Prüfung aus Statistik 1 für SoziologInnen. Musterlösung

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1 Prüfung aus Statistik 1 für SoziologInnen Gesamtpunktezahl =80 1) Wissenstest (maximal 20 Punkte) Prüfungsdauer: 2 Stunden Musterlösung Kreuzen ( ) Sie die jeweils richtige Antwort an. Jede richtige Antwort gibt 2 Punkte. Pro falsche Antwort werden 2 Punkte abgezogen, wobei ein etwaiger negativer Gesamtwert für den Wissenstest auf Null gesetzt wird. Es ist auch zulässig, Fragen nicht zu beantworten. ja nein (1) Bei einer unimodalen, linksschiefen Verteilung ist das arithmetische Mittel immer kleiner als der Median. (2) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der geometrischen Verteilung ist streng monoton fallend. (3) Der Standardfehler ist immer kleiner gleich der Standardabweichung. (4) Das Modell der Poisson-Verteilung wird häufig für diskrete Wartezeiten verwendet. (Poisson-Verteilung für seltene Ereignisse; für diskrete Wartezeiten verwendet man z.b. die geometrische Verteilung) (5) Ein kategorielles Merkmal erlaubt das Bilden von Rangfolgen (Rangfolgen können nur aus ordinalen, intervall- oder rationalskalierten Merkmalen gewonnen werden) (6) Wenn 2 Merkmale X und Y unabhängig sind, muss der lineare Korrelationskoeffizient gleich null sein. (ja aber die Umkehrung gilt nicht Korrelation von Null impliziert nicht Unabhängigkeit) (7) Capture/Recapture Experimente basieren auf der Binomialverteilung (nein Capture/Recapture Experimente basieren auf der Hypergeometrischen Verteilung) (8) Es gilt immer: P(A B) = P(B A) P(B) (Richtig wäre P(A B) = P(B A) P(A) ) (9) Aus den Axiomen von Kolmogoroff folgt: PA ( B) PA ( ) PB ( ) (Nein - richtig wäre P(A υ B) = P(A) + P(B) - P(A B) ) (10) Bei der Normalverteilung gilt, dass in einem Intervall von plus/minus einer Standardabweichung um den Mittelwert rund 95% der Beobachtungen liegen. (Nein rund 68%; Für 95% benötigen wir rund plus/minus zwei Standardabweichungen) Roter Text repräsentiert Kommentare zur Lösung. Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 1 von 10

2 1.Fünftel 2) Die nachfolgende Tabelle beschreibt die Einkommensverteilung eines Landes. Einkommensverteilung in % der Gesamtbezüge (20% der Arbeitnehmer mit dem geringsten Einkommen) 2,0% 2.Fünftel 10,0% 3.Fünftel 20,0% 4.Fünftel 25,0% 5.Fünftel (20% der Arbeitnehmer mit dem höchsten Einkommen) 43,0% Anteil Merkmalsträger Anteil Merkmalssumme kumulierter Anteil Merkmalsträger kumulierter Anteil Merkmalssumme 0% 0,0% 0% 0,0% 20% 2,0% 20% 2,0% 20% 10,0% 40% 12,0% 20% 20,0% 60% 32,0% 20% 25,0% 80% 57,0% 20% 43,0% 100% 100,0% a) Zeichne die Konzentrationskurve nach Lorenz Münzner (5 Punkte) b) Berechne den Konzentrationskoeffizienten nach Lorenz Münzner (5 Punkte) kumulierter Anteil kumulierter Anteil Anteil Anteil Merkmalsträger Merkmalssumme Merkmalsträger Merkmalssumme (ki) (li) k i-1 +k i 0,20 0,02 0,20 0,0200 0,200 0,004 0,20 0,10 0,40 0,1200 0,600 0,060 0,20 0,20 0,60 0,3200 1,000 0,200 0,20 0,20 0,80 0,5700 1,400 0,280 0,20 0,43 1,00 1,0000 1,800 0,774 1,00 LKM= 0,318 LKM Norm= 0,398 Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 2 von 10

3 3) Bei einer Umfrage im Jahr 1991 wurden in den USA folgende Werte erhoben (Werte sind zur Vereinfachung der Rechnung gerundet): Frau als US President YES NO Berufstätigkeit von Frauen YES NO a) Bestimme die cross-product ratio und den Assoziationskoeffizienten nach Yule. (4 Punkte) =700*50/(150*100) =(2,3333 1)/(2,3333+1) a) cpr = 2,3333 Yule = 0,4000 b) Bestimme jeweils die odds für das Merkmal Berufstätigkeit von Frauen YES/NO für die Gruppe der Antworter, die eine Frau als Präsidentin befürworten und für die Gruppe der Antworter, die eine Frau als Präsidentin ablehnen. b) odss(beruf YES NO President NO) = (100/150)/(50/150) odss(beruf YES NO President NO) = 2,0000 odss(beruf YES NO President YES) = (700/850)/(150/850) odss(beruf YES NO President YES) = 4,6667 c) Bestimme aus den Ergebnissen von b) die odds-ratio für das Merkmal Berufstätigkeit von Frauen in Abhängigkeit vom Merkmal Einstellung zu Frau als Präsidentin. (3 Punkte) =4,6667/2 c) Odds ratio(beruf President) = 2,3333 Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 3 von 10

4 4) Ein spezieller elektronischer Bauteil wird weltweit nur von 3 großen Herstellern produziert. Hersteller Marktanteil durchschnittliche Ausfallsrate A 50% 10% B 40% 20% C 10% 40% a) Wie groß ist die durchschnittliche Ausfallsrate für Bauteile dieses Typs? (2 Punkte) Lösung mittels gewogenem arithmetischen Mittel bzw. Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Anteil Ausfall A 50% 10% B 40% 20% C 10% 40% 0,5*0,1+0,4*0,2+0,1*0,4 = 0,17 a) durchschnittlicher Ausfall 17,0% b) In einem System ist ein eingebautes Bauteil dieses Typs defekt. Sie wissen nicht von welchem Hersteller das eingebaute Bauteil stammt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass es sich bei dem ausgefallenen Bauteil um ein Produkt des Herstellers A, B oder C handelt. (4 Punkte) Lösung mittels Theorem von Bayes b) P(A defekt) = 29,4% =0,5*0,1/0,17 P(B defekt) = 47,1% =0,4*0,2/0,17 P(C defekt) = 23,5% =0,1*0,4/0,17 Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 4 von 10

5 5) Bei einer Umfrage wurden 100 Studenten nach ihren Ausgaben für Fachliteratur innerhalb eines Semesters befragt. Die Ergebnisse sind in folgender Tabelle zusammen gestellt: Ausgaben in Anzahl der Studenten 0 bis unter bis unter bis unter bis unter bis unter (a) Berechnen Sie die kumulierten relativen Häufigkeiten ( 2 Punkte) Klassen Mitte rel.h. kum. Rel. H Ausgaben in Anzahl der Studenten bis unter ,05 0,05 20 bis unter ,35 0,40 50 bis unter ,20 0, bis unter ,30 0, bis unter ,10 1, ,00 1 (b) Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion (4 Punkte) Empirische Verteilungsfunktion 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 5 von 10

6 (c) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Ausgaben! (d) Berechnen Sie den Median der Ausgaben mittels Feinberechnung! Klassen Mitte rel.h. kum. Rel. H Ausgaben in Anzahl der Studenten bis unter ,05 0,05 20 bis unter ,35 0,40 50 bis unter ,20 0, bis unter ,30 0, bis unter ,10 1, ,00 1 =(5*10+35*35+20*75+30*150+10*350)/100 c) Arith. Mittel 107,75 =50+(100 50)*(0,5 0,4)/(0,6 0,4) d) Median 75 Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 6 von 10

7 6) Im Zuge eines Zensus wurde folgende Frage gestellt: Über wie viele Wohnsitze verfügt Ihre Familie?. Dabei wurde für eine bestimmte Stadt mit Familien folgende Verteilung ermittelt: Anzahl der Wohnsitze Absolute Häufigkeit a) In einer nachgelagerten Untersuchung werden einem Interviewer nach dem Zufallsprinzip 5 Familien zugeordnet und er muss für alle Wohnsitze dieser 5 Familien eine Detailerhebung durchführen. Wie groß sind der Erwartungswert und die Varianz für die Gesamtzahl der Wohnsitze der zufällig ausgewählten Familien, für die der Interviewer eine Detailerhebung durchführen muss? (Insgesamt 10 Punkte) Hinweis: bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion, den Erwartungswert und die Varianz für die Zufallsvariable Anzahl der Wohnsitze einer Familie. Anzahl der Wohnsitze Absolute Häufigkeit Prob(x) x*prob(x) x² x²*prob(x) ,920 0,92 1 0, ,060 0,12 4 0, ,020 0,06 9 0, ,10 1,34 E(X) = 1,10 E(X²) = 1,34 V(X) = E(X²) E(X)² V(X) = 0,13 E(5X) = 5,50 E(X 1 +X 2 + X 5 ) = 5*E(X) V(5X) = 0,65 V(X 1 +X 2 + X 5 ) = 5*V(X) Annahme Haushalte sind unabhägig ausgewählt Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 7 von 10

8 7) Eine Password-Policy schreibt als Minimalanforderung vor, dass ein Password aus 4 Zeichen (Buchstaben oder Ziffern) bestehen muss, wobei das erste Zeichen ein Buchstabe sein muss und die restlichen Zeichen Buchstaben oder Ziffern sein können Es wird nicht nach Groß- und Kleinbuchstaben unterschieden und wir setzen voraus, dass es 10 Ziffern und 26 Buchstaben gibt. Wie viele unterschiedliche Passwörter können mit den angegebenen Minimalkriterien erfüllt werden? Wie viele unterschiedliche Passwörter können mit den angegebenen Minimalkriterien erfüllt werden, wenn als zusätzliche Anforderung formuliert wird, dass kein Zeichen öfter als einmal verwendet werden darf? Zeichen 1 Zeichen 2 Zeichen 3 Zeichen 4 Buchstabe a) b) Lösung ergibt sich aus Variation mit und ohne Wiederholung durch Multiplikation der einzelnen Anzahlen von Möglichkeiten pro Zeichen Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 8 von 10

9 8) Die Inflation betrug in Österreich im Jahresmittel wie folgt: Jahr Jahresinflation in % 3,3 2,4 2,0 1,7 Wie hoch war die durchschnittliche Inflation im Zeitraum 2011 bis 2013? Jahr Jahresinflation in % 3,3 2,4 2,0 1,7 = 1,033*1,024*1,02 = 1,0789 = 1,0789^(1/3) = 1,0257 1,0789 1,0257 durchschnittliche Inflation 2011 bis ,57% Probe , , , , , ,8948 Real: Anwendung der jährlichen Inflationsraten Mittel: Anwendung der durchschnittlichen Inflationsrate Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 9 von 10

10 9) Von drei Regionen eines Landes kennen Sie die Arbeitslosenzahlen und die Arbeitslosenquoten (Arbeitslosenquote = Anzahl der Arbeitslosen / Anzahl der Erwerbspersonen; Als Erwerbspersonen bezeichnet man die aktuell Beschäftigten plus die Arbeitslosen) Region Anzahl Arbeitslose Arbeitslosenquote A % B % C ,5% Bestimme die durchschnittliche Arbeitslosenquote in diesem Land! Lösung mittels gewogenem, harmonischen Mittel, da die Gewichte dem Zähler der Arbeitslosenquote entsprechen Region Arbeitslose Quote Erwerbspersonen A ,0% B ,5% C ,0% Direkte Überlegung = / *100 12,22% Gewogenes harmonisches Mittel =1/((1/0,1* /0,125* /0,2*5.000)/27.000)=0,1222 Prüfung - Statistik 1 für SoziologInnen 10 von 10