Statistik I. Übungklausur. Prof. Dr. H. Toutenburg

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1 Statistik I Übungklausur Prof. Dr. H. Toutenburg Hinweis: Die Zeitangaben sollen Ihnen aufzeigen wieviel Zeit Ihnen für eine Aufgabe von gewissem Umfang eingeräumt wird. Die Punktzahlen für die einzelnen Aufgaben sind proportional zu den Zeitangaben.

2 Aufgabe 1 (15 Minuten) Die erreichten Punktzahlen in einer Statistik-Klausur von 22 zufällig ausgewählten Studierenden der Statistik an den Universitäten München und Dortmund lauten wie folgt (50 Punkte waren maximal zu erreichen). Uni München: Uni München Stem-and-Leaf plot Frequency Stem & Leaf Stem width: Each leaf: 1 case(s) Uni Dortmund: a) Berechnen Sie aus diesen Angaben für die Uni München und Dortmund jeweils das arithmetische Mittel und den Median der Punktzahlen! Berechnen Sie das arithmetische Mittel aller Punktzahlen! b) Berechnen Sie für beide Verteilungen jeweils die Standardabweichung! Ist ein direkter Vergleich der beiden Werte fair? c) Welches Streuungsmass schlagen Sie zum Vergleich der beiden Datensätze vor? Berechnen Sie dieses Streuungsmass und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. Lösungen: a) x M = 2

3 x M = x D = x D = x G = 3

4 b) s M = s D = Vergleich: c) Mass M = Mass D = 4

5 Aufgabe 2 (19 Minuten) Bei einem Eignungstest für angehende Psychologiestudenten konnten maximal 7 Punkte erreicht werden und 4 Punkte werden zum Bestehen des Testes benötigt. Insgesamt nahmen 100 Personen an diesem Eignungstest teil. Folgende Tabelle veranschaulicht die erreichten Punktzahlen der Teilnehmer: a j n j a) Welches Skalen- und Messniveau hat das Merkmal Punktzahlen? Welches Skalen- und Messniveau hat hingegen das Merkmal Noten? Ist die Bildung von Durchschnittsnoten sinnvoll? Begründen Sie Ihre Antworten. Niveaus: Skalenniveau: Messniveau: Durchschnittsnoten: 5

6 Name: Mat. Nr.: b) Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung mit den relativen Häufigkeiten grafisch dar. Tabelle: a j n j Grafik: 6

7 Name: Mat. Nr.: c) Bestimmen Sie die Werte der empirischen Verteilungsfunktion für die Punktzahlen und zeichnen Sie diese. Tabelle: a j n j Grafik: 7

8 Name: Mat. Nr.: d) Wie groß ist der Anteil der Studenten, die die geforderte Hürde von 4 oder mehr Punkten erreichen? P = e) Bestimmen Sie den Anteil der Personen, die mindestens 4 Punkte erreicht haben aber 7 Punkte verfehlt haben? P = 8

9 Name: Mat. Nr.: f) Zeichnen Sie den Boxplot der Punktzahlen (Hinweis: Sie können die Verteilungsfunktion für die Quantile nutzen!). Kommentieren Sie den Boxplot in Bezug auf Schiefe oder Symmetrie der Daten. Berechnungen: Grafik: Kommentar: 9

10 Aufgabe 3 (15 Minuten) Statistik in einem Millionärsclub. 1) Die Anzahl der Mitglieder des Clubs betrug im Verlauf der letzten 4 Jahre: Jahr Mitgliederzahl zum a) Wie groß ist die durchschnittliche Wachstumsrate? b) Welche Mitgliederzahl wäre aufgrund dieser durchschnittlichen Rate zum zu erwarten? 2) Im Jahr 2005 hatten alle Mitglieder des Clubs ein Gesamtvermögen von 250 Mio e an der Börse investiert. 10 Mitglieder haben insgesamt nur 16% des Gesamtvermögens investiert, 8 Mitglieder haben schon 60 Mio e zum Gesamtbetrag beigetragen. Weitere 8 Mitglieder haben 70 Mio e an der Börse investiert und die letzten 4 Mitglieder haben für den restlichen Betrag spekuliert. a) Zeichnen Sie die Lorenzkurve. Beachten Sie dass die Daten gruppiert sind. b) Berechnen Sie die Konzentration für die Börsenausgaben. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Lösungen: 1.a) r = 10

11 1.b) B = 2.a)Berechnungen: Grafik: 11

12 2.b) G = 12

13 Name: Mat. Nr.: Aufgabe 4 (15 Minuten) An einer Tankstelle wurden 150 Kunden nach dem Fahrzeugtyp gefragt, den sie am meisten nutzen und nach Zufriedenheit mit ihrer KFZ-Versicherung. Die nachfolgende Tabelle enthält das Ergebnis der Erhebung: Typ des Fahrzeugs zufrieden unzufrieden Auto mit Benzinmotor Auto mit Dieselmotor Motorrad a) Berechnen Sie die zu erwartenden Häufigkeiten unter der Annahme der Unabhängigkeit der beiden Merkmale Fahrzeugtyp und Zufriedenheit. b) Berechnen Sie ein dimensionsloses Mass, das eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Merkmalen Fahrzeugtyp und Zufriedenheit liefert. c) Welcher Zusammenhang ergibt sich, wenn nur noch zwischen Auto und Motorrad unterschieden wird? Vergleichen und interpretieren Sie die Ergebnisse aus b) und c). d) Bestimmen Sie ein weiteres Mass, welches Stärke und Richtung des Zusammenhangs beschreibt. Kommentieren Sie Ihr Ergebnis. Lösungen: a) Fahrzeug z uz A B A D M 13

14 b) c) Mass = Fahrzeug z uz A M Mass = 14

15 Name: Mat. Nr.: d) Mass = 15

16 Aufgabe 5 (20 Minuten) In einer Studie soll der Zusammenhang zwischen der durchschnittlichen Temperatur und der Hotelauslastung an drei Orten untersucht werden. Als typischer Wintersportort wurde Davos gewählt, für den Sommerurlaub Polenca auf Mallorca und als Stadt- und Geschäftsreiseziel Basel. Es wurden in den Monaten des Jahres 2002 die Durchschnittstemperaturen (X) tagsüber sowie die Hotelauslastungen (Y ) erhoben. Davos Polenca Basel Monat X Y X Y X Y Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec a) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten für alle Werte von X und Y. (Hinweis: 36 i=1 x iy i = 22776, x = 12.22, ȳ = 51.28, s 2 x = und s 2 y = ) Gibt es einen Zusammenhang? b) Berechnen Sie mit Hilfe des SPSS Outputs die Korrelation zwischen der Temperatur und der Hotelauslastung für jeden Ort separat. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. Gehen Sie dabei im besonderen auf den Unterschied zwischen der Analyse in a) und der Analyse in b) ein. c) Zeichnen Sie das Streudiagramm der Daten von Davos. d) Berechnen Sie mit Hilfe des SPSS Outputs die Regressionsgerade und das Bestimmtheitsmass für Davos. Zeichnen Sie die geschätzte Gerade in das Streudiagramm ein. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. e) Wieviele Dummyvariablen benötigen Sie in einem Regressionsmodell, in dem der Ort über Dummyvariablen modeliert werden soll. Wählen Sie Basel als Referenzkategorie. Definieren Sie die Dummyvariablen und formulieren Sie das Regressionsmodell mit den Dummyvariablen als erklärende Variablen und der Temperatur als zu erklärende Variable y. (Hinweis: Nur das Modell aufschreiben, nichts rechnen.) f) Zeigen Sie, dass für die Residuen einer Regression gilt, n i=1 e i = 0, mit e i = y i ŷ i. 16

17 17

18 Lösungen: a) r = b) r D = r P = r B = 18

19 c)grafik: d) ŷ i = R 2 = 19

20 e)anzahl Dummies: y = f) 20

21 Name: Mat. Nr.: Aufgabe 6 (5 Minuten) 5 Prozent der Bevölkerung haben hohen Blutdruck. Von den Personen mit hohem Blutdruck trinken 75 Prozent Alkohol, während nur 50 Prozent der Personen ohne hohen Blutdruck Alkohol trinken. Wieviel Prozent der Personen, die Alkohol trinken, haben hohen Blutdruck? 21