Forschungsstatistik I

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1 Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R (Persike) R (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 2008/2009 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Thema der Stunde Reanimation kenntnisse Einführung in die Wahrscheinlichkeitslehre Begriff der Wahrscheinlichkeit Klassische nach Abzählprinzipien I

3 , naive Venn- Diagramme Operationen G. Cantors einer Menge (1895) Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen. Schreibe: Somit auch: m M m M N einer Menge: Extensional: M = {1, 3, 5, 7, 9} Intensional: M = {m ungerade natürliche Zahl < 10} lies: für die gilt

4 , naive Mächtigkeit und Identität von Mengen Venn- Diagramme M ist die Mächtigkeit einer Menge und bezeichnet die Anzahl der Elemente in der Menge. Operationen Bei der extensionalen einer Menge sind die Anzahl gleicher Elemente und auch die Reihenfolge von Elementen gleichgültig. M 1 = {1, 3, 5, 7, 9} M 2 = {3, 7, 1, 9, 5} M 3 = {1, 1, 1, 3, 5, 5, 7, 9, 9} Die Menge der Mächtigkeit 0 ist die leere Menge M = { } bzw. M = sind dieselbe Menge der Mächtigkeit M = 5.

5 , naive Mengen und Teilmengen Venn- Diagramme Ist eine Menge A eine Teilmenge von B, so gilt für jedes a Є A auch a Є B. Operationen Dann schreibt man: A B Gilt A B und auch B A, so sind A und B gleich. Dann schreibt man: A = B Ambiguität: A B schließt A = B nicht aus. Nur wenn hier nicht B A gilt, ist A eine echte Teilmenge von B. Dann schreibt man: A B

6 , naive Venn-Diagramme Venn- Diagramme Jede Menge M 1 i und alle Beziehungen zwischen diesen Mengen sind durch einen Kreis repräsentiert. Operationen A B A B A B und B A A A = B B A B

7 , naive Die Potenzmenge Venn- Diagramme Eine Potenzmenge P(M) ist die Menge aller möglichen Teilmengen von M plus der leeren Menge. Formal: A P(M) genau dann, wenn A M Operationen Beispiel: Ergebnisse eines einmaligen Münzwurfs M = {K, Z, S} P(M) = {, {K}, {Z}, {S}, {K,Z}, {K,S}, {Z,S}, {K,Z,S}} Die Mächtigkeit einer Menge M sei M = n. Dann gilt für die Mächtigkeit der Potenzmenge: P(M) = 2 n

8 , naive Mengenoperationen Venn- Diagramme Vereinigung von Mengen: A B Operationen (Durch-)Schnitt von Mengen: A B Differenz von Mengen: A \ B

9 , naive Mengenoperationen Venn- Diagramme Vereinigung von Mengen: A B Operationen A B = {m m A oder m B} A B A B (Vereinigungsmenge)

10 , naive Mengenoperationen Venn- Diagramme Operationen (Durch-)Schnitt von Mengen: A B A B = {m m A und m B} A B A B (Schnittmenge)

11 , naive Mengenoperationen Venn- Diagramme Differenz von Mengen: A \ B Operationen A \ B = {m m A und nicht m B} A B A \ B (Differenzmenge)

12 Geschichte der WT Anfänge Mitte des 17. Jh. (Huygens, Pascal, Fermat, Bernoulli). Aufgaben des Glücksspiels. Nur Arithmetik und Kombinatorik. Weiterentwicklungen im Jh. durch, Gauss, Poisson: Fehlertheorie, Ballistik, Pop.stat. Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der W-Theorie, Fundament in axiomatischen Aufbau (Kolmogoroff). Theorie der stochastischen Prozesse (Wiener, Markoff, Chintchin), Partikelphysik. Heute zentraler Bestandteil wiss. Betätigung: Informationstheorie, Physik, Bevölkerungsstatistik, Epidemiologie, Materialprüfung, Statik, Personalauswahl, psychologische Testung, Versuchsplanung und Stichprobentheorie.

13 Zufällige Ereignisse Die Wahrscheinlichkeitslehre befasst sich mit zufälligen Ereignissen Für diese Zufallsereignisse gilt: 1. Sie sind wiederholbar 2. Sie besitzen eine Stabilität in der relativen Häufigkeit ihres Auftretens

14 Zufällige Ereignisse Empirische der Wahrscheinlichkeit (von Mises, 1919) ( ): = lim A P A N n N Beispiel 2: Relative Häufigkeit für das Würfeln einer 6 in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfelversuche: n A : Häufigkeit des Ereignisses A N : Gesamtzahl aller Versuche

15 Zufällige Ereignisse Statistische der Wahrscheinlichkeit (von Mises, 1919) Probleme der Statistischen In vielen Fällen ist die empirische Bestimmung einer Häufigkeitsverteilung nicht möglich Nur in wenigen der verbleibenden Fälle ist die Anzahl der Versuche sehr viel größer als 1 Der Limes ( ) ist praktisch nicht realisierbar; Wahrscheinlichkeit wäre also nur eine Hypothese Interpretation von Wahrscheinlichkeiten ist unklar

16 Was ist ein Ereignis? Ein (Zufalls-)Ereignis bezeichnet eine Menge möglicher Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Ein Ereignis ist die Realisation eines Komplexes Ξ von Bedingungen. Beispiel: Ein sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen (= der Komplex Ξ von Bedingungen). Mögliche Ereignisse sind: Das Würfeln einer 6 : {6} Das Würfeln einer Zahl < 3: {1, 2} Das Würfeln einer Primzahl: {2, 3, 5}

17 Elementarereignisse Zwei Ereignisse B 1 und B 2 heißen paarweise unvereinbar (disjunkt), wenn gilt: Beispiel: E E = unmögliches Ereignis 1 2 Die kleinste Einheit disjunkter Ereignisse, in die sich mögliche Ergebnisse eines Zufallsexperimentes zerlegen lassen, heißt Elementarereignis. Beim Würfelwurf sind die Ereignisse {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Elementarereignisse, nicht aber {2, 4, 6} und {1, 4, 5}.

18 Stichprobenraum Gilt: A = E E E 1 2 n und sind die E i paarweise unvereinbar, so lässt sich A in genau die Teilereignisse E i zerlegen. Wenn stets mindestens eines der Ei eintritt, folgt Ω = E E E 1 2 n sicheres Ereignis Dann bilden die E i ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse (Elementarereignisse), den Stichprobenraum.

19 σ-algebra (auch: Ereignisalgebra) Zu einem Stichprobenraum kann eine Ereignisalgebra konstruiert werden, die ein abgeschlossenes System von Ereignissen darstellt. Regel: Bilde eine Menge U aus dem sicheren Ereignis, dem unmöglichen Ereignis und allen Ereignissen, die sich in Elementarereignisse zerlegen lassen und füge die leere Menge hinzu.. Beispiel: E 1, E 2, E 3 seien die Felder eines Glücksrades {,{ 1},{ 2},{ 3},{ 1, 2},{ 1, 3},{ 2, 3},{ 1, 2, 3} } U = E E E E E E E E E E E E =Ω

20 σ-algebra Der Begriff der Abgeschlossenheit {,{ 1},{ 2},{ 3},{ 1, 2},{ 1, 3},{ 2, 3},{ 1, 2, 3} } U = E E E E E E E E E E E E =Ω Warum heißt dieses System abgeschlossen für das betrachtete Zufallsereignis? Es erfüllt folgende Axiome: 1. Ω U und U Sicheres/unmögliches Ereignis in U 2. Wenn A U, dann auch Ω \A U Komplementereignis in U 3. A 1 A 2 A n U und A 1 A 2 A n U Vereinigungs-/Schnittmenge in U Also: Alle denkbaren Ausgänge des Zufallsexperimentes sind in U enthalten.

21 Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Jedem Ereignis A, welches der σ-algebra U angehört, kann so eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. PA ( ) = m n m = Mächtigkeit der Menge an gleichmöglichen Elementarereignissen aus U, die Teilereignis von A sind. n = Mächtigkeit des Stichprobenraumes (also Anzahl aller Elementarereignisse aus U) Die Wahrscheinlichkeit ist demnach eine auf der σ- Algebra U definierte Funktion P(A).

22 Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Folgerungen aus der von P(A) 1. Für jedes A aus U gilt: P(A) 0, weil weder m noch n negativ werden können 2. Für das sichere Ereignis gilt: P(Ω) = 1, weil hier m = n 3. Ist ein Ereignis A zerlegbar in die Elementarereignisse E 1, E 2, E i so gilt: P(A) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + + P(E i ) Additionstheorem der Wahrscheinlichkeiten

23 Beispiele Summe von 2 Würfelwürfen Anzahl von Zahl bei 3 Münzwürfen Frage des Landsknechts an Huygens