0 Einführung: Was ist Statistik

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1 0 Einführung: Was ist Statistik 1 Datenerhebung und Messung Die Messung Skalenniveaus 2 Univariate deskriptive Statistik 3 Multivariate Statistik 4 Regression 5 Ergänzungen

2 Grundbegriffe Statistische Einheit, Untersuchungseinheit Grundgesamtheit/ Population Teilgesamtheit/ Stichprobe Merkmal Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 37 / 60

3 Messen Measurement is the contact of reason with nature Henry Margenau (1959) In its broadest sense, measurement is the assignment of numerals to objects or events according the rules Lit.: Measurement theory and practice: The world through quantification (David J. Hand) Messen bedeutet die Zuordnung von Zahlen zu Ausprägungen von Merkmalen an Objekten. Physikalische Messung Beispiele: Gewicht, Blutdruck, Fettaufnahme Psychologie Beispiele: Intelligenz, Gewaltbereitschaft Wirtschaftswissenschaften Beispiele: Inflation, Bruttosozialprodukt Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 38 / 60

4 Definition Peter 1.84 Stefan 1.91 Laura 1.72 Merkmal definiert Relation (Struktur) zwischen den Objekten. Messung: strukturerhaltende Abbildung (Homomorphismus) Peter ist kleiner als Stefan 1.84 < 1.91 Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 39 / 60

5 Typen von Messungen 1 Messung hat reales (physikalisches) Relativ; direkte Messung ( representational measurement ) z.b. Länge, Gewicht, Anzahl, Blutzucker, etc. 2 Messung besitzt durch Operationalisierung definiertes Relativ; indirekte Messung ( pragmatic measurement ), Operationale Messung z.b. Intelligenz, Schwere einer Krankheit Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 40 / 60

6 Skalen Homomorphe Abbildung empirisches Relativ numerisches Relativ Existenz: Eindeutigkeit: Ist die Struktur der Objekte so, dass eine strukturerhaltende Abbildung existiert? Axiome von Repräsentationstheoremen müssen erfüllt sein (z.b. Transitivität o.ä.) Gibt es mehrere zulässige Skalen? (z.b. Länge in cm, m; Temperatur in C oder K) Zulässige (strukturerhaltende) Transformationen Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 41 / 60

7 Skalentypen (Messniveaus) Die Skalentypen sind durch die Struktur des empirischen Relativs gegeben. Charakterisierung durch zulässige Transformationen. Existenz ist nicht immer gegeben Eindimensionalität könnte verletzt sein Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 42 / 60

8 Nominalskala Beispiele: Diagnosen, Geschlecht Struktur: keine Mögliche Aussagen: gleich, ungleich Erlaubte Transformationen: alle eineindeutigen Transformationen a = b f (a) = f (b) Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 43 / 60

9 Ordinal- oder Rangskala Beispiele: Schulbildung, soziale Schicht, Schweregrad einer Erkrankung Struktur: lineare Ordnung Mögliche Aussagen: gleich, ungleich, größer, kleiner Erlaubte Transformationen: alle positiv monotonen Transformationen a < b f (a) < f (b) Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 44 / 60

10 Intervallskala Beispiele: Ergebnisse psychometrischer Tests, Scores, Schulnoten?, Häufigkeit der Kommunikation, physiologische Daten (EKG) Struktur: Abstände definiert mit Axiomen Mögliche Aussagen: gleich, ungleich, größer, kleiner, Differenzen Erlaubte Transformationen: alle linearen Transformationen y = ax + b f (x 1 ) f (x 2 ) = f (x 3 ) f (x 4 ) x 1 x 2 = x 3 x 4 Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 45 / 60

11 Verhältnisskala Intervallskala mit Nullpunkt Beispiele: Fernsehdauer, Preis Struktur: Abstände definiert, Nullpunkt Mögliche Aussagen: gleich, ungleich, größer, kleiner, Differenzen, Verhältnis Erlaubte Transformationen: y = ax (Multiplikation) f (x 1 ) f (x 2 ) = x 1 x 2 Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 46 / 60

12 Absolutskala Beispiel: Häufigkeit Struktur: Einheit liegt auf natürliche Weise fest Erlaubte Transformationen: keine Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 47 / 60

13 Skalenniveau Beachte: Je höher das Skalenniveau, desto mehr Interpretationen sind möglich Sinnvoll interpretierbare Berechnungen sollen invariant bezüglich der zulässigen Transformationen sein sinnvoll interpretierbare Berechnungen Skalenart auszählen ordnen Differenzen bilden Quotienten bilden nominal ja nein nein nein ordinal ja ja nein nein intervall ja ja ja nein verhältnis ja ja ja ja Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 48 / 60

14 Skalentransformationen Beispiel: Konzentration von Bakterien log( ) oder log( ) log( ) Beispiel: Tumorgröße 4mm 3? 10mm 3 oder? 2mm 3? Skalenwahl Interpretation der Differenz Bei log-skala: Differenz = Faktor der Veränderung Verwende log zur Basis 10 Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 49 / 60

15 Gütekriterien der Messung Genauigkeit (Accuracy) Messfehlermodelle: Es gibt einen wahren Wert X und eine Messung X z.b. X = X + }{{} U Messfehler E(U) = 0 klassischer additiver Messfehler Modell der klassischen (psychologischen) Testtheorie Aspekte: Validität = Gültigkeit Reliabilität = Zuverlässigkeit Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 50 / 60

16 Validität Frage: Wird das gemessen, was gemessen werden soll? In der emp. Sozialforschung: Inhaltsvalidität Kriteriumsvalidität Konstruktvalidität Statistik: systematischer Messfehler? E(U) = 0 Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 51 / 60

17 Reliabilität Ist die Messung zuverlässig? Erhält man bei Wiederholung den gleichen Wert? Erhält man unter verschiedenen Bedingungen den gleichen Wert? Interrater Reliabilität Abhängig von: Verhältnis von Streuung des Messfehlers zur Gesamtstreuung r = σ2 X σ 2 X = σx 2, σ2 X Varianz von X bzw. X Cronbachs Alpha σ 2 X σ 2 X + σ2 U Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 52 / 60

18 Indexbildung Bildung von Einzelindikatoren zu einer neuen Variablen Häufig: Bildung von (gewichteten) Summen von einzelnen Variablen Beispiel: Pflege Qualität = a 1 * Q(Essen) + a 2 * Q(Medizinische Versorgung) +... Indexbildung folgt nur theoretischen Vorgaben und fachspezifischen Überlegungen Fragen der Statistik: Gleichheit sinnvoll? (Dimesnionsreduktion zulässig) Ordnung bzw. Abstände sinnvoll? Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 53 / 60

19 Skalierungsverfahren mit latenten Variablen Grundlage: Modell mit latenter Größe, die das Antwortverhalten oder Lösen von Aufgaben bestimmt Wichtigste Beispiele : Likert Skalen Faktorenmodell Rasch - Modell Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 54 / 60

20 Itemcharakteristik Grundidee: Wahrscheinlichkeit von Lösung der Aufgabe bzw. Antwort Ja hängt von der latenten Variablen ab. P(Item gelöst) = G(latente Größe) Beispiele: Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 55 / 60

21 Ausblick: Statistische Verfahren zur Überprüfung der Messung (Skalierung) Itemanalyse Rasch Modell Faktorenanlyse Analyse von Wiederholungs- und Mehrfachmessungen Messfähigkeitsanlyse in der Qualitätskontrolle Weiter: Verfahren zur Berücksichtung von Messfehlern Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 56 / 60

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