STATISTIK 1 - BEGLEITVERANSTALTUNG

Transkript

1 STATISTIK 1 - BEGLEITVERANSTALTUNG VORLESUNG 3 - NORMALVERTEILUNG Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

2 AGENDA 01 DIE NORMALVERTEILUNG 02 ZENTRALES GRENZTHEOREM 03 Z-WERTE 04 KONFIDENZINTERVALLE 06 ÜBUNGEN Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

3 DIE NORMALVERTEILUNG Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

4 BEGRIFFLICHKEITEN Diskrete Verteilungen: Wahrscheinlichkeitsfunktion, hier hat die Zufallsvariable nur abzählbare viele Werte (z.b. Ziehen aus einer Urne) Diskrete Variablen: Ergebnisse eines Experiments werden kategorisiert oder gezählt Stetige Verteilungen: Verteilungsfunktion/Dichtefunktion, überabzählbarer Wertebereich (z.b. Körpergröße) Stetige Variablen: Werte in einem gegebenen Intervall können beliebig genau sein Bei stetigen Zufallsvariablen bezeichnet der f(x)-wert die Wahrscheinlichkeitsdichte des x-werts Wir fragen hier nach der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Ereignissen, die sich in einem bestimmten Intervall befinden Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

5 DIE NORMALVERTEILUNG Wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Weitere wichtige stetige Verteilungen sind aus der Normalverteilung abgeleitet: Chi-Quadrat-Verteilung, t-verteilung, F-Verteilung Sie wird häufig auch Gauß sche Glockenkurve genannt Viele Merkmale in der Bevölkerung können durch eine Normalverteilung beschrieben werden Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

6 EIGENSCHAFTEN DER NORMALVERTEILUNG Ist symmetrisch, eingipflig und glockenförmig Modalwert, Median und Mittelwert fallen zusammen Maximum liegt bei μ Verschiedene Normalverteilungen unterscheiden sich bezüglich Erwartungswert (μ) und/oder Standardabweichung (σ) hat einzig und allein diese Parameter Der Wertebereich reicht von bis + Die Verteilung nähert sich asymptotisch der x-achse Die Fläche, die von der Dichtefunktion der Normalverteilung zwischen x1 = μ + 1 σ und x1 = μ 1 σ eingeschlossen wird, ist immer gleich groß Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

7 DIE NORMALVERTEILUNG Der Parameter μ ist direkt der Erwartungswert der Normalverteilung σ ist direkt die Varianz der Normalverteilung Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

8 DICHTEFUNKTION Die Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) einer stetigen Zufallsvariable X wird zumeist als mathematische Funktion definiert. Sie wird bei stetigen Zufallsvariablen auch als Dichtefunktion bezeichnet. Die Dichtefunktion f(x) liefert also nicht unmittelbar die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse, die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Fläche unter der Dichtefunktion Flächenanteil unterhalb der Dichte ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable dieser Verteilung in diesem Intervall liegt Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

9 BEISPIEL In einer Befragung werden Personen befragt, wie viel Geld sie im Monat frei zur Verfügung haben (nach Abgaben, Miete usw.). Das Ergebnis wird in einer Dichtefunktion dargestellt. Geht man nun an der X-Achse entlang und legt einen genauen Wert fest, zum Beispiel 123 Euro, kann man von diesem Punkt aus die Fläche berechnen, die zwischen X-Achse und Dichtefunktion links dieses Punktes liegt. Diese Fläche gibt an, wie groß der Anteil der Personen ist, die im Monat weniger als 123 Euro zur Verfügung haben. Hierzu teilt man die Größe dieser Fläche durch die Gesamtgröße der Fläche zwischen Dichtefunktion und der X-Achse. Dies kann man für jeden beliebigen Wert der X-Achse wiederholen Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

10 BERECHNUNG Dichtefunktion der Normalverteilung Beispiel: Für eine normalverteile Variable x= 30 (μ = 35; σ = 2,3) soll die Dichte berechnet werden π exp (30 35)2 2x exp Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

11 STANDARDNORMALVERTEILUNG Unter den theoretisch unendlich vielen Normalverteilungen ist die Standardnormalverteilung diejenige, bei der gilt: μ= 0 σ= 1 Die Standardnormalverteilung ist also eine N(0;1) Verteilung Mittels Z-Transformation einzelner Messwerte xi zi= xi μ σ lässt sich jede Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung überführen Dient dazu, Werte verschiedener Populationen oder Werte von Personen aus gleichen Populationen mit verschiedenen Messverfahren vergleichbar zu machen Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

12 STANDARDNORMALVERTEILUNG Die Dichtefunktion der Normalverteilung reduziert sich damit auf Die Berechnung der Flächenanteile ist sehr aufwendig, weshalb die Flächenanteile der Standardnormalverteilung tabelliert wurden Die Fläche links vom Wert der Variable wurde tabelliert Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

13 FLÄCHENANTEILE Wichtige Punkte der Standardnormalverteilung Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

14 FLÄCHEN IN DER STANDARDNORMALVERTEILUNG Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

15 Z-TRANSFORMATION Es reicht aus, nur die Verteilungsfunktion zur Standardnormalverteilung zu tabellieren, da man Werte der Verteilungsfunktion einer beliebigen Normalverteilung durch die Transformationsregel durch Werte der Verteilungsfunktion der Normalverteilung ersetzen kann Sie transformiert die unterschiedlichen Werte zu einheitlichen (vergleichbaren) Werten Damit lassen sich Wahrscheinlichkeiten dafür ermitteln, dass ein Wert einer normalverteilten Zufallsvariablen in einem bestimmten Intervall liegen bzw. das ein Wert höchstens/mindestens eine bestimmte Größe annimmt Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

16 Z-TRANSFORMATION Auch können die anhand der Tabelle abgelesenen z-werte mit der Formel für die Z- Transformation wieder in ihre ursprünglichen xi-werte umgerechnet werden Man kann also die z-tabelle rückwärts lesen Gesucht ist der z-wert, unterhalb dem 95% aller möglichen z-werte liegen. Man sucht dazu in der Tabelle eine Wahrscheinlichkeit (1-a), die möglichst nah an den Wert 0,95 herankommt. In der Tabelle sind das die Werte 0,9495 und 0,9505 mit den z-werten 1,64 und 1,65. Durch Interpolation erhält man den gesuchten Wert z=1,645 Mathematisch : zi = xi μ σ xi = zi σ+ μ Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

17 Z-TRANSFORMATION Welche Aussagen lassen sich noch mit den z-werten machen? Man kann Prozentränge angeben Dazu benötigt man die Tabelle Bei z=2 finde ich den Wert 0,9772=97,72% Was heißt das? Beispiel IQ: z=2 IQ=130 Man gehört also zu den intelligentesten 2,28% der Bevölkerung Im Bereich IQ<130 befinden sich 97,72% d. Bevölkerung Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

18 VERTEILUNGSFUNKTION Bei stetigen Merkmalen können über die Dichtefunktion keine Aussagen über das Eintreffen einer Merkmalsausprägung getroffen werden, hier werden die Wahrscheinlichkeiten über die Verteilungsfunktion ermittelt Die Werte dieser Funktion benennen keine Einzelwahrscheinlichkeiten, sondern den Zusammenhang zwischen einer Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeiten, d.h. sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable höchstens einen bestimmten Wert annimmt. Die Verteilungsfunktion berechnet sich bei stetigen Zufallsvariablen durch das Integral der Dichtefunktion Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

19 VERTEILUNGSFUNKTION Standardnormalverteilung Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

20 BEISPIEL Ein Fußballspieler verletzt sich beim Training. Es dauert erfahrungsgemäß 2-7 Tage, bis der Spieler wieder einsatzfähig ist. Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der Tage bis zur Genesung. Mit jedem Tag steigt die Genesungswahrscheinlichkeit: Tage (X) Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) Genesungswahrscheinlichkeit X < 2 0 X < X < X < X < X 6 1 Aus der Tabelle ist erkennbar, dass der Fußballspieler mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% spätestens am 5. Tag wieder gesund sein wird (d.h. es ist auch möglich, dass er schon früher wieder einsatzfähig ist).

21 QUANTILFUNKTION Wählt man in diesem Intervall zufällig eine Zahl, so kann man sie als Wert einer Verteilungsfunktion interpretieren. Der dazugehörige Wert der Zufallsvariablen, das Quantil, ist dann die gewünschte Zufallszahl. Das Quantil ergibt sich gewissermaßen als Umkehrfunktion der entsprechenden Verteilungsfunktion. gibt zu einer Wahrscheinlichkeit den gewünschten Wert an Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

22 ZENTRALE GRENZTHEOREME Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

23 VERTEILUNG DER STICHPROBENMITTELWERTE Nehmen wir einmal an, statt der einen hätten wir theoretisch unendlich viele, gleich große, voneinander unabhängige Stichproben erheben können, die wiederum unendlich viele, unterschiedlich große Stichprobenmittelwerte liefern. Die resultierende Verteilung dieser Mittelwerte ginge mit steigender Anzahl von Werten in eine Normalverteilung über (Verteilung der Stichprobenmittelwerten) Unter der Verteilung der Stichprobenmittelwerten ist - allgemein - die Wahrscheinlichkeitsverteilung aller möglichen Ausprägungen der Stichprobenmittelwerte zu verstehen Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

24 VERTEILUNG DES STICHPROBENMITTELWERTS Exkurs - Gedankenspiel Wir haben eine Grundgesamtheit Hieraus nehmen wir eine genügend große Stichprobe und berechnen statistische Kennwerte danach wieder zurück in Grundgesamtheit Wiederholen dieses Schritt unendlich oft und berechnen Stichprobenmittelwert Aus diesen berechneten Mittelwert erstellen wir eine Häufigkeitsverteilung = Verteilung der Stichprobenmittelwerte Berechnen den Durchschnitt (Mittelwert der Mittelwerte) = Erwartungswert Berechnung aller Standardabweichungen = Standardfehler Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

25 STICHPROBENKENNWERTVERTEILUNG Exkurs - Eigenschaften Häufigkeitsverteilung der Stichprobenmittelwerte wird immer die Form einer Normalverteilung annehmen denn nach dem Zentralen Grenzwerttheorem konvergiert diese Verteilung mit wachsender Wiederholung der Ziehung bei genügend großer Stichprobe gegen eine Normalverteilung (unabhängig wie das Merkmal in der Population verteilt ist) Stichprobenmittelwertsverteilung ist als N(μ;σ) Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

26 ZENTRALES GRENZTHEOREM Es besagt im wesentlichen Folgendes: Egal, wie eine Variable in der Population verteilt ist, die Verteilung des Stichprobenmittelwertes wird die Form einer Normalverteilung haben Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

27 STANDARDFEHLER DES MITTELS Standardabweichung der Stichprobenkennwerteverteilung Es ist nichts anderes als die Standardabweichung aller Stichproben - Mittelwerte Gibt Auskunft über die durchschnittliche Abweichung der Stichprobenmittelwerte vom Erwartungswert σ x = σ n σ s s= xi x 2 n σ ist die Standardabweichung des Merkmals in der Population; dieser Wert ist immer unbekannt; er wird durch s geschätzt Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

28 STANDARDFEHLER DES MITTELS Interpretation Ist der Standardfehler des Mittels gering, so ist es wahrscheinlich, dass die Schätzer nur gering vom Erwartungswert abweicht. Ist er dagegen hoch, so wird ein Schätzer alles Voraussicht nach sehr ungenau sein und somit kann es sein, dass eine einzelne Schätzung stark vom tatsächlichen Wert abweicht Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

29 Z-WERTE Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

30 WARUM Z-WERTE? Ziel: Angabe der relativen Lage von Werten in einer Verteilung Gelegentlich steht man vor der Aufgabe, den Testwert einer Person mit den Testwerten anderer Personen in Beziehung zu setzen, um zu beurteilen, ob es sich bei diesem Wert um einen hohen bzw. niedrigen Wert handelt Z-Werte erhält man, indem man die Abweichung vom Mittel an der Standardabweichung relativiert z= xi x s Man kann an dem Ergebnis erkennen, ob der Messwert über oder unter dem MW liegt und um viele SD er entfernt ist (Vorzeichen wichtig!) Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

31 BEISPIEL Körpergröße eines Mannes bei 1,90m, Durschnitt in der Stichprobe 1,75m +15 cm Abweichung Ist diese Abweichung gewöhnlich? Dies wäre der Fall, wenn viele Personen um 15cm oder mehr vom Mittel abweichen würden Da wird durch die Maße der Variabilität repräsentative Abweichen leicht bestimmen können, liegt es nahe, die Abweichungen vom Mittel an einem Maß für die Variabilität der Werte zu relativieren Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

32 BEISPIEL z= = 1 15 Dies bedeutet, dass der Rohwert der Person den Mittelwert um die Länge einer Standardabweichung übersteigt repräsentative Abweichung und kein extremer Wert Z-transformierte Werte haben einen MW von 0 und eine SD von 1 Wie man an dem Beispiel sehen kann, besitzen z-werte nicht mehr die Einheit der Rohwerte dimensionslose Zahl / standardisierte Variable Durch die z-transformation wird die Form der Verteilung nicht verändert Kann bei jeder Variable berechnet werden Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

33 AUFGABE Man nimmt an, dass die Ergebnisse eines Tests sich um einen Mittelwert von μ=60 verteilen und eine Streuung (um diesen Mittelwert) von σ =20 aufweisen. Welcher prozentuale Anteil der möglichen Testergebnisse liegt... a)... über 85 Punkten b)... unter 50 Punkten Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

34 AUFGABE Lösung A) z= = 1,25 Wie kommt man jetzt an die Wahrscheinlichkeit Ablesen der Wahrscheinlichkeit in der z-wert Tabelle In der Tabelle: 100-0,8944 = 0,106 11% 11% der möglichen Testergebnisse liegen über 85 Punkten B) z= = -0,5 In der Tabelle: 0,309 31% 31% der möglichen Testergebnisse liegen unter 50 Punkten Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

35 KONFIDENZINTERVALLE/ VERTRAUENSBEREICH Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

36 KONFIDENZINTERVALL Mit einer»zufallsstichprobe«(iq 112 Studierende SRH) kann man Aussagen über eine unbekannte Grundgesamtheit (alle Studenten SRH) machen Wertebereich (Angabe von zwei Zahlen), in dem man den interessierenden Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erwartet, wird Konfidenzintervall genannt Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

37 BESTIMMUNG VON KONFIDENZINTERVALLEN Es werden Konfidenzintervalle konstruiert, in die der unbekannte Parameter μ mit einer bestimmten Überdeckungs- oder Sicherheitswahrscheinlichkeit (1-α) fällt. 1- α gibt die Wahrscheinlichkeit (z.b. 0,95 also 95%) an, mit der der gesuchte Populationsparameter in dem Intervall liegt; entspricht jenem Anteil aller Mittelwerte, die innerhalb dieser Intervallgrenzen liegen α ist die Irrtumswahrscheinlichkeit (z.b. 0,05 also 5%), die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Intervallschätzung fehlerbehaftet ist Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

38 BESTIMMUNG VON KONFIDENZINTERVALLEN Für die Bestimmung von Konfidenzintervallen macht man sich die Tatsache zu nutze, dass die Stichprobenmittelwerte nach dem Zentralen Grenztheorem normalverteilt ist. D.h. wir kennen die Verteilung aller möglichen Stichproben-Mittelwerte und können deswegen die Grenzen berechnen, die einen beliebig vorgebbaren (meist 90, 95 oder 99%) Flächenanteil (1-α) unter der Normalverteilungskurve der Strichprobenkennwertverteilung des Mittelwerts markiert Obere Grenze x +zσ x Untere Grenze: x zσ x Setzen wir für z= 1,96 ein, dann markieren die Grenzen ein 95% Konfidenzintervall; für 1,64 ein 90% Intervall Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

39 BESTIMMUNG VON KONFIDENZINTERVALLEN Da 1-α der entsprechende Flächenanteil ist und σ X der Standardfehler des Mittelwerts, ergibt sich folgende Berechnungsformel: Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

40 GENERELL GILT Die Länge des Konfidenzintervalls hängt ab von σ, n und 1-α Hat also das untersuchte Merkmal eine große Streuung, so erhält man ein entsprechend großes Intervall. Wird die Sicherheitswahrscheinlichkeit erhöht, so verlängert sich auch das Vertrauensintervall es verringert sich damit die Genauigkeit der Intervallschätzung Umgekehrt gilt: je geringer die Sicherheitswahrscheinlichkeit gewählt wird, desto kleiner wird das Vertrauensintervall und desto größer wird die Genauigkeit. Jedoch: Durch Verkleinerung der Sicherheitswahrscheinlichkeit 1-α erhört sich die Irrtumswahrscheinlichkeit α Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

41 INTERPRETATION Konfidenzintervalle können auch verwendet werden, um zwei Gruppen auf Unterschiede zu untersuchen. Wenn sich die Konfidenzintervall zweier Stichproben nicht überlappen, kann man hier auf einen signifikanten Unterschied ausgehen Ein Konfidenzintervall gibt NICHT die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis an. Falsch: Wert liegt mit mit 95%iger Wahrscheinlichkeit innerhalb der Intervallgrenzen Richtig: Das Konfidenzintervall überdeckt den wahren Parameter der Population mit Wahrscheinlichkeit 95% Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

42 BEISPIEL Das Durchschnittsgewicht eines männlichen Studenten an der Universität ABC ist 180 Pfund. Es wurden 50 männliche Studenten gewogen. Dabei beträgt die Streuung 30 Pfund. Wie groß ist das 95% Konfidenzintervall für den Mittelwert? Untere Grenze= 180 1,96 x = 171,68 Obere Grenze = ,96 x = 188,32 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt das wahre Körpergewicht der männlichen Studenten im Bereich 171,68 und 188, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

43 ÜBUNGEN Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

44 ÜBUNG 1 Welchen IQ muss man haben um zu den intelligentesten 10 % der Bevölkerung zu gehören?(μ= 100, σ= 15) Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

45 ÜBUNG 1 Lösung Tabelle nach dem Wert 0,90 schauen -> z-wert ungefähr 1,285 Daraus folgt: z x i S x IQ=119, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

46 ÜBUNG 2 Peter hat 25 Punkte in einem Test A erzielt, Paul 24 Punkte in einem Test B. Beide Tests messen das gleiche Merkmal. Wer von beiden erzielte die bessere Leistung, wenn gilt x s A 20 5 B Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

47 ÜBUNG 2 Lösung Z-Peter = (25 20)/5 = 1 Z-Paul = (24 18)/6 = 1 Daraus folgt, dass Peter und Paul gleich gut abgeschnitten haben Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

48 ÜBUNG 3 Maria hat an einem Dynamometer 43 kg Zugleistung erbracht, Manfred 52 kg. Die geschlechtsspezische Vergleichsgruppe für Maria hat einen Mittelwert von 31 kg und eine Standardabweichung von 6 kg. Die entsprechende männliche Norm liegt bei 40 kg Zug und 8 kg Standardabweichung. Wer von beiden ist relativ zu seiner Gruppennorm besser? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

49 ÜBUNG 3 Lösung Z-Maria = (43 31)/6 = 2 Z-Manfred = (52 40)/8 = 1,5 Daraus folgt, dass Maria relativ zu ihrer Gruppennorm besser als Manfred abschneidet Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

50 ÜBUNG 4 Um einen Kurs über umweltfreundliche Autofahrer zu benutzen, wurde der durchschnittliche wöchentliche Benzinverbrauch der Teilnehmer ermittelt M-vor = 25; s-vor = 5; M-nach = 21; s-nach = 6 Der Benzinverbrauch wird als normalverteilt angenommen. Frau A verbrauchte vorher 15l und nachher 12l pro Woche. Hat sie ihren Verbrauch im Vergleich zu den durchschnittlichen Autofahrern gesenkt oder erhöht? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

51 ÜBUNG 4 Lösung Z-vor = (15 25)/5 = -2 Z-nach = (12 21)/6 = -1.5 Daraus folgt dass sich der Verbrauch der Frau gesenkt hat Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

52 ÜBUNG 5 Die Zeit, die Studierende pro Semesterwoche in der Vorlesungszeit für die Vorbereitung von Seminaren aufwenden sei normalverteilt μ = 10 und σ = 6. Bestimmen Sie, wie viele Stunden sich ein Studierender mindestens vorbereiten muss, um zu den 5% der Studierenden zu gehören, die sich am längsten vorbereiten Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

53 ÜBUNG 5 Lösung Tabelle zur Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung 95%(0,9505) ist gleich ein z-wert von 1,65. Über diesem Wert liegen 5 % der Studenten. Umwandlung des z-wertes in xi-wert. Ein Studierender muss sich also mindestens 19,9 Stunden pro Woche vorbereiten, um zu den eifrigsten 5% zu gehören Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

54 ÜBUNG 6 In einer Zufallsstichprobe von 64 Personen wurde ein durchschnittlicher Intelligenzquotient von 80 Punkten erreicht. Die Standardabweichung beträgt s = 12 Punkte. Geben Sie das 95% Vertrauensintervall an Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

55 ÜBUNG 6 Lösung σ M = s = 1,5 n μm = 80 Obere Grenze = ,96 x 12 = 82,94 64 Untere Grenze = 80 1,96 x 12 = 77,06 64 Das 95%-ige Vertrauensintervall geht von 77 bis Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

56 ÜBUNG 7 Es sei unterstellt, der Intelligenzquotient sei normalverteilt mit μ = 100 und σ = 10. Wenn man insgesamt 10% der Population mit den extremsten Werten (jeweils 5% an beiden Enden) nicht berücksichtigt, in welchen Bereich wird der IQ dann noch variieren? Wie wahrscheinlich ist das Auftreten eines IQs zwischen 100 und 108? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

57 ÜBUNG 7 Lösung Gesucht sind zwei xi-werte, deren Intervall die mittleren 90%der Anteilsfläche markieren. Da wir nur die Möglichkeit haben, in der Tabelle zur Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung nachzusehen, ermitteln wir statt unten xi-werten zunächst die z-transformierten x-werte, nämlich die z-werte: Z-Werte in ursprüngliche x-werte umwandeln Demnach variiert der IQ, wenn man nur die mittleren 90% der Population berücksichtigt zwischen 83.5 und Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

58 ÜBUNG 7 Lösung Wie wahrscheinlich ist das Auftreten eines IQs zwischen 100 und 108? Zu berechnen ist die Fläche zwischen 100 und 108. Xi-Werte in z-werte transformieren Laut der Tabelle ergibt sich bis zu z=0.8t ein Flächenanteil von 0,7881. Davon wird die Fläche von z=0 (Fläche 0,5) abgezogen: 0,7881-0,5 = 0,2881 Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 28% wird der IQ in diesem Bereich liegen Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

59 ÜBUNG 8 Eine Untersuchung von n=50 Hähnchen auf ihren Kaloriengehalt ergab einen Stichproben-Mittelwert von x =215,48, sowie eine Standardabweichung von s=33,14. Wie lauten die Intervallgrenzen bei 95% Überdeckungswahrscheinlichkeit? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

60 ÜBUNG 8 Lösung Obere Grenze = 215,48 + 1,96 x 33,14 50 = 224,67 Untere Grenze = 215,48-1,96 x 33,14 50 = 206,29 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt der wahre Kaloriengehalt zwischen 209,29 und 224, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

61 ÜBUNG 9 Die Verteilung der Ergebnisse des letzten Statistiktests ist normalverteilt mit einem Mittelwert von 7,2Punkten und einer Standardabweichung von 3,5Punkten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, a) mit mindestens 10 Punkten zu bestehen, b) mit der Punktzahl zwischen 5 und 8 zu liegen, c) höchstens 4 Punkte zu erreichen? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

62 ÜBUNG 9 Lösung Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

63 VIELEN DANK FÜR DIE AUFMERKSAMKEIT! Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)