Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2012/2013. Aufgabe 1

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1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2012/2013 Aufgabe 1 Eine Befragung von 150 Auszubildenden in drei Büroberufen zum Thema Vorbereitung auf die Zwischenprüfung im Jahr 2010 ergab folgendes Ergebnis: Bürokaufleute Kaufleute für Fachangestellte für Gesamt (BK) Bürokommunikation (KfB) Bürokommunikation (FfB) Anzahl n(bk)=98 n(kfb)=44 n(ffb)=8 n=150 alleine 62,2% 56,8% 75,0% 61,3% mit anderen 17,3% 25,0% 12,5% 19,3% gar nicht 20,4% 18,2% 12,5% 19,3% Es sei das Merkmal A: Art der Vorbereitung mit a 1 : alleine, a 2 : mit anderen, a 3 : gar nicht und das Merkmal B: Beruf mit b 1: Bürokaufleute, b 2 : Kaufleute für Bürokommunikation, b 3 : Fachangestellte für Bürokommunikation definiert. a) Was bedeutet die Prozentangabe 17,3 in der ersten Spalte? Um welche Häufigkeit handelt es sich? b) Um was für eine Art von Merkmal handelt es sich bei Merkmal B? Mit welchem Skalentyp lässt es sich abbilden? Begründen Sie kurz. c) Berechnen Sie n(a 1 B 2 ), f(b 1 ) und n(a 1 ). d) Wieviel Prozent der Auszubildenden, die sich alleine vorbereiten, sind Kaufleute der Bürokommunikation? e) Stellen Sie die bedingten Verteilungen f A b2 und f A b3 graphisch dar. Geben Sie die jeweiligen Modi der beiden Verteilungen an. f) Welche der beiden Verteilungen weist augenscheinlich, d.h. bei einer vergleichenden Betrachtung der beiden Diagramme aus Teilaufgabe e), die größere Streuung auf? Wie würden die beiden extremen Verteilungen mit maximaler bzw. minimaler Streuung aussehen? Welches Streuungsmaß nimmt bei diesen Verteilungen die Extremwerte 0 und 1 an?

2 Aufgabe 2 Die Stadt Koblenz gab im Jahr 2004 eine Studie zum Mietwohnungsmarkt der Stadt in Auftrag. Dabei wurden folgende Daten zum Mietwohnungsangebot im Zeitraum von ermittel: Größe in m 2 von über... bis einschließlich über Summe Es sei das Merkmal G: Größe der Wohnungen in m 2. Nehmen Sie im Folgenden an, dass die Obergrenze der letzten Klasse 150m 2 beträgt. a) Geben Sie die relativen Häufigkeiten der Klassen von G für 2004 an. b) Geben Sie die kumulierten Häufigkeiten des Merkmals G im Jahr 2004 an den Klassenobergrenzen an. Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion. Berechnen Sie den Median des Merkmals G. Welche Verteilungsannahme treffen Sie dabei für die Verteilung innerhalb der einzelnen Klassen? c) Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der klassierten Daten für das Jahr d) Nehmen Sie unter Verwendung der unter c) berechneten Maßzahlen Stellung zu folgender Aussage: In den Daten zum Wohnungsangebot ergibt sich eine Konzentration hin zu größeren Wohnungen, die sich einerseits in der Erhöhung der mittleren Größe widerspiegelt und andererseits in einer geringeren Streuung zwischen den Klassen. Gehen Sie dabei auf jede Teilaussage gesondert ein. Hinweis: Für das Jahr 2001 beträgt die mittlere Wohnungsgröße 72,24m 2 und die Standardabweichung 27,22m 2.

3 Aufgabe 3 Auf einer Wiese grasen zu Beginn eines Jahres 30 Schafe, die drei Wollproduzenten gehören. Am Anfang und Ende des Jahres ergeben sich für die drei Unternehmen folgende Schafbestände: Betrieb Jahresanfang Jahresende Der größte der Wollproduzenten macht gute Geschäfte in Übersee, so dass er am Ende des Jahres fünf zusätzliche Schafe erwerben kann. Auch der kleinste der drei Wollproduzenten kann am regionalen Markt gute Preise erzielen, so dass sich sein Bestand um zwei Schafe erhöht. Lediglich der dritte, im überregionalen Markt engagierte Wollproduzent muss zwei Schafe verkaufen, um Überkapazitäten abzubauen. a) Zeichnen Sie für die Konzentration der Schafbestände der drei Unternehmen die Lorenzkurven am Jahresanfang und am Jahresende. b) Welchen Wert nimmt das normierte Gini-Maß an, wenn der Zustand der Gleichverteilung vorliegt? c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen normiertem Gini-Maß und dem einfachen Gini-Maß? d) Wie sehen allgemein die Lorenzkurven bei Gleichverteilung und wie bei maximaler Konzentration aus? e) Berechnen Sie für den Jahresanfang und das Jahresende die beiden normierten Gini- Maße. Treffen Sie eine Aussage über die Zu- oder Abnahme der Konzentration.

4 Aufgabe 4 Betrachten Sie die Merkmale Haushaltsmittel in Millionen e (H) und die Mitarbeiterzahl als Merkmal M der fünf in der Tabelle ausgewiesenen Wirtschaftsforschungsinstitute. Institut, Ort Kennzahlen deutscher Wirtschaftsforschungsinstitute (Stand 2006) Haushaltsmittel Anteil Dritt- Mit- Wissen- (in Mill. e) mittel (in %) arbeiter schaftler Institut für Weltwirtschaft (IfW), Kiel 16, ,75 Deutsches Institut für Wirtschaftsforschung (DIW), Berlin 30, Ifo - Institut für Wirtschaftsforschung, München 30, ,5 HWWA - Institut für Wirtschaftsforschung, Hamburg 23, Rheinisch-Westfälisches Institut für Wirtschaftsforschung (RWI), Essen 10, Insgesamt 113, ,25 a) Berechnen Sie die durchschnittliche Mitarbeiterzahl der untersuchten Institute (Merkmal M) und die zugehörige Standardabweichung. b) Die Varianz der Haushaltsmittel (Merkmal H) beträgt SH 2 = 67, 612 und die Kovarianz der Merkmale H und M lautet S H,M = 451, 78. Berechnen und interpretieren Sie den Korrelationskoeffizienten r HM. c) Berechnen Sie die ausgleichende Regressionsgrade der Form ˆm ν = â 0 + â 1 h ν für ν = 1,..., 5 nach der KQ Methode und interpretieren Sie die Parameter â 0 und â 1. d) Bestimmen und interpretieren Sie das einfache Bestimmtheitsmaß für die vorliegende Regression. Die Gemeinschaftsdiagnose der fünf Wirtschaftsforschungsinstitute prognostizierte für den Zeitraum 2000 bis 2004 folgende jährliche Wachstumsraten des Bruttoinlandprodukts (BIP) in %: BIP-Wachstum in % 0,9 1,8 1,6 2,4 1,8 e) Berechnen Sie die prognostizierte durchschnittliche Wachstumsrate für den Zeitraum 2000 bis 2004.

5 Lösung zu Aufgabe 1 a) 17,3% der Bürokaufleute bereiten sich mit anderen zusammen auf die Zwischenprüfung vor. Es handelt sich um die bedingte Häufigkeit f(a 2 b 1 ). b) B ist ein qualitatives Merkmal. Es wird über eine Nominalskala abgebildet. Begründung: Die Merkmalsausprägungen lassen sich zwar voneinander unterscheiden, sind jedoch nicht in eine sinnvolle Rangfolge zu bringen. c) n(a 1 B 2 ) = 24, 992 f(b 1 ) = 0, 6533 n(a 1 ) = 91, 948 d) f(b 2 a1) = 0, 2718, d.h. 27,18% der Auszubildenden, die alleine lernen, sind Kaufleute für Bürokommunikation. e) Grafik erstellen (Balkendiagramm) und Modi bestimmen: Bedingte Verteilung A b2 bzw. A b a1 a2 a3 Modi: mod(f A b2 ) = mod(f A b3 ) = alleine f) f A b2 weist größere Streuung auf Maximale Streuung: Gleichverteilung Minimale Streuung: Einpunktverteilung Die normierte Entropie

6 Lösung zu Aufgabe 2 a) Arbeitstabelle: Teilaufgabe a) Teilaufgabe b) i ( g i 1 ; g i ] n i f i F i b) kumulierte Häufigkeiten für G 04 : siehe Arbeitstabelle Approximierende Verteilungsfunktion Fi Größe in Quadratmeter g (0.5) = Hierbei wird die Annahme getroffen, dass alle Merkmalswerte innerhalb der jeweiligen Klassen gleichverteilt sind. c) ḡ = 77, 9488 S X = d) Gegeben: x 01 = und S 01 = in Teilaufgabe c berechnet: x 04 = und S 04 = Ergebnis: Beide Teilaussagen sind richtig!

7 Lösung zu Aufgabe 3 a) Arbeitstabelle: i x A i x E i g A i g E i G A i G E i f i F i Lorenzkurve G_i F_i b) Den Wert 0. c) Einfaches Gini-Maß n n 1 = normiertes Gini-Maß d) bei Gleichverteilung ist die Lorenzkurve mit der Winkelhalbierenden identisch. bei maximaler Konzentration ist die Fläche unter der Winkelhalbierenden in Abhängigkeit von der Anzahl der Merkmalsausprägungen maximal. e) Jahresanfang: M Anfang G = Jahresende: M Ende G = Die Konzentration ist am Jahresende größer und hat demzufolge zugenommen.

8 Lösung zu Aufgabe 4 a) m = 182, 6 S M = 59, 8552 b) r H,M = 0, 9179, d.h. es besteht ein starker positiver (linearer) Zusammenhang zwischen den Haushaltsmitteln und der durchschnittlichen Mitarbeiterzahl. c) â 1 = 6, 6819 pro Million an Haushaltsmitteln steigt die Anzahl der Mitarbeiter durchschnittlich um ca. 7 Mitarbeiter. â 0 = 182, 6 6, ,6 5 = 30, 7872 Liegen keine Haushaltsmittel vor, ist mit einer Mitarbeiterzahl von ca. 31 zu rechnen (nicht sinnvoll interpretierbar). oder (bei Verwendung der Einzeldaten aus Tabelle oben): â 0 = 182, 6 6, ,5 5 = 33, 5936 Liegen keine Haushaltsmittel vor, ist mit einer Mitarbeiterzahl von ca. 33 zu rechnen (nicht sinnvoll interpretierbar). d) R 2 = 0, 8425, d.h. 84,25% der Varianz der Mitarbeiterzahl wird durch die Regressionsgerade (die Haushaltsmittel) erklärt. Die Anpassung ist also sehr gut. e) Durchschnittliche Wachstumsrate: w 00,04 = 0, 0190