2. Wiederholungsklausur Statistik

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1 Goethe Universität Frankfurt Fachbereich Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Martin Biewen PD Dr. Ralf Wilke Sommersemester Wiederholungsklausur Statistik Bitte tragen Sie hier und auf den Lösungsblättern (oben links) Ihre Matrikelnummer ein! Matrikelnummer: Wichtig! Durch Ihre Unterschrift in der Teilnehmerliste bestätigen Sie, folgende Prüfungsvorschriften zu beachten: Sie haben den nachfolgenden Text gelesen und stimmen allen Punkten zu. Sie fühlen sich gesund und sind in der Lage, an der Prüfung teilzunehmen. Sie haben sich über die Vorschriften der Prüfungsordnung, die Teilnahme an Klausurprüfungen betreend, informiert. Sie haben zur Kenntnis genommen, dass Sie für die ordnungsgemäÿe Abgabe der Klausur vor Verlassen des Prüfungsraumes selbst verantwortlich sind. Es sind nur die vom Themensteller aufgeführten Hilfsmittel erlaubt. Das Mitbringen eines Mobiltelefons in die Klausur ist verboten. Zuwiderhandeln gilt als Täuschungsversuch. Lösungen mit Bleistift oder roter Tinte werden nicht gewertet. Dieses Schema dient nur der Korrektur Σ Rohpunktzahl: Note:

2 Matrikelnr.: 2 Hinweise: a) Die Klausur umfasst 10 Aufgaben. Sie stehen auf den nachfolgenden Seiten. Auÿerdem gibt es am Ende Blätter, in welche Sie die Lösungen eintragen. Mit den beiden Deckblättern müssen Sie insgesamt 10 Seiten haben. b) Tragen Sie sogleich auf dem Deckblatt und den Lösungsblättern LESERLICH Ihre Matrikelnummer ein. c) Alle Klausurergebnisse sind auf den letzten 5 Seiten einzutragen! Multiple-Choice-Aufgaben werden an Ort und Stelle durch Ankreuzen beantwortet. Die Ergebnisse der Aufgaben 1 bis 9 schreiben Sie in die vorgesehenen Kästchen auf den letzten Seiten hinter den Antwortsatz. NUR DIE ERGEBNISSE DER LETZTEN 5 SEITEN WERDEN GEWERTET! d) Insgesamt sind 148 Rohpunkte zu erreichen. 24 Rohpunkte fallen auf Multiple-Choice-Aufgaben. e) Multiple Choice: Für jede der sechs Teilaufgaben gibt es maximal 4 Punkte. Von den vier Alternativen jeder Aufgabe sind genau zwei richtig und diese sind anzukreuzen. Sind beide Kreuze richtig, so gibt es vier Punkte. Ist nur eine Alternative angekreuzt und richtig, so gibt es zwei Punkte. In allen anderen Fällen gibt es null Punkte! f) Als Hilfsmittel sind nicht programmierbare Taschenrechner und ein geheftetes, BEIDSEITIG bedrucktes Skript von Hassler/Nautz zugelassen. g) Die Beantwortungszeit beträgt 180 Minuten. h) Geben Sie am Ende die VOLLSTÄNDIGE Klausur ab. Viel Erfolg!

3 Matrikelnr.: 3 Aufgabe 1 (12 Punkte) Ein Einzelhändler verzeichnet während eines Zeitraumes von 50 Tagen folgende Tagesumsätze (in Euro): a) Erstellen Sie eine Häugkeitstabelle mit folgender Klasseneinteilung: 100 bis 300, 300 bis 400, 400 bis 500, 500 bis 600, 600 bis 800, 800 bis b) Bestimmen Sie aufgrund der Häugkeitstabelle aus a) den 75-Prozent-Punkt der Umsatzverteilung des Einzelhändlers. Aufgabe 2 (12 Punkte) Die folgende Tabelle zeigt Daten zur Konzentration des Videotheken-Marktes in zwei Städten S1 und S2. Hierbei bezeichnet x i den Marktanteil am Gesamtvolumen der in einer Stadt verliehenen Videokassetten und n i die Anzahl der Videotheken, die einen solchen Marktanteil innehaben (z.b. gibt es in S1 drei Videotheken, die jeweils 10 Prozent des Ausleihgeschäftes in dieser Stadt betreiben). S1 S2 i x i n i x i n i a) Berechnen Sie die Koordinaten der Lorenzkurven für S1 und S2. b) Berechnen Sie die Gini-Kozienten für S1 und S2. In welcher Stadt ist das Leihgeschäft stärker konzentriert? Aufgabe 3 (12 Punkte) Die Zufallsvariable X bezeichne das Haushaltseinkommen (in 1000 Euro). Die Dichtefunktion ist gegeben durch 2x 3 für x 1 f(x) = 0 sonst a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion für x 1. b) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.

4 Matrikelnr.: 4 Aufgabe 4 (14 Punkte) Sie besitzen insgesamt 5 Aktien, 2 von Unternehmen A und 3 von Unternehmen B. Der Kurs der Aktie von Unternehmen A sei durch eine Zufallsvariable K A mit E(K A ) = 100 und V ar(k A ) = 16 beschrieben. Der Aktienkurs von Unternehmen B ist entsprechend durch eine Zufallsvariable K B mit E(K B ) = 90 und V ar(k B ) = 9 gegeben. Da die beiden Unternehmen unterschiedlichen Branchen angehören, sind die Kurse ihrer Aktien negativ korreliert. Der Korrelationskoezienten zwischen K A und K B beträgt -0,5. a) Berechnen Sie den Erwartungswert ihres Gesamtvermögens 2K A + 3K B. b) Berechnen Sie die Varianz ihres Gesamtvermögens 2K A + 3K B. Aufgabe 5 (14 Punkte) Nehmen wir an, zur Schätzung des Erwartungswertes (µ) einer Zufallsvariable X liegen uns n>2 unabhängige Realisationen x 1,..., x n von X vor. Es steht der folgende Schätzer zur Verfügung: ˆµ n = 1 n 2 Die Varianz von X sei unbekannt aber endlich, d.h. V ar(x) <. a) Berechnen Sie E(ˆµ n ). b) Berechnen Sie lim n E(ˆµ n ). c) Berechnen Sie V ar(ˆµ n ). d) Berechnen Sie lim n V ar(ˆµ n ). e) Ist der Schätzer konsistent? f) Schlagen Sie einen Schätzer aus der Vorlesung vor, der über bessere Eigenschaften verfügt. Aufgabe 6 (14 Punkte) Es liege eine Stichprobe vom Umfang n = 101 aus einer nornalverteilten Grundgesamtheit vor. Die mittlere quadratische Abweichung (Varianz in der Stichprobe) sei 250. a) Führen Sie eine erwartungstreue Schätzung für die Varianz der Grundgesamtheit mit S 2 (Notation im Skript) durch. b) Bestimmen Sie das Kondenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit zu einer Kondenzwahrscheinlichkeit von 0.9. c) Bestimmen Sie das Kondenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit zu einer Kondenzwahrscheinlichkeit von 0.9 und verwenden Sie dazu die Quantile der Standardnormalverteilung. n j=1 x j

5 Matrikelnr.: 5 Aufgabe 7 (21 Punkte) Ein Lehrbeauftragter im Rahmen des Bachelor Studiums reist regelmässig aus England nach Deutschland, um seinen Verpichtungen nachzukommen. Um seine Reisen besser planen zu können, möchte er seine bisherigen Reisedaten statistisch auswerten. Es wird angenommen, dass die Reisezeiten normalverteilt sind mit einer Standardabweichung von 5. Es liegen folgende beobachtete Reisezeiten Leicester - Frankfurt vor: Testen Sie folgende Hypothesen unter Angabe der Prüfgrösse und des kritischen Wertes (α = 0.03): a) H 0 : µ 200 gegen H 1 : µ > 200, b) H 0 : µ 200 gegen H 1 : µ < 200. c) H 0 : µ = 200 gegen H 1 : µ 200. Aufgabe 8 (9 Punkte) Betrachten wir den Test auf Mittelwert µ bei bekannter Varianz und unter Normalverteilung. Bestimmen Sie den P-Wert a) für den zweiseitigen Test. Der Wert der Prüfgröÿe ist b) für den einseitigen Test gegen H 1 : µ µ 0. Der Wert der Prüfgröÿe ist c) für den einseitigen Test gegen H 1 : µ µ 0. Der Wert der Prüfgröÿe ist Aufgabe 9 (16 Punkte) Es sei ein Korrelationskoezient von r xy = 0.19 berechnet worden. Der Stichprobenumfang betrage n=300. Es soll ein zweiseitiger Test mit Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05 durchgeführt werden: H 0 : ρ = 0, H 1 : ρ 0. Es wird die Normalverteilung von X und Y in der Grundgesamtheit unterstellt. a) Berechnen Sie die Prüfgrösse. b) Die t-verteilung ist für groÿe Freiheitsgrade nicht tabelliert. Auf welche Verteilung kann approximativ zurückgegrien werden? c) Wie lautet der kritische Wert? d) Wie lautet die Testentscheidung?

6 Matrikelnr.: 6 Aufgabe 10 (24 Punkte) Für jede der folgenden Teilaufgaben gibt es maximal 4 Punkte. Von den vier Alternativen jeder Aufgabe sind genau zwei richtig und diese sind anzukreuzen. Sind beide Kreuze richtig, so gibt es vier Punkte. Ist nur eine Alternative angekreuzt und richtig, so gibt es zwei Punkte. In allen anderen Fällen gibt es null Punkte! a) Welche Aussagen sind korrekt? Wenn ein Schätzer erwartungstreu ist, dann ist er auch konsistent. Schätzer, die konsistent sind, können verzerrt sein. Ein Schätzer kann nur dann konsistent sein, wenn seine Varianz asymptotisch gegen null geht. Ist ein Schätzer konsistent, dann ist er auch ezient. b) Es soll ein Kondenzintervall bestimmt werden. Ihr Hiwi möchte von Ihnen wissen, wie er dafür vorgehen soll. Was sagen Sie ihm? Das Kondenzniveau sollte man eher zuletzt festlegen, da man so die Intervallgrenzen den Vorgaben seines Chefs anpassen kann. Zur Bestimmung von Kondenzintervallen für eine Zufallsvariable ist es notwendig, ihre exakte Verteilung zu kennen. Um Kondenzintervalle für eine Zufallsvariable bilden zu können, muss man entweder ihre Verteilung kennen oder wichtige Parameter der Verteilung anhand der Daten vorschätzen. Liegen sehr viele Beobachtungen vor, kann man häug mit den Quantilen der Standardnormalverteilung arbeiten. c) Welche Aussagen bezüglich des Testens von Hypothesen sind korrekt? In einseitigen Testproblemen ist der Verwerfungsbereich symmetrisch zu beiden Seiten des Annahmebereichs angeordnet. In einseitigen Testproblemen ist der Verwerfungsbereich nicht symmetrisch zu beiden Seiten des Annahmebereichs angeordnet. Falls getestet werden soll, ob der Stichprobenmittelwert kleiner als ein bestimmter Wert ist, dann wird die ganze Irrtumwahrscheinlichkeit auf die rechte Seite gelegt. Die Nullhypothese wird also verworfen, falls die Prüfgrösse den kritischen Wert überschreitet. Falls getestet werden soll, ob der Stichprobenmittelwert grösser als ein bestimmter Wert ist, dann wird die ganze Irrtumwahrscheinlichkeit auf die rechte Seite gelegt. Die Nullhypothese wird also verworfen, falls die Prüfgrösse den kritischen Wert überschreitet.

7 Matrikelnr.: 7 d) X und Y seien zwei Zufallsvariablen. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? Aus der Tatsache, dass die Korrelation zwischen X und Y zwischen -1 und 1 liegen muss, folgt, dass auch die Kovarianz innerhalb dieser Grenzen liegt. Die Kovarianz zwischen X und Y kann einen beliebigen Wert annehmen. Sie führen eine Regression von Yi auf x i durch und erhalten Ŷi, die durch das Modell vorhergesagten Werte von Y. Jetzt regressieren Sie Y i auf Ŷi. Diese Regression liefert einen Achsenabschnitt von null und einen Steigungsparameter von eins. Sie führen eine Regression von Y i auf x i durch und erhalten Ŷi, die durch das Modell vorhergesagten Werte von Y. Jetzt regressieren Sie Y i auf Ŷi. Diese Regression liefert kein Ergebnis, weil Ŷi ein geschätzter Wert ist. e) Betrachten Sie folgendes Regressionsmodell: Y i = β 1 + ɛ i. Welche der Aussagen sind korrekt? β 1 kann nicht mit der Methode der Kleinsten Quadrate geschätzt werden. Der Kleinste Quadrate Schätzer für β1 ist gerade das Stichprobenmittel von Y. Sie beobachten eine weitere Variable X und überlegen, das Modell auf Y i erweitern. = β 1 + β 2 x i + ɛ i zu Dies sollten Sie ernsthaft in Betracht ziehen, denn dadurch könnte die Varianz der Schätzung von β 1 verkleinert werden. Dies sollten Sie tun, denn nur in diesem Modell kann der Kleinste Quadrate Schätzer berechnet werden. f) Welche der folgenden Modelle sind linear in den Parametern β 1 und β 2? (ln = natürlicher Logarithmus) Yi = β 1 + β 2 (1/x i ) + ɛ i lnyi = β 1 + β 2 x i + ɛ i Y i = β 1 + lnβ 2 x i + ɛ i Y i = β 1 + β 3 2x i + ɛ i

8 Matrikelnr.: 8 Lösungen der Aufgaben 1 bis 9 tragen Sie bitte in die nachfolgenden Kästchen ein. Aufgabe 1 (Lösung) a) Tragen Sie Ihre Ergebnisse in folgende Tabelle ein: i x i 1 < X x i n i h i i ˆf(x) i j=1 h j = ˆF (x i ) 1 (100;300] 9 0, ,0009 0,18 2 (300;400] 9 0, ,0018 0,36 3 (400;500] 8 0, ,0016 0,52 4 (500;600] 6 0, ,0012 0,64 5 (600;800] 11 0, ,0011 0,86 6 (800;1200] 7 0, , b) Der 75-Prozent-Punkt ist: 700 Aufgabe 2 (Lösung) a) Tragen Sie die Lorenzkoordinaten in folgende Tabelle ein: S1 S2 i u i v i u i v i ,6 0,3 0,75 0,3 2 0,8 0, b) Der Gini-Koezient für S1 lautet: 0, 36 Der Gini-Koezient für S2 lautet: 0, 45 Der Ausleihmarkt ist stärker konzentriert in: S2 Aufgabe 3 (Lösung) a) Die Verteilungsfunktion für x 1 lautet: 1 x 2 b) Der Erwartungswert von X ist: 2

9 Matrikelnr.: 9 Aufgabe 4 (Lösung) a) Der erwartete Kurs beträgt: 470 b) Die Varianz des Kurses beträgt: 73 Aufgabe 5 (Lösung) a) E ˆµ n = µn/(n 2) b) lim n E ˆµ n = µ c) V ar(ˆµ n ) = var(x)n/(n 2) 2 d) lim n V ar(ˆµ n ) = 0 e) ˆµ n ist konsistent f) Ein besserer Schätzer ist (1/n) x i Aufgabe 6 (Lösung) a) S 2 = 252, 5 b) Das Kondenzintervall lautet: [203,07 ; 324,01 ] c) Das Kondenzintervall lautet: [204,85 ; 329,04 ] Aufgabe 7 (Lösung) a) Die Prüfgrösse lautet: 3 Der kritische Wert lautet: 1,88 Die Nullhypothese wird: verworfen

10 Matrikelnr.: 10 b) Die Prüfgrösse lautet: 3 Der kritische Wert lautet: -1,88 Die Nullhypothese wird: nicht verworfen c) Die Prüfgrösse lautet: 3 Der kritische Wert lautet: 2,17 Die Nullhypothese wird: verworfen Aufgabe 8 (Lösung) a) Der P-Wert lautet: 0,0872 b) Der P-Wert lautet: 0,0436 c) Der P-Wert lautet: 0,0436 Aufgabe 9 (Lösung) a) Die Prüfgrösse lautet: 3,3408 b) Der Name der Verteilung lautet: Normalverteilung c) Der kritische Wert lautet: 1,96 d) Die Nullhypothese wird: verworfen