Forschungsstatistik I

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1 Psychologie Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stoc, TB II R (Persie) R (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatisti I Dr. Malte Persie persie@uni-mainz.de WS 009/00 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 . Der multiple Korrelationsoeffizient R Definition: Der multiple Korrelationsoeffizient R repräsentiert die Korrelation zwischen dem Kriterium y und allen Präditoren x x Dabei berücsichtigt R etwaige Interorrelationen zwischen den Präditoren (und entfernt sie) Der multiple Korrelationsoeffizient R ist definiert als R yxx x j xjy j== = β r Er ist mathematisch äquivalent zur Korrelation zwischen den gemessenen y-werten und den vorhergesagten y dach -Werten, also R yxx x = ryy ˆ

3 . Der multiple Determinationsoeffizient R² Definition: Der multiple Determinationsoeffizient R² repräsentiert die Varianzauflärung, die alle Präditoren x x am Kriterium y leisten Der multiple Determinationsoeffizient R² ist definiert als Erlärte Streuung Fehlerstreuung R = = Gesamt-Streuung Gesamt-Streuung Rechnerisch: Var( yˆ ) Var( e) n Var( y) Var( y) i= R = = = n n n i = ( y yˆ ) ( y y)

4 3. Abhängigeit a) Sind die Präditoren unabhängig, so sind die ß- gleich den Kriteriumsorrelationen und die aufgelärte Varianz ist die Summe der Quadrate der ß- Erlärung: Bei perfet unabhängigen Präditoren ist die Präditorinterorrelationsmatrix R xx gleich der Identitätsmatrix t i I. β = I r β = r xy xy Damit gilt für den multiplen R = Korrelationsoeffizienten R r j Und R² ist einfach die Summe der quadrierten R Kriteriumsorrelationen yxx x x y j= yxx x = r xjy j=

5 3. Abhängigeit a) Sind die Präditoren unabhängig, so sind die ß- gleich den Kriteriumsorrelationen und die aufgelärte Varianz ist die Summe der Quadrate der ß- b) Sind die Präditoren abhängig (interorreliert), t) so sind 3 Fälle zu unterscheiden:. Der Präditor enthält Information, die bereits andere Präditoren enthalten: er ist redundant. Der Präditor unterdrüct irrelevante Varianz in anderen Präditoren: er ist ein Suppressor 3. Der Präditor besitzt Kriteriumsvarianz, die andere Präditoren nicht besitzen und unterdrüct irrelevante Varianz der anderen Präditoren: er ist nützlich.

6 3a. Redundanz Redundanz = die vielen Variablen messen Aspete gemeinsam, so dass man prinzipiell weniger Präditoren benötigte unerwünschter Aspet Die Variable x j ist redundant zur Vorhersage von Variable y wenn gilt β r < r x x y x y j j j Präditoren enthalten empirisch nahezu immer gemeinsame Varianzanteile und sind somit teilweise redundant. d Echte Redundanz d liegt aber erst gemäß obiger Definition vor. Multiollinearität: Die Kovarianz eines Präditors mit dem Kriterium ist in den anderen Präditoren (fast) vollständig enthalten extremer Fall von Redundanz.

7 3b. Suppression r x y x r x x r x y =0 x x X Y x bindet irrelevante Präditorinformation x hängt nicht mit y zusammen, trotzdem erhöht sie R²

8 3b. Suppression Defintion: Eine Variable x j ist ein Suppressor,, wenn gilt: Ux > rx y Die Zunahme der erlärten Varianz durch Aufnahme der Variable ist also größer als die einzelne Varianzauflärung. j Vereinfachung: Bei nur zwei Präditoren x und x it ist x ein Supressor, wenn gilt: r -r x x xzx. > r xz -rx z j

9 3c. Nützlicheit Nützlicheit = Der Beitrag, den eine Variable zur Varianzauflärung des Kriteriums leistet, der von den anderen Variablen nicht geleistet wird Die Nützlicheit einer Variablen x j berechnet sich als U = R R j y, x y, x,,..., + j,,..., j U j it ist also der Betrag, Bt um den R² wächst, äht wenn die Variable x j in die multiple Regressionsgleichung aufgenommen wird.