Chi² Test und Kontingenzkoeffizient. - aber keine natürliche Reihenfolge

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1 Chi² Test und Kontingenzoeffizient Für nominalsalierte Daten: - diese haben unterschiedliche Ausprägung, - aber eine natürliche Reihenfolge 1. Chi² Test Test nominalsalierter Daten Vergleich von beobachteten mit erwarteten Häufigeiten: Für Stichproben und mehrere Datenreihen Testzwec: geprüft wird, ob die beobachteten Daten aus einer erwarteten, bzw. vermuteten Verteilung stammen 1.1 Test auf bestimmte Verteilung für eine Stichprobe - damit wird geprüft, ob die beobachteten Daten einer bestimmten Verteilung folgen (Normalverteilung, Poisson, parameterfreie Verteilung, etc) Fragestellung: - Weichen die beobachteten Häufigeiten B i einer Stichprobe signifiant von den erwarteten Häufigeiten E i einer vermuteten Verteilung ab? Voraussetzung: - eine, nominalsaliere Daten genügen Vorgangsweise: (1) Berechne zu den beobachteten Häufigeiten B i die erwarteten Häufigeiten E i einer vermuteten Verteilung und χ² H 0 : Es gibt eine Abweichung zwischen beobachteter und erwarteter Verteilung n () Berechne: χ Vers = (B i E i ) n i=1 = ( (B i ) i=1 ) N E i E i n Anzahl Mermalslassen N Stichprobenumfang (3) Entnehme der ² Tabelle den Wert χ Tab (FG; α) FG = n Signifianzniveau a Anzahl, der aus den Daten geschätzten Parameter (4) Teststatisti: χ Vers χ Tab azeptiere H 0 χ Vers > χ Tab verwerfe H 0 auf dem Signifianzniveau Bsp.: - Test auf Normalverteilung, - Kreuzungsversuch von Drosophila mit normalen und braunen Augen. Ist in der. Filialgeneration das Spaltungsverhältnis 3: 1? Test auf Verteilung 3:1 in F 1.. Homogenitätstest für den Vergleich der Häufigeitsverteilung mehrerer Stichproben prüft, ob die jeweiligen beobachteten Häufigeitsverteilungen Stichproben aus einer Grundgesamtheit sind, die bezüglich des untersuchten Mermals gleiche Verteilungen aufweisen. Homogenität ist z.b. Voraussetzung für das Zusammenfassen einer Versuchsserie zu einer Stichprobe. Darstellung der Daten in einer sogenannten Kontingenztafel.

2 Stichprobe Fragestellung: Gibt es signifiante Unterschiede zwischen den Verteilungen in den r Stichproben? (Inhomogenität des Materials?) Voraussetzung: nominalsalierte Daten genügen Vorgangsweise: (1) r Stichproben mit c Mermalsausprägungen, deren beobachtete Häufigeiten B ij in eine Kontingenztafel eingetragen werden. Berechnung der Zeilen und Spaltensummen: Mermalsausprägungen 1 3 j c 1 B 11 B 1 B 13 B 1j B 1c Z 1 B 1 B B 3 B j B c Z 3 B 31 B 3 B 33 B 3j B 3c Z 3 i B i1 B i B i3 B ij B ic Z i r B r1 B r B r3 B rj Br c Z r Z 1 Z Z 3 Z j Z c N Mit: B Z i = S j = c B j=1 r B i=1 Beobachtete Häufigeiten Die i-te Zeilensumme der Kontingenztafel (i fest, j variabel) Die j-te Spaltensumme der Kontingenztafel (i variabel, j fest) c, r N = B Stichprobenumfang Anzahl Mermalsausprägungen, Anzahl der Stichproben i (bzw j) Der Laufindex von 1 bis r (bzw. von 1 bis c) () die erwarteten Häufigeiten werden berechnet: E = Z i S j 1 N Erwartete Häufigeiten (3) Berechnung von χ² (Chi-Quadrat) χ² = (B ij )² = ( (B ij)² ) N

3 (4) Entnehme der ² Tabelle den Wert χ Tab (FG; α) FG = (c-1).(r-1) Signifianzniveau (5) Teststatisti: χ Vers χ Tab azeptiere H 0 (Homogenität der Verteilungen) χ Vers > χ Tab verwerfe H 0 auf dem Signifianzniveau : mindestens eine Stichprobe weicht ab Die Mermalslassen sind so zusammenzufassen, dass alle > 1 sind. Bsp. (aus Köhler, Biostatisti). Sind Augenfarbe und Haarfarbe unabhängig voneinander? Es liegen 3 Stichproben vor: Blau- Grün- und Braunäugige. Zu jeder Stichprobe ist die Häufigeitsverteilung des Mermals Haarfarbe gegeben; Das Mermal hat 4 verschiedene Ausprägungen, c = 4. Mit dem Homogenitätstest soll gelärt werden, ob die 3 Stichproben als eine gemeinsame Stichprobe behandelt werden önnen, ob sie also homogen sind. Häufigeiten und Kontingenztabellen, N Anzahl der Individuen X 1, X unterschiedliche Mermalsausprägungen Haarfarbe und Augenfarbe r Anzahl verschiedener Mermalsausprägungen bei X 1, in diesem Fall Anzahl der unterschiedlichen Stichproben c Anzahl verschiedener Mermalsausprägungen bei X Kontingenztafel mit r x c Feldern: - Eintragung der beobachteten Häufigeiten, Berechnung der Spalten und Zeilensummen und der Randverteilungen = relative Spalten- und Zeilenhäufigeit. j 1 3 i Haare \ Augen Blau Braun Grün Zi Randvertlg, rel. Zeilenhfg 1 Blond =0,38 Braun =0,31 3 Schwarz =0, 4 rot =0,09 Sj Randverteilung Rel. Spaltenhfgt. r= =0, =0, =0,4 c=3 N= 18 Zeilenzahl Spaltenzahl Stichprobengröße

4 Randverteilungen S j /N; Z i /N Erwartete Häufigeiten: E = Z i N S j N N = Z i S j 1 N () (1,1) (,1) (3,1) (4,1) (1,) (,) (3,) (4,) (1,3) (,3) (3,3) (4,3) B E 3,73 18,89 13,56 5,81 13,78 10,97 7,88 3,38 11,48 9,14 6,56,81 18 B ij ² 74,34 7,6 0,00 11,0 0,07,8 85,79 4,73 3,14 5,95 0,61 0,00 4,55 Berechnung von χ² (Chi-Quadrat) χ² = (B ij )² = ( (B ij)² ) N ² = 4,55 18 = 114,55, daraus folgt: Teststatisti: Aus Tabelle χ Tab(6;0,05) Entscheidung: χ Vers = 1,59 > χ Tab ; 114,55 > 1,59, die Hypothese H 0 wird daher verworfen, die einzelnen Stichproben sind nicht homogen und önnen daher nicht als eine gemeinsame Stichprobe behandelt werden

5 . Pearson scher Kontingenzoeffizient - Kontingenz oder Assoziation ersetzt Korrelation intervallsalierter Daten. Der Pearson sche Kontingenzoeffizient ist ein Maß für Kontingenz oder Assoziation, analog dem Korrelationsoeffizient als Maß für die Korrelation intervallsalierter Daten. Definition und Berechnung des Kontingenzoeffizienten C nach Pearson: C = χ² χ² + N Eigenschaften von C: C [0,1) C ist nach oben hin begrenzt mit C [0, 1 ], = min(r,c) Korrigierter Kontingenzoeffizient: - Normierung eliminiert den Einfluß von, der minimalen Dimension der Kontingenztafel C orr = 1 C = 1 χ² χ² + N Im obigen Beispiel über den Zusammenhang Haar- und Augenfarbe ist demnach der Kontingenzoeffizient C: C = χ² χ² + N = 114,55² 114, = 0,69 = min (r,c) = min (3,4) = 3 und der orrigierte Kontingenzoeffizient C orr : C orr = 1 C = ,69= 0,84 Literatur Biostatisti. Köhler, Springer Verlag 01 Intuitive Biostatistics, Harvey Motulsy, Oxford University Press, 1995