen absoluten Häufigkeiten Relative Summenhäufigkeit / Verteilungsfunktion Fi; Addition der einzelnen relativen Häufigkeiten; daran ist ablesbar/zeigt, bei wie viel % der Verteilung welche Merkmalsausprägung erreicht ist

2 Skala / Skalenniveau Nominalskala die Merkmale stehen gleichberechtigt nebeneinander; sie können in keine Ordnung/Reihenfolge gebracht werden; Abstände sind nicht messbar; z.b. Haarfarbe, Geschlecht Ordinalskala die Merkmale sind rangskaliert (natürliche Rangordnung zw. Merkmalsausprägungen); es lässt sich eine Rangordnung bilden; es können aber KEINE Abstände gemessen werden; z.b. Dienstgrad, Güteklasse Metrische Skala es lassen sich eine Rangordnung bilden UND Abstände messen; d.h. die Abstände zw. den Rängen können genau bestimmt werden; z.b. Temperatur, Körpergröße, Gewicht Diskretes Merkmal vereinfacht: es gibt endlich viele/begrenzt viele Merkmalsausprägungen; z.b. beim Merkmal Geschlecht gibt es nur weiblich und männlich Stetiges Merkmal vereinfacht: es gibt unendlich / beliebig viele Merkmalsausprägungen; z.b. bei dem Merkmal Körpergröße von Studenten könnte jede x-beliebige Größe auftreten 2. Vorlesung Klassenbildung Klassierung Einteilung von Merkmalsausprägungen in Intervalle; sinnvoll, wenn es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen gibt; Klassenmitte das arithmetische Mittel aus x-max und x-min der jeweiligen Klassen Klassendichte Nur wichtig bei Klassen unterschiedlicher Breite; gibt Auskunft über den Modus bei unterschiedlicher Klassenbreite Lagemaße dienen der durchschnittlichen Beschreibung der Mittelwerte, also Arithm. Mittel, Median, Modus; beschreiben die Lage nach unterschiedlichen Kriterien; (z.b. Durchschnittswert, Mitte der Datenwerte, häufigster Wert) arithmetisches Mittel durchschnittlicher Wert der Verteilung

3 Median Q2; der Wert, der die Stichprobe in zwei Hälften teilt; (50% aller Werte sind kleiner oder gleich dem Median. Der Rest liegt darüber.); Modus der am häufigsten auftretende Wert bzw. Merkmalsausprägung einer Verteilung Quantile speziell Quartile Quantile: Überbegriff für Quartile, Dezile, usw.; Quartile: teilen die Gesamtheit der Verteilung in vier gleich große Teilgesamtheiten; machen Aussagen über die ersten 25, 50, 75 und 100% der Verteilung möglich Schiefe (der Verteilung) stellt die Mittelwerte grafisch dar (Idealisierung: Form einer eingipfeligen Verteilung) linksschief rechtssteil Mean Median Modus Symmetrisch Normalverteilung; Mean = Median = Modus rechtsschief linkssteil Modus Median Mean 3. Vorlesung Verteilungsformen Schiefe einer Verteilung (linkssteil (rechtsschief); symmetrisch; rechtssteil (linksschief)) Schiefe und relative Position von Modus, Median, arithmetisches Mittel Streuung (skalenabhängig) Maßzahl für die Breite einer Zufallsverteilung; ist die Zusammenfassung der verschiedenen Maßzahlen (Streumaße), die der Einschätzung der Streubreite von Stichprobenwerten um ihren Mittelwert (Mittelwert in allgemeinen Sinne, arithm. Mittel, Modus, Median) dienen; die Streuung der Stichprobenverteilung wird als Standardfehler bezeichnet; anhand der Streumaße kann ich bestimmen, wie sehr die einzelnen Elemente /Merkmalsausprägungen von den Mittelwerten abweichen, d.h. ob sie eng oder weit streuen; (arithm. Mittel-Varianz, Median-IQR, Modus-Spannweite) Spannweite Differenz/Abstand zw. dem größten und dem kleinsten Wert; geringe Aussagekraft (Inter-)Quartilsabstand Q3-Q1; macht eine Aussage über die mittleren 50% der Verteilung; in welcher Spannweite weichen die Werte vom Median ab?

4 Standardabweichung / Varianz Varianz: Quadrierte durchschnittliche Abweichung vom arithmetischen Mittel; Hilfsmittel zur Berechnung der Standardabweichung Standardabweichung: durchschnittliche Abweichung vom arithmetischen Mittel 4. Vorlesung (Kreis-, Säulen-, Linien-, Punktdiagramm) Histogramm (als spezielles Diagramm für stetige Daten erlaubt es, unterschiedliche Klassenbreiten durch häufigkeits-proportionale Flächen darzustellen Klassendichte als Ordinate (senkrechte Achse) Boxplot stellt auf andere Weise grafisch eine Verteilung dar; beinhaltet Quartile 1, 2 und 3, Spannweite, Quartilsabstand, (Ausreißer); die Lage des Median hängt von der Form der Verteilung ab, liegt also keineswegs immer in der Mitte des Kastens; Diagrammarten siehe: (Boxplots können charakteristische Unterschiede verdeutlichen) Link: Diagramm Merkmale 6. Vorlesung Dichte- und Verteilungsfunktion der Normalverteilung Dichtefunktion = Wsk-funktion. Eine Dichtefunktion beschreibt, mit welcher Wsk eine Zufallsvariable eine bestimmte Merkmalsausprägung annimmt. Verteilungsfunktion: beschreibt den Zusammenhang zwischen einer Zufallsvariablen und deren Wsk, d.h. sie gibt an, mit welcher Wsk eine Zufallsvariable höchstens einen bestimmten Wert annimmt. z-transformation alle normalverteilten x-werte aus einer Stichprobe können zu standardnormalverteilten z-werten standardisiert werden, um Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu können; die Wahrscheinlichkeiten können als Flächen unter der Kurve abgelesen werden; (die Approximation(Annäherung) der Normalverteilung durch Standardnormalverteilung geschieht durch die z-transformation); Grundgesamtheit Auswahlgesamtheit Stichprobe Einfache Zufallstichprobe GGH z.b. sämtliche Einwohner aus Deutschland Auswahlgesamtheit als ein Teil daraus, z.b. alle Männer (im Prinzip meine neue GGH) Stichprobe als Teil der Auswahlgesamtheit Einfache Zufallsstichprobe gewährleistet, dass ich von der Stichprobe auf die GGH/Auswahlgesamtheit schließen kann

5 7. Vorlesung Stichproben Konzentration in der Mitte Wenn der Stichprobenumfang groß genug ist, geht die Verteilung gegen eine Normalverteilung, ganz gleich, welche Verteilung zugrunde liegt. Zentraler Grenzwertsatz Der Zentrale Grenzwertsatz liefert in seiner Konsequenz, dass die arithmetischen Mittel der Stichproben vom Umfang n > 30 aus einer beliebig verteilten Grundgesamtheit einer Normalverteilung folgen. (d.h., dass die Stichprobenverteilung als normalverteilt angesehen werden kann). Der Erwartungswert der Stichprobenverteilung ist gleich dem arithmetischen Mittel der Grundgesamtheit und deren Varianz gleich der Varianz der Grundgesamtheit dividiert durch den Stichprobenumfang. Die so definierte Verteilung wird als Stichprobenverteilung bezeichnet und darf nicht mit der Verteilung der Daten in einer(!) Stichprobe verwechselt werden. Vielmehr ist jede Stichprobe ein Wert aus der Stichprobenverteilung. (die Stichprobe als Element der normalverteilten Stichprobenverteilung). Stichprobenverteilung kann als normalverteilt angesehen werden (Erwartungswert und Varianz der Stichprobenverteilung für den Mittelwert) Konfidenzintervall für den Mittelwert bei n > 30 und bekannter Varianz Konfidenzintervall allgemein: Mithilfe des Konfidenzintervalls lasssen sich Aussagen treffen über ausgewählte Kenngrößen (arith. Mittel, Anteilswert) der GGH, ohne dass die GGH beobachtet werden muss; das Konfidenzintervall beschreibt einen Bereich, in dem ein Parameter der GGH mit einer vorgegebenen Sicherheits-Wahrscheinllichkeit (95%,99%), basierend auf einer Stichprobe, erwartet werden kann; Konfidenzintervalle haben beschreibenden Charakter: Wo können wir den Wert aus der GGH erwarten? Bei bekannter Varianz oder n 30 wird mit der Tabelle der z-werte gearbeitet Bei unbekannter Varianz und n 30 wird mit der Tabelle der t-verteilung gearbeitet 8. Vorlesung Konfidenzintervalle für den Anteilswert t-verteilung ist Sigma unbekannt, muss es durch den Schätzwert s (Standardabweichung der Stichprobe) ersetzt werden. Das dazugehörige Konfidenzintervall basiert auf einer t- Verteilung mit v=n-1 Freiheitsgraden.

6 Die t-verteilung verläuft stets flacher als die Standardnormalverteilung. Für eine kleine Anzahl an Freiheitsgraden verläuft die t-verteilung besonders flach. Der Unterschied der Kurven verringert sich mit wachsender Zahl von Freiheitsgraden, so dass es ab n 30 zulässig ist, anstelle der t-verteilung die Standardnormalverteilung zu verwenden Freiheitsgrade= Anzahl unabhängiger Einzelinfos (n) Anzahl der in die Berechung des jeweiligen Parameters eingehende zusätzliche Parameter (hier: mean) Konfidenzintervalle für den Mittelwert bei n < 30 Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz Konfidenzintervalle Fallunterscheidung Notwendiger Stichprobenumfang Formelsammlung Erwartungstreue und Konsistenz (Vorlesung 8) 9. Vorlesung Kennwerte = Parameter: Lage- und Streumaße Bis hierhin nur Arbeit mit einer Variablen. Bei Korrelation geht es dann immer um zwei Variablen. Nullhypothese: H0 Alternativhypothese: H1 H0, H1: komplementäre (einander ausschließende) Hypothesen Hypothesentest allgemein: Anhand einer Stichprobe soll überprüft werden, ob eine Aussage bzw. Hypothese über die GGH zutrifft oder nicht; die zu überprüfende Hypothese ist die Nullhypothese, die gegenteilige Hypothese ist die Alternativhypothese; Signifikanzniveau = Irrtumswahrscheinlichkeit Unsicherheitsbereich bei der Überprüfung der Hypothese, da das Ergebnis des Hypothesentests nie 100%ig ist; kritischer Wert empirischer Wert kritischer Wert: gibt die Grenze an, bis zu der die Nullhypothese angenommen/bestätigt werden kann empirischer Wert: ist der beobachtete Wert aus meiner Stichprobe, der mit dem kritischen Wert verglichen werden muss Seitigkeit (linksseitig, rechtseitig, zweiseitig) Linksseitig: die Hypothese beinhaltet eine einseitige Fragestellung, und zwar mit Abgrenzung nach unten; H 0 : µ µ 0, H 1 : µ <µ 0 ; z.b. Reißlast eines Seils: Wenn die

7 Reißlast des Seils höher als behauptet ist, macht es nichts aus (ist im Gegenteil gut), aber die Reißlast darf keinesfalls geringer als behauptet sein Rechtsseitig: die Hypothese beinhaltet eine einseitige Fragestellung, und zwar nach oben; H 0 : µ µ 0, H 1 : µ > µ 0 ; z.b. Geschwindigkeit eines Krankenwagens zum Unfallort: Wenn der Krankenwagen schneller ist als behauptet, macht es nichts aus (ist im Gegenteil gut), aber der Krankenwagen darf nicht langsamer sein als behauptet Zweiseitig: die Hypothese beinhaltet eine zweiseitige Fragegestellung, ist also sowohl nach unten als auch nach oben abgegrenzt; H 0 : µ = µ 0, H 1 : µ µ 0 ; z.b. Schraubenlänge: die Schraube darf eine behauptete Länge weder über- noch unterschreiten, weil beide Abweichungen schlecht sind Annahmebereich Ablehnungsbereich rechtsseitig: ist der empirische Wert kleiner als der kritische Wert, kann die Nullhypothese angenommen werden; ist der empirische Wert größer als der kritische Wert, muss die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden linksseitig: ist der empirische Wert größer als der kritische Wert, kann die Nullhypothese angenommen werden; ist der empirische Wert kleiner als der kritische Wert, muss die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden. Faustregeln für die Anwendung der Normalverteilung n 30 Normalverteilung Binomialverteilung kann durch Normalverteilung angenähert werden, wenn n*p(1-p) 9 (bei Konfidenzintervall für Anteilswert) 10. Vorlesung Entscheidungsfehler (Fehler 1. Art ( -Fehler); Fehler 2. Art ( -Fehler) α-fehler: man lehnt H 0 ab, obwohl sie richtig ist, α = Wsk für die Ablehnung einer eigentlich richtigen Nullhypothese β -Fehler: man nimmt H 0 an, obwohl sie falsch ist Zusammenhang Korrelation (kausal; funktional; statistisch; Richtung; Stärke) Richtung: die Merkmale sind gleich- oder gegenläufig, d.h. beide Merkmale entwickeln sich gleichermaßen auf- oder absteigend oder in entgegengesetzter Richtung Stärke: zeigt, wie stark der Zusammenhang zwischen den beiden betrachteten Merkmalen ist; Ziel der Korrelationsrechnung: Berechnung der Abhängigkeit zweier Merkmale x und y (beidseitig). Bei der Korrelation wird nicht berücksichtigt, ob es einen Ursache-

8 Wirkungs-Zusammenhang gibt. Die Korrelationskoeffizienten (Spearman, Bravais- Pearson) geben Stärke und Richtung des Zusammenhangs an. Kovarianz S xy ; neues Streumaß; stellt zwischen x und y eine Beziehung her, ist also ein Zusammenhangmaß; positive Werte bedeuten einen positiven (gleichläufig) Zusammenhang, negative Werte bedeuten einen negativen (gegenläufig) Zusammenhang; Korrelationskoeffizient (metrisch) Nach Bravais-Pearson, r : misst die Stärke und Richtung des Zusammenhangs zweier metrisch skalierter Merkmale. r = -1: starker negativer Zusammenhang r = 0: kein Zusammenhang r = 1: starker positiver Zusammenhang Test des Korrelationskoeffizienten Erst der Test zeigt, ob der Zusammenhang zwischen den Merkmalen signifikant ist. Es muss also immer die Signifikanz getestet werden. H 0 : r = 0 (kein Zusammenhang) H 1 : r 0 (es besteht ein Zusammenhang) Die H 0 muss wie immer abgelehnt werden, wenn der beobachtete Wert (anhand der Testgröße in der Formelsammlung errechnet) größer ist als der kritische Wert. 11. Vorlesung Bivariate Statistik Zwei Merkmale werden gemeinsam betrachtet und werden in einen Zusammenhang gebracht. Dabei können die Merkmale unterschiedliche Skalenniveaus haben. Anhand der Skalen entscheidet sich der zu verwendende Koeffizient: Bei mind. 1 nominal skalierten Merkmal: nur Kontingenzkoeffizient Bei mind. 1 ordinal skalierten Merkmal: Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman (und Kontingenz.) Bei zwei metrisch skalierten Merkmalen: Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson (sowie die beiden anderen) lineare (Einfach-)Regression Rückschritt zur Mitte regressiv = von der Wirkung auf die Ursache zurückgehend Regression allgemein: Hier geht es um den Ursache-Wirkungs-Zusammenhang zweier Merkmale. Die Regression misst die Stärke des Zusammenhangs, aber nur einseitig. Die Merkmale sind NICHT gleichberechtigt (im Gegensatz zur Korrelation). X = Ursache, daher unabhängiges Merkmal Y = Wirkung, daher abhängiges Merkmal Die Lage der Punktwolke soll durch die Bildung der Regressionsgeraden bestmöglich beschrieben werden.

9 Lineare Regression: mithilfe einer linearen Funktion soll die Beziehung zwischen zwei Variablen x und y beschrieben werden. Ist aber nur für metrisch skalierte Merkmale möglich. Methode der kleinsten Quadrate Die Summe der Quadrate der Abstände aller Punkte von der Geraden, d.h. die Summe der quadrierten Differenzen zwischen dem beobachteten Wert und dem vorhergesagten Wert auch Residuum genannt soll minimal werden. Bestimmung der Parameter der Geraden Steigung und y-achsenabschnitt, siehe Formelsammlung, a und b (Residuen) Bestimmtheitsmaß misst die Qualität, mit der die Gerade die Punkte beschreibt. Liegt zwischen 0 und 1. Je näher B an 1, desto besser beschreibt die Regressionsgerade die Punktwolke. Wenn B = 1, dann liegen alle Werte genau auf der Geraden. (d.h. die Gerade beschreibt zu 100% die Punktwolke). 12. Vorlesung (Rangkorrelation Ränge) Rangkorrelationskoeffizient Rangkorrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson; hier muss mind. ein Merkmal ordinal skaliert sein. ρ = -1: starker Zusammenhang in negativer Richtung ρ = 0: kein Zusammenhang ρ = 1: starker Zusammenhang in positiver Richtung Test des Rangkorrelationskoeffizienten H 0 : ρ= 0 (kein Zusammenhang) H 1 : ρ 0 (Es besteht ein Zusammenhang)

10 Die H 0 muss wie immer abgelehnt werden, wenn der beobachtete Wert (anhand der Testgröße in der Formelsammlung errechnet) größer ist als der kritische Wert Kontingenzkoeffizient K; mind. ein nominal skaliertes Merkmal erforderlich; Werte liegen zwischen 0 und 1; man kann nur die Stärke des Zusammenhangs angeben (NICHT die Richtung!) Test des Kontingenzkoeffizienten H 0 : K = 0 (kein Zusammenhang) H 1 : K > 0 (es bsteht ein Zusammenhang) Χ 2 -Unabhängigkeitstest, Testgröße siehe Formelsammlung Genaues siehe nächster Punkt! 2 Verteilung Χ 2 v -Unabhängigkeitstest: Χ α mit α = Irrtumswahrscheinlichkeit und v = Freiheitsgrade (k-1)*(m-1); beobachteter Wert: wird mit entsprechender Formel aus Formelsammlung errechnet Hypothese H 0 : Es besteht kein Zusammenhang zwischen den Merkmalen (die Merkmale sind unabhängig). Dann wäre K = 0 Alternativhypothese H 1 : Es besteht ein Zusammenhang zwischen den Merkmalen (die Merkmale sind abhängig). Dann wäre K > 0 Ablehnungsregel: H 0 ablehnen, wenn Χ 2 > v Χ α

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