Biometrieübung 11 Kontingenztafeln
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- Edwina Schenck
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1 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Aufgabe Biometrieübung 11 Kontingenztafeln Aufgabe 1 2x2-Kontingenztafeln 100 weibliche Patienten sind mit einer konventionellen Therapie behandelt worden 85 Patientinnen wurden geheilt, 15 sind gestorben Von 81 Patientinnen, die mit einer neuen Therapie behandelt wurden, konnten 77 geheilt entlassen werden 4 sind gestorben Stellen Sie aus den genannten Häufigkeiten eine 2x2-Kontingenztafel auf b Wie groß sind die erwarteten Häufigkeiten, wenn diese proportional zu den Randsummen sein sollen? c Ist der Heilungsprozentsatz stochastisch unabhängig von der angewandten Therapie (Nullhypothese)? Bei männlichen Patienten wurden folgende Zahlen ermittelt: Konventionelle Therapie: 85 geheilt, 20 gestorben neue Therapie: 70 geheilt, 6 gestorben d Wiederholen Sie die Lösung der Aufgaben a bis c für die männlichen Patienten e Berechnen Sie für die weiblichen und für die männlichen Patienten jeweils den Kontingenzkoeffizienten Ist die Abhängigkeit des Heilungserfolges von der Therapie bei den weiblichen oder bei den männlichen Patienten größer? f Unter welcher Bedingung erreicht der Kontingenzkoeffizient seinen größten Wert? 2 kx2-kontingenztafeln Bei 300 Personen wurden Geschlecht und Haarfarbe notiert Beim Geschlecht wurden weiblich und männlich unterschieden, bei der Haarfarbe schwarz, braun, blond und rot Folgende Häufigkeiten wurden gefunden: weiblich/schwarz 55 männlich/schwarz 32 weiblich/braun 65 männlich/braun 43 weiblich/blond 64 männlich/blond 16 weiblich/rot 16 männlich/rot 9 file:///c /wolle/web/aufgaben/aufg11html (1 von 2) [ :02:06]
2 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Aufgabe b c d Stellen Sie aus den genannten Häufigkeiten eine k x 2- oder 2 x k-kontingenztafel auf Wie groß sind die erwarteten Häufigkeiten, wenn diese proportional zu den Randsummen sein sollen? Ist die Haarfarbe stochastisch unabhängig von Geschlecht (Nullhypothese)? Welche Haarfarbe(n) ist (sind) vom Geschlecht abhängig? Letzte Änderung: Kontakt: Wolfgang Stümer file:///c /wolle/web/aufgaben/aufg11html (2 von 2) [ :02:06]
3 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Lösung Biometrieübung 11 Kontingenztafeln Lösung 1 2x2-Kontingenztafeln 2x2-Kontingenztafel weiblich Patienten geheilt gestorben Insgesamt konventionelle Therapie neue Therapie Insgesamt b erwartete Häufigkeiten c weiblich Patienten geheilt gestorben konventionelle Therapie 89,5 10,5 Test neue Therapie 72,5 8,5 Nullhypothese: Der Heilungsprozentsatz ist stochastisch unabhängig von der angewandten Therapie Alternativhypothese: Der Heilungsprozentsatz ist abhängig von der angewandten Therapie = 4,82 FG = 1 = 3,84 Da > ist, wird die Nullhypothese abgelehnt Der Heilung bei den weiblichen Patienten ist von der angewandten Therapie abhängig d männliche Patienten 2x2-Kontingenztafel männliche Patienten geheilt gestorben Insgesamt file:///c /wolle/web/loesung/loes11html (1 von 6) [ :02:15]
4 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Lösung konventionelle Therapie neue Therapie erwartete Häufigkeiten Insgesamt männliche Patienten geheilt gestorben konventionelle Therapie 89,9 15,1 Test neue Therapie 65,1 10,9 Nullhypothese: Der Heilungsprozentsatz ist stochastisch unabhängig von der angewandten Therapie Alternativhypothese: Der Heilungsprozentsatz ist abhängig von der angewandten Therapie = 4,46 FG = 1 = 3,84 Da > ist, wird die Nullhypothese abgelehnt Der Heilung bei den männlichen Patienten ist von der angewandten Therapie abhängig e Kontingenzkoeffizienten Kontingenzkoeffizient (CC) korrigierter Kontingenzkoeffizient (CC korr ) weibliche Patienten 0,1611 0,2278 männliche Patienten 0,1550 0,2193 Die Abhängigkeit des Heilungserfolges von der Therapie ist bei den weiblichen Patienten größer (0,1611>0,1550) Aber der Unterschied bei den Kontingenzkoeffizienten der weiblichen und männlichen Patienten ist so gering, daß man ihn vernachlässigen kann f maximaler Kontigenzkoeffizient Der maximale Kontigenzkoeffizient für die Vierfeldertafel beträgt 0,7071; er tritt stets bei vollkommener Kontingenz auf, also wenn die entgegengesetzten Komplementärereignisse unbesetzt bleiben In unserem file:///c /wolle/web/loesung/loes11html (2 von 6) [ :02:15]
5 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Lösung Beispiel müßten bei der konventionellen Therapie alle Patienten sterben und bei der neuen Therapie alle Patienten geheilt werden (oder umgekehrt) 2 kx2-kontingenztafeln 4x2-Kontingenztafel Haarfarbe weiblich männlich Insgesamt schwarz braun blond rot Insgesamt b erwartete Häufigkeiten Haarfarbe weiblich männlich schwarz 58,0 29,0 braun 72,0 36,0 blond 53,3 26,7 rot 16,7 8,3 c Test Nullhypothese: Die Haarfarbe ist stochastisch unabhängig vom Geschlecht Alternativhypothese: Die Haarfarbe ist abhängig vom Geschlecht = 8,99 FG = k-1 = 3 = 7,81 Da > ist, wird die Nullhypothese abgelehnt Die Haarfarbe ist abhängig vom Geschlecht d Welche Haarfarben sind abhängig? 2x2-Kontingenztafel (schwarz) file:///c /wolle/web/loesung/loes11html (3 von 6) [ :02:15]
6 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Lösung Haarfarbe weiblich männlich Insgesamt schwarz braun/blond/rot Insgesamt erwartete Häufigkeiten (schwarz) Haarfarbe weiblich männlich Test (schwarz) schwarz 58,0 29,0 braun/blond/rot 142,0 71,0 Nullhypothese: Die Haarfarbe schwarz ist stochastisch unabhängig vom Geschlecht Alternativhypothese: Die Haarfarbe schwarz ist abhängig vom Geschlecht = 0,66 FG = 1 = 3,84 Da < ist, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt Die Haarfarbe schwarz ist stochastisch unabhängig vom Geschlecht 2x2-Kontingenztafel (braun) Haarfarbe weiblich männlich Insgesamt braun schwarz/blond/rot Insgesamt erwartete Häufigkeiten (braun) Haarfarbe weiblich männlich braun 72,0 36,0 schwarz/blond/rot 128,0 64,0 file:///c /wolle/web/loesung/loes11html (4 von 6) [ :02:15]
7 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Lösung Test (braun) Nullhypothese: Die Haarfarbe braun ist stochastisch unabhängig vom Geschlecht Alternativhypothese: Die Haarfarbe braun ist abhängig vom Geschlecht = 3,19 FG = 1 = 3,84 Da < ist, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt Die Haarfarbe braun ist stochastisch unabhängig vom Geschlecht 2x2-Kontingenztafel (blond) Haarfarbe weiblich männlich Insgesamt blond schwarz/braun/rot Insgesamt erwartete Häufigkeiten (blond) Test (blond) Haarfarbe weiblich männlich blond 53,3 26,7 schwarz/braun/rot 146,7 73,3 Nullhypothese: Die Haarfarbe blond ist stochastisch unabhängig vom Geschlecht Alternativhypothese: Die Haarfarbe blond ist abhängig vom Geschlecht = 8,73 FG = 1 = 3,84 file:///c /wolle/web/loesung/loes11html (5 von 6) [ :02:15]
8 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Lösung Da > ist, wird die Nullhypothese abgelehnt Die Haarfarbe blond ist abhängig vom Geschlecht 2x2-Kontingenztafel (rot) Haarfarbe weiblich männlich Insgesamt rot schwarz/braun/blond Insgesamt erwartete Häufigkeiten (rot) Test (rot) Haarfarbe weiblich männlich rot 16,7 8,3 schwarz/braun/blond 183,3 91,7 Nullhypothese: Die Haarfarbe rot ist stochastisch unabhängig vom Geschlecht Alternativhypothese: Die Haarfarbe rot ist abhängig vom Geschlecht = 0,09 FG = 1 = 3,84 Da < ist, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt Die Haarfarbe rot ist stochastisch unabhängig vom Geschlecht Nur die Haarfarbe blond ist abhängig vom Geschlecht Bei den Farben schwarz, braun und rot besteht keine Abhägigkeit vom Geschlecht Letzte Änderung: Kontakt: Wolfgang Stümer file:///c /wolle/web/loesung/loes11html (6 von 6) [ :02:15]
9 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Formeln Biometrieübung 11 Kontingenztafeln Formeln Inhalt Auswertung von Vierfeldertafeln (2x2 Kontigenztafeln) Tabelle der Signifikanzschranken der Chi-Quadrat-Verteilung Auswertung von Vierfeldertafeln (2x2 Kontigenztafeln) Analyse kategorialer Daten: Neben Alternativmerkmalen mit nur zwei Ausprägungen (zb einwandfrei nicht einwandfrei) unterscheidet man nominal skalierte Merkmale, wobei Namen oder Bezeichnungen für bestimmte Kategorien existieren (zb ledig, verheiratet, geschieden) sowie ordinal skalierte Merkmale, bei denen die Kategorien aus Namen oder Bezeichnungen für Ränge, dh für Intensitätsstufen des Merkmals bestehen (zb die Benotungsskala in der Schule) Werden die Ausprägungen zweier kategorialer Merkmale gemeinsam betrachtet, so liegt im einfachsten Fall eine Vierfeldertafel vor Ziel der Analyse einer Vier- oder Mehrfeldertafel ist die Erfassung der Beziehungsstruktur der in der Tafel verknüpften kategorialen Merkmale Wird die stochastische Unabhängigkeit beider Merkmale geprüft, so liegt eine Kontigenztafel vor Merkmalspaar II Ereignisse (+) Komplementärereignisse (-) Insgesamt Merkmalspaar I Erste Stichprobe a b a + b = n 1 Zweite Stichprobe c d c + d = n 2 Insgesamt a + c b + d n 1 + n 2 = n Die beiden Stichproben von Alternativdaten werden daraufhin untersucht, ob sie als Zufallsstichproben aus einer durch die Randsummen repräsentierten Grundgesamtheit aufgefaßt werden können Ob Abweichungen der Verhältnisse a/n 1 und c/n 2 von dem Verhältnis (a + c)/n (Nullhypothese der Homogenität: a/n1 = c/n2 = (a + c)/n) als Zufallsabweichung auffaßbar sind Verteilen sich die Felderhäufigkeiten proportinal zu den Randsummen? Um dies zu entscheiden, bestimmen wir die unter dieser Annahme zu erwartenden Häufigkeiten, kurz file:///c /wolle/web/formeln/form11html (1 von 4) [ :02:20]
10 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Formeln Erwartungshäufigkeiten E genannt Wir multiplizieren die Zeilensumme mit der Spaltensumme des Feldes und dividieren das Produkt durch den Umfang n der vereinten Stichproben zb Nullhypothese: Beide Stichproben entstammen einer gemeinsamen Grundgesamtheit mit der Erfolgswahrscheinlichkeit Alternativhypothese: Beide Stichproben entstammen zwei verschiedenen Grundgesamtheiten mit den Erfolgswahrscheinlichkeiten 1 und 2 Erfolgswahrscheinlichkeit ist das Ereignis dividiert durch die Zeilensumme Die Nullhypothese auf Gleichheit oder Homogenität beider Parameter (oder auf stochastische Unabhängigkeit beider Merkmalsalternativen) wird anhand des abgelehnt - Tests nicht abgelehnt oder durch Umformungen erhält man: Für kleines n ist n durch (n-1) zu ersetzen Das Vierfelder- besitzt nur einen Freiheitsgrad, da bei gegebenen Randsummen nur eine der 4 Häufigkeiten frei gewählt werden kann Die Nullhypothese wird abgelehnt, sobald das berechnete größer ist als der Tabellenwert -Tests können lediglich die Existenz eines Zusammenhanges aufzeigen Über die Stärke des Zusammenhanges sagen sie nichts aus Ein Maßzahl für den Grad des Zusammenhanges ist der Kontingenzkoeffizient Er ist als Maß für die Straffheit des Zusammenhanges der beiden Merkmale von file:///c /wolle/web/formeln/form11html (2 von 4) [ :02:20]
11 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Formeln Vier- und Mehrfeldertafeln aus dem - Wert nach der Formel zu berechnen: Der maximale Kontigenzkoeffizient für die Vierfeldertafel beträgt 0,7071; er tritt stets bei vollkommener Kontingenz auf, also wenn die Felder b und c unbesetzt bleiben Vergleich mehrerer Stichproben von Alternativdaten (k*2 Felder Kontingenztafel) Vorausgesetzt werden n unabhängige Beobachtungen Stichprobe (oder 2 Merkmal) Merkmal (+) Merkmal (-) 1 2 j k x 1 x 2 x j x k n 1 -x 1 n 2 -x 2 n j -x j n k -x k n 1 n 2 n j n k x n-x n Zur Entscheidung über Beibehalten oder Ablehnung der Nullhypothese der Homogenität (Gleichheit) k binomialer Grundgesamtheiten dient der - Test mit FG = k 1 n = Umfang der gesamten Stichproben, die "Ecksumme" n j = Umfang der einzelnen Stichproben j x = Gesamtzahl der Stichprobenelemente mit dem Merkmal "+" x j = Häufigkeit des Merkmals "+" in der Stichprobe j Letzte Änderung: Kontakt: Wolfgang Stümer file:///c /wolle/web/formeln/form11html (3 von 4) [ :02:20]
12 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Formeln file:///c /wolle/web/formeln/form11html (4 von 4) [ :02:20]
13 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Tabelle Signifikanzschranken Chi-Quadrat-Verteilung Biometrieübung 11 Kontingenztafeln Tabelle der Signifikanzschranken der Chi-Quadrat-Verteilung Signifikanzniveau FG 0,05 0,025 0,01 0, ,84 5,02 6,63 10,83 2 5,99 7,38 9,21 13,82 3 7,81 9,35 11,34 16,27 4 9,49 11,14 13,28 18, ,07 12,83 15,09 20, ,59 14,45 16,81 22, ,07 16,01 18,48 24, ,51 17,53 20,09 26, ,92 19,02 21,67 27, ,31 20,48 23,21 29, ,68 21,92 24,73 31, ,03 23,34 26,22 32, ,36 24,74 27,69 34, ,68 26,12 29,14 36, ,00 27,49 30,58 37, ,30 28,85 32,00 39, ,59 30,19 33,41 40, ,87 31,53 34,81 42, ,14 32,85 36,19 43, ,41 34,17 37,57 45, ,67 35,48 38,93 46, ,92 36,78 40,29 48, ,17 38,08 41,64 49, ,42 39,36 42,98 51, ,65 40,65 44,31 52, ,89 41,92 45,64 54, ,11 43,19 46,96 55, ,34 44,46 48,28 56, ,56 45,72 49,59 58, ,77 46,98 50,89 59,70 file:///c /wolle/web/formeln/form11_1html (1 von 5) [ :02:25]
14 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Tabelle Signifikanzschranken Chi-Quadrat-Verteilung 31 44,99 48,23 52,19 61, ,19 49,48 53,49 62, ,40 50,73 54,78 63, ,60 51,97 56,06 65, ,80 53,20 57,34 66, ,00 54,44 58,62 67, ,19 55,67 59,89 69, ,38 56,90 61,16 70, ,57 58,12 62,43 72, ,76 59,34 63,69 73, ,94 60,56 64,95 74, ,12 61,78 66,21 76, ,30 62,99 67,46 77, ,48 64,20 68,71 78, ,66 65,41 69,96 80, ,83 66,62 71,20 81, ,00 67,82 72,44 82, ,17 69,02 73,68 84, ,34 70,22 74,92 85, ,50 71,42 76,15 86, ,67 72,62 77,39 87, ,83 73,81 78,62 89, ,99 75,00 79,84 90, ,15 76,19 81,07 91, ,31 77,38 82,29 93, ,47 78,57 83,51 94, ,62 79,75 84,73 95, ,78 80,94 85,95 97, ,93 82,12 87,17 98, ,08 83,30 88,38 99, ,23 84,48 89,59 100, ,38 85,65 90,80 102, ,53 86,83 92,01 103, ,68 88,00 93,22 104, ,82 89,18 94,42 105, ,96 90,35 95,63 107, ,11 91,52 96,83 108, ,25 92,69 98,03 109,79 file:///c /wolle/web/formeln/form11_1html (2 von 5) [ :02:25]
15 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Tabelle Signifikanzschranken Chi-Quadrat-Verteilung 69 89,39 93,86 99,23 111, ,53 95,02 100,43 112, ,67 96,19 101,62 113, ,81 97,35 102,82 114, ,95 98,52 104,01 116, ,08 99,68 105,20 117, ,22 100,84 106,39 118, ,35 102,00 107,58 119, ,48 103,16 108,77 121, ,62 104,32 109,96 122, ,75 105,47 111,14 123, ,88 106,63 112,33 124, ,01 107,78 113,51 126, ,14 108,94 114,69 127, ,27 110,09 115,88 128, ,39 111,24 117,06 129, ,52 112,39 118,24 131, ,65 113,54 119,41 132, ,77 114,69 120,59 133, ,90 115,84 121,77 134, ,02 116,99 122,94 135, ,15 118,14 124,12 137, ,27 119,28 125,29 138, ,39 120,43 126,46 139, ,51 121,57 127,63 140, ,63 122,72 128,80 142, ,75 123,86 129,97 143, ,87 125,00 131,14 144, ,99 126,14 132,31 145, ,11 127,28 133,48 147, ,23 128,42 134,64 148, ,34 129,56 135,81 149, ,46 130,70 136,97 150, ,57 131,84 138,13 151, ,69 132,97 139,30 153, ,80 134,11 140,46 154, ,92 135,25 141,62 155, ,03 136,38 142,78 156,74 file:///c /wolle/web/formeln/form11_1html (3 von 5) [ :02:25]
16 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Tabelle Signifikanzschranken Chi-Quadrat-Verteilung ,14 137,52 143,94 157, ,26 138,65 145,10 159, ,37 139,78 146,26 160, ,48 140,92 147,41 161, ,59 142,05 148,57 162, ,70 143,18 149,73 164, ,81 144,31 150,88 165, ,92 145,44 152,04 166, ,03 146,57 153,19 167, ,14 147,70 154,34 168, ,25 148,83 155,50 170, ,35 149,96 156,65 171, ,46 151,08 157,80 172, ,57 152,21 158,95 173, ,67 153,34 160,10 174, ,78 154,46 161,25 176, ,88 155,59 162,40 177, ,99 156,71 163,55 178, ,09 157,84 164,69 179, ,20 158,96 165,84 180, ,30 160,09 166,99 181, ,40 161,21 168,13 183, ,51 162,33 169,28 184, ,61 163,45 170,42 185, ,71 164,57 171,57 186, ,81 165,70 172,71 187, ,91 166,82 173,85 189, ,02 167,94 175,00 190, ,12 169,06 176,14 191, ,22 170,18 177,28 192, ,32 171,29 178,42 193, ,42 172,41 179,56 195, ,51 173,53 180,70 196, ,61 174,65 181,84 197, ,71 175,76 182,98 198, ,81 176,88 184,12 199, ,91 178,00 185,26 201, ,00 179,11 186,39 202,18 file:///c /wolle/web/formeln/form11_1html (4 von 5) [ :02:25]
17 Biometrieübung 11 (Kontingenztafeln) - Tabelle Signifikanzschranken Chi-Quadrat-Verteilung ,10 180,23 187,53 203, ,20 181,34 188,67 204, ,29 182,46 189,80 205, ,39 183,57 190,94 206, ,49 184,69 192,07 208, ,58 185,80 193,21 209,27 zurück Letzte Änderung: Kontakt: Wolfgang Stümer file:///c /wolle/web/formeln/form11_1html (5 von 5) [ :02:25]
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