Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1

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1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Dr. Florian Meinfelder Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Sommersemester 2010 Aufgabe 1 Für das Merkmal E Jahreseinkommen von Profifußballern liegen folgende Informationen vor: Jahreseinkommen E i Anteil bis EUR 1 18% EUR 2 34% EUR 3 32% über EUR 4 16% Außerdem ist bekannt, dass der am schlechtesten bezahlte Profi EUR und der am besten bezahlte Profi EUR im Jahr verdient. a) Erstellen Sie eine Hilfstabelle mit den Angaben, die für die approximierende Verteilungsfunktion notwendig sind. b) Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion. c) Berechnen Sie den Wert der approximierenden Verteilungsfunktion an der Stelle E = EUR und interpretieren Sie das Ergebnis. Auf welcher Annahme beruht Ihre Berechnung? d) Ermitteln Sie rechnerisch das erste Quartil und den Median. e) Der Wert für das dritte Quartil beträgt EUR. Zeichnen und beschriften Sie den Boxplot für E. Skizzieren Sie einen ungefähren Wert für das arithmetische Mittel in den Boxplot und begründen Sie die Positionierung. f) Der Manager eines kleineren Vereins beklagt, dass in den letzten drei Jahren die Gehälter um insgesamt 30% gestiegen sind. Wie hoch lag in dieser Zeit die durchschnittliche jährliche Gehaltssteigerung, wenn man davon ausgeht, dass die Gehälter gleichmäßig gestiegen sind?

2 Aufgabe 2 Vor dem Hintergrund, eine Informationsbroschüre rund um das Studentenleben für im ersten Fachsemester eingeschriebene Studierende zu erstellen, wurde an einer Universität eine Umfrage zum Beliebtheitsgrad verschiedener ortsansässiger Lokalitäten gestartet. Die Ergebnisse dieser Befragung können Sie der nachfolgenden Tabelle entnehmen. Lokalität Tanzbar Etikette X-Press Coffee-Break Beliebtheitsgrad sehr beliebt beliebt weniger beliebt gar nicht beliebt a) Welchen Informationsgehalt besitzen die beiden vorliegenden Merkmale jeweils? Welcher Merkmalstyp und welches Skalenniveau liegt dann jeweils für die beiden Merkmale vor? b) Charakterisieren Sie die Verteilung des Merkmals Beliebtheitsgrad durch ein geeignetes Lagemaß und ein geeignetes normiertes Streuungsmaß. c) Erläutern Sie theoretisch oder grafisch (Skizze genügt!), wann komparative Merkmale und wann qualitative Merkmale die maximale Streuung erreichen. In der nächsten Frage sollten die Studierenden angeben, bei welchem ortsansässigen Bäcker sie ihre Sonntagsbrötchen holen. Auf Basis der Befragungsergebnisse wurde die normierte Entropie berechnet, um festzustellen wie einig bzw. uneinig sich die Studierenden bei dieser Frage sind. d) Bestimmen Sie die Anzahl der von den Studenten genannten Bäckereien, wenn Ihnen bekannt ist, dass Gleichverteilung vorliegt und der Wert für die Entropie 2,32193 beträgt. Eine weitere Rubrik in der Informationsbroschüre für im ersten Fachsemester eingeschriebene Studierende widmet sich den rund um die Fakultät WiSo niedergelassenen Kopiergeschäften. Eine Analyse der Konzentration des Umsatzes in diesem Marktsegment soll Aufschluss darüber geben, wie sich die Umsätze verteilen.

3 Mit den Umsatzdaten der einzelnen Geschäfte lässt sich die nachfolgende Lorenzkurve für die Konzentration des Umsatzes zeichnen. e) Berechnen Sie das normierte Gini-Maß für die Konzentration des Umsatzes der Kopiergeschäfte. Nehmen Sie Stellung zu dem Ausmaß der Konzentration.

4 Aufgabe 3 Ein Marktforschungsunternehmen möchte die Fernsehgewohnheiten von berufstätigen Personen untersuchen. Die Medienexperten vermuten hierbei u.a. einen negativen Zusammenhang zwischen der Höhe des monatlichen Nettoeinkommens (X) in Tausend Euro und der täglichen Dauer des Fernsehkonsums in Stunden (Y). Ihnen liegen nun folgende Angaben des Unternehmens vor: i Fernsehkonsum (in Std.) 2,1 1,9 2,4 2,1 1,5 1,3 2,4 1,9 0,9 1,3 Monatl. Nettoeinkommen (in Tsd. e) 1,8 1,9 1,3 2,0 2,6 1,8 1,2 1,9 2,8 2,9 a) Erklären Sie kurz (in 2-3 Sätzen) die Grundidee der Kleinst-Quadrate- Methode. b) Schätzen Sie ein lineares Modell der Form y i = a 0 +a 1 x i +ɛ i mittels der Kleinst- Quadrate-Methode. Kann auf Grundlage dieses Modells die Vermutung des Unternehmens bestätigt werden? c) Interpretieren Sie die unter b) berechneten Modellparameter inhaltlich. [Anmerkung: Sollten Sie aus Teilaufgabe b) keine Ergebnisse vorliegen haben (nur dann!), so verwenden Sie im weiteren Verlauf: â 0 = 4, â 1 = 0, 8] d) Bestimmen Sie die Güte der Anpassung des obigen Modells. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis statistisch. e) Mit welchem täglichen Fernsehkonsum ist gemäß Ihrer Berechnungen bei einem monatlichen Nettoeinkommen von 2, 1Tsd. e im Mittel zu rechnen?

5 Aufgabe 4 Ein Forschungsteam untersucht physiognomische Phänomene. Aktuell geht es um den Grad der Blondheit der Kopfhaare einer Untersuchungsperson und ihrer Augenfarbe. In der folgenden Tabelle sind Blondheit und Augenfarbe von 40 Probanden zusammengefasst: Blondheitsgrad Augenfarbe dunkelblond mittelblond hellblond grau grün blau a) Welchen Merkmalstyp und welches Skalenniveau besitzen die beiden Variablen jeweils? b) Beschreiben Sie die Randverteilungen der beiden Merkmale jeweils mit einem geeigneten Lagemaß. c) Die Wissenschaftler befassen sich seit längerem mit dem Zusammenhang zwischen Blondheit und Augenfarbe. Berechnen Sie für sie ein geeignetes Zusammenhangsmaß und interpretieren Sie das Ergebnis. Ein anderes Forschungsteam hat in den 1930er Jahren noch unterstellt, dass es einen Zusammenhang zwischen Intelligenzquotienten (Merkmal: I) und Augenfarbe (Merkmal: A) geben würde. Hierfür wurden wiederum 30 Probanden ausgewählt. Intelligenzquotient Augenfarbe nicht-blau blau d) Berechnen Sie nun auch für diese Variablen den Zusammenhang mit einem dafür geeigneten Maß. Dazu ist Ihnen noch folgende Information gegeben: s 2 I = 7, e) Können Sie mit absoluter Sicherheit von Ergebnis d) auf statistische Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit schließen?(keine Rechnung)

6 Lösung zu Aufgabe 1 a) Tabelle: Jahreseinkommen E i f i F i ẽ i 1 (e i ) bis EUR 1 0,18 0,18 0,1 0, EUR 2 0,34 0,52 0,5 0, EUR 3 0,32 0, über EUR 4 0, b) Approximierende Verteilungsfunktion: Approximierende Verteilungs funktion von E F*(e) Jahreseinkommen in Mio. Euro c) F (2) = 0, 68 Interpretation: 68% aller Profis haben ein Jahreseinkommen von bis zu zwei Millionen Euro. Annahme: Gleichverteilung (zumindest innerhalb von E 3 ) d) E (0,25) = 0, EUR E (0,5) = 0, EUR

7 e) Boxplot: oberer Whisker = min{max(x);x(0.75)+1.5q} oberes Quartil = X(0.75) X Median = X(0.5) unteres Quartil = X(0.25) oberer Whisker = max{min(x);x(0.25) 1.5q} Begründung: In einer linkssteilen Verteilung liegt das arithmetische Mittel üblicherweise rechts vom Median. f) 3 1, 3 = 1, 091 9, 1%

8 Lösung zu Aufgabe 2 a) Lokalität: - Informationsgehalt: (Un)Gleichheit, aber keine Rangordnung der Merkmalsausprägungen - Merkmalstyp: qualitatives/klassifikatorisches Merkmal - Skalenniveau: Nominalskala Beliebtheitsgrad: - Informationsgehalt: zusätzlich zur (Un)Gleichheit Rangordnung der Merkmalsausprägungen - Merkmalstyp: komparatives Merkmal - Skalenniveau: Ordinalskala b) u 0,5 = u 2 = beliebt V D U (u 1,..., u 4 ) = 0, 7788 c) theoretisch: - komparativ: extreme Zwei-Punkt-Verteilung - qualitativ: empirische Gleichverteilung, d.h. gleichmäßige Verteilung der Merkmalsträger auf die Merkmalsausprägungen

9 graphisch: maximale Streuung - komparatives Merkmal maximale Streuung - qualitatives Merkmal d) 5 e) M G = 0, 153 Die Konzentration des Umsatzes der am Markt befindlichen Kopiergeschäfte ist schwach. Der Gesamtumsatz in diesem Marktsegment teilt sich tendenziell eher gleich auf alle am Markt befindlichen Geschäfte auf.

10 Lösung zu Aufgabe 3 a) Die Methode der kleinsten Quadrate besteht darin, eine parametrische Funktion an vorliegende Daten so anzupassen, dass die Summe der quadratischen Abweichungen der vorhergesagten von den tatsächlichen Werten dabei minimiert wird. b) β 1 = 0, 7332 β 0 = 3, 2612 Auf Basis des Vorzeichens von β 1 kann die Vermutung eines negativen Zusammenhanges bestätigt werden. c) Achsenabschnitt: Im Falle keines Nettoeinkommens ist mit einer durchschnittlichen täglichen Fernsehdauer von 3,26 Stunden zu rechnen. Steigungskoeffizient: Steigt das Nettoeinkommen um e, so nimmt der tägliche Fernsehkonsum im Mittel um ca. 44 Minuten (bzw. 0,733 Stunden) ab. d) R 2 = 0, 7047 Hohe Schätzgüte, 70,47% der Varianz der abhängigen Variable werden vom Modell erklärt e) ŷ i = 1, 72 Stunden

11 Lösung zu Aufgabe 4 a) Augenfarbe: qualitativ, nominal Blondheitsgrad: komparativ, ordinal b) mod(f A ) = a 3 = blau u 0,5 = mittelblond c) V AU = 0, 3955 Der Zusammenhang zwischen A und U ist mittelstark ausgeprägt. d) η 2 = 0 e) Wenn η 2 den Wert 0 annimmt, heißt das nicht, dass statistische Unabhängigkeit vorliegt, jedoch folgt aus der statistische Unabhängigkeit zweier Merkmale ein η 2 -Wert von 0.