Vl Zweidimensionale Verteilungen Zusammenhangsmaße 3.1. Zwei dimensionale Häufigkeitstabellen. Absolute Häufigkeitstabelle

Transkript

1 Vl Zweidimensionale Verteilungen Zusammenhangsmaße 3.1. Zwei dimensionale Häufigkeitstabellen schnell mittel langsam 3 Arten von Häufigkeitstabellen: Absolute Häufigkeitstabelle relative Häufigkeitstabelle bedingte relative Häufigkeitsverteilungen 20 der 200 Personen sind männlich und schnell Relative 0,1 = 10% der Personen sind männlich und schnell 1

2 Bedingte relative Verteilungen der Reaktionszeiten für den Fall (Bedingung) a) S=m und b) S=w 0,25 = 20/80 0,33=40/120 0,3 =60/200 0,625 =50/80 0,5=60/120 0,55=110/200 0,125=10/80 0,17=20/120 0,15=30/200 0,25=25% der Männer sind schnell 0,17=17% der Frauen sind langsam 0,15=15% der Gesamtstichprobe sind langsam Bedingte relative Verteilungen des Geschlechtes für den Fall (Bedingung) a) T=schnell, b) T = mittel, c) T=langsam S schnell mittel langsam m 20/60 w 40/60 50/110 10/30 60/110 20/30 Darüber hinaus gibt es die Randverteilungen = Verteilungen von T und S: Spalte rechts außen ist die Verteilung von T Zeile unten ist die Verteilung von S: T Hn(Ki) S Hn(ai) [100,130) [130,160) [160,190) m w

3 a) Wie viele Männer sind in der mittleren Reaktionszeitklasse? b) geben Sie die relative Häufigkeitsverteilung der Reaktionszeitklasse T und des Geschlechts S an! c) Mittelwert und Modalwert der Reaktionszeit? d) Wie groß ist der Anteil der Männer in der schnellen Reaktionszeitklasse? e) Wie viel % der Männer sind in der schnell? schnell mittel langsam Bedingte Verteilung von T unter der Bedingung S=m 3

4 Allgemeine Bezeichnungen H ij =Anzahl der Beobachtungspaare ( v,y v ) mit v =a i und y v = b j = absolute Zellhäufigkeit =Anteil der Beobachtungspaare ( v,y v ) mit v =a i und y v = b j = relative Zellhäufigkeit 4

5 relative Häufigkeitsverteilung von X: Bedingte relative Häufigkeitsverteilung von X unter der Bedingung Y = b j : 5

6 Grafische Darstellungen 6

7 3.2. Der χ 2 Kontingenzkoeffizient zum Prüfen der Unabhängigkeit zweier Merkmale Kriterium zum Prüfen der Unabhängigkeit: Bei Unabhängigkeit gilt: 7

8 Bezeichnungen: = Beobachtete absolute Häufigkeiten = Bei Unabhängigkeit erwartete Häufigkeiten Bei Unabhängigkeit müssten diese wenigstens übereinstimmen!! Stellen Sie für unser Beispiel ((T,S)) die Tabelle der beobachtetetn und erwarteten Häufigkeiten auf! Beobachtet: Schwarz, Erwartet: Rot Wie würden Sie den Unterschied zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten einschätzen? Wir benötigen eine Maßzahl zur Charakterisierung des Unterschiedes! 8

9 Eine Maßzahl für die Charakterisierung der Abweichungen von übliche Maße: = χ 2 (Chi Quadrat Kontingenzkoeffizient) Es gilt: Berechnen Sie für unser Beispiel ((T,S)) den χ 2 - Kontingenzkoeffizienten Ist 3,03 0? Das lässt sich nicht beurteilen, weil uns die Bezugsgrenze (nach oben) fehlt. 9

10 Wir können nicht beurteilen, ob 3,03 in der Nähe von 0 liegt, oder nicht. Dazu fehlt uns der Bezugspunkt. wir benötigen ein normiertes Maß Wir verwenden C korr heißt korrigierter Kontingenzkoeffizient Satz: Es gilt: 0 C korr 1 Auswertung von C korr : 10

11 11

12 Beispiel 2 Beispiel 3: 12

13 13

14 3.3. Korrelationsmaße zu Beurteilung des Zusammenhangs zwischen X und Y Die Korrelation von Pearson Vor: X u. Y sind PS Ges: Maßzahl r, das die Abweichung der SP Daten ( i, y i ) i=1...n von einer Geraden beschreibt. r beurteilt den Grad des Linearen Zusammenhangs zwischen den Daten. Wie kann ein solches Maß r definiert werden? l 14

15 Mögliches Maß: Es gilt: Stichproben-Kovrianz Bemerkung: Spezialfälle: S xx = S 2, Streuung von S yy = S y 2, Streuung von y falls die Daten eher im I. u. III.-Quadranten liegen falls II, IV. Im Bsp ist S xy = 1,2 15

16 Wie eng streuen Daten um eine Grerade? Auswertung nicht möglich, weil Bezugspunkt fehlt! Pearson führte ein normierte Maß ein: Def: heißt Korrelationskoeffizient von Pearson. r xy misst den Grad der linearen Abhängigkeit zwischen ; und y;. Es gilt: Satz: Es gilt: Beweis: HA 16

17 Bewertung von r 17

18 Die Korrelation von Spearman. Vor: Bezeichnung: misst den Grad des monotonen Zusammenhangs bzw. die Abweichung von einer monoton wachsenden oder fallenden Funktion. 18

19 Wie kann man ρxy definieren! Dazu verwenden wir sogenannte Rangplatzdaten : SP: geordnete SP: Rangplätze: Nr. in der geordneten SP, aber: falls mehrere x i gleich sind bekommen sie allen ihren mittleren Rangplatz zugeordnet. 19

20 Bsp: SP geordnete SP: Numerierung: Rangplätze: Zusammenhang zwischen Rangplätzen und ρxy: ( :, y;) liegen exakt auf mon. fallender Fkt. < (R(x:), R(y;)) (liegen exakt auf Geraden mit neg. Anstieg. 20

21 ( :, y;) liegen exakt auf mon. wachsender Fkt. < (R(x:), R(y;)) (liegen exakt auf Geraden mit pos. Anstieg. Def: heißt Korrrelationskoeffizient von Spearman. Linearität der Rangplatzdaten = Monotonie der Daten (D.h., die Monotonie der Daten wird durch die Linearität der Rangplatzdaten beschrieben!) 21

22 22