Mathematische und statistische Methoden II

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1 Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum ) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de SS 2010 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Erwartungswert Erwartungswerte und Vererbung Varianz Diskrete Zufallsvertei- lungen Die Binomial- i und dpoissonverteilung il beschreiben die Auftretenswahrscheinlichkeiten einer 0/1- kodierten Zufallsvariablen Es wird immer angenommen, dass der Stichprobenraum eines Trials definiert ist als Ω = {Misserfolg, Erfolg} X(Ω) = {0,1} Ein Elementarereignis des gesamten Bernoulli- Experimentes mit n Trials ist so immer eine Folge von n Nullen bzw. Einsen. Ihre Summe ist so einfach die Anzahl von Erfolgen.

3 Erwartungswert Erwartungswerte und Vererbung Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Frage: Wie berechnet sich der Erwartungswert für eine binomialverteilte, aber nicht 0/1-kodierte Zufallsvariable? Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, ohne Mammografie an Brustkrebs zu erkanken, betrage p=0.1. Eine Brustkrebspatientin verursacht Krank- heitskosten von etwa Die regelmäßige Brustkrebsvorsorge durch Mammografie kostet 9.000, senkt aber das Brustkrebsrisiko auf p=0.05. Eine Krankenversicherung beauftragt einen Gesundheitspsychologen zu berechnen, ob sie billiger wegkommt, wenn sie ihren weiblichen Mitglieder kostenlose Mammografien verordnet.

4 Erwartungswert Erwartungswerte und Vererbung Varianz Diskrete Zufallsvertei- lungen Man hat hier zwei Zufallsvariablen a abe mit ege eigentlich folgenden Eigenschaften: X ={0 {0, 1} p(x) ={09 {0.9, 0.1} 01} Y = {0, 1} p(y) = {0.95, 0.05} mit 0 = kein Brustkrebs, 1 = Brustkrebs. Man geht nun davon aus, dass die neue Zufallsvariable Kosten nur eine mathematische Transformation der Zufallsvariable Häufigkeit ist. Die neue Zufallsvariable erbt dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung der alten Zufallsvariablen.

5 Erwartungswert Erwartungswerte und Vererbung Varianz Es sgilt aso also für die deneuen Zufallsvariablen ua a abe Kosten : ose X = {0, } p(x ) = {0.9, 0.1} Y = {9.000, } p(y ) = {0.95, 0.05} Diskrete Zufallsvertei- lungen Daraus lässt sich ihnun wie üblich üblihder Erwartungswert μ bestimmen als Σp i x i. Die Annahme der Vererbung gilt ebenso für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion der neuen Zufallsvariablen

6 Modus Numerische Beschreibung: Modus Median Quantile Ein Kennwert für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist der Modalwert (oder Modus ) Er bezeichnet die unter den Beobachtungen am häufigsten vorkommende Ausprägung x : x p( x ) = max. mod i i Wichtig: Der Modalwert ist nicht die Häufigkeit, sondern der Wert der häufigsten Ausprägung. Bei Verteilungen mit mehreren Maxima sinkt die g Aussagekraft von x mod

7 Modus Median Numerische Beschreibung: Median Mindestens 50% der Ausprägungen der Zufallsvariablen sind kleiner oder gleich dem Median Quantile Mindestens 50% der Ausprägungen der Zufallsvariablen sind größer oder gleich dem Median Notation: x oder x med Problem: Der Median ist nicht eindeutig, wenn keine der Ausprägungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung in zwei gleich große Hälften teilt.

8 Modus Median Quantile Numerische Beschreibung: Median Berechnung des Median Verteilungsfunktionen F(X x) bestimmen F(x)=0.5 fällt auf ein x i F(x)=0.5 liegt zwischen x i und x i+1 Die Ausprägung g Die Ausprägung g xi + x i x i + 1

9 Modus Median Quantile Numerische Beschreibung: Quantile Quantile sind Zahlen, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen in einem bestimmten Verhältnis teilen p-quantil (0 < p < 1) besitzt folgende Eigenschaften: 1. Mindestens p Ausprägungen sind kleiner oder gleich dem Quantil 2. Mindestens (1 p) Ausprägungen sind größer oder gleich dem Quantil Notation: x p (z. B. x 0.75 ) p 0.75 Je nach der Anzahl von Unterteilungen unterscheidet man (Per-)Centile (100er Einteilung), Dezentile (10er Einteilung) und Quartile (4er Einteilung)

10 Modus Median Quantile Numerische Beschreibung: Median Berechnung des Quantils p Verteilungsfunktionen F(X x) bestimmen F(x)=p fällt auf ein x i F(x)=p liegt zwischen x i und x i+1 Die Ausprägung g Die Ausprägung g xi + x i x i + 1

11 Modus Median Numerische Beschreibung: Quantile Wichtige Quantile sind: Quantile Minimum (0% Quantil, 0. Quartil) Maximum (100% Quantil, 4. Quartil) Median (50% Quantil, 2. Quartil) 25% Quantil (1. Quartil, unteres Quartil) 75% Quantil (3. Quartil, oberes Quartil) Dezile: x.10, x.20,, x.90

12 Modus Median Quantile Quantile A cautionary note about conventions In Literatur und Softwarepaketen sind die Berechnungsvorschriften für Quantile häufig unterschiedlich definiert oder sogar fehlerhaft. Maß Bortz Excel SPSS Median Quartil Quartil

13 Modus Numerische Beschreibung: Modus, Median & Quantile Median Median und Quantile stimmen häufig mit keiner Ausprägung überein Quantile Modus, Median und Quantile sind äquivariant gegenüber gewissen (z.b. linearen) Transformationen Insbesondere 1. Addition einer Konstanten c zu allen n Beobachtungen x 1 x n x x + c= x + c ebenso für Modus & Quantile 2. Multiplikation aller n Beobachtungen x 1 x n mit einer Konstanten c xc = xc ebenso für Modus & Quantile

14 Modus Numerische Beschreibung: univariate Median Die vollständige numerische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Quantile Verteilungsfunktion wird über so genannte (oder Kontingenztabellen) vorgenommen. Wert von X f(x = x i ) F(X = x i ) x 1 h(x 1 ) f(x 1 ) x 2 h(x 2 ) f(x 2 ) x i h(x i ) f(x i ) x k h(x k ) f(x k )

15 Kreisdiagramm Grafische Beschreibung: Kreisdiagramm Säulendiagramm Das Kreis- oder Tortendiagramm stellt die Wahrscheinlichkeiten von Ausprägungen einer Zufallsvariablen als Kreissegmente eines Vollkreises ( Tortenstücke Tortenstücke ) dar. Der Öffnungswinkel α eines Segmentes ist dabei durch die Wahrscheinlichkeit der Ausprägung p(x i ) definiert α = 360 px ( i ) Die Summe der Öffnungswinkel aller Kreissegmente Die Summe der Öffnungswinkel aller Kreissegmente sollte wieder 360 ergeben

16 Kreisdiagramm Säulendiagramm Grafische Beschreibung: Kreisdiagramm Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, in einem Experiment zur visuellen Wahrnehmung einen epileptischen Anfall zu bekommen, betrage p= An einem konkreten Experiment sollen n=200 Personen teilnehmen.

17 Grafische Beschreibung: Säulendiagramm Kreisdiagramm Säulendiagramm Das Balken- oder Säulendiagramm stellt die Wahrscheinlichkeiten von Ausprägungen einer Zufallsvariablen als Balken (waagerecht) oder Säulen (senkrecht) dar. Der Länge der Säulen bzw. Balken ist dabei durch die Wahrscheinlichkeit p(x i ) bestimmt. Die Breite der Säulen variiert i.d.r. nicht innerhalb eines Diagramms Zur Darstellung den Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. Verteilungsfunktion wird zwischen den Säulen zumeist kein Raum gelassen

18 Kreisdiagramm Säulendiagramm Grafische Beschreibung: Säulendiagramm Beispiel: Das Neuroleptikum Tavor führt bei längerer Einnahme mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0.73 zu Abhängigkeit. In einer Langzeittherapiestudie soll das Medikament an n=10 Personen eingesetzt werden.

19 Kreisdiagramm Säulendiagramm Grafische Beschreibung: Säulendiagramm Warum gleiche Säulenbreiten? Menschen neigen zur Größenbewertung anhand der Fläche.

20 Modalität Verbale Beschreibung: Modalität Schiefe Je nach Anzahl unterscheidet man uni-, bi- und multimodale Verteilungen.

21 Verbale Beschreibung: Schiefe Symmetrische Verteilungen: Wahrscheinlichkeiten für die Ausprägungen einer Zufallsvariablen verlaufen gleichartig um den Erwartungswert. Linkssteile/rechtsschiefe Verteilungen: Wahrscheinlichkeiten laufen rechts des Erwartungswertes t flacher aus. Rechtssteile/linksschiefe Verteilungen: Wahrscheinlichkeiten laufen links des Erwartungswertes flacher aus.

22 Modalität Schiefe Verbale Beschreibung: Schiefe Die Binomialverteilung i il ist für p=0.5 symmetrisch, ti für p<0.5 linkssteil und für p>0.5 rechtssteil. Die Poissonverteilung ist immer linkssteil. Es gelten folgende Lageregeln bei unimodalen Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Symmetrische Verteilungen: x = x = x med mod Linkssteile Verteilungen: x > x x med mod Rechtssteile Verteilungen x < xmed xmod

23 Multivariate Wk-Verteilungen Numerische Beschreibung: Kennwerte Grafische Darstellung Oft betrachtet man Wahrscheinlichkeiten für das gemeinsame Auftreten zweier Merkmale (bivariat) Beispiel: Frauen/Männer, die unter-/normal- /übergewichtig sind In diesem Fall werden 2 Variablen betrachtet: X: Geschlecht (x 1, x 2 ) Y: Gewichtsstatus (y 1, y 2, y 3 ) Die Wahrscheinlichkeiten sind nun so genannte Verbundwahrscheinlichkeiten, die das Vorkommen jeder möglichen Kombination aus x und y beschreiben (Verbundverteilung)

24 Multivariate Wk-Verteilungen Numerische Beschreibung: Kennwerte Tabellarische Darstellung über bivariate Grafische Varianten: der unbedingten Darstellung Verbundwahrscheinlichkeiten oder der bedingten Wahrscheinlichkeiten. Geschlecht Männlich (x 1 ) Weiblich (x 2 ) Σ Unter (y 1 ) f(x 1,y 1 ) f(x 2,y 1 ) f(,y 1 ) Gewicht Normal (y 2 ) f(x 1,y 2 ) f(x 2,y 2 ) f(,y 2 ) Über (y 3 ) f(x 1,y 3 ) f(x 2,y 3 ) f(,y 3 ) Σ f(x 1, ) f(x 2, ) f(, ) Randhäufigkeiten

25 Multivariate Wk-Verteilungen Numerische Beschreibung: Kennwerte Grafische Darstellung Auch das gemeinsame Vorkommen von mehr als zwei Merkmalen ist über darstellbar (multivariat) Beispiel: Frauen/Männer, die unter-/normal- /übergewichtig sind und Sport treiben/keinen i Sport treiben In diesem Fall werden 3 Zufallsvariablen betrachtet: X: Geschlecht (x 1, x 2 ) Y: Gewichtsstatus (y 1, y 2, y 3 ) Z: Sport (z 1, z 2 )

26 Multivariate Wk-Verteilungen Numerische Beschreibung: Kennwerte Tabellarische Darstellung über geschachtelte (oder genestete ) Grafische Bi-/multivariate werden zumeist nur für Darstellung die Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung genutzt, nicht für die Verteilungsfunktion. Geschlecht Männlich (x 1 ) Weiblich (x 2 ) Freizeit Sport (z 1 ) Couch (z 2 ) Sport (z 1 ) Couch (z 2 ) Unter (y 1 ) f(x 1,y 1,z 1 ) f(x 1,y 1,z 2 ) f(x 2,y 1,z 1 ) f(x 2,y 1,z 2 ) Gewicht Normal (y 2 ) f(x 1,y 2,z 1 ) f(x 1,y 2,z 2 ) f(x 2,y 2,z 1 ) f(x 2,y 2,z 2 ) Über (y 3 ) f(x 1,y 3,z 1 ) f(x 1,y 3,z 2 ) f(x 2,y 3,z 1 ) f(x 2,y 3,z 2 )

27 Multivariate Wk-Verteilungen Numerische Beschreibung: Kennwerte Kennwerte Kennwerte im multivariaten Fall sind dieselben wie für univariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen Grafische Allerdings handelt es sich im multivariaten Fall nicht Darstellung mehr um einzelne Zahlen, sondern um Vektoren von Kennwerten. Beispiel: Frauen/Männer, die unter-/normal- /übergewichtig sind Man habe nun μ X = und μ Y = Dann ist der Erwartungswert für die Verbundverteilung ein Vektor: μ = { 141.2,145.7}

28 Multivariate Wk-Verteilungen Grafische Beschreibung Kennwerte Die grafische Beschreibung multivariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist aufwändig und vollständig nur in niedrig multivariaten Fällen zu leisten. Grafische Darstellung Die Darstellungen sind dann oft dreidimensional. Bei höher multivariaten Verbundverteilungen wird g zumeist auf die univariate Darstellung der einzelnen Wahrscheinlichkeitsverteilungen zurückgegriffen.