W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 8
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- Katrin Ursler
- vor 5 Jahren
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1 W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 8
2 Aufgabe 1 : Motivation Anhand von Daten soll eine Aussage über die voraussichtliche Verteilung zukünftiger Daten gemacht werden, z.b. die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass Beobachtungen eine bestimmte Grenze G nicht überschreiten, d.h. P(X G). Kennen wir die Verteilungsfunktion F von X, dann kennen wir Ziel: Bestimme F. In R kann dies Problem graphisch angegangen werden.
3 Aufgabe 1 : Beispiel Gegeben sind Daten zur Lebensdauer von Bauteilen:
4 Aufgabe 1 : Beispiel - Histogramm Zunächst kann das Histogramm geplottet werden. Dies liefert einen Ansatz zur Wahl einer geeigneten Verteilungsklasse. Histogramm der relativen Häufikgeiten dat
5 Aufgabe 1 : Beispiel - Mögliche Verteilung Wähle anhand des Histogramms passende Verteilungsklasse
6 Aufgabe 1 : Beispiel - Vergleich Histogramm und Dichte der mit α = 1.8, β = 1 Histogramm der relativen Häufigkeiten Density dat
7 Aufgabe 1 : Poisson-Verteilung Diskrete Dichte: f(k) = P(X = k) = λk k! e λ für k = 0, 1, 2,... Verwenden λ = 1 und N = 1000 Zufallswerte erzeuge Zufallszahlen Dichtefunktion an der Stelle x
8 Aufgabe 1 : Poisson-Verteilung - Abbildungen Poissonverteilung mit λ=1 rel.häufigkeit Werte
9 Aufgabe 1 : Poisson-Verteilung - Abbildungen Poissonverteilung mit λ=2 rel.häufigkeit Werte
10 Aufgabe 1 : Poisson-Verteilung - Abbildungen Poissonverteilung mit λ=4 rel.häufigkeit Werte
11 Aufgabe 1 : Exponential-Verteilung Dichte: f(x) = λe λx für x 0, sonst f(x) = 0 erzeuge Zufallszahlen Dichtefunktion an der Stelle x
12 Aufgabe 1 : Exponential-Verteilung - Abbildungen Exponentialverteilung mit λ=1/2 rel.häufigkeit Klassen
13 Aufgabe 1 : Exponential-Verteilung - Abbildungen Exponentialverteilung mit λ=1 rel.häufigkeit Klassen
14 Aufgabe 1 : Exponential-Verteilung - Abbildungen Exponentialverteilung mit λ=2 rel.häufigkeit Klassen
15 Aufgabe 1 : Weibull-Verteilung Dichte: f(x) = αβ α x α 1 e ( x β) α für x 0, sonst f(x) = 0 α =shape (Formparameter), β =scale (Skalenparameter) erzeuge Zufallszahlen Dichtefunktion an der Stelle x
16 Aufgabe 1 : Weibull-Verteilung - Abbildungen Weibullverteilung mit α=1=β rel.häufigkeit Klassen
17 Aufgabe 1 : Weibull-Verteilung - Abbildungen Weibullverteilung mit α=1,β=2 rel.häufigkeit Klassen
18 Aufgabe 1 : Weibull-Verteilung - Abbildungen Weibullverteilung mit α=2,β=1 rel.häufigkeit Klassen
19 Aufgabe 1 : Weibull-Verteilung - Abbildungen Weibullverteilung mit α=2,β=2 rel.häufigkeit Klassen
20 Aufgabe 1 : Gamma-Verteilung Dichte: f(x) = αβ Γ(β) xβ 1 e αx für x 0, sonst f(x) = 0 β=shape, α =rate, bzw. 1 α =scale erzeuge Zufallszahlen Dichtefunktion an der Stelle x
21 Aufgabe 1 : Gamma-Verteilung - Abbildungen Gamma Verteilung mit α=1, β=1 rel.häufigkeiten Klassen
22 Aufgabe 1 : Gamma-Verteilung - Abbildungen Gamma Verteilung mit α=1, β=2 rel.häufigkeiten Klassen
23 Aufgabe 1 : Gamma-Verteilung - Abbildungen Gamma Verteilung mit α=2, β=1 rel.häufigkeiten Klassen
24 Aufgabe 1 : Gamma-Verteilung - Abbildungen Gamma Verteilung mit α=2, β=2 rel.häufigkeiten Klassen
25 Aufgabe 1 : χ 2 -Verteilung Dichte: f(x) = 1 2 f/2 Γ(f/2) xf/2 1 e x/2 für x 0, sonst f(x) = 0 f =df Freiheitsgrade erzeuge Zufallszahlen Dichtefunktion an der Stelle x
26 Aufgabe 1 : χ 2 -Verteilung - Abbildungen χ 2 Verteilung mit 2 Freiheitsgraden rel.häufigkeiten Klassen
27 Aufgabe 1 : χ 2 -Verteilung - Abbildungen χ 2 Verteilung mit 3 Freiheitsgraden rel.häufigkeiten Klassen
28 Aufgabe 1 : χ 2 -Verteilung - Abbildungen χ 2 Verteilung mit 10 Freiheitsgraden rel.häufigkeiten Klassen
29 Aufgabe 1 : t-verteilung Dichte: f(x) = Γ((f+1)/2) fπγ(f/2) (1+x 2/f ) (f+1)/2 für x R f =df Freiheitsgrade erzeuge Zufallszahlen Dichtefunktion an der Stelle x
30 Aufgabe 1 : t-verteilung - Abbildungen t Verteilung mit 2 Freiheitsgraden rel.häufigkeiten Klassen
31 Aufgabe 1 : t-verteilung - Abbildungen t Verteilung mit 3 Freiheitsgraden rel.häufigkeiten Klassen
32 Aufgabe 1 : t-verteilung - Abbildungen t Verteilung mit 10 Freiheitsgraden rel.häufigkeiten Klassen
33 Aufgabe 2 : 2-dimensionale Normalverteilung Eine zwei dimensionale Normalverteilung besitzt die Dichte f(x, y) = 1 2πσ 1 σ 2 1 ρ 2 exp[ 1 2(1 ρ 2 ) [(x µ 2 1) σ1 2 + (y µ 2 2) σ 1 σ 2 σ2 2 ]] 2ρ (x µ 1)(y µ 2 ) x, y R,µ 1,µ 2 R,σ 2 1,σ 2 2 R +,ρ ( 1, 1)
34 f Aufgabe 2 : 2-dimensionale Normalverteilung (a) y y x x
35 Aufgabe 2 : 2-dimensionale Normalverteilung (b) rho=
36 Aufgabe 2 : 2-dimensionale Normalverteilung (c) rho=
37 Aufgabe 2 : 2-dimensionale Normalverteilung (d) rho=
38 Aufgabe 2 : 2-dimensionale Normalverteilung (e) rho=
39 Aufgabe 2 : 2-dimensionale Normalverteilung (f) rho=
Zufallsvariablen. f(x) dx = 1. Die stetige Zufallsvariable X wird also durch seine Dichtefunktion beschrieben. P(c < X < d) =
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