Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale
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- Edmund Boer
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1 Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale Deskriptive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh
2 Agenda 1 Einleitung 2 Absolute bzw. relative Häufigkeiten 3 Graphische Darstellung 4 Zusammenhang zweier Merkmale 5 Überprüfung auf Unabhängigkeit Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 2
3 Einleitung Häufig werden bei einer statistischen Untersuchung mehrere Merkmale auf einer statistischen Masse erhoben, d.h. es werden die Merkmalsausprägungen zu mehreren Merkmalen einer statistischen Einheit festgehalten. Beispiele sind etwa (1) bei der Untersuchung des Bremsverhaltens eines PKW die Geschwindigkeit bei Beginn des Bremsvorgangs, die Länge des Bremsweges, die Reifenarten, die Profiltiefe der Reifen etc., (2) bei der Umsatzstatistik eines Automobilkonzerns neben regionalen Aspekten auch Modelltyp, Ausstattungsvariante, Farbe, Eigenschaften des Käufers etc. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 3
4 Einleitung Häufig werden bei einer statistischen Untersuchung mehrere Merkmale auf einer statistischen Masse erhoben, d.h. es werden die Merkmalsausprägungen zu mehreren Merkmalen einer statistischen Einheit festgehalten. Beispiele sind etwa (1) bei der Untersuchung des Bremsverhaltens eines PKW die Geschwindigkeit bei Beginn des Bremsvorgangs, die Länge des Bremsweges, die Reifenarten, die Profiltiefe der Reifen etc., (2) bei der Umsatzstatistik eines Automobilkonzerns neben regionalen Aspekten auch Modelltyp, Ausstattungsvariante, Farbe, Eigenschaften des Käufers etc. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 3
5 Einleitung Häufig werden bei einer statistischen Untersuchung mehrere Merkmale auf einer statistischen Masse erhoben, d.h. es werden die Merkmalsausprägungen zu mehreren Merkmalen einer statistischen Einheit festgehalten. Beispiele sind etwa (1) bei der Untersuchung des Bremsverhaltens eines PKW die Geschwindigkeit bei Beginn des Bremsvorgangs, die Länge des Bremsweges, die Reifenarten, die Profiltiefe der Reifen etc., (2) bei der Umsatzstatistik eines Automobilkonzerns neben regionalen Aspekten auch Modelltyp, Ausstattungsvariante, Farbe, Eigenschaften des Käufers etc. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 3
6 Einleitung Das Ergebnis der Untersuchung einer statistischen Masse S auf mehrere (etwa k 2) Merkmale besteht also zunächst in einer Tabelle, bei der für jede statistische Einheit die Merkmalswerte der einzelnen Merkmale aufgelistet sind. Merkmale k s 1 x 11 x 12 x x 1k s 2 x 21 x 22 x x 2k stat.... Einheiten s n x n1 x n2 x n3... x nk Dabei ist z.b. x 23 Merkmalswert der statistischen Einheit s 2 bei Merkmal 3. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 4
7 Einleitung Das Ergebnis der Untersuchung einer statistischen Masse S auf mehrere (etwa k 2) Merkmale besteht also zunächst in einer Tabelle, bei der für jede statistische Einheit die Merkmalswerte der einzelnen Merkmale aufgelistet sind. Merkmale k s 1 x 11 x 12 x x 1k s 2 x 21 x 22 x x 2k stat.... Einheiten s n x n1 x n2 x n3... x nk Dabei ist z.b. x 23 Merkmalswert der statistischen Einheit s 2 bei Merkmal 3. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 4
8 Einleitung Sei also S eine statistische Masse, so liegt nun nicht mehr ein einzelnes Merkmal vor: sondern k 2 Merkmale b : S M, b 1 : S M,..., b k : S M. Die Merkmalswerte b 1 (s),..., b k (s) einer statistischen Einheit s kann man zusammenfassen zu einem k-tupel (Merkmals-k-Tupel) (b 1 (s),..., b k (s)). Man spricht daher auch von einem k-dimensionalen Merkmal. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 5
9 Einleitung Sei also S eine statistische Masse, so liegt nun nicht mehr ein einzelnes Merkmal vor: sondern k 2 Merkmale b : S M, b 1 : S M,..., b k : S M. Die Merkmalswerte b 1 (s),..., b k (s) einer statistischen Einheit s kann man zusammenfassen zu einem k-tupel (Merkmals-k-Tupel) (b 1 (s),..., b k (s)). Man spricht daher auch von einem k-dimensionalen Merkmal. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 5
10 Einleitung Sei also S eine statistische Masse, so liegt nun nicht mehr ein einzelnes Merkmal vor: sondern k 2 Merkmale b : S M, b 1 : S M,..., b k : S M. Die Merkmalswerte b 1 (s),..., b k (s) einer statistischen Einheit s kann man zusammenfassen zu einem k-tupel (Merkmals-k-Tupel) (b 1 (s),..., b k (s)). Man spricht daher auch von einem k-dimensionalen Merkmal. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 5
11 Einleitung Zweidimensionale Merkmale Bei zwei Merkmalen erhält man für jede statistische Einheit ein Paar von Beobachtungswerten. Die Urliste besteht daher aus n Paaren von Beobachtungswerten (Beobachtungspaaren), wobei n die Anzahl der statistischen Einheiten ist: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ),..., (x n, y n ). Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 6
12 Einleitung Beispiel 8.1 In der Situation von Beispiel 4.2 ist neben der Punktzahl im Leistungskurs Mathematik noch die Punktzahl im Grundkurs Deutsch beobachtet worden. Man erhält folgende Tabelle: Schüler s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 Punktzahl in: Mathematik Deutsch s 11 s 12 s 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s 18 s 19 s 20 Mathematik Deutsch Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 7
13 Einleitung Beispiel 8.1 In der Situation von Beispiel 4.2 ist neben der Punktzahl im Leistungskurs Mathematik noch die Punktzahl im Grundkurs Deutsch beobachtet worden. Man erhält folgende Tabelle: Schüler s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 Punktzahl in: Mathematik Deutsch s 11 s 12 s 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s 18 s 19 s 20 Mathematik Deutsch Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 7
14 Die Urliste lautet damit: (8, 5), (14, 9), (9, 9), (13, 8), (8, 12), (12, 8), (9, 10), (11, 10), (12, 9), (9, 10), (12, 7), (14, 13), (10, 9), (12, 11), (9, 6), (7, 14), (11, 12), (12, 8), (13, 6), (9, 5) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 8
15 Einleitung Lexikographische Ordnung Ordnungsprinzip für mehrdimensionale Merkmale. Zunächst werden die Wertepaare (bei zweidimensionalen Merkmalen) nach dem ersten Beobachtungswert ordnet. Stimmen bei zwei Merkmalspaaren die ersten Komponenten überein, so richtet sich die Reihenfolge nach dem zweiten Merkmal. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 9
16 In Beispiel 8.1 ergibt sich somit folgende geordnete Urliste: (7,14), (8,5), (8,12), (9,5), (9,6), (9,9), (9,10), (9,10), (10,9) (11,10), (11,12), (12,7), (12,8), (12,8), (12,9), (12,11), (13,6) (13,8), (14,9), (14,13) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 10
17 Agenda 1 Einleitung 2 Absolute bzw. relative Häufigkeiten 3 Graphische Darstellung 4 Zusammenhang zweier Merkmale 5 Überprüfung auf Unabhängigkeit Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 11
18 Absolute bzw. relative Häufigkeiten Absolute Häufigkeit der Merkmalskombination (a i,b j ) h(a i, b j ) Anzahl des Auftretens der Merkmalskombination (a i, b j ) in der Urliste, wobei a i die Merkmalsausprägung i des ersten Merkmals, b j die Merkmalsausprägung j des zweiten Merkmals ist. Die Summe aller absoluten Häufigkeiten ergibt damit die Anzahl der Beobachtungen: r s n = h(a i, b j ) i=1 j=1 Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 12
19 Absolute bzw. relative Häufigkeiten Absolute Häufigkeit der Merkmalskombination (a i,b j ) h(a i, b j ) Anzahl des Auftretens der Merkmalskombination (a i, b j ) in der Urliste, wobei a i die Merkmalsausprägung i des ersten Merkmals, b j die Merkmalsausprägung j des zweiten Merkmals ist. Die Summe aller absoluten Häufigkeiten ergibt damit die Anzahl der Beobachtungen: r s n = h(a i, b j ) i=1 j=1 Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 12
20 Absolute bzw. relative Häufigkeiten Relative Häufigkeit der Merkmalskombination (a i,b j ) p(a i, b j ) = 1 n h(a i, b j ) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 13
21 Absolute bzw. relative Häufigkeiten Die Gesamtheit aller Merkmalskombinationen zusammen mit ihren absoluten Häufigkeiten heißt zweidimensionale Häufigkeitsverteilung. Die tabellarische Darstellung einer zweidimensionalen Häufigkeitsverteilung von nominalskalierten Merkmalen heißt Kontingenztabelle. Sind beide Merkmale mindestens ordinalskaliert (Rangmerkmal oder quantitatives Merkmal), so nennt man sie die Korrelationstabelle. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 14
22 Absolute bzw. relative Häufigkeiten Die Gesamtheit aller Merkmalskombinationen zusammen mit ihren absoluten Häufigkeiten heißt zweidimensionale Häufigkeitsverteilung. Die tabellarische Darstellung einer zweidimensionalen Häufigkeitsverteilung von nominalskalierten Merkmalen heißt Kontingenztabelle. Sind beide Merkmale mindestens ordinalskaliert (Rangmerkmal oder quantitatives Merkmal), so nennt man sie die Korrelationstabelle. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 14
23 b 1 b 2 b 3 b s a 1 h(a 1, b 1 ) h(a 1, b 2 ) h(a 1, b 3 ) h(a 1, b s ) a 2 h(a 2, b 1 ) h(a 2, b 2 ) h(a 2, b 3 ) h(a 2, b s ) a r h(a r, b 1 ) h(a r, b 2 ) h(a r, b 3 ) h(a r, b s ) Abbildung Zweidimenionale Häufigkeitstabelle Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 15
24 Absolute bzw. relative Häufigkeiten Beispiel 8.2 Zu Beispiel 8.1 ergibt sich folgende Korrelationstabelle: Punkte in Mathematik Punkte in Deutsch Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 16
25 Absolute bzw. relative Häufigkeiten Beispiel 8.3 Eine Untersuchung bei 50 Familien hat folgendes Ergebnis über die Anzahl der im Haushalt lebenden Kinder und der Religionszugehörigkeit der Mutter erbracht: Kinderzahl Religions- rk zu- ev gehörigkeit sonst Die Tabelle der relativen Häufigkeiten ist dann: Kinderzahl Religions- rk zu- ev gehörigkeit sonst Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 17
26 Absolute bzw. relative Häufigkeiten Beispiel 8.3 Eine Untersuchung bei 50 Familien hat folgendes Ergebnis über die Anzahl der im Haushalt lebenden Kinder und der Religionszugehörigkeit der Mutter erbracht: Kinderzahl Religions- rk zu- ev gehörigkeit sonst Die Tabelle der relativen Häufigkeiten ist dann: Kinderzahl Religions- rk zu- ev gehörigkeit sonst Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 17
27 Absolute bzw. relative Häufigkeiten Klassierte Merkmale (1) Sind beide Merkmale klassiert mit den Klassen I 1,..., I k für das erste Merkmal und J 1,..., J m für das zweite Merkmal, so ist h(i j, J t) = #{(x i, y i) x i I j, y i J t} p(i j, J t) = 1 h(ij, Jt), j = 1,..., k, t = 1,..., m. n (2) Ist das erste Merkmal klassiert in den Klassen I 1,..., I k, das zweite nicht, so ist h(i j, b t) = #{(x i, y i) x i I j, y i = b t} p(i j, b t) = 1 h(ij, bt), j = 1,..., k, t = 1,..., s. n Umgekehrt analog. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 18
28 Absolute bzw. relative Häufigkeiten Klassierte Merkmale (1) Sind beide Merkmale klassiert mit den Klassen I 1,..., I k für das erste Merkmal und J 1,..., J m für das zweite Merkmal, so ist h(i j, J t) = #{(x i, y i) x i I j, y i J t} p(i j, J t) = 1 h(ij, Jt), j = 1,..., k, t = 1,..., m. n (2) Ist das erste Merkmal klassiert in den Klassen I 1,..., I k, das zweite nicht, so ist h(i j, b t) = #{(x i, y i) x i I j, y i = b t} p(i j, b t) = 1 h(ij, bt), j = 1,..., k, t = 1,..., s. n Umgekehrt analog. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 18
29 Absolute bzw. relative Häufigkeiten Klassierte Merkmale (1) Sind beide Merkmale klassiert mit den Klassen I 1,..., I k für das erste Merkmal und J 1,..., J m für das zweite Merkmal, so ist h(i j, J t) = #{(x i, y i) x i I j, y i J t} p(i j, J t) = 1 h(ij, Jt), j = 1,..., k, t = 1,..., m. n (2) Ist das erste Merkmal klassiert in den Klassen I 1,..., I k, das zweite nicht, so ist h(i j, b t) = #{(x i, y i) x i I j, y i = b t} p(i j, b t) = 1 h(ij, bt), j = 1,..., k, t = 1,..., s. n Umgekehrt analog. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 18
30 Agenda 1 Einleitung 2 Absolute bzw. relative Häufigkeiten 3 Graphische Darstellung 4 Zusammenhang zweier Merkmale 5 Überprüfung auf Unabhängigkeit Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 19
31 Graphische Darstellung Bei der graphischen Darstellung zwei- und mehrdimensionaler Merkmale ergeben sich dieselben Prinzipien wie im eindimensionalen Fall, wobei im Unterschied zum eindimensionalen Fall die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten jetzt Kombinationen von Merkmalsausprägungen zugeordnet sind. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 20
32 Graphische Darstellung w. m. ledig verh. gesch. verw. Abbildung Stabdiagramm eines zweidimensionalen Merkmals Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 21
33 Graphische Darstellung Anstelle der dritten Dimension besteht noch die Möglichkeit der Differenzierung mit Farben, unterschiedlich starken Grautönen oder verschiedenartigen Schraffierungen. w. m. ledig verh. gesch. verw. Abbildung Graphische Darstellung mit unterschiedlicher Schattierung Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 22
34 Graphische Darstellung Anstelle der dritten Dimension besteht noch die Möglichkeit der Differenzierung mit Farben, unterschiedlich starken Grautönen oder verschiedenartigen Schraffierungen. w. m. ledig verh. gesch. verw. Abbildung Graphische Darstellung mit unterschiedlicher Schattierung Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 22
35 Graphische Darstellung Histogramm Bei der graphischen Darstellung von klassierten Daten eines zweidimensionalen Merkmals erhält man anstelle des zweidimensionalen Histogramms eine dreidimensionale Figur, wobei bei Abbildungen wieder eine perspektivische Darstellung verwendet wird. Beachte: Es handelt sich hierbei um eine volumenproportionale Darstellung. Bei unterschiedlichen Klassenbreiten bei beiden Merkmalen ist die unterschiedliche Grundfläche jeder Säule zu berücksichtigen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 23
36 Graphische Darstellung Histogramm Bei der graphischen Darstellung von klassierten Daten eines zweidimensionalen Merkmals erhält man anstelle des zweidimensionalen Histogramms eine dreidimensionale Figur, wobei bei Abbildungen wieder eine perspektivische Darstellung verwendet wird. Beachte: Es handelt sich hierbei um eine volumenproportionale Darstellung. Bei unterschiedlichen Klassenbreiten bei beiden Merkmalen ist die unterschiedliche Grundfläche jeder Säule zu berücksichtigen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 23
37 Graphische Darstellung Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 24
38 Graphische Darstellung Streuungsdiagramm Trägt man die Beobachtungspaare bei quantitativen Merkmalen in einem Koordinatensystem ein, so erhält man ein sogenanntes Streuungsdiagramm. Durch das Streuungsdiagramm kann man einen Anhaltspunkt dafür erhalten, ob (und welcher Art) möglicherweise ein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 25
39 Graphische Darstellung Abbildung: Streudiagramm zu Beispiel 8.1 Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 26
40 Agenda 1 Einleitung 2 Absolute bzw. relative Häufigkeiten 3 Graphische Darstellung 4 Zusammenhang zweier Merkmale 5 Überprüfung auf Unabhängigkeit Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 27
41 Zusammenhang zweier Merkmale Randverteilung Die Häufigkeit einer Merkmalsausprägung a i bzw. b j unter Vernachlässigung des jeweils anderen Merkmals erhält man durch Summation der Häufigkeiten der entsprechenden Zeile bzw. Spalte. Da diese Häufigkeiten üblicherweise in einer Randspalte bzw. Randzeile eingetragen werden, spricht man von der Randverteilung. Die Summe der Randspalte und der Randzeile muss bei den absoluten Häufigkeiten jeweils die Gesamtzahl n der Beobachtungen ergeben. Bei den relativen Häufigkeiten ist diese Summe jeweils 1. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 28
42 Zusammenhang zweier Merkmale Randverteilung Die Häufigkeit einer Merkmalsausprägung a i bzw. b j unter Vernachlässigung des jeweils anderen Merkmals erhält man durch Summation der Häufigkeiten der entsprechenden Zeile bzw. Spalte. Da diese Häufigkeiten üblicherweise in einer Randspalte bzw. Randzeile eingetragen werden, spricht man von der Randverteilung. Die Summe der Randspalte und der Randzeile muss bei den absoluten Häufigkeiten jeweils die Gesamtzahl n der Beobachtungen ergeben. Bei den relativen Häufigkeiten ist diese Summe jeweils 1. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 28
43 Zusammenhang zweier Merkmale b 1 b 2 b 3 b s a 1 h(a 1, b 1 ) h(a 1, b 2 ) h(a 1, b 3 ) h(a 1, b s ) h(a 1 ) a 2 h(a 2, b 1 ) h(a 2, b 2 ) h(a 2, b 3 ) h(a 2, b s ) h(a 2 ) a r h(a r, b 1 ) h(a r, b 2 ) h(a r, b 3 ) h(a r, b s ) h(a r ) h(b 1 ) h(b 2 ) h(b 3 ) h(b s ) n Abb Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung mit Randverteilung Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 29
44 Zusammenhang zweier Merkmale Randverteilung zu Beispiel 8.2 in absoluten Häufigkeiten: Punkte in Mathematik Punkte in Deutsch Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 30
45 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.5 Randverteilung zu Beispiel 8.3 in relativen Häufigkeiten: Kinderzahl Religions- rk zu- ev gehörigkeit sonst Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 31
46 Zusammenhang zweier Merkmale Gegenseitige Beeinflussung zweier Merkmale Um nun den Einfluss (falls vorhanden) des einen Merkmals auf das andere feststellen zu können, fixiert man zunächst eine bestimmte Ausprägung dieses Merkmals (a sei diese Merkmalsausprägung) und betrachtet nur die statistischen Einheiten, die diese Merkmalsausprägung tragen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 32
47 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.6 Betrachtet man die Merkmale Geschlecht und Körpergröße bei 20 Schüler(inne)n einer Abiturklasse erhält man die folgende Häufigkeitsverteilung: Körpergröße (über bis einschließlich) Geschlecht weiblich männlich Man erkennt deutlich die Unterschiede des Merkmals Körpergröße bei den Schülerinnen gegenüber den Schülern. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 33
48 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.6 Relative Häufigkeiten der Körpergrößen der Schülerinnen: Relative Häufigkeiten der Schüler: Dieser Vergleich der Häufigkeitsverteilungen zeigt klare Unterschiede. Also hat das Merkmal Geschlecht Einfluss auf das Merkmal Körpergröße. Nur wenn sie identisch wären, könnte man einen Einfluss ausschließen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 34
49 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.6 Relative Häufigkeiten der Körpergrößen der Schülerinnen: Relative Häufigkeiten der Schüler: Dieser Vergleich der Häufigkeitsverteilungen zeigt klare Unterschiede. Also hat das Merkmal Geschlecht Einfluss auf das Merkmal Körpergröße. Nur wenn sie identisch wären, könnte man einen Einfluss ausschließen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 34
50 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.6 Relative Häufigkeiten der Körpergrößen der Schülerinnen: Relative Häufigkeiten der Schüler: Dieser Vergleich der Häufigkeitsverteilungen zeigt klare Unterschiede. Also hat das Merkmal Geschlecht Einfluss auf das Merkmal Körpergröße. Nur wenn sie identisch wären, könnte man einen Einfluss ausschließen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 34
51 Zusammenhang zweier Merkmale Bedingte Häufigkeit Sei S a = {s S b 1 (s) = a} die Menge der statistischen Einheiten, die bei Merkmal 1 die Merkmalsausprägung a tragen. S a nennen wir reduzierte statistische Masse unter der Bedingung a. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 35
52 Zu Bsp. 8.1: Alle Schüler, die in Mathematik=Merkmal die Merkmalsausprägung a=8 Punkte haben: S a = S 8 = {s 1, s 5 } Die Anzahl der statistischen Einheiten in S a (die absolute Häufigkeit) ist h(a) und ergibt sich aus der Randverteilung. (h(a)=h(8 Punkte in Mathematik)=2) Absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung b von Merkmal 2 in der reduzierten statistischen Masse S a unter der Bedingung a ist h(a, b). (b = 5 Punkte in Deutsch, somit h(a, b)=h(8, 5)=1) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 36
53 Zu Bsp. 8.1: Alle Schüler, die in Mathematik=Merkmal die Merkmalsausprägung a=8 Punkte haben: S a = S 8 = {s 1, s 5 } Die Anzahl der statistischen Einheiten in S a (die absolute Häufigkeit) ist h(a) und ergibt sich aus der Randverteilung. (h(a)=h(8 Punkte in Mathematik)=2) Absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung b von Merkmal 2 in der reduzierten statistischen Masse S a unter der Bedingung a ist h(a, b). (b = 5 Punkte in Deutsch, somit h(a, b)=h(8, 5)=1) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 36
54 Zu Bsp. 8.1: Alle Schüler, die in Mathematik=Merkmal die Merkmalsausprägung a=8 Punkte haben: S a = S 8 = {s 1, s 5 } Die Anzahl der statistischen Einheiten in S a (die absolute Häufigkeit) ist h(a) und ergibt sich aus der Randverteilung. (h(a)=h(8 Punkte in Mathematik)=2) Absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung b von Merkmal 2 in der reduzierten statistischen Masse S a unter der Bedingung a ist h(a, b). (b = 5 Punkte in Deutsch, somit h(a, b)=h(8, 5)=1) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 36
55 Zu Bsp. 8.1: Alle Schüler, die in Mathematik=Merkmal die Merkmalsausprägung a=8 Punkte haben: S a = S 8 = {s 1, s 5 } Die Anzahl der statistischen Einheiten in S a (die absolute Häufigkeit) ist h(a) und ergibt sich aus der Randverteilung. (h(a)=h(8 Punkte in Mathematik)=2) Absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung b von Merkmal 2 in der reduzierten statistischen Masse S a unter der Bedingung a ist h(a, b). (b = 5 Punkte in Deutsch, somit h(a, b)=h(8, 5)=1) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 36
56 Zu Bsp. 8.1: Alle Schüler, die in Mathematik=Merkmal die Merkmalsausprägung a=8 Punkte haben: S a = S 8 = {s 1, s 5 } Die Anzahl der statistischen Einheiten in S a (die absolute Häufigkeit) ist h(a) und ergibt sich aus der Randverteilung. (h(a)=h(8 Punkte in Mathematik)=2) Absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung b von Merkmal 2 in der reduzierten statistischen Masse S a unter der Bedingung a ist h(a, b). (b = 5 Punkte in Deutsch, somit h(a, b)=h(8, 5)=1) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 36
57 Damit erhält man die relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung b in der unter der Bedingung a reduzierten statistischen Masse S a p(b a) := h(a, b) h(a) = p(a, b) p(a) für h(a), p(a) 0 Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 37
58 Zusammenhang zweier Merkmale Bedingte relative Häufigkeit p(b a) wird wie folgt gelesen: p von b unter der Bedingung a, und bedingte relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung b unter der Bedingung a genannt. Die Rollen der Merkmale 1 und 2 bzw. von a und b lassen sich natürlich vertauschen, so dass p(a b) := h(a, b) h(b) = p(a, b) p(b) für h(b), p(b) 0 die bedingte relative Häufigkeit von a unter der Bedingung b heißt. Allgemein spricht man von den bedingten Häufigkeitsverteilungen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 38
59 Zusammenhang zweier Merkmale Bedingte relative Häufigkeit p(b a) wird wie folgt gelesen: p von b unter der Bedingung a, und bedingte relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung b unter der Bedingung a genannt. Die Rollen der Merkmale 1 und 2 bzw. von a und b lassen sich natürlich vertauschen, so dass p(a b) := h(a, b) h(b) = p(a, b) p(b) für h(b), p(b) 0 die bedingte relative Häufigkeit von a unter der Bedingung b heißt. Allgemein spricht man von den bedingten Häufigkeitsverteilungen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 38
60 Zusammenhang zweier Merkmale Bedingte relative Häufigkeit p(b a) wird wie folgt gelesen: p von b unter der Bedingung a, und bedingte relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung b unter der Bedingung a genannt. Die Rollen der Merkmale 1 und 2 bzw. von a und b lassen sich natürlich vertauschen, so dass p(a b) := h(a, b) h(b) = p(a, b) p(b) für h(b), p(b) 0 die bedingte relative Häufigkeit von a unter der Bedingung b heißt. Allgemein spricht man von den bedingten Häufigkeitsverteilungen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 38
61 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.7 Zu der Untersuchung in Beispiel 8.3 möchte man angeben, welcher Anteil der Mütter mit rk., ev. oder sonstiger Religionszugehörigkeit 0,1,2,3 oder 4 Kinder haben. Dazu muss die bedingte Häufigkeitsverteilung der Kinderzahl unter der Bedingung der Religionszugehörigkeit bestimmt werden. (a=anzahl der Kinder) p(a rk) = p(a ev) = p(a sonst.) = p(a, rk) h(a, rk) = p(rk) h(rk) p(a, ev) h(a, ev) = p(ev) h(ev) p(a, sonst.) h(a, sonst.) = p(sonst.) h(sonst.). Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 39
62 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.7 Zu der Untersuchung in Beispiel 8.3 möchte man angeben, welcher Anteil der Mütter mit rk., ev. oder sonstiger Religionszugehörigkeit 0,1,2,3 oder 4 Kinder haben. Dazu muss die bedingte Häufigkeitsverteilung der Kinderzahl unter der Bedingung der Religionszugehörigkeit bestimmt werden. (a=anzahl der Kinder) p(a rk) = p(a ev) = p(a sonst.) = p(a, rk) h(a, rk) = p(rk) h(rk) p(a, ev) h(a, ev) = p(ev) h(ev) p(a, sonst.) h(a, sonst.) = p(sonst.) h(sonst.). Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 39
63 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.7 Zu der Untersuchung in Beispiel 8.3 möchte man angeben, welcher Anteil der Mütter mit rk., ev. oder sonstiger Religionszugehörigkeit 0,1,2,3 oder 4 Kinder haben. Dazu muss die bedingte Häufigkeitsverteilung der Kinderzahl unter der Bedingung der Religionszugehörigkeit bestimmt werden. (a=anzahl der Kinder) p(a rk) = p(a ev) = p(a sonst.) = p(a, rk) h(a, rk) = p(rk) h(rk) p(a, ev) h(a, ev) = p(ev) h(ev) p(a, sonst.) h(a, sonst.) = p(sonst.) h(sonst.). Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 39
64 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.7 Zu der Untersuchung in Beispiel 8.3 möchte man angeben, welcher Anteil der Mütter mit rk., ev. oder sonstiger Religionszugehörigkeit 0,1,2,3 oder 4 Kinder haben. Dazu muss die bedingte Häufigkeitsverteilung der Kinderzahl unter der Bedingung der Religionszugehörigkeit bestimmt werden. (a=anzahl der Kinder) p(a rk) = p(a ev) = p(a sonst.) = p(a, rk) h(a, rk) = p(rk) h(rk) p(a, ev) h(a, ev) = p(ev) h(ev) p(a, sonst.) h(a, sonst.) = p(sonst.) h(sonst.). Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 39
65 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.7 Bedingte Häufigkeitsverteilung: rk Religions- ev zugehörigkeit sonst Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 40
66 Zusammenhang zweier Merkmale Bedingte Lage- und Streuungsparameter Zu den bedingten Häufigkeitsverteilungen kann man die Lage- und Streuungsparameter wie bei gewöhnlichen Häufigkeitsverteilungen bestimmen. Beispiel 8.8 Bedingte Lage- und Streuungsparameter aus Beispiel 8.7: Arithmetische Mittel der Kinderzahl für Mütter mit Religionszugehörigkeit rk x = 4 a p(a rk) a=0 = = Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 41
67 Zusammenhang zweier Merkmale Bedingte Lage- und Streuungsparameter Zu den bedingten Häufigkeitsverteilungen kann man die Lage- und Streuungsparameter wie bei gewöhnlichen Häufigkeitsverteilungen bestimmen. Beispiel 8.8 Bedingte Lage- und Streuungsparameter aus Beispiel 8.7: Arithmetische Mittel der Kinderzahl für Mütter mit Religionszugehörigkeit rk x = 4 a p(a rk) a=0 = = Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 41
68 Zusammenhang zweier Merkmale Bedingte Lage- und Streuungsparameter Zu den bedingten Häufigkeitsverteilungen kann man die Lage- und Streuungsparameter wie bei gewöhnlichen Häufigkeitsverteilungen bestimmen. Beispiel 8.8 Bedingte Lage- und Streuungsparameter aus Beispiel 8.7: Arithmetische Mittel der Kinderzahl für Mütter mit Religionszugehörigkeit rk x = 4 a p(a rk) a=0 = = Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 41
69 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.8 Für Mütter mit Religionszugehörigkeit ev x = = 1.856, Und für Mütter mit sonstiger Religionszugehörigkeit x = = Bedingter Median für alle Religionszugehörigkeiten x z = 2, da bei allen Religionszugehörigkeiten bei 2 Kindern die bedingte empirische Verteilungsfunktion erstmals den Wert 0.5 überschreitet. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 42
70 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.8 Für Mütter mit Religionszugehörigkeit ev x = = 1.856, Und für Mütter mit sonstiger Religionszugehörigkeit x = = Bedingter Median für alle Religionszugehörigkeiten x z = 2, da bei allen Religionszugehörigkeiten bei 2 Kindern die bedingte empirische Verteilungsfunktion erstmals den Wert 0.5 überschreitet. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 42
71 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.8 Für Mütter mit Religionszugehörigkeit ev x = = 1.856, Und für Mütter mit sonstiger Religionszugehörigkeit x = = Bedingter Median für alle Religionszugehörigkeiten x z = 2, da bei allen Religionszugehörigkeiten bei 2 Kindern die bedingte empirische Verteilungsfunktion erstmals den Wert 0.5 überschreitet. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 42
72 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.8 Bedingte Varianz der Kinderzahl bei Müttern mit Religion rk s 2 = 4 p(a rk)(a x) 2 a=0 = 0.059( 1.944) ( 0.944) (1.056) (2.056) 2 = Bei Müttern mit Religion ev s 2 = 0.095( 1.856) ( 0.856) (0.144) (1.144) 2 = Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 43
73 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.8 Bedingte Varianz der Kinderzahl bei Müttern mit Religion rk s 2 = 4 p(a rk)(a x) 2 a=0 = 0.059( 1.944) ( 0.944) (1.056) (2.056) 2 = Bei Müttern mit Religion ev s 2 = 0.095( 1.856) ( 0.856) (0.144) (1.144) 2 = Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 43
74 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.8 Bei Müttern mit sonst. Religion s 2 = 0.1 6( 1.75) ( 0.75) (0.25) (1.25) 2 = Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 44
75 Zusammenhang zweier Merkmale Gegenseitige Beeinflussung zweier Merkmale Ein Einfluss von Merkmal 1 auf Merkmal 2 (und entsprechend umgekehrt) muss sich im Datenmaterial dadurch widerspiegeln, dass die bedingte Häufigkeitsverteilung von Merkmal 2 unter der Bedingung a von der Merkmalsausprägung a beeinflusst ist. Sie verändert sich dann bei Variation von a, d.h. für verschiedene Merkmalsausprägungen a und a sind die bedingten Häufigkeitsverteilungen von Merkmal 2 unterschiedlich. Es liegt also kein Einfluss von Merkmal 1 auf Merkmal 2 vor, wenn für alle a, a M 1 mit p(a), p(a ) 0 gilt: p(b a) = p(b a ) für alle b M 2 Analog für den Einfluss von Merkmal 2 auf Merkmal 1. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 45
76 Zusammenhang zweier Merkmale Gegenseitige Beeinflussung zweier Merkmale Ein Einfluss von Merkmal 1 auf Merkmal 2 (und entsprechend umgekehrt) muss sich im Datenmaterial dadurch widerspiegeln, dass die bedingte Häufigkeitsverteilung von Merkmal 2 unter der Bedingung a von der Merkmalsausprägung a beeinflusst ist. Sie verändert sich dann bei Variation von a, d.h. für verschiedene Merkmalsausprägungen a und a sind die bedingten Häufigkeitsverteilungen von Merkmal 2 unterschiedlich. Es liegt also kein Einfluss von Merkmal 1 auf Merkmal 2 vor, wenn für alle a, a M 1 mit p(a), p(a ) 0 gilt: p(b a) = p(b a ) für alle b M 2 Analog für den Einfluss von Merkmal 2 auf Merkmal 1. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 45
77 Zusammenhang zweier Merkmale Gegenseitige Beeinflussung zweier Merkmale Ein Einfluss von Merkmal 1 auf Merkmal 2 (und entsprechend umgekehrt) muss sich im Datenmaterial dadurch widerspiegeln, dass die bedingte Häufigkeitsverteilung von Merkmal 2 unter der Bedingung a von der Merkmalsausprägung a beeinflusst ist. Sie verändert sich dann bei Variation von a, d.h. für verschiedene Merkmalsausprägungen a und a sind die bedingten Häufigkeitsverteilungen von Merkmal 2 unterschiedlich. Es liegt also kein Einfluss von Merkmal 1 auf Merkmal 2 vor, wenn für alle a, a M 1 mit p(a), p(a ) 0 gilt: p(b a) = p(b a ) für alle b M 2 Analog für den Einfluss von Merkmal 2 auf Merkmal 1. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 45
78 Unabhängigkeit Wegen p(a, b) = p(b a) p(a): Gilt p(b a) = p(b a ) für alle a, a und b, so folgt: p(b) = a p(a, b) = a p(b a) p(a) = p(b a) a p(a) = p(b a) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 46
79 Unabhängigkeit Wegen p(a, b) = p(b a) p(a): Gilt p(b a) = p(b a ) für alle a, a und b, so folgt: p(b) = a p(a, b) = a p(b a) p(a) = p(b a) a p(a) = p(b a) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 46
80 Unabhängigkeit Wegen p(a, b) = p(b a) p(a): Gilt p(b a) = p(b a ) für alle a, a und b, so folgt: p(b) = a p(a, b) = a p(b a) p(a) = p(b a) a p(a) = p(b a) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 46
81 Zusammenhang zweier Merkmale und damit Umgekehrt folgt aus p(a, b) = p(a) p(b). p(a, b) = p(a) p(b), für alle a und b p(b a) = p(a, b) p(a) p(b) = = p(b), für alle a und b p(a) p(a) und damit die Übereinstimmung der bedingten Häufigkeiten p(b a) für alle Bedingungen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 47
82 Zusammenhang zweier Merkmale und damit Umgekehrt folgt aus p(a, b) = p(a) p(b). p(a, b) = p(a) p(b), für alle a und b p(b a) = p(a, b) p(a) p(b) = = p(b), für alle a und b p(a) p(a) und damit die Übereinstimmung der bedingten Häufigkeiten p(b a) für alle Bedingungen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 47
83 Zusammenhang zweier Merkmale Unabhängigkeit Zwei Merkmale heißen unabhängig auf einer statistischen Masse, wenn für alle Merkmalsausprägungen a von Merkmal 1 und alle Merkmalsausprägungen b von Merkmal 2 gilt: p(a, b) = p(a) p(b) Die Merkmale heißen abhängig, wenn für mindestens ein a und mindestens ein b gilt: p(a, b) p(a) p(b) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 48
84 Zusammenhang zweier Merkmale Unabhängigkeit Zwei Merkmale heißen unabhängig auf einer statistischen Masse, wenn für alle Merkmalsausprägungen a von Merkmal 1 und alle Merkmalsausprägungen b von Merkmal 2 gilt: p(a, b) = p(a) p(b) Die Merkmale heißen abhängig, wenn für mindestens ein a und mindestens ein b gilt: p(a, b) p(a) p(b) Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 48
85 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.9 In Beispiel 8.3 sind die Merkmale Religionszugehörigkeit der Mütter und Anzahl der im Haushalt lebenden Kinder offensichtlich nicht unabhängig. Aus der Randverteilungen wird deutlich, dass z.b. für Mütter mit Religion rk, die keine Kinder haben, gilt: p(rk, 0) = 0.02 p(rk) p(0) = Bemerkung: Die Abhängigkeit der beiden Merkmale kann bereits daran erkannt werden, dass die bedingten Häufigkeitsverteilungen (vgl. Beispiel 8.7) für die verschiedenen Religionszugehörigkeiten nicht übereinstimmen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 49
86 Zusammenhang zweier Merkmale Beispiel 8.9 In Beispiel 8.3 sind die Merkmale Religionszugehörigkeit der Mütter und Anzahl der im Haushalt lebenden Kinder offensichtlich nicht unabhängig. Aus der Randverteilungen wird deutlich, dass z.b. für Mütter mit Religion rk, die keine Kinder haben, gilt: p(rk, 0) = 0.02 p(rk) p(0) = Bemerkung: Die Abhängigkeit der beiden Merkmale kann bereits daran erkannt werden, dass die bedingten Häufigkeitsverteilungen (vgl. Beispiel 8.7) für die verschiedenen Religionszugehörigkeiten nicht übereinstimmen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 49
87 Agenda 1 Einleitung 2 Absolute bzw. relative Häufigkeiten 3 Graphische Darstellung 4 Zusammenhang zweier Merkmale 5 Überprüfung auf Unabhängigkeit Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 50
88 Überprüfung auf Unabhängigkeit 1. Möglichkeit: Berechnung der bedingten relativen Häufigkeitsverteilung von Merkmal 2 für jede Merkmalsausprägung von Merkmal 1 als Bedingung und Überprüfung auf Übereinstimmung. Wenn ja liegt Unabhängigkeit vor. 2. Möglichkeit: Analog zu 1. mit vertauschten Merkmalen. 3. Möglichkeit: Überprüfung der Gleichung p(a, b) = p(a) p(b) für alle a und b. Falls eine Kombination (a, b) gefunden ist, bei der die Gleichung verletzt ist, sind die Merkmale abhängig und die Überprüfung ist abgebrochen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 51
89 Überprüfung auf Unabhängigkeit 1. Möglichkeit: Berechnung der bedingten relativen Häufigkeitsverteilung von Merkmal 2 für jede Merkmalsausprägung von Merkmal 1 als Bedingung und Überprüfung auf Übereinstimmung. Wenn ja liegt Unabhängigkeit vor. 2. Möglichkeit: Analog zu 1. mit vertauschten Merkmalen. 3. Möglichkeit: Überprüfung der Gleichung p(a, b) = p(a) p(b) für alle a und b. Falls eine Kombination (a, b) gefunden ist, bei der die Gleichung verletzt ist, sind die Merkmale abhängig und die Überprüfung ist abgebrochen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 51
90 Überprüfung auf Unabhängigkeit 1. Möglichkeit: Berechnung der bedingten relativen Häufigkeitsverteilung von Merkmal 2 für jede Merkmalsausprägung von Merkmal 1 als Bedingung und Überprüfung auf Übereinstimmung. Wenn ja liegt Unabhängigkeit vor. 2. Möglichkeit: Analog zu 1. mit vertauschten Merkmalen. 3. Möglichkeit: Überprüfung der Gleichung p(a, b) = p(a) p(b) für alle a und b. Falls eine Kombination (a, b) gefunden ist, bei der die Gleichung verletzt ist, sind die Merkmale abhängig und die Überprüfung ist abgebrochen. Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 51
91 Überprüfung auf Unabhängigkeit Beispiel unabhängige Merkmale (Kinderzahl, Religion) relative Häufigkeiten Kinderzahl gesamt Religion rk 0,02 0,04 0,08 0,04 0,02 0,2 ev 0,04 0,08 0,16 0,08 0,04 0,4 sonst 0,04 0,08 0,16 0,08 0,04 0,4 gesamt 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 1 Kapitel VIII - Mehrdimensionale Merkmale 52
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