MATLAB-Praktikum 2: Wahrscheinlichkeiten, Simulation

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1 Stochastik f ur ET SS 2017 Juliane.Schuetze@fh-jena.de MATLAB-Praktikum 2: Wahrscheinlichkeiten, Simulation 1. Die diskrete Zufallsgröße X habe folgende Verteilung i p i a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X 5); P (2 X < 7); P (X > 4) sowie Erwartungswert EX, Varianz V arx : b) Berechnen Sie für Y = 3 X 4 die analogen Größen wie unter a) c) Berechnen Sie für Z = X 2 =2 die analogen Größen wie unter a) De nieren Sie jeweils die Vektoren X der Realisierungen und p der Wahrscheinlichkeiten als Spaltenvektoren. a) Summation von ausgewählten Komponenten von p sum(p) summiert alle Komponenten des Vektors p p(x<=5) wählt die Komponenten p(i) von p aus, für die X(i) <= 5 wahr ist sum(p(x<=5)) summiert die Elemente p(i) auf, für die Bedingung X(i) <= 5 wahr ist dabei kann die Bedingung auch eine Verknüpfung mehrerer logischer Ausdrücke sein, z.b. (2 <= X & X < 7) Erwartungswert m = P i p i : : y komponentenweises Produkt der Vektoren ; y gleicher Dimension; ist Vektor y Skalarprodukt der Vektoren ; y, mit Zeilenvektor, y Spaltenvektor; ist Zahl Varianz v = ((X m):^2) 0 p se a): P (X 5) = 0:29; P (2 X < 7) = 0:47; P (X > 4) = 0:89 m = 6:34, v = 3:8644 b), c) analog se b): P (Y 5) = 0:10; P (2 Y < 7) = 0:07; P (Y > 4) = 0:95 m = 15:02, v = 34:7796 se c) P (Z 5) = 0:05; P (2 Z < 7) = 0:02; P (Z > 4) = 0:95 m = 22:03, v = 140: Für folgende Vektoren X und Y ist die gemeinsame Verteilung in folgender Tabelle gegeben. Berechnen Sie die Randverteilungen von X und Y sowie ihre Korrelation (vgl. Aufgabe 6 aus Übungsserie ). Y p(,y) X

2 X = [ ] (Spaltenvektor) Y = [001 2] (Spaltenvektor) py = B A sum(a,1) summiert Komponenten der Marti A spaltenweise; ist Zeilenvektor sum(a,2) summiert Komponenten der Marti A zeilenweise; ist Spaltenvektor sum(a(:)) summiert alle Komponenten der Marti A; ist Zahl Randverteilung von X: p=sum(py; 2) (Spaltenvektor p) Randverteilung von Y : py=sum(py,1) (Zeilenvektor py) Korrelation von X und Y = Cov(X; Y )=sqrt(v arx V ary ) Hilfsgrößen EX; EY; V arx V ary wie in Aufgabe 1 sowie Cov(X; Y ) = E(X EX)(Y EY ) = P 6 P 3 i=1 k=1 ( i nach folgenden Schritten EX)(y k EY ) p y (1) Erzeugen der Matri X_mal_Y der Produkte aller Realisierungen ( i EX)(y k EY ) (gleiche Anordnung wie in Matri py): X_mal_Y = (X EX) (Y EY ) 0 (X EX ist Spaltenvektor, Y EY ist Zeilenvektor, Produkt ergibt Matri!) (2) mexy = X_mal_Y: py (elementweises Produkt der Matrizen X_mal_Y und py) (3) Cov(X; Y ) = sum(mexy (:)) damit Berechnung der Korrelation = Cov(X; Y )=sqrt(v arx V ary ) se EX = 2.8; EY = 0.7; EXY = 0 V arx = 1:66; V ary = 0:61; Cov(X; Y ) = 0 (angegeben als 6: ); rho = 0 3. Wenn beide Elternteile Linkshänder sind, ist ihr Kind mit Wahrscheinlichkeit 0.26 auch Linkshänder. Betrachtet man in 20 solcher Familien jeweils die erstgeborenen Kinder, mit welcher Wahrscheinlichkeit ndet man darunter a) keinen Linkshänder b) weniger als 4 Linkshänder c) mehr als 8 Linkshänder binopdf(,n,p) P (X = ) = n p (1 p) n Einzelwahrscheinlichkeit für Erfolge bei n Versuchen, Erfo binocdf(,n,p) P (X ) = P n k=0 k p k (1 p) n k Kumulative Wahrscheinlichkeit für Erfolge se a) , b) , c) Es wird erwartet, dass ein neues Medikament in 1% aller Fälle eine bestimmte Nebenwirkung verursacht. (vgl. Übungsserie 2) Wie viele Probanden n müssen in einer Studie mindestens erfasst werden, um diese Nebenwirkung mit Sicherheit von 95% mindestens einmal (zweimal, dreimal) zu beobachten? 2

3 Finden Sie durch Modellierung mit der Binomialverteilung jeweils eine geeignete Gleichung für n und lösen Sie diese numerisch mit MATLAB. X: Anzahl NW bei n Probanden, X ~Bin(n, p=0.01) P(mindestens einmal NW bei n Probanden) = P(X 1) = 1 P (X = 0) = 1 binopdf(0; n; 0:01) 0:95 äquivalent zu binopdf(0; n; 0:01) 0:05 P(mindestens zweimal NW bei n Probanden) = P(X 2) = 1 P (X = 0) P (X = 1) = 1 binocdf(1; n; 0:01) 0:95 äquivalent zu binocdf(1; n; 0:01) 0:05 P(mindestens dreimal NW bei n Probanden) = P(X 3) = 1 P (X = 0) P (X = 1) P (X = 2) = 1 binocdf(2; n; 0:01) 0:95 äquivalent zu binocdf(2; n; 0:01) 0:05 Variante 1 Ungleichung jeweils über while-schleife lösen (n schrittweise erhöhen, bis Ungleichung erfüllt ist) Variante 2 Ungleichungen umstellen: alles auf rechte Seite bringen, Vektor y(n) berechnen mit Wert der rechten Seite als n te Komponente Inde n nden, bei dem erstmals Komponente positiv ist y(n) = 0:05 binocdf(2; n; 0:01) y=[]; for n=1:1000 y=[y;0.05-binocdf(2,n,0.01]; end; ind= nd(y>0,1, rst ) se mind 1 NW: n = 299 mind 2 NW: n = 473 mind 3 NW: n = Ein Student benötigt für die Konstruktion eines Schaltkreises 12 Chips einer bestimmten Sorte. Er kann sie bei einem Hersteller kostengünstig bestellen, allerdings produziert dieser Hersteller mit 4% Ausschuss. Wie viele Chips sollte er bestellen, um mit Sicherheit 0.99 über genügend intakte Chips zu verfügen? bei n bestellten Chips ist die Anzahl X von intakten Chips dieses Herstellers binomialverteilt mit X~Bin(n; p = 0:96) n ist so zu bestimmen, dass P (X 12) 0:99! P (X 12) = P (X = 12) + ::: + P (X = n) = 1 binocdf(11; n; 0:96) > 0:99 ausprobieren, wann die Summe erstmalig > 0:99 ist (analog Aufgabe 4) 15 Chips 6. Eine Fluggesellschaft hat aus bisherigen Daten ermittelt, dass etwa 4% der reservierten Flüge nicht angetreten werden. Daher plant sie zukünftig eine Überbuchung von Maschinen mit 250 Sitzplätzen um 10 Reservierungen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dann noch jeder Fluggast, der die Reservierung in Anspruch nehmen möchte, mit der gebuchten Maschine befördert? Mit wie vielen Plätzen darf überbucht werden, wenn man das Risiko, dass nicht alle diese Fluggäste befördert werden können, auf 5% begrenzen möchte? Lösen Sie die Aufgabe 3

4 a) unter Verwendung der Binomialverteilung b) durch Näherung mit der Normalverteilung. a) X : Anzahl in Anspruch genommener Reservierungen bei 260 Buchungen, X~Bin(n = 260; p = 0:96); P (X 250) = binocdf(250; 260; 0:96) = 0:5944 d.h. in etwa 40% der Flüge werden nicht alle Fluggäste befördert!!! maimale Anzahl möglicher Überbuchungen, damit P (X 250) > 0:95 n = 256 : Wkt.= 0:945 n = 255 :Wkt. = 0:9764 bei Überbuchung mit 5 Plätzen ist Sicherheit > 0:95; dass alle Fluggäste mit Reservierung befördert werden können b) nach Grenzwertsatz von Moivre-Laplace gilt für X~Bin(n; p) näherungsweise X~N V mit den Parametern = n p; 2 = n p (1 p) normcdf(,mu,sigma) P (X ) Kumulative Wahrscheinlichkeit für X~N(mu; sigma 2 ) n p= 260 : mu = n p = 260 0:96 = 249:6; 2 = n p (1 p) = 260 0:96 0:04 = 9:984! sigma = 9:984 = 3:1597 P (X 250) normcdf(250; 249:6; 3:1597) = 0:5504 0:5504 6= 0:5944 Näherung ist also ziemlich schlecht (Binimialverteilung bei p = 0:96 sehr schief im Unterschied zur NV) Achtung: Streuungsparameter der NV bei MATLAB ist Standardabweichung!!! 7. An einem Server gehen Anfragen von 3 Zwischenstellen ein, die unabhängig voneinander als poissonverteilt mit den Parametern 1 = 3; 2 = 3:5; 3 = 5 pro Minute verteilt sind. Berechnen Sie die Verteilung der insgesamt eingehenden Anfragen pro Minute sowie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 15 Anfragen pro Minute eingehen. poisspdf(,lambda) P (X = ) = poisscdf(,lambda) P (X ) = P k=0! e Punktwahrscheinlichkeit bei Poissonverteilung, lambda = = E k k! e Kumulative Wahrscheinlichkeit für X~P ois() Anzahl Anfragen an Zwischenstellen:X i ~P ois( i ); i = 1; 2; 3 Verteilung der insgesamt eingehenden Anfragen pro Minute am Server S (Summe von unabhängigen Poissonverteilungen) S = X 1 + X 2 + X 3 es ist S~P ois( ); also = = 11:5 P (S > 15) = 1 P (S 15) = 1 poisscdf(15; 11:5) Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 15 Anfragen pro Minute eingehen: p = 0: Eine bestimmte Krankheit kann durch einen Bluttest eindeutig nachgewiesen werden. Sie trete mit Wahrscheinlichkeit p auf. Der Test erfolgt bei n Personen üblicherweise separat, so dass n Tests erforderlich sind. Alternativ kann man die n Blutproben mischen und das Gemisch testen (von jeder Probe nur ein Teil in Mischung geben): falls Test dieses Gemischs negativ ist, sind alle n Personen negativ diagnostiziert, bei positivem des Gemischs muss man jede Probe noch einmal separat testen, man braucht dann also zusätzlich n 1 Tests, falls die ersten n 1 negativ sind (der n-te muss dann positiv sein), und man braucht also zusätzlich n Tests in jedem der übrigen Fälle. (Dieses Verfahren wurde bei Armeeangehörigen im 2.Weltkrieg für den Test auf Syphilis angewandt.) a) Berechnen Sie für eine Erkrankungswahrscheinlichkeit p = 0:1 und n = 3 die erwartete Anzahl von Tests. 4

5 b) Wie großist die Anzahl n der zu mischenden Proben für eine Optimierung der Kosten pro Person bei p = 0:1 zu wählen? c) Wie ändert sich n bei p = 0:05 bzw. p = 0:2? a) Verteilung der benötigten Anzahl A von Tests bei n Personen A = 1 mit Wahrscheinlichkeit p 1 = 0:9 n (alle gesund) A = 1 + (n 1) = n Tests mit Wahrscheinlichkeit p 2 = 0:9 n 1 0:1 (genau ein Kranker im letzten Einzeltest, der zwangsläu g positiv sein muss, also Test muss nicht mehr durchgeführt werden) A = 1 + n = n + 1 Tests mit Wahrscheinlichkeit p 3 = 1 0:9 n 0:9 n 1 0:1 für n = 3 P (A = 1) = 0:729 P (A = 3) = 0:081 P (A = 4) = 0:19 Erwartungswert der Anzahl der Tests: EA = 1:732 Verhältnis zu n : 1:732=3 = 0: b) für verschiedene Werte von n Erwartungswert berechnen, durch Anzahl n Testpersonen dividieren und min suchen n = 4 : P (A = 1) = 0:6551 P (A = 4) = 0:0531 P (A = 5) = 0:2818 EA = 1 0: :9 3 0:1 + 5 (1 0:9 4 0:9 3 0:1) = 2:302 7 Verhältnis 2:302 7=4 = 0: n = 5 : EA = 1 0: :9 4 0:1 + 6 (1 0:9 5 0:9 4 0:1) = 2:981 9 Verhältnis 2:981 9=5 = 0:59638 optimal ist also n = 4 c) analog b) p = 0:05 : n = 2 bis7 pro Gruppe ergibt Erwartungswerte 1: :6991 2:0904 2:5508 3:0749 Verhältnisse 0:5737 0:4609 0:4248 0:4181 0:4251 0:4393, somit n = 5 p = 0:2 : n = 2 bis7 pro Gruppe ergibt Erwartungswerte 1:5600 2:3360 3:2592 4:2797 5:3616 6:4796 Verhältnisse 0:7800 0:7787 0:8148 0:8559 0:8936 0:9257, somit n = 3 9. Die Wartezeit an einer Kasse in einem Supermarkt (in min) sei normalverteilt mit N (7, 1,9 2 ). a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Wartezeit unter 5 min? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt sie über 10 min? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt sie zwischen 5 und 10? normcdf(b,mu,sigma) - normcdf(a,mu,sigma) P (a < X b) normcdf(b,mu,sigma) P (X b) 1 normcdf(a,mu,sigma) P (X > a) Achtung: Streuungsparameter im Kommando von MATLAB ist die Standardabweichung! a) , b) , c) Zwei Ohmsche Widerstände R 1 und R 2 werden hintereinander geschaltet. Sie seien unabhängig und normalverteilt mit 1 = 500; 1 = 10 bzw. 2 = 200; 2 = 4 (alles in ):In welchen Grenzen (700 "; ") liegt mit Sicherheit 0.99 der Gesamtwiderstand R 1 + R 2? Verteilung von R 1 + R 2 nach Additionssatz: R 1 + R 2 ~N(700; 116) (Achtung: es addieren sich die Varianzen 2 i!!!) 5

6 0:99 = P (700 " < X < ") = ( " p 116 ) ( " p 116 ) = 2( " p 116 ) 1 1:99 2 = ( " p 116 )! " p 116 = norminv (0:995; 0; 1)! " = p 116norminv (0:995; 0; 1) " = 27:7425; Intervall (672:2575; 727:7425) 11. Die Zeit (in h) zwischen dem Eintre en zweier Telefonanrufe an einem Anschluss sei eponential verteilt mit dem Parameter = 0:5h 1. a) Wieviel Zeit vergeht im Mittel zwischen dem Eintre en von 2 Anrufen? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tri t länger als eine Stunde kein Anruf ein? epcdf(,mu) P (X ) Kumulative Wahrscheinlichkeit für X bei X~ ep(1=mu) wobei mu = EX a) X Dauer zwischen zwei Anrufen, X~ ep( = 0:5) Erwartungswert ist EX = 1 = 1 0:5 = 2 b) Achtung: Parameter der Eponentialverteilung in MATLAB ist der Erwartungswert EX (im Unterschied zu den meisten Lehrbüchern und dem Vorlesungsskript, dort ist = 1=EX), also für MATLAB hier lambda = 2 verwenden P (X > 1) = 1 P (X 1) = 1 epcdf (1; 2) P (X > 1) = 0: Die zufällige Lebensdauer X (in h) eines Gerätetyps mit Verschleißerscheinung kann durch eine Weibull- Verteilung 8 mit der Dichte < 0 0 f() = : beschrieben werden. Es sei bekannt, dass nach 400 h Betriebsdauer 95% der Geräte ausgefallen e a > 0 a a sind. a) Bestimmen Sie den Parameter a und geben Sie die Verteilungsfunktion an. b) Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät länger als 300 Stunden arbeitet? c) Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät insgesamt länger als 300 Stunden arbeitet, wenn seine Lebensdauer bereits 200 Stunden überschritten hat? wblcdf(,a,b) P (X ) Kumulative Wahrscheinlichkeit für X bei X~weibull(a; b) mit unten stehend a) allgemeine 8 Form der Dichte der zweiparametrigen Weibull-Verteilung < 0 0 f() = : b b b 1 ; somit ist b = 5 e a > 0 a a Verteilungsfunktion F () = 1 e Berechnung von a aus Bedingung P (X < 400) = F (400) = 0:95 b a = 1 e mit gefundener Verteilungsfunktion F () = 1 e! e a = 0:95 Umstellen nach! a :05 = e a ln 0:05 =! a = = 321:19 a 1=5 ( ln 0:05) 6 a 5 ; > 0 5 a

7 a = 321:19 somit F () = 1 e 321:19 b) P (X > 300) = 1 wblcdf (300; 321:19; 5) 5 1 wblcdf (300; 321:19; 5) c) MATLAB: P (X > 300=X > 200) = 1 wblcdf (200; 321:19; 5) somit Lebensdauerverteilung mit gehäuften Frühausfällen. Nach Betriebszeit von 200 h ist die Wahrscheinlichkeit, die nächsten 300 h zu überleben. größer als zu Beginn der Betriebszeit 300 h zu überleben. 13. Testen Sie die in MATLAB implementierte Funktion rand zur Erzeugung von gleichverteilten (Pseudo- )Zufallszahlen zwischen 0 und 1. Die dabei entstehende Folge wird durch die Wahl des Startwerts beein usst, der bei wiederholtem Aufruf von rand intern verändert wird. Der aktuelle Startwert kann durch s=rand( seed ) ausgelesen werden. Soll die Folge reproduziert werden, setzt man den Startwert zurück durch rand( seed,s). a) Erzeugen Sie einen Vektor von 10 auf (0,1) gleichverteilten Zufallszahlen. b) Erzeugen Sie einen zweiten solchen Vektor y: c) Erzeugen Sie zwei solche Vektoren z1 und z2, die die gleichen Werte enthalten, indem Sie den aktuellen Startwert auslesen und beim 2. Aufruf wieder auf diesen Wert setzen. A=rand(n) nn Matri A von gleichverteilten (Pseudo-)Zufallszahlen zwischen 0 und 1 A=rand(m,n) mn Matri A von gleichverteilten (Pseudo-)Zufallszahlen zwischen 0 und 1 s=rand( seed ) Auslesen des Startwerts des Zufallsgenerators rand( seed,s) setzt Startwerts des Zufallsgenerators auf s für Reproduzierbarkeit der vorausgehenden Zah a) = rand(10,1); % array mit 10 Zeilen, 1 Spalte c) s=rand( seed ); 1=rand(10,1); rand( seed,s); 2=rand(10,1); 14. Erzeugen Sie 3 Vektoren von auf f0; 1g gleichverteilten Zufallszahlen der Längen n = 100=1000=10000 und stellen Sie diese in einem Histogramm dar. z = rand(n,1); = z<0.5; hist(z,2) 15. Erzeugen Sie eine zufällige Folge von Nullen und Einsen der Länge n = 100=1000=10000, die etwa 30% Einsen enthält - das entspricht n zufälligen Realisierungen der Zufallgröße X mit P (X = 1) = 0:3; P (X = 0) = 0:7. Überprüfen Sie gra sch, wie gut der Anteil von 30% realisiert wird. z = rand(n,1); = z<0.3; damit wird ein 0-1-Vektor erzeugt entsprechend des komponentenweisen Wahrheitswerts `z < 0:3` weiter wie Aufgabe Durch randi erzeugt man gleichverteilte ganzzahlige Zufallszahlen aus der Menge f1; :::; N g : a) Simulieren Sie die se des Würfelns mit einem symmetrischen Würfel bei n = 100=1000=10000 Wiederholungen und überprüfen Sie die Verteilung gra sch. 7

8 b) Simulieren Sie die se des Würfelns mit zwei symmetrischen Würfel bei n = 100=1000=10000 Wiederholungen A=randi(N,mn) mn Matri A von gleichverteilten (Pseudo-)Zufallszahlen aus der Menge f1; 2; :::; N g a) =randi(6,100,1); % N = 6 [anz,vals]=hist(,[1:6]) bar(vals,anz) % Balkendiagramm statt Histogramm verhindert Klassenbildung b) A=randi(6,100,2); 17. Simulieren Sie einen Münzwurf mit symmetrischen Münzen a) mit einer Münze und n = 100=1000=10000= Wiederholungen b) mit 4 symmetrischen Münzen, je n = 100=1000=10000= Wiederholungen c) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass bei 4 Würfen mindestens 2 Zahl fällt. a) SM=randi(2,n,1) % erzeugt Kodierung mit 1 und 2 SM1=SM-1 % ändert zu Kodierung mit 0 und 1 oder z=rand(n,1) % gleichverteilte Zufallszahlen SM1 = z < 0.5 % erzeugt Kodierung mit 0 und 1 b) analog a) mit 4 Spalten c) Outcome 1: Zahl gefallen, 0: Wappen gefallen anz_zahl=sum(sm4_0,2); (Spaltenvektor der Zeilensummen) prob_s=sum(anz_zahl >=2)/n Vergleich mit genauem : X~Bin(n = 4; p = 0:5) P (X 2) = 1 binocdf(1,4,0.5) 18. Simulieren Sie einen Münzwurf mit unsymmetrischen Münzen a) mit 1 solcher Münze, bei der Zahl mit Wahrscheinlichkeit 0.3 fällt, n = 100=1000=10000= Wiederholungen b) mit 4 solchen unsymmetrischen Münzen, n = 100=1000=10000= Wiederholungen c) Wie großist die geschätzte Wahrscheinlichkeit, dass nun bei 4 Würfen mindestens 2 Zahl fällt? a) z=rand(n,1) USM1 = z < 0.3 b) z=rand(n,4) USM4 = z < 0.3 c) wie. b) anz_zahl=sum(usm4 ); prob_s=sum(anz_zahl >=2)/n genaues : Berechnung der eakten Wahrscheinlichkeit mit Binomialverteilung P (X 2) = 1 binocdf(1,4,0.3) 19. Simulieren Sie das Würfeln mit 3 Würfeln. 8

9 a) Bestimmen Sie die Verteilung der Summe der drei Augenzahlen. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe der von den 3 Würfeln gezeigten Augenzahlen größer als 4? a) bei n Wiederholungen w =randi(6,n,3); % pro Zeile 3 Würfelergebnisse s=sum(w ); % jeweilige Summe (Zeilensumme) der 3 Würfelergebnisse ss=[3:18]; % mögliche Werte für die Summe [ps,vs]=hist(s,ss) bar(ss,ps) Vergleich mit theoretischer Verteilung der Summe p k = h(k)=6 3 k h(k) Berechnung der theoretischen Verteilung in MATLAB als Faltung der Gleichverteilung auf f1; :::; 6g u = 1=6 ones(6; 1) %Wahrscheinlichkeitsverteilung des Würfelergebnisses eines Würfels u2=conv(u,u) u3=conv(u2,u) b) mit simulierten Würfelergebnissen: prob_summe=sum((s>4))/n zum Vergleich eakte Wahrscheinlichkeit P (X > 4) = 1 P (X 4) = 1 P (X = 3) P (X = 4) = 1 1=6 3 3=6 3 = 0: Berechnen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit folgender Schaltung,wenn die einzelnen Komponenten unabhängig voneinander ausfallen mit den Wahrscheinlichkeiten E 1 E2 E3 E4 E5 E a) Lösen Sie die Aufgabe durch Simulation. b) Wiederholen Sie die Simulationen mit gleicher Anzahl von Zufallszahlen zum Abschätzen der Stabilität des ses. Zustände mit gegebenen Ausfallwahrscheinlichkeiten analogaufgabe 7 Verknüpfung gemäßschaltung durch Multiplikation bzw. ma/min a) M=100000; abs_h=0; for i=1:m e1 = rand <0.9; % E1 funktioniert mit Wkt. 0.9 e2 = rand <0.9; e3 = rand <0.7; e4 = rand <0.9; e5 = rand <0.7; e6 = rand <0.9; 9

10 s1=ma(ma(e2,e3),e4); s2=ma(e5,e6); s=min(min(e1,s1),s2); abs_h=abs_h+s; end work_p=abs_h/m fail_p=1-work_p oder alles ohne Schleife z=rand(n,6) e1 = z(:,1) < b) analog a) % Schaltung funktioniert % absolute Häuf. funktionierender Schaltungen 10