Klausur zu Methoden der Statistik I mit Lösung Sommersemester Aufgabe 1

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1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik I mit Lösung Sommersemester 2009 Aufgabe 1 Es wurden 410 Studierende gebeten, ihre eigenen Programmierkenntnisse (U ) mit den Kategorien eher schlecht, teils, teils und eher gut zu bewerten. Des Weiteren wurden sie nach der durchschnittlichen Internetnutzung pro Tag (V ) befragt. Die durchschnittliche Internetnutzung pro Tag wurde in die Kategorien wenig, mittel und viel eingeteilt. Die Befragungsergebnisse sind in folgender Tabelle aufgeführt. U: Programmierkenntnisse u 1 : u 2 : u 3 : V : Internetnutzung eher schlecht teils, teils eher gut v 1 : wenig v 2 : mittel v 3 : viel a) Um welchen Merkmalstyp handelt es sich bei den dargestellten Merkmalen U und V? Begründen Sie Ihre Antwort. b) Wie viele Studierende haben ihre Programmierkenntnisse mit teils, teils oder besser bewertet und haben wenig Internetnutzung angegeben? c) Welcher Anteil der Studierenden, die das Internet viel nutzen, hat ihre Programmierkenntnisse mit teils, teils oder schlechter bewertet? d) Beschreiben Sie die Verteilung des Merkmals U mithilfe eines geeigneten statistischen Lagemaßes. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. e) Messen Sie den Zusammenhang zwischen den Programmierkenntnissen und der Internetnutzung anhand des Maßes von Goodman & Kruskal und interpretieren Sie das Ergebnis. f) Würde Kendalls τ UV hier einen kleineren, gleichen oder größeren Wert ergeben? (Kurze Begründung, keine Rechnung.) g) Zeichnen Sie die relative Häufigkeitsverteilung des Merkmals Programmierkenntnisse.

2 Aufgabe 2 Es ist nicht gut, dass der Mensch allein sei. Dieser häufig zitierte Bibelspruch könnte auch für Studierende gelten. Nach einer Erhebung in der Statistikvorlesung leben von 426 Studierenden n i Wohnform a i 88...bei den Eltern, in einer Wohngemeinschaft, 32...mit einem Partner zusammen, alleine. a) Charakterisieren Sie die Verteilung des Merkmals Wohnform mithilfe eines geeigneten Lagemaßes und Streuungsmaßes. Freizeitforscher warnen, dass Einsamkeit zu übermäßigem TV-Konsum (in Minuten am Tag) führen kann. Die neu aufbereiteten Daten zur Wohnform (E=Einpersonenhaushalt, M=Mehrpersonenhaushalt) und zum TV-Konsum für 15 Studierende liefern dafür folgende Ergebnisse: ν TV-Konsum Wohnform E E E E E E E E M M M M M M M b) Geben Sie den mittleren täglichen TV-Konsum über alle 15 Studierenden sowie getrennt nach Wohnform an. Was fällt Ihnen dabei auf? c) Untersuchen Sie mit Hilfe eines geeigneten Maßes, ob die Wohnform einen Einfluss auf den TV-Konsum hat.

3 Aufgabe 3 Obwohl in den Medien vielfach ein verzerrtes Körperverständnis transportiert wird, wissen erfahrene Ästheten längst, dass die wahre äußere Schönheit im richtigen Verhältnis von Körpergewicht und Körperlänge besteht. Nicht anders ist es an der Universität Bamberg. Aus der Physiognomie ist bekannt, dass das Körpergewicht (Y ) von der Körperlänge (X ) determiniert wird. Ein erfahrener Ästhet des Statistiklehrstuhls versucht diesen Zusammenhang mittels eines linearen Modells der Art y ν = a 0 + a 1 x ν + u ν mit ν = 1,..., 10 nachzuweisen. Dafür gaben 10 Studierende folgende Werte an: ν X (in cm) Y (in kg) a) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten r XY für die angegebenen Werte. Verwenden Sie: s 2 X = 73,01 und s2 Y = 250,41. b) Kann von einem r XY = 0 auf statistische Unabhängigkeit geschlossen werden? c) Berechnen Sie die Parameter â 0, â 1 der ausgleichenden Regressionsgeraden und interpretieren Sie diese am Sachverhalt. (Hinweis: Wenn Sie bei dieser Aufgabe keine Ergebnisse haben, verwenden Sie im Folgenden â 0 = 220, â 1 = 1, 7.) d) Durch welche Punkte geht die Regressionsgerade immer? (keine Berechnung) e) Beurteilen Sie die Güte des Modells anhand eines geeigneten Maßes. f) Vera Riese ist mit einer Größe von 205 cm die größte weibliche Studierende und hat deshalb auch schon viele Preise bei Model-Wettbewerben gewonnen. Welches Körpergewicht müsste sie nach dem Modell aufweisen?

4 Aufgabe 4 Der Jeans-Hersteller Gasoline will die Preisbereitschaft der Käufer in seiner Zielgruppe untersuchen. Für eine grobe Abschätzung führt der Mitarbeiter Jean Blue eine Befragung durch, bei der die Ausgaben beim Kauf der letzten Jeans in e (X ) ermittelt werden. Die Befragungsergebnisse sind in folgender Grafik dargestellt, die Jean Blue als geeignet erachtet. a) Welchen Merkmalstyp besitzt das untersuchte Merkmal X Ausgaben beim Kauf der letzten Jeans? b) Welche Annahme liegt der verwendeten Grafik zugrunde? c) Bestimmen Sie für alle zugrunde liegenden Klassen die relativen Häufigkeiten. d) Berechnen Sie die durchschnittlichen Ausgaben beim Kauf der letzten Jeans für die Befragten aus der Zielgruppe von Gasoline. e) Lesen Sie aus obiger Grafik das obere Quartil ab und interpretieren Sie den Wert. f) Welcher Anteil der Befragten hatte mindestens 120e beim Kauf der letzten Jeans ausgegeben? g) Die Preise der Marken-Jeans Gasoline Weekend Fit haben sich wie in folgender Tabelle dargestellt entwickelt. Jahr Preis in e 59,95 62,95 64,95 65,99 69,99 Um wieviel Prozent sind die Preise von 2005 auf 2009 durchschnittlich pro Jahr gestiegen?

5 Aufgabe 5 (R-Aufgabe) Im Sommersemester 2007 nahmen 531 Studentinnen und Studenten an der Umfrage des Lehrstuhls Statistik und Ökonometrie teil. Im Rahmen der Vorlesung Methoden der Statistik wurden unter anderem die Merkmale Geschlecht, Wochenarbeitszeit in Stunden und das Interesse am Fach Statistik erhoben. Sie möchten zusammen mit einem Kommilitonen den Datensatz etwas genauer untersuchen und fangen mit dem Einlesen der Daten an. > DATEN <- read.table("s:\\dateipfad\\studenten.mit.na.txt",header=t) > str(daten) > attach(daten) > v34 -> sex # Geschlecht > v31 -> waz # Wochenarbeitszeit in Stunden > v11 -> statint # Statistikinteresse a) Geben Sie den Merkmalstyp der drei umbenannten Variablen an. b) Ein Kommilitone weist Sie darauf hin, dass mit den Variablen nach dem Einlesen etwas nicht stimmt, und sendet Ihnen die folgenden Codezeilen. Erklären Sie, was Ihr Kommilitone mit diesen Codezeilen bewirkt hat. > sex <- factor(sex,labels=c("m","w")) > statint <- ordered(statint,labels=c("gar nicht", + "wenig", + "mäßig stark", + "stark", + "sehr stark")) c) Um sich einen Überblick über die Variablen Statistikinteresse und Wochenarbeitszeit zu verschaffen, nutzen Sie den summary()-befehl und erhalten die nachstehenden Ausgaben. Vergleichen Sie die beiden und gehen Sie auf die zentralen Unterschiede ein. Wieso kommt es zu den erwähnten Unterschieden? > summary(statint2) gar nicht wenig mäßig stark stark sehr stark > summary(waz) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max d) Ihr Kommilitone hat die gleichen Kennzahlen für die Variable Wochenarbeitszeit wie Sie erzeugt, jedoch mit anderen Befehlen. Welche könnte er hierfür genutzt haben? e) Ihr Kommilitone stellt aufgrund der Kennzahlen die Behauptung auf: Die Verteilung der Wochenarbeitszeit weist eine links schiefe/ rechts steile Gestalt auf. Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage. f) Am einfachsten könnten Sie Aussagen zur Gestalt der Verteilung anhand einer grafischen Darstellung treffen. Welchen Befehl würden Sie hierzu nutzen?

6 Lösung zu Aufgabe 1 a) U: ordinal/ komparativ V: ordinal/ komparativ Begründung: Bei beiden Merkmalen kann man sowohl Gleich-Ungleich unterscheiden als auch eine sinnvolle Rangfolge der Ausprägungen bilden, aber es sind keine Abstandsinformationen enthalten. b) n(v 1, u 2 ) + n(v 1, u 3 ) = 26 c) n(v 3, u 1 ) + n(v 3, u 2 ) n(v 3 ) = d) u (0,5) = u 1 = eher schlecht Mindestens 50% der befragten Studierenden haben Ihre Programmierkenntnisse als eher schlecht oder besser (bzw. schlechter) eingeschätzt. e) γ UV = 0,3401. Es besteht ein schwacher positiver Zusammenhang zwischen U und V. Eine intensivere Internetnutzung geht mit besseren Programmierkenntnissen einher. f) Kendalls τ UV würde hier einen kleineren Wert aufweisen, weil hier im Nenner alle Paare (also konkordante, diskordante und neutrale) betrachtet werden und nicht nur die konkordanten und diskordanten wie bei Goodman & Kruskals γ UV. g) Relative Häufigkeitsverteilung des Merkmals U :

7 Lösung zu Aufgabe 2 a) geeignetes Lagemaß Modus= a 2 = in einer WG Streuungsmaß: Entropie H A = 1,2513 ln2 = 1,8052 H A = 1,8052 log 2 4 = 0,9026 b) x 1 = E x 2 = M x 1 = 47,5 x 2 = 27,1429 x = 38 c) η 2 = 0,0502

8 Lösung zu Aufgabe 3 a) r = 0,8963 b) Wenn X und Y unkorreliert (r XY = 0) sind, dann müssen X und Y nicht notwendig auch statistisch unabhängig sind. r XY = 0 misst lineare positive und negative Zusammenhänge. c) Steigungsparameter â 1 = 1,6599 Interpretation â 0 = 220,3008 Achsenabschnitt: bei einer Körpergröße von 0 ist ein Gewicht von ca kg zu erwarten; nicht sinnvoll interpretierbar Steigungsparameter: im Schnitt nimmt das Körpergewicht um ca 1,6599 kg pro zusätzlichem cm Körpergröße zu d) Die Regressiongerade verläuft immer durch den Schnittpunkt mit der y-achse und dem Punkt(x, y). e) r 2 xy = 0,8033 f) 1.Lösung: mit x = Lösung: mit vorgegebenen Werten ŷ i = 119,9787 ŷ i = 128, 5

9 Lösung zu Aufgabe 4 a) X: metrisch/ quantitativ, klassiert. b) Gleichverteilung innerhalb der Klassen bei klassierten Daten. c) Klasse i f i 1 0,20 2 0,40 3 0,15 4 0,18 5 0,07 d) x = 56,375 e) Mindestens 75% der Befragten haben 75 e oder weniger für die letzte Jeans ausgegeben. f) g) 0,0607 w 05,09 = 0, 0395.

10 Lösung zu Aufgabe 5 a) Geschlecht: nominal Wochenarbeitszeit in Stunden: metrisch Statistikinteresse: ordinal b) Zeile 1 überschreibt die numerische Variable in eine Faktorvariable mit den Ausprägungen m für männlich und w für weiblich, so dass sie in R als nominale Variablen erkannt werden. Zeile 2 überschreibt die ebenfalls numerische Variable in eine ordinale Variable, deren Ausprägungen das ordinale Skalenniveau wiederspiegeln. c) Im Fall der ersten summary() handelt es sich um eine Häufigkeitstabellierung der Variable Statistikinteresse. Da diese ordinalskaliert ist, werden hier nur Häufigkeiten ausgewiesen. Die summary() des Merkmals Wochenarbeitszeit gibt die Extremwerte, Quartile und Lagemaße aus. Da die Wochenarbeitszeit verhältnisskaliert ist, lassen sich hier die angegebenen Kennwerte berechnen. d) > min(waz) [1] 0 > quantile(waz) 0% 25% 50% 75% 100% > median(waz) [1] 0 > mean(waz) [1] > max(waz) [1] 45 e) Die Aussage ist falsch. Es handelt sich um eine rechts schiefe Verteilung. f) > hist(waz,freq=f) > boxplot(waz) > plot(density(waz,na.rm=t))