Statistik I. Prof. Dr. H. Toutenburg

Transkript

1 Statistik I Lösungen Prof. Dr. H. Toutenburg

2 Aufgabe 1 Die erreichten Punktzahlen in einer Statistik-Klausur von 22 zufällig ausgewählten Studierenden der Statistik an den Universitäten München und Dortmund lauten wie folgt (50 Punkte waren maximal zu erreichen). Uni München: Uni München Stem-and-Leaf plot Frequency Stem & Leaf Stem width: Each leaf: 1 case(s) Uni Dortmund: a) Berechnen Sie aus diesen Angaben für die Uni München und Dortmund jeweils das arithmetische Mittel und den Median der Punktzahlen! Berechnen Sie das arithmetische Mittel aller Punktzahlen! b) Berechnen Sie für beide Verteilungen jeweils die Standardabweichung! Ist ein direkter Vergleich der beiden Werte fair? c) Welches Streuungsmass schlagen Sie zum Vergleich der beiden Datensätze vor? Berechnen Sie dieses Streuungsmass und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. Lösungen: a) x M = 1/12( ) = 300/12 = 25 n gerade! x M = 1/2(x (6) + x (7) ) = ( )/2 = 25 x D = 1/10( ) = 180/10 = 18 n gerade! x M = 1/2(x (5) + x (6) ) = ( )/2 = 16.5 München hat im Mittel mehr Punkte als Dortmund! x G = 1/22( ) = 480/22 =

3 b) x 2 M = 1/12(9060) = 755 s 2 M = = 130 s M = 130 = x 2 D = 1/10(4680) = 468 s 2 D = = 144 s D = 144 = 12 Vergleich nicht fair, da Standardabweichungen vom Mittelwert abhängen. c) s um Mittelwert bereinigen Variationskoeffzient! v M = /25 = v D = 12/18 = Punktezahlen in Dortmund streuen mehr als in München, bezogen auf die jeweiligen mittleren Punktezahlen. 3

4 Aufgabe 2 Bei einem Eignungstest für angehende Psychologiestudenten konnten maximal 7 Punkte erreicht werden und 4 Punkte werden zum Bestehen des Testes benötigt. Insgesamt nahmen 100 Personen an diesem Eignungstest teil. Folgende Tabelle veranschaulicht die erreichten Punktzahlen der Teilnehmer: a j n j a) Welches Skalen- und Messniveau hat das Merkmal Punktzahlen? Welches Skalen- und Messniveau hat hingegen das Merkmal Noten? Ist die Bildung von Durchschnittsnoten sinnvoll? Begründen Sie ihre Antworten. b) Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung mit den relativen Häufigkeiten grafisch dar! c) Bestimmen Sie die Werte der empirischen Verteilungsfunktion für die Punktzahlen und zeichnen Sie diese. d) Wie groß ist der Anteil der Studenten, die die geforderte Hürde von 4 oder mehr Punkten erreichen? e) Bestimmen Sie den Anteil der Personen, die mindestens 4 Punkte erreicht haben aber 7 Punkte verfehlt haben? f) Zeichnen Sie den Boxplot der Punktzahlen (Hinweis: Sie können die Verteilungsfunktion für die Quantile nutzen!). Kommentieren Sie den Boxplot in Bezug auf Schiefe oder Symmetrie der Daten. Lösungen: a) Punktzahlen: - metrisch: Verhältnisskala, Nullpunkt! - diskret: zwischen 1 Punkt und 2 Punkten sind keine weiteren Ausprägungen. Noten: - ordinal: 6 ist nicht doppelt so gut wie 3! - diskret: zwischen der Note 3 und 4 sind keine weiteren Ausprägungen. Mittelwertbildung für ordinale Daten nicht sinnvoll keine Bildung von Durchschnittsnoten! 4

5 b) a j n j f j 1/100 2/25 1/10 9/50 13/100 23/100 17/100 1/ fj aj 5

6 c) a j n j F (x) 1/100 9/100 19/100 37/100 1/2 73/100 9/ F(x) x 6

7 d) H(x 4) = 1 F (3) = 1 37/100 = 63/100 e) H(4 x < 7) = F (7) F (4) f(7) + f(4) = 1 1/2 1/ /100 = 53/100 = F (6) F (4) + f(4) = 9/10 1/2 + 13/100 = F (6) F (3) = 9/10 37/100 f) F (2) = 19/100 < 0.25 F (3) = 37/100 > 0.25 x 0.25 = 3 F (4) = 1/2 x 0.5 = 4 F (5) = 73/100 < 0.75 F (6) = 9/10 > 0.75 x 0.75 = 6 Oder: x (50) = 4, x (51) = 5, x 0.5 = 4.5 x (25) = 3, x (26) = 3, x 0.25 = 3 x (75) = 6, x (76) = 6, x 0.75 = 6 7

8 Interpretation: Schief, keine Aussreisser. 8

9 Aufgabe 3 Statistik in einem Millionärsclub. 1) Die Anzahl der Mitglieder des Clubs betrug im Verlauf der letzten 4 Jahre: Jahr Mitgliederzahl zum a) Wie groß ist die durchschnittliche Wachstumsrate? b) Welche Mitgliederzahl wäre aufgrund dieser durchschnittlichen Rate zum zu erwarten? 2) Im Jahr 2005 hatten alle Mitglieder des Clubs ein Gesamtvermögen von 250 Mio e an der Börse investiert. 10 Mitglieder haben insgesamt nur 16% des Gesamtvermögens investiert, 8 Mitglieder haben schon 60 Mio e zum Gesamtbetrag beigetragen. Weitere 8 Mitglieder haben 70 Mio e an der Börse investiert und die letzten 4 Mitglieder haben für den restlichen Betrag spekuliert. a) Zeichnen Sie die Lorenzkurve. Beachten Sie dass die Daten gruppiert sind. b) Berechnen Sie die Konzentration für die Börsenausgaben. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Lösungen: 1.a) B t /B t 1 = (, , , 1.2) x G = ( ) 1/3 = (1.3043) 1/3 = r = = Die durchschnittliche Wachstumsrate beträgt ca 10%. 1.b) B 06 = x G B 05 = = Mitglieder 9

10 2.a) i /3 4/15 4/15 2/15 ũ i 1/3 9/15 13/15 1 4/25 6/25 7/25 8/25 ṽ i 4/25 10/25 17/25 1 vi ui 2.b) G = 1 1/30(10(0+4/25)+8(4/25+10/25)+8(10/25+17/25)+4(17/25+1)) = 1 268/375 = 107/375 = G + = 30/29 107/375 = 214/725 = G + ist näher an Null als an 1! schwache Konzentration bei den Börsenausgaben der Millionäre! 10

11 Aufgabe 4 An einer Tankstelle wurden 150 Kunden nach dem Fahrzeugtyp gefragt, den sie am meisten nutzen und der nach Zufriedenheit mit ihrer KFZ-Versicherung. Die nachfolgende Tabelle enthält das Ergebnis der Erhebung: Typ des Fahrzeugs zufrieden unzufrieden Auto mit Benzinmotor Auto mit Dieselmotor Motorrad a) Berechnen Sie die zu erwartenden Häufigkeiten unter der Annahme der Unabhängigkeit der beiden Merkmale Fahrzeugtyp und Zufriedenheit. b) Berechnen Sie ein dimensionsloses Mass, das eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Merkmalen Fahrzeugtyp und Zufriedenheit liefert. c) Welcher Zusammenhang ergibt sich, wenn nur noch zwischen Auto und Motorrad unterschieden wird? Vergleichen und interpretieren Sie die Ergebnisse aus b) und c). d) Bestimmen Sie ein weiteres Mass, welches Stärke und Richtung des Zusammenhangs beschreibt. Kommentieren Sie Ihr Ergebnis. Lösungen: a) b) Fahrzeugs z uz A B A D M χ 2 = ( ) ( ) = = K = 3.144/ = K korr = = Alternativ Cramer: V = (1) = Nur ein schwacher Zusammenhang zwischen Fahrzeugtyp und Zufriedenheit. 11

12 c) Fahrzeugs z uz A M χ 2 = 150( ) = K = / = K korr = = Alternativ Cramer: V = (1) = Nach der Zusammenfassung ist der Zshg noch schwächer geworden. Die Unterscheidung nur nach Autos und Motorrädern brachte keine weitere Erkenntnis. d) OR = = > 1 Der sehr schwache Zusammenhang weisst eine positive Tendenz auf. Autofahrer sind eher zufrieden mit ihrer Versicherung als Motorradfahrer. 12

13 Aufgabe 5 In einer Studie soll der Zusammenhang zwischen der durchschnittlichen Temperatur und der Hotelauslastung an drei Orten untersucht werden. Als typischer Wintersportort wurde Davos gewählt, für den Sommerurlaub Polenca auf Mallorca und als Stadt- und Geschäftsreiseziel Basel. Es wurden in den Monaten des Jahres 2002 die Durchschnittstemperaturen (X) tagsüber sowie die Hotelauslastungen (Y ) erhoben. Davos Polenca Basel Monat X Y X Y X Y Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec a) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten für alle Werte von X und Y. (Hinweis: 36 i=1 x iy i = 22776, x = 12.22, ȳ = 51.28, s 2 x = und s 2 y = ) Gibt es einen Zusammenhang? b) Berechnen Sie mit Hilfe des SPSS Outputs die Korrelation zwischen der Temperatur und der Hotelauslastung für jeden Ort separat. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. Gehen Sie dabei im besonderen auf den Unterschied zwischen der Analyse in a) und der Analyse in b) ein. c) Zeichnen Sie das Streudiagramm der Daten von Davos. d) Berechnen Sie mit Hilfe des SPSS Outputs die Regressionsgrade und das Bestimmtheitsmass für Davos. Zeichnen Sie die geschätzte Gerade in das Streudiagramm ein. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. e) Wieviele Dummyvariablen benötigen Sie in einem Regressionsmodell, in dem der Ort über Dummyvariablen modeliert werden soll. Wählen Sie Basel als Referenzkategorie. Definieren Sie die Dummyvariablen und formulieren Sie das Regressionsmodell mit den Dummyvariablen als erklärende Variablen und der Temperatur als zu erklärenden Variable y. (Hinweis: Nur das Modell aufschreiben, nichts rechnen.) f) Zeigen Sie, dass für die Residuen einer Regression gilt, n i=1 e i = 0, mit e i = y i ŷ i. 13

14 14

15 Lösungen: a) r = P S 36 xy i=1 SXX = x iy i 36 xȳ S Y Y ns 2 X ns 2 Y = n s 2 X s2 Y = = = Oder: r = s xy s 2 X s 2 Y = 22776/ s 2 X s 2 Y = = kein linearer Zusammenhang! b)r = sxy s xs y r D = = = 0.87 r M = = r B = = Starker negativer linearer Zusammenhang zwischen Temperatur und Auslastung in Davos. Temp Auslastung Starker positiver linearer Zusammenhang zwischen Temperatur und Auslastung in Polenca. Temp Auslastung Leichter bis moderater positiver linearer Zusammenhang zwischen Temperatur und Auslastung in Basel. In a) wurden alle Daten betrachtet, d.h. der positive Zusammenhang in Polenca und der negative Zusammenhang in Davos haben sich aufgehoben, so dass kein Zusammenhang zu erkennen war. In b) zeigen sich deutlich intuitive Zusammenhänge: - negativ im Wintersportort - positiv im Sommerurlaubsziel - leicht positiv in der Stadt 15

16 c) Auslastung Temperatur d) ˆb = sxy = = s 2 x Steigt die Temp. um 1 C, so sinkt die Auslastung, unter sonst gleichen Bedingungen, um 2.7 Prozentpunkte. â = = Bei einer Temp. von 0 C ist die Auslastung ca 75%, c.p. Auslastung = Temperatur R 2 = r 2 = = Rund 75% der Gesamtstreuung wird durch das Modell erklärt. e) k = 3 Ausprägungen k 1 = 2 Dummys! x D = (1 falls Ort = Davos, 0 sonst) x P = (1 falls Ort = Polenca, 0 sonst) y = a + b 1 x D + b 2 x P + ɛ f) n i=1 e i = 0 e i = y i ŷ i = y i â ˆbx i = y i ȳ + ˆb x ˆbx i = y i ȳ ˆb(x i x) n i=1 e i = n i=1 (y i ȳ ˆb(x i x)) = nȳ nȳ ˆb(n x n x) = 0 16

17 Aufgabe 6 A: Alkohol trinken B: Hoher Blutdruck P (B) = 0.05 P (A B) = 0.75 P (A B) = 0.5 P (B A) = = 0.07 Sieben Prozent der Leute die Alkohol trinken haben auch hohen Blutdruck. 17