Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1 Name: 31. Januar 2001, Uhr Allgemeine Hinweise: Dauer der Klausur: Zugelassene Hilfsmittel: 90 min, 1.5 Zeitstunden Skript, Vorlesungsmitschrift, Taschenrechner Schreiben Sie bitte auf dieses Deckblatt oben rechts an der dafür vorgesehenen Stelle Ihren Namen in Druckbuchstaben! Unterschreiben Sie dieses Deckblatt! Reißen Sie die geheftete Klausur nicht auseinander. können nicht gewertet werden. Ausgerissene Aufgabenblätter Verwenden Sie für Ihre Lösungen ausschließlich die angehefteten Aufgabenblätter! Es steht für jede Lösung ausreichend Platz zur Verfügung. Falls der Platz trotzdem nicht ausreichen sollte, benutzen Sie bitte die Rückseite oder die entsprechend gekennzeichnete Rückseite eines anderen Aufgabenblatts! Andere Blätter als die Aufgabenblätter können nicht gewertet werden! Verwenden Sie keinen Rotstift und keinen Bleistift! Unterschrift: Auswertung: Aufgabe Nr.: Summe Punktzahl: Davon erreicht: 31. Januar 2001, Seite 1 von 6

2 (3P.) (2P.) (5P.) (2P.) 1. Aufgabe: (12 Punkte) Für ein Sortiment von 5 Werkstücken nimmt man an, dass es 2 Teile enthält, die nicht den vorgegebenen Toleranzen entsprechen, also fehlerhaft sind. Die Teile werden zur Prüfung aus dem Sortiment herausgenommen und nicht wieder zurückgelegt. (b) (c) (d) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable X, die die Anzahl der gezogenen defekten Teile bei n Ziehungen angibt? Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Verteilung die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Ziehungen ein defektes Teil gezogen wird. Bestimmen Sie mit Hilfe der Ereignisbaummethode die Verteilung der Zufallsvariablen Y, welche die Anzahl der Ziehungen angibt, bis bei dem oben beschriebenen Ziehungsschema das erste defekte Teil gezogen wird. Skizzieren Sie diese Verteilung und die zugehörige Verteilungsfunktion. 31. Januar 2001, Seite 2 von 6

3 2. Aufgabe: (4 Punkte) Erläutern Sie stichwortartig den Unterschied zwischen dem Laplace schen Wahrscheinlichkeitsbegriff, der Definition der Wahrscheinlichkeit über stabilisierte Häufigkeiten und dem Kolmogorov schen Wahrscheinlichkeitsbegriff. 31. Januar 2001, Seite 3 von 6

4 (3P.) 3. Aufgabe: (8 Punkte) Die Zufallsvariablen X und Y seien beide gleichverteilt im Intervall [0, 1] und unabhängig. Bestimmen Sie die Verteilungsdichte der Zufallsvariablen Z = X + Y und skizzieren Sie diese. (2P.) (b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Z Werte zwischen 0 und 0.5 annimmt. (3P.) (c) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen Z. 31. Januar 2001, Seite 4 von 6

5 4. Aufgabe: (7 Punkte) Es sei X eine N(0, 4)-verteilte Zufallsvariable und x 1, x 2,..., x 10 (4P.) (3P.) eine Stichprobe von Werten dieser Zufallsvariablen. (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Stichprobe genau 3 Werte zwischen 0 und 3 befinden? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Werte dieser Stichprobe dem Betrag nach kleiner als 0.1 bleibt? 31. Januar 2001, Seite 5 von 6

6 5. Aufgabe: (9 Punkte) Eine Versuchsreihe liefere folgende Stichprobe Nr Wert (7P.) (2P.) (b) Testen Sie zum 99%-Niveau die Hypothese, dass die zu Grunde liegende Zufallsvariable X standard-normalverteilt ist gegen die Hypothese, dass X N(1, 1)- verteilt ist. Wie gross ist der Fehler 2. Art bei diesem Test. 31. Januar 2001, Seite 6 von 6