Mathematik für CT 1 1.Termin

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1 Mathematik für CT 1 1.Termin LEISTUNGSNACHWEIS am Dr. H. Haberzettl Name: Vorname: Hinweise zur Bearbeitung: 1. Dieses Deckblatt zur Klausur ist vor Beginn der Bearbeitungszeit mit Ihrem vollständigen Namen und Vornamen sowie Ihrer Matrikelnummer auszufüllen. Halten Sie bitte auch Ihren gültigen Lichtbildausweis sowie eine gültige Immatrikulationsbescheinigung bereit. 2. Die Bearbeitungszeit für diese Klausur beträgt 120 Minuten. 3. Aus den sechs gestellten Aufgaben können fünf Aufgaben ausgewählt werden, mit denen maximal 50 Punkte erreicht werden können. Sie können natürlich auch alle sechs Aufgaben bearbeiten: In der Gesamtbewertung werden jedoch nur diejenigen fünf von Ihnen bearbeiteten Klausuraufgaben berücksichtigt, in denen Sie die höchste Punktzahl erreicht haben. 4. Neben dem Vorlesungsskript und Ihren Aufzeichnungen zu Übungen/Hausaufgaben /Skript sowie fünf Büchern (inkl. Formelsammlungen) sind keine weiteren Hilfsmittel außer Schreibgeräten und Lineal oder Geodreieck zugelassen. Benutzen Sie keinen Bleistift. 5. Die zusammengehefteten Blätter dürfen nicht getrennt werden. 6. Konzeptrechnungen dürfen nur auf den Aufgabenblättern (beidseitig auf Vorder- und Rückseite) durchgeführt werden. Lösungen oder Teile von Lösungen, die durchgestrichen sind, werden als nicht geschrieben angesehen und damit ebenso wenig bewertet wie nicht lesbare Ausführungen. 7. Der Rechenweg muss in Ihren Lösungen stets nachvollziehbar und begründet sein. Die alleinige Angabe einer Lösung ohne weitere Begründungen / Erklärungen, wie diese erzielt wurde, ist nicht ausreichend, um eine volle Punktzahl zu erzielen. Bewertung der Lösungen: Aufgabe Bonus Ʃ Punkte Erreicht Note: 1

2 Klausuraufgabe 1 // Mengenlehre und Beweismethoden // (10 Punkte) a. Welche Mächtigkeit hat die Potenzmenge P ( E ), wobei E die Menge aller Erdalkalielemente der 2.Hauptgruppe im Periodensystem darstellt? b. Bestimmen Sie die Potenzmenge P(M), wobei M die Menge M aller ganzen Zahlen m Z aus dem Intervall I = ( -2e; +2e ) ist, die sich ohne Rest durch 4 teilen lassen? e ist die Eulersche Zahl. c. Berechnen Sie den Betrag von z = i + (1+i)(3 + i) 1. Geben Sie für d). und e). die Lösungsmenge L für x an, für die die folgenden Relationen erfüllt sind ( x,y R, z C, i² = -1): d. Der Betrag der komplexen Zahl z = 6 i4x ist kleiner als 2x -2i. 3 e. Es gilt x = ln( v w e r ) mit v (1; + ) R, w ( π;+ ) R und r R + 0. [5 x 2P] 2

3 Klausuraufgabe 2 // Funktionen // ( 10 Punkte ) Geben Sie die Funktionsgleichungen der fünf im Diagramm abgebildeten Funktionen a(x), b(x), c(x), d(x) und e(x) an. Die Gerade y = x ist als Referenz eingezeichnet. [5 x 2P] 3

4 Klausuraufgabe 3 // Differentialrechnung // ( 10 Punkte ) a. Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) für x für die Funktion f(x) = ln { ( 20π + 3 e x ) ( x) 1 }. [3P] b. Aluminiumblech ist teuer. Wie groß ist der Radius r einer Zylinderdose aus Aluminium von der Höhe h bei geringstem Verbrauch von Aluminiumblech und maximalem Inhalt V? Das Volumen V ist konstant, V = 8 dm³. Bestimmen Sie das Verhältnis von Höhe zu Durchmesser, d.h. h : 2r. ( Hilfe: Volumen V = π r² h, Kreisfläche F = π r², Kreisumfang U = 2π r). Der Materialverbrauch im Überlappungsbereich der Flächenelemente wird vernachlässigt, ebenso die Dicke des Bleches. [7P] 4

5 Klausuraufgabe 4 // Integralrechnung // [ 10 Punkte] a. Lösen Sie das Integral J = b. Lösen Sie das Integral K = Koeffizientenvergleich. 1 (9x 4)x 0 ( 3x 3 2x 2 +7 ) x² 9 π/4 0 dx c. Lösen Sie das Integral L = x² cos (2x) dx. Welche Methode(n) nutzen Sie dabei? [3P] dx mit Partialbruchzerlegung und [3P] [4P] 5

6 Klausuraufgabe 5 // mehrfach Integrale // [ 10 Punkte ] a. Lösen Sie das Integral J = e x+y+z dz dy dx 1 0 x [4P] b. Berechnen Sie die Fläche, die von den beiden Funktionen f(x) = sin(πx) und g(x) = ( x-1) x eingeschlossen wird. [6P] 6

7 Klausuraufgabe 6 // Totales Differential // [ 10 Punkte ] Mit Hilfe des Stefan-Boltzmann-Gesetz P = σ A T 4 wird die Strahlungsleistung P eines Strahlers bestimmt. (σ : Boltzmann-Konstante; A = π r² : Fläche des Strahlers, r: Radius, T : absolute Temperatur des Strahlers ). Die Messungen ergeben r = 1000 mm ± 1mm und T = 3000 K ± 30 K. Wie groß ist der relative Absolutfehler für die gemessene Strahlungsleistung P? 7

8 Notizen/Nebenrechnungen: 8

9 Notizen/Nebenrechnungen: 9

10 Notizen/Nebenrechnungen: 10