Doz. Dr. H.P. Scheffler Sommer 2000 Klausur zur Vorlesung Stochastik I

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1 Doz. Dr. H.P. Scheffler Sommer 2000 Klausur zur Vorlesung Stochastik I Wählen Sie aus den folgenden sechs Aufgaben fünf Aufgaben aus. Die maximal erreichbare Punktezahl finden Sie neben jeder Aufgabe. Tragen Sie die Nummern der gewählten Aufgaben in das folgende Kästchen ein: Gewählte Aufgabe Die Bearbeitung anderer Aufgaben(teile) wird nicht bewertet. Für einen qualifizierenden Studiennachweis benötigen Sie mindestens 18 ± ε Punkte. Für einen Leistungsnachweis sind mindestens 24 ± ε Punkte notwendig. Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe ein gesondertes Blatt welches Sie mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer versehen. Achten Sie in der Klausur auf sorgfältige und exakte Formulierungen. Geben Sie, falls gefordert, Definitionen oder Sätze stets exakt (mit allen Voraussetzungen) an. Die Aufgaben sind so gestaltet, daß die einzelnen Aufgabenteile aufeinander aufbauen. Sie dürfen also Resultate von Aufgabenteilen in den nächstfolgenden benutzen, auch wenn Sie diese nicht gelöst oder bearbeitet haben. Bei der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben genügt es, entsprechende Formeln abzuleiten, exakte numerische Berechnungen, etwa mit Hilfe eines Taschenrechners sind nicht erforderlich. Hilfsmittel (Bücher, Skripten) sind nicht zugelassen! 1

2 2 Aufgabe 1: Auf einer Party mit n Mathematikern wird eine Tombola veranstaltet. Zu gewinnen sind (der Gastgeber ist großzügig) k n Geschenke (in Form von Mathematikbüchern). (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt jeder der Mathematiker mindestens ein Geschenk? (Hinweis: Es reicht eine Formel abzuleiten) (b) Geben Sie die Siebformel an. (c) Definieren Sie die Gleichverteilung auf einer endlichen Menge.

3 Aufgabe 2: (a) Ein gut durchmischter Stapel mit je 18 roten und schwarzen Karten wird in zwei gleichgroße Stapel geteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich in den kleineren Stapeln wiederum je gleichviele rote und schwarze Karten befinden? (Geben Sie auch ein geeignetes mathematisches Modell an.) (b) Um die mediale Begabung herauszufinden, stellt eine okkultistische Gesellschaft einer Versammlung von 500 Menschen die Aufgabe, das Ergebnis eines Versuches zu erraten. Hinter einem Wandschirm wird eine Münze 10 mal geworfen. Bei jedem Wurf ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl jeweils 0.5. Das Versuchsergebnis soll von den Zuschauern geraten werden. Als medial begabt gilt, wer höchstens einen Fehler in der Vorhersage macht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich in der Versammlung mindestens ein medial begabter Zuschauer befindet? (c) Definieren Sie und geben Sie die Mächtigkeiten an von: (c1) k-permutationen mit Wiederholung einer n-elementigen Menge A. (c2) k-permutationen ohne Wiederholung einer n-elementigen Menge A. 3

4 4 Aufgabe 3: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 genau zwei reelle Lösungen besitzt? Dabei sei der Zufallsvektor X = (p, q) (a) in [0, 1] 2 gleichverteilt; (b) in [ 1, 1] 2 gleichverteilt. Definieren Sie: (c1) die Gleichverteilung auf einer Teilmenge des R d. (c2) eine Verteilung mit Lebesque-Dichte auf R d.

5 Aufgabe 4: (a) Ein Student, der an einem wahr falsch Test teilnimmt, verfährt bei der Beantwortung der Fragen folgendermaßen: Sofern er die Antwort weis, kreuzt er diese an, andernfalls wirft er eine Münze, um sich für wahr oder falsch zu entscheiden. Die Wahrscheinlichkeit, daß dem Studenten die richtige Antwort bekannt ist, sei 3/5. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß er eine richtig markierte Antwort wußte? (b) Bei der Übertragung der Zeichen Punkt und Strich in einem Fernmeldesystem werden durch Störungen im Mittel 5% der gesendeten Punkte als Striche und 3% der gesendeten Striche als Punkte empfangen. Das Verhältnis von gesendeten Punkten zu gesendeten Strichen sei 3/4. (b1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein gesendetes Zeichen richtig empfangen wird? (b2) Es wird Punkt empfangen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß auch Punkt gesendet wurde? (c) Formulieren Sie den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit und die Bayes sche Formel. 5

6 6 Aufgabe 5: Die Lebensdauer X eines Systems sei verteilt mit Verteilungsfunktion { 1 e αxβ falls x > 0 F : x 0 falls x 0. Dabei sind α, β > 0 fest. (a) Zeigen Sie, daß die Verteilung von X eine Lebesque-Dichte besitzt und bestimmen Sie diese. (b) Bestimmen Sie für β = 1 und β = 2 den Erwartungswert E(X). (c) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable Y = X β. (d) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Restlebensdauer, d.h. F h (x) := P {X x + h X > h} für ein festes h > 0. (e) Sei a > 0. Weiter seien X 1, X 2 unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F. Geben Sie die Verteilungsfunktion von Z = min(ax 1, ax 2 ) an. Für welche a ist F Z = F? 12P

7 7 Aufgabe 6: Eine Fabrik stellt zylindrische Dosen mit Durchmesser 2r 0 und Höhe h 0 her. Produktionsbedingt schwanken die wahren Werte (r, h) um den Sollwert (r 0, h 0 ). Also ist X = (r, h) als R 2 -wertige Zufallsvariable aufzufassen. Ihre Verteilung besitze die Dichte f. (a) Geben Sie eine Formel für den Erwartungswert und die Varianz der Oberfläche F l und des Volumens V ol an. (Oberfläche= 2πrh + 2r 2 π, Volumen=πr 2 h.) (b) Berechnen Sie E(F l) und E(V ol) explizit für eine Dichte der Gestalt f(r, h) = 1 4εδ 1 [r 0 ε,r 0 +ε](r) 1 [h0 δ,h 0 +δ](h) wobei ε, δ > 0 sind. (c) Geben Sie die Transformationsformel für E(g(X)) an für den Spezialfall, daß die Verteilung von X eine Lebesque-Dichte f besitzt 12P