3. Zufallsvariable und Verteilungen

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1 3. Zufallsvariable und Verteilungen Häufige Situation in der Praxis: Es interessiert nicht so sehr das konkrete Ergebnis ω Ω eines Zufallsexperimentes, sondern eine Zahl, die von ω abhängt Beispiele: Gewinn in Euro im Roulette Gewinn einer Aktie an der Börse Monatsgehalt einer zufällig ausgewählten Person 104

2 Intuitive Bedeutung einer Zufallsvariablen: Vorschrift, die das abstrakte ω in eine Zahl übersetzt Begrifflichkeiten: Deskriptive Statistik Wskt.-Rechnung Grundgesamtheit Ergebnismenge Merkmal Zufallsvariable Messwert Realisation 105

3 3.1 Grundbegriffe und Definitionen Definition 3.1: (Zufallsvariable [kurz: ZV]) Unter einer Zufallsvariablen versteht man formal eine (mathematische) Funktion X : Ω R ω X(ω). Bemerkungen: Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis ω Ω eine reelle Zahl zu 106

4 Zufallsvariable als Abbildung der Ergebnismenge auf die reelle Zahlenachse (vgl. Schira, 2009, S. 258) 107

5 Bemerkungen: [I] Intuition: Eine Zufallsvariable X charakterisiert eine Zahl, deren Wert man noch nicht kennt Nach der Durchführung des Zufallsexperimentes realisiert sich die Zufallsvariable X im Wert x x heißt die Realisation oder Realisierung der ZV X nach Durchführung des zugehörigen Zufallsexperimentes In dieser VL: Zufallsvariablen werden immer mit Großbuchstaben, Realisationen immer mit Kleinbuchstaben bezeichnet 108

6 Bemerkungen: [II] Die Zufallsvariable X beschreibt die Situation ex ante, d.h. vor der tatsächlichen Durchführung des Zufallsexperimentes Die Realisation x beschreibt die Situation ex post, d.h. nach der Durchführung des Zufallsexperimentes Wahrscheinlichkeitsaussagen kann man nur über die Zufallsvariable X treffen Für den Rest der VL sind Zufallsvariablen von zentraler Bedeutung 109

7 Beispiel 1: Betrachte den 1-maligen Münzwurf (Z=Zahl, K=Kopf). Die ZV X bezeichne die Anzahl der Köpfe bei diesem Zufallsexperiment Es gilt: Ω = {K, Z} Die ZV X kann 2 Werte annehmen: X(Z) = 0, X(K) = 1 110

8 Beispiel 2: Betrachte den 3-maligen Münzwurf. erneut die Anzahl der Köpfe Die ZV X bezeichne Es gilt: Ω = {(K, K, K), (K, K, Z),..., (Z, Z, Z) }{{}}{{}}{{} =ω 1 =ω 2 Die Zufallsvariable X ist definiert durch X(ω) = Anzahl der K in ω =ω 8 } Offensichtlich: X ordnet verschiedenen ω dieselbe Zahl zu, z.b. X((K, K, Z)) = X((K, Z, K)) = X((Z, K, K)) = 2 111

9 Beispiel 3: Aus einer Personengruppe werde zufällig 1 Person ausgewählt. Die ZV X soll den Erwerbsstatus der ausgewählten Person bezeichnen Es gilt: Ω = { erwerbstätig }{{}, } nicht erwerbstätig {{} =ω 1 =ω 2 } Die ZV X kann definiert werden durch (Codierung) X(ω 1 ) = 1, X(ω 2 ) = 0 112

10 Beispiel 4: Das Zufallsexperiment bestehe in der Messung des morgigen Kurses einer bestimmten Aktie. Die ZV X bezeichne diesen Aktienkurs Es gilt: Ω = [0, ) X ist definiert durch X(ω) = ω 113

11 Zwischenfazit: Die ZV X kann verschiedene Werte annehmen und zwar mit bestimmten Wskt en Vereinfachende Schreibweise: (a, b, x R) P (X = a) P ({ω X(ω) = a}) P (a < X < b) P ({ω a < X(ω) < b}) P (X x) P ({ω X(ω) x}) 114

12 Frage: Wie kann man diese Wskt en bestimmen und mit diesen rechnen? Lösung: Die Berechnung solcher Wskt en kann über die sogenannte Verteilungsfunktion der ZV en X erfolgen Intuition: Die Verteilungsfunktion der ZV en X charakterisiert die Wahrscheinlichkeiten, mit denen sich die potenziellen Realisationen x auf der reellen Zahlenachse verteilen (die sogenannte Verteilung der ZV en X) 115

13 Definition 3.2: (Verteilungsfunktion [kurz: VF]) Gegeben sei die Zufallsvariable X. Unter der Verteilungsfunktion der ZV en X (in Zeichen: F X ) versteht man die folgende Abbildung: F X : R [0, 1] x F X (x) = P ({ω X(ω) x}) = P (X x). 116

14 Beispiel: [I] Betrachte das Laplace-Experiment des 3-fachen Münzwurfes. Die ZV X messe die Anzahl Kopf. Zunächst gilt: Ω = {(K, K, K), (K, K, Z),..., (Z, Z, Z) } }{{}}{{}}{{} = ω 1 = ω 2 = ω 8 Für die Wskt en der ZV X errechnet sich: P (X = 0) = P ({(Z, Z, Z)}) = 1/8 P (X = 1) = P ({(Z, Z, K), (Z, K, Z), (K, Z, Z)}) = 3/8 P (X = 2) = P ({(Z, K, K), (K, Z, K), (K, K, Z)}) = 3/8 P (X = 3) = P ({(K, K, K)}) = 1/8 117

15 Beispiel: [II] Daraus ergibt sich die VF: F X (x) = für x < für 0 x < für 1 x < für 2 x < 3 1 für x 3 Graph der Verteilungsfunktion 118

16 Bemerkungen: Es genügt (fast immer), lediglich die VF F X der ZV X zu kennen Oft ist es in praxi gar nicht möglich, den Grundraum Ω oder die explizite Abbildung X : Ω R anzugeben (jedoch kann man meistens die VF F X aus sachlogischen Überlegungen heraus angeben) 119

17 Allgemeingültige Eigenschaften von F X : F X (x) ist monoton wachsend Es gilt stets: lim x F X(x) = 0 und lim F X(x) = 1 x + F X ist rechtsseitig stetig, d.h. lim z x z>x F X (z) = F X (x) (vgl. Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion aus der VL Statistik I) 120

18 Fazit: VF F X (x) der ZV en X gibt Antwort auf die Frage Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X höchstens den Wert x annimmt? Jetzt: Antwort auf die Frage Welchen Wert wird die ZV e X mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit p (0, 1) nicht überschreiten? Quantilfunktion der ZV en X 121

19 Definition 3.3: (Quantilfunktion) Gegeben sei die ZV X mit VF F X. Für jeden reellen Wert p (0, 1) versteht man unter der Quantilfunktion von X (in Zeichen: Q X (p)) die folgende Abbildung: Q X : (0, 1) R p Q X (p) = min{x F X (x) p}. Der Wert der Quantilfunktion x p = Q X (p) heißt p Quantil der ZV en X. 122

20 Bemerkungen: Das p-quantil x p ist die kleinste Zahl x R mit der Eigenschaft, dass F X (x) den Wert p erreicht oder überschreitet. Interpretiert man p (0, 1) als eine Wahrscheinlichkeit, so ist das p-quantil x p die kleinste Realisation der ZV en X, die X mit Wskt. p nicht überschreitet. Spezielle Quantile: Median: p = 0.5 Quartile: p = 0.25, 0.5, 0.75 Quintile: p = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 Dezile: p = 0.1, 0.2,...,

21 Frage: Warum diese scheinbar komplizierte Definition? Betrachte 3 Fälle: Stetige, streng monoton wachsende VF F X Stetige, teilweise konstante VF F X Rechtsseitig stetige Treppen-VF F X 124

22 Stetige, streng monoton wachsende Verteilungsfunktion 125

23 Stetige, teilweise konstante Verteilungsfunktion 126

24 Rechtsseitig stetige Treppen-Verteilungsfunktion 127

25 Jetzt: Typisierung von ZV en (diskrete vs. stetige ZV en) Grund: Unterschiedliche mathematische Methoden zur Behandlung von ZV en Bei diskreten ZV en: Endliche und unendliche Summen Bei stetigen ZV en: Differential- und Integralrechnung 128

26 Definition 3.4: (Diskrete Zufallsvariable) Die ZV X heißt diskret, wenn sie entweder 1. nur endlich viele Realisationen x 1, x 2,..., x J oder 2. abzählbar unendlich viele Realisationen x 1, x 2,... mit streng positiver Wahrscheinlichkeit annehmen kann, d.h. falls für alle j = 1,..., J,... gilt P (X = x j ) > 0 und J,... j=1 P (X = x j ) =

27 Typische diskrete Merkmale sind: Zählmerkmale ( X = Anzahl von... ) Codierte qualitative Merkmale Definition 3.5: (Träger einer diskreten Zufallsvariablen) Die Menge aller Realisationen, die eine diskrete ZV X mit streng positiver Wskt. annehmen kann, heißt Träger von X (in Zeichen: T X ): T X = {x 1,..., x J } bzw. T X = {x 1, x 2,...}. 130

28 Definition 3.6: (Wahrscheinlichkeitsfunktion) Für eine diskrete ZV X heißt die Funktion f X (x) = P (X = x) die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. Bemerkungen: [I] Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f X der ZV X nimmt nur für die Elemente des Träger T X positive Werte an. Für Werte außerhalb des Trägers, d.h. für x / T X, gilt f X (x) = 0: f X (x) = { P (X = xj ) > 0 für x = x j T X 0 für x / T X 131

29 Bemerkungen: [II] Die Wahrscheinlichkeitsfkt. f X hat die Eigenschaften f X (x) 0 für alle x x j T X f X (x j ) = 1 Für eine beliebige Menge B R berechnet sich die Wskt. des Ereignisses {ω X(ω) B} = {X B} durch P (X B) = x j B f X (x j ) 132

30 Beispiel: [I] Betrachte 3-fachen Münzwurf und X = Anzahl Kopf Offensichtlich: X ist diskret mit dem Träger T X = {0, 1, 2, 3} Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist gegeben durch f X (x) = P (X = 0) = für x = 0 P (X = 1) = für x = 1 P (X = 2) = für x = 2 P (X = 3) = für x = 3 0 für x / T X 133

31 Beispiel: [II] Die Verteilungsfunktion ist gegeben durch (vgl. Folie 118) F X (x) = für x < für 0 x < für 1 x < für 2 x < 3 1 für x 3 134

32 Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion 135

33 Offensichtlich: Für die Verteilungsfunktion gilt F X (x) = P (X x) = {x j T X x j x} =P (X=x j ) {}}{ f X (x j ) Fazit: Die VF einer diskreten ZV en X ist eine Treppenfunktion mit Sprüngen an den Stellen x j T X. Die Sprunghöhe an der Stelle x j beträgt F X (x j ) lim x xj x<x j F (x) = P (X = x j ) = f X (x j ), d.h. die Sprunghöhe ist der Wert der Wskt.-Funktion (Beziehung: Verteilungs- und Wahrscheinlichkeitsfunktion) 136

34 Jetzt: Definition von stetigen Zufallsvariablen Intuition: Im Gegensatz zu diskreten ZV en (vgl. Definition 3.4, Folie 129) sind stetige ZV e solche, die überabzählbar viele Realisationen (z.b. jede reelle Zahl in einem Intervall) annehmen können Tatsächlich: Definition stetiger ZV en komplizierter (technischer) 137

35 Definition 3.7: (Stetige ZV, Dichtefunktion) Eine ZV X heißt stetig, wenn sich ihre Verteilungsfunktion F X als Integral einer Funktion f X : R [0, ) schreiben lässt: x F X (x) = f X(t)dt für alle x R. Die Funktion f X (x) heißt Dichtefunktion [kurz: Dichte] von X. Bemerkungen: Die VF F X einer stetigen ZV en X ist (eine) Stammfunktion der Dichtefunktion f X F X (x) = P (X x) ist gleich dem Flächeninhalt unter der Dichtefunktion f X von bis zur Stelle x 138

36 Verteilungsfunktion F X und Dichte f X P(X x) = F X (x) f X (t) x t 139

37 Eigenschaften der Dichtefunktion f X : 1. Die Dichte f X ist niemals negativ, d.h. f X (x) 0 für alle x R 2. Die Fläche unter der Dichte ist gleich 1, d.h. + f X(x)dx = 1 3. Wenn F X (x) differenzierbar ist, gilt f X (x) = F X (x) 140

38 Beispiel: (Gleichverteilung über [0, 10]) [I] Gegeben sei die ZV X mit Dichtefunktion f X (x) = { 0, für x / [0, 10] 0.1, für x [0, 10] Berechnung der VF F X : [I] Für x < 0 gilt: F X (x) = x f X(t) dt = x 0 dt = 0 141

39 Beispiel: (Gleichverteilung über [0, 10]) [II] Berechnung der VF F X : [II] Für x [0, 10] gilt: F X (x) = = x f X(t) dt 0 0 dt }{{} =0 + x dt = [0.1 t] x 0 = 0.1 x = 0.1 x 142

40 Beispiel: (Gleichverteilung über [0, 10]) [III] Berechnung der VF F X : [III] Für x > 10 gilt: F X (x) = x f X(t) dt = = dt }{{} = dt + } 0 {{ } = dt }{{} =0 143

41 Verteilungsfunktion und Dichte der Gleichverteilung über [0, 10] 144

42 Jetzt: Wskt. en für Intervalle, d.h. (für a, b R, a < b) P (X (a, b]) = P (a < X b) Es gilt: P (a < X b) = P ({ω a < X(ω) b}) = P ({ω X(ω) > a} {ω X(ω) b}) = 1 P ({ω X(ω) > a} {ω X(ω) b}) = 1 P ({ω X(ω) > a} {ω X(ω) b}) = 1 P ({ω X(ω) a} {ω X(ω) > b}) 145

43 = 1 [P (X a) + P (X > b)] = 1 [F X (a) + (1 P (X b))] = 1 [F X (a) + 1 F X (b)] = F X (b) F X (a) = b f X(t) dt a f X(t) dt = b a f X(t) dt 146

44 Intervall-Wahrscheinlichkeit mit den Grenzen a und b f X (x) P(a < X b) a b x 147

45 Wichtiges Ergebnis für stetige ZV X: P (X = a) = 0 für alle a R Begründung: Fazit: P (X = a) = lim b a P (a < X b) = lim b a = a a f X(x)dx = 0 b a f X(x) dx Die Wskt., dass eine stetige ZV X einen einzelnen Wert annimmt, ist immer Null!! 148

46 Punkt-Wahrscheinlichkeit bei stetiger ZV f X (x) a b 3 b 2 b 1 x 149

47 Vorsicht: Das bedeutet nicht, dass dieses Ereignis unmöglich ist Konsequenz: Da bei stetigen ZV en für alle a R stets P (X = a) = 0 gilt, folgt für stetige ZV stets P (a < X < b) = P (a X < b) = P (a X b) = P (a < X b) = F X (b) F X (a) (Ob Intervalle offen oder geschlossen sind, spielt für die Wskt.-Bestimmung bei stetigen ZV keine Rolle) 150

48 3.2 Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen Jetzt: Beschreibung der Wskt.-Verteilung der ZV en X durch bestimmte Kenngrößen In dieser VL lediglich Betrachtung von Erwartungswert Varianz 151

49 Zunächst: Der Erwartungswert einer ZV en X ist eine Maßzahl für die Lage der Verteilung Der Erwartungswert einer ZV en X ähnelt in seiner Bedeutung dem arithmetischen Mittel einer Datenreihe (vgl. deskriptive Statistik, VL Statistik I) 152

50 Wiederholung: Für eine gegebene Datenreihe x 1,..., x n ist das arithmetische Mittel definiert als x = 1 n n i=1 x i = n i=1 ( x i 1 n ) Jeder Summand x i 1/n entspricht einem Datenpunkt relativer Häufigkeit Jetzt: Übertragung dieses Prinzips auf die ZV X 153

51 Definition 3.8: (Erwartungswert) Der Erwartungswert der ZV en X (in Zeichen: E(X)) ist definiert als E(X) = {x j T X } + x j P (X = x j ), falls X diskret ist x f X(x) dx, falls X stetig ist. Bemerkungen: [I] Der Erwartungswert der ZV en X entspricht also (in etwa) der Summe aller möglichen Realisationen jeweils gewichtet mit der Wskt. ihres Eintretens 154

52 Bemerkungen: [II] Anstelle von E(X) schreibt man häufig µ X Anstelle der Formulierung Erwartungswert der ZV en X sagt man häufig Erwartungswert der Verteilung von X Es gibt ZV en, die keinen Erwartungswert besitzen (kein Gegenstand dieser VL) 155

53 Beispiel 1: (Diskrete ZV) [I] Man betrachte den 2-maligen Würfelwurf. Die ZV X stehe für die (betragliche) Differenz der Augenzahlen. Man berechne den Erwartungswert von X Zunächst ergibt sich als Träger der Zufallsvariablen T X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist gegeben durch f X (x) = P (X = 0) = 6/36 für x = 0 P (X = 1) = 10/36 für x = 1 P (X = 2) = 8/36 für x = 2 P (X = 3) = 6/36 für x = 3 P (X = 4) = 4/36 für x = 4 P (X = 5) = 2/36 für x = 5 0 für x / T X 156

54 Beispiel 1: (Diskrete ZV) [II] Als Erwartungswert ergibt sich E(X) = = = Achtung: In diesem Beispiel ist E(X) eine Zahl, die die ZV X selbst gar nicht annehmen kann 157

55 Beispiel 2: (Stetige ZV) Es sei X eine stetige ZV mit der Dichte x, für 1 x 3 f X (x) = 4 0, sonst Zur Berechnung des Erwartungswertes spaltet man das Integral auf: E(X) = = + x f X(x) dx = 3 1 = 1 4 x 2 4 dx = 1 4 ( ) 1 [ ] x dx + x x dx + 0 dx 3 = =

56 Häufige Situation: Kenne ZV X mit Wskt.- oder Dichtefunktion f X Suche den Erwartungswert der transformierten ZV Y = g(x) 159

57 Satz 3.9: (Erwartungswert einer Transformierten) Gegeben sei die ZV X mit Wskt.- oder Dichtefunktion f X. Für eine beliebige (Baire)Funktion g : R R berechnet sich der Erwartungswert der transformierten ZV Y = g(x) als E(Y ) = E(g(X)) = {x j T X } + g(x j ) P (X = x j ), falls X diskret ist g(x) f X(x) dx, falls X stetig ist. 160

58 Bemerkungen: Alle Funktionen, die im VWL- und/oder BWL-Studium auftauchen, sind Baire-Funktionen Für den Spezialfall g(x) = x (die Identitätsfunktion) fällt der Satz 3.9 mit der Definition 3.8 zusammen 161

59 Rechnen mit Erwartungswerten (Teil 1): Betrachte die (lineare) Transformation Y = g(x) = a + b X mit a, b R Ist X stetig mit Dichtefunktion f X, so gilt: E(Y ) = E(a + b X) = + (a + b x) f X(x) dx = + [a f X(x) + b x f X (x)] dx = a + f X(x) dx +b } {{ } =1 + x f X(x) dx } {{ } =E(X) = a + b E(X) 162

60 Bemerkung: Der Erwartungswert ist ein linearer Operator, d.h. E(a + b X) = a + b E(X) für reelle Zahlen a, b R (Spezialfälle: a = 0, b = 0 bzw. a = 0, b = 0) 163

61 Rechnen mit Erwartungswerten (Teil 2): Betrachte die aufgespaltene Funktion Y = g(x) = g 1 (X) + g 2 (X) Ist X stetig mit Dichtefunktion f X, so gilt: E(Y ) = E[g 1 (X) + g 2 (X)] = = + [g 1(x) + g 2 (x)] f X (x) dx + g 1(x) f X (x) dx + } {{ } =E[g 1 (X)] + g 2(x) f X (x) dx } {{ } =E[g 2 (X)] = E[g 1 (X)] + E[g 2 (X)] 164

62 Bemerkung: Für diskrete ZV en sind die Herleitungen analog Satz 3.10: (Zusammenfassung) Es seien X eine beliebige ZV (stetig oder diskret), a, b R reelle Zahlen und g 1, g 2 : R R (Baire)Funktionen. Dann gelten die folgenden Rechenregeln: 1. E(a + b X) = a + b E(X). 2. E[g 1 (X) + g 2 (X)] = E[g 1 (X)] + E[g 2 (X)]. 165

63 Jetzt: Beschreibung des Streuungsverhaltens einer ZV X Wiederholung aus deskriptiver Statistik: Für eine gegebene Datenreihe x 1,..., x n ist die empirische Varianz definiert durch s 2 = 1 n n i=1 (x i x) 2 = n i=1 [ (x i x) 2 1 n ] Jeder Summand entspricht der quadratischen Abweichung des Datenpunktes x i vom arithmetischen Mittel x gewichtet mit seiner relativen Häufigkeit 166

64 Definition 3.11: (Varianz, Standardabweichung) Für eine beliebige stetige oder diskrete ZV X ist die Varianz von X [in Zeichen: V (X)] definiert als die erwartete quadrierte Abweichung der ZV von ihrem Erwartungswert E(X), d.h. V (X) = E[(X E(X)) 2 ]. Unter der Standardabweichung von X [in Zeichen: σ(x)] versteht man die (positive) Wurzel aus der Varianz, d.h. σ(x) = + V (X). 167

65 Bemerkungen: Offensichtlich ist die Varianz von X ein Erwartungswert. Mit g(x) = [X E(X)] 2 und Satz 3.9 (Folie 160) gilt für die Varianz von X: V (X) = E[g(X)] = {x j T X } + [x j E(X)] 2 P (X = x j ), für diskretes X [x E(X)]2 f X (x) dx, für stetiges X Es gibt ZV en, die keine endliche Varianz besitzen (nicht Gegenstand dieser VL) 168

66 Beispiel: (Diskrete ZV) Betrachte erneut den 2-maligen Münzwurf mit der ZV X als (betraglicher) Differenz der Augenzahlen (vgl. Beispiel 1, Folie 156). Für die Varianz gilt: V (X) = (0 70/36) 2 6/36 + (1 70/36) 2 10/36 + (2 70/36) 2 8/36 + (3 70/36) 2 6/36 + (4 70/36) 2 4/36 + (5 70/36) 2 2/36 =

67 Jetzt: Rechenregeln für Varianzen Man beachte: Varianz ist per definitionem ein Erwartungswert Rechenregeln für Erwartungswerte anwendbar Rechenregel 1: [I] Betrachte die (lineare) Transformation Y = g(x) = a + b X mit a, b R 170

68 Rechenregel 1: [II] Es gilt V (Y ) = V [g(x)] = E[[g(X) E(g(X))] 2 ] = E[[a + b X a b E(X)] 2 ] = E[b 2 [X E(X)] 2 ] = b 2 E[[X E(X)] 2 ] = b 2 V (X) Spezialfall: b = 0, a R (Varianz einer Konstanten) V (a) = 0 171

69 Rechenregel 2: Vereinfachte Varianzberechnung: V (X) = E[(X E(X)) 2 ] = E[X 2 2 E(X) X + [E(X)] 2 ] = E(X 2 ) 2 E(X) E(X) + [E(X)] 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 172

70 Übungsaufgabe: Berechnen Sie anhand dieser Formel die Varianz der stetigen ZV en X mit Dichte x, für 1 x 3 f X (x) = 4 0, sonst Satz 3.12: (Zusammenfassung) Es seien X eine beliebige ZV (stetig oder diskret) sowie a, b R reelle Zahlen. Es gelten die folgenden Rechenregeln: 1. V (X) = E(X 2 ) [E(X)] V (a + b X) = b 2 V (X). 173

71 3.3 Spezielle diskrete Verteilungen Jetzt: Einige wichtige diskrete Verteilungen: Bernoulli-Verteilung Binomial-Verteilung Geometrische Verteilung Poisson-Verteilung 174

72 1. Die Bernoulli-Verteilung Ausgangssituation: Ein Zufallsexp. habe nur 2 interessierende Ausgänge: Ω = A A Oft bezeichnet man das Ereignis A als Erfolg und A als Misserfolg oder Niete Definition 3.13: (Bernoulli-Experiment) Ein Zufallsexperiment, bei dem man sich nur dafür interessiert, ob ein Ereignis A eintritt oder nicht, nennt man ein Bernoulli- Experiment. 175

73 Jetzt: Definiere die codierte ZV X als X = { 1, falls A eintritt (Erfolg) 0, falls A eintritt (Misserfolg) Beispiele: [I] Das Geschlecht einer zufällig ausgewählten Person aus einer Population: X = { 1, falls die Person weiblich ist 0, falls die Person männlich ist 176

74 Beispiele: [II] Eine Urne enthält insgesamt N Kugeln, von denen M rot und N M weiß sind. Betrachte das Experiment des 1-maligen Ziehens einer Kugel: Offensichtlich: X = { 1, falls die Kugel rot ist 0, falls die Kugel weiß ist P (X = 1) = M N p P (X = 0) = N M N = 1 M N = 1 p q 177

75 Definition 3.14: (Bernoulli-Verteilung) Die ZV X repräsentiere ein Bernoulli-Experiment und für ein festes p [0, 1] gelte P (X = 1) = P (A) = p, P (X = 0) = P (A) = 1 p q. Dann heißt die ZV X Bernoulli-verteilt mit Parameter (Erfolgswskt.) p und man schreibt X Be(p). Berechnung des E-Wertes bzw. der Varianz: E(X) = 0 (1 p) + 1 p = p V (X) = (0 p) 2 (1 p) + (1 p) 2 p = p (1 p) = p q 178

76 Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion der Bernoulli-Verteilung 179

77 2. Die Binomial-Verteilung Jetzt: Betrachte n gleichartige und unabhängig voneinander durchgeführte Bernoulli-Experimente (alle mit derselben Erfolgswahrscheinlichkeit p) Die ZV X bezeichne die Anzahl der Erfolge, d.h. der Träger von X ist T X = {0, 1,..., n} Gesucht: Wskt. genau x Erfolge zu erzielen, d.h. P (X = x) 180

78 Herleitung: Bei ( ) n unabhängigen Bernoulli-Experimenten gibt es genau n x Versuchsreihen, die exakt x Erfolge und gleichzeitig n x Misserfolge aufweisen Wegen der Unabhängigkeit der Bernoulli-Experimente ist die Wskt. jeder einzelnen dieser ( ) n x Versuchsreihen px (1 p) n x Wegen der Disjunktheit der ( ) n x Versuchsreihen folgt für die gesuchte Wskt. P (X = x) = ( n) px (1 p) n x x 181

79 Definition 3.15: (Binomial-Verteilung) Eine diskrete ZV X mit Träger T X = {0, 1,..., n} und Wahrscheinlichkeitsfunktion P (X = x) = ( n) px (1 p) n x für x = 0, 1,..., n, x heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p [in Zeichen: X B(n, p)]. Bemerkung: Die Bernoulli-Verteilung aus Definition 3.14 (Folie 178) ist ein Spezialfall der Binomialverteilung, denn es gilt X Be(p) ist das gleiche wie X B(1, p) 182

80 Beispiel: [I] Eine Urne enthält 10 Kugeln, davon 3 rote und 7 weiße. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Gesucht sind die Wskt en dafür, genau 0, 1 bzw. 2 rote Kugeln zu ziehen Es bezeichne X die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Die Wskt. bei genau einem Zug eine rote Kugel zu ziehen, beträgt p = 3/10 = 0.3 X B(n = 2, p = 0.3) 183

81 Beispiel: [II] Berechung der Wskt. Funktion: P (X = 0) = ( 2) 0.30 (1 0.3) 2 0 = P (X = 1) = ( 2) 0.31 (1 0.3) 2 1 = P (X = 2) = ( 2) 0.32 (1 0.3) 2 2 = E-Wert und Varianz einer Binomial-Verteilung: E(X) = n p V (X) = n p (1 p) (Beweise: später mit Ergebnissen aus Kapitel 4) 184

82 Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion der Binomial-Verteilung 185

83 3. Die Geometrische Verteilung Ausgangssituation: Bernoulli-Experiment (Ausgänge A bzw. A, P (A) = p) kann prinzipiell beliebig oft wiederholt werden (gleichartige unabhängige Experimente) Von Interesse: Zeitpunkt des 1. Erfolges, d.h. ZV X = Anzahl der Experimente bis zum 1. Ausgang A 186

84 Offensichtlich: Träger von X ist T X = {1, 2,...} = N Berechnung der Wskt.-Funktion: P (X = 1) = p P (X = 2) = (1 p) p = p (1 p) P (X = 3) = (1 p) (1 p) p = p (1 p) 2. Allgemein gilt: P (X = x) = (1 p)... (1 p) p = p (1 p) x 1 }{{} x 1 mal 187

85 Definition 3.16: (Geometrische Verteilung) Eine diskrete ZV X mit Träger T X = N und der Wahrscheinlichkeitsfunktion P (X = x) = p (1 p) x 1 für x N heißt geometrisch verteilt mit Parameter p (0, 1) [in Zeichen: X G(p)]. Bemerkung: Bei der Berechnung diverser Verteilungseigenschaften spielt die unendliche geometrische Reihe eine Rolle, z.b. x=1 P (X = x) = x=1 p (1 p) x 1 = p 1 1 (1 p) = 1 188

86 Satz 3.17: (Kenngrößen der geometrischen Verteilung) Die diskrete ZV X sei geometrisch verteilt mit Parameter p, d.h. X G(p). Dann sind der Erwartungswert bzw. die Varianz von X gegeben durch E(X) = V (X) = x=1 x p (1 p) x 1 = 1 p x=1 (x 1/p) 2 p (1 p) x 1 = 1 p p

87 Beispiel: [I] Aus einer Urne mit 10 Kugeln (4 rote, 6 weiße) wird mit Zurücklegen gezogen. Gesucht werden 1. die Wskt., dass bei der 3. Ziehung erstmalig eine rote Kugel gezogen wird, 2. die Wskt., dass frühestens bei der 3. Ziehung erstmalig eine rote Kugel gezogen wird, 3. der Erwartungswert für das erstmalige Ziehen einer roten Kugel, 4. die Varianz für das erstmalige Ziehen einer roten Kugel. 190

88 Beispiel: [II] Betrachte ZV X = Nummer der Ziehung, bei der erstmalig eine rote Kugel gezogen wird Offensichtlich: X G(0.4). Damit gilt: 1. P (X = 3) = = x=3 P (X = x) = 1 P (X = 1) P (X = 2) = E(X) = 1/0.4 = V (X) = (1 0.4)/(0.4 2 ) =

89 3. Die Poisson-Verteilung Häufiges Anwendungsgebiet: Warteschlangenmodelle, z.b. zur Modellierung von Schlangen vor einem Bankschalter Auftragsschlangen bei einem Internet-Server In dieser VL: Keine sachlogische Herleitung, sondern nur formale Definition Angabe von Erwartungswert und Varianz 192

90 Definition 3.18: (Poisson-Verteilung) Die diskrete ZV X mit dem Träger T X = {0, 1,...} = N {0} und der Wahrscheinlichkeitsfunktion P (X = x) = e µ µx für x = 0, 1, 2,... x! heißt Poisson-verteilt mit Parameter µ > 0 [in Zeichen: P o(µ)]. X Bemerkung: e bezeichnet die Eulersche Zahl und die Funktion e x natürliche Exponentialfunktion (vgl. Abschnitt 2.2, VL Statistik I) die 193

91 Satz 3.19: (Kenngrößen der Poisson-Verteilung) Die diskrete ZV X sei Poisson-verteilt mit Parameter µ, d.h. X P o(µ). Dann sind der Erwartungswert bzw. die Varianz von X gegeben durch E(X) = µ sowie V (X) = µ. 194

92 Herleitungen: [I] Für den Erwartungswert gilt: E(X) = x=0 = e µ x e µ µx x! = e µ x=1 µ = µ e µ x=0 = µ e µ e µ = µ µ x 1 (x 1)! µ x x! x=1 x µx x! 195

93 Herleitungen: [II] Zur Bestimmung der Varianz berechnet man zunächst E(X 2 ) = x=0 x 2 e µ µx x! =... = µ 2 + µ Nach Satz 3.12(a) (vgl. Folie 173) folgt damit für die Varianz: V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = µ 2 + µ µ 2 = µ 196

94 3.4 Spezielle stetige Verteilungen Jetzt: Drei bekannte stetige Verteilungen Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung 197

95 1. Die Gleichverteilung Definition 3.20: (Gleichverteilung) Die stetige ZV X heißt gleichverteilt über dem Intervall [a, b], a < b, [in Zeichen: X U(a, b)], falls X die folgende Dichtefunktion besitzt: f X (x) = 1, falls a x b b a 0, sonst. 198

96 Bemerkungen: Die ZV X auf Folie 141 ist gleichverteilt über dem Intervall [0, 10], d.h. X U(0, 10) Die Gleichverteilung U(a, b) sinnvoll, falls X keinerlei Werte zwischen a und b bevorzugt annimmt Die Verteilungsfunktion berechnet sich zu F X (x) = x f X(t) dt = 0, falls x < a x a, falls a x b b a 1, falls x > b 199

97 Dichte- und Verteilungsfunktion der Gleichverteilung über [a, b] 200

98 Satz 3.21: (E-Wert, Varianz) Für die stetige, gleichverteilte ZV X U(a, b) sind Erwartungswert und Varianz gegeben durch E(X) = + x f X(x) dx = a + b 2, V (X) = + [x E(X)]2 f X (x) dx = (b a)

99 2. Die Exponentialverteilung Definition 3.22: (Exponentialverteilung) Die stetige ZV X heißt exponentialverteilt mit Parameter λ > 0 [in Zeichen: X Exp(λ)], falls X die folgende Dichtefunktion besitzt: f X (x) = { 0, falls x < 0 λ e λ x, falls x 0. Bemerkung: Die Verteilungsfunktion berechnet sich zu F X (x) = x f X(t) dt = { 0, falls x < 0 1 e λ x, falls x 0 202

100 Dichtefunktionen der Exponentialverteilung f X (x) 4 3 λ = 3 λ = 2 λ = x

101 Verteilungsfunktionen der Exponentialverteilung F X (x) λ = λ = λ = x

102 Satz 3.23: (E-Wert, Varianz) Für die stetige, exponentialverteilte ZV X Exp(λ) sind Erwartungswert und Varianz gegeben durch E(X) = + x f X(x) dx = 1 λ, V (X) = + [x E(X)]2 f X (x) dx = 1 λ

103 3. Die Normalverteilung Einführende Bemerkungen: [I] Normalverteilung (auch Gaußverteilung) ist die wichtigste Verteilung überhaupt Praxis: Relevanz resultiert aus zentralem Grenzwertsatz (vgl. Kapitel 4) Theorie: Relevant für Entwicklung von Schätz- und Testverfahren (vgl. Kapitel 5-7) 206

104 Einführende Bemerkungen: [II] Viele Phänomene lassen sich gut durch eine Normalverteilung approximieren, z.b. Biometrische Größen (Körpergrößen, Gewicht etc.) Ökonomische Größen (Veränderungsraten) Zufällige Fehler (Messfehler, Produktionsfehler) 207

105 Definition 3.24: (Normalverteilung) Die stetige ZV X heißt normalverteilt mit Parametern µ R und σ 2 > 0 [in Zeichen: X N(µ, σ 2 )], falls X die folgende Dichtefunktion besitzt: f X (x) = 1 ( ) x µ 2 e 1 2 σ, x R. 2π σ Bemerkungen: Die Parameter µ und σ 2 geben der Dichtefunktion ihre spezielle Gestalt Die Normalverteilung N(0, 1) heißt Standardnormalverteilung. Ihre Dichte wird oft mit ϕ(x) bezeichnet 208

106 Dichtefunktionen der Normalverteilung f X (x) N(0,1) N(5,1) N(5,3) N(5,5) 0 5 x 209

107 Satz 3.25: (Eigenschaften der Normalverteilung) [I] Es sei X N(µ, σ 2 ). Dann gilt: 1. Die Dichte f X (x) hat ihr einzige lokales Maximum an der Stelle x = µ. 2. Die Dichte f X (x) ist symmetrisch um µ. 3. Die Dichte f X (x) besitzt Wendepunkte an den Stellen x = µ + σ und x = µ σ. 210

108 Satz 3.25: (Eigenschaften der Normalverteilung) [II] 4. Für Erwartungswert und Varianz von X gilt: E(X) = µ und V (X) = σ Auch die linear transformierte ZV Y = a + b X mit a, b R ist normalverteilt mit Erwartungswert E(Y ) = a + b µ und Varianz V (Y ) = b 2 σ 2, d.h. Y N(a + b µ, b 2 σ 2 ). 211

109 Jetzt: Bestimmung der Verteilungsfunktion F X : F X (x) = P (X x) = = x f X(t) dt ( ) 1 t µ 2 e 1 2 σ dt 2π σ x Problem: Keine mathematisch geschlossene Lösung des Integrals VF en können nur approximativ berechnet werden (durch numerische Verfahren) 212

110 (Approximative) Verteilungsfunktionen der Normalverteilung F X (x) N(0,1) N(5,3) N(5,5) N(5,1) 0 5 x 213

111 Bezeichnung: Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird oft mit Φ(x) bezeichnet, also für X N(0, 1) Φ(x) F X (x) = P (X x) Zentrales Ergebnis: Für jede beliebige normalverteilte ZV X N(µ, σ 2 ) kann die VF F X (x) = P (X x) auf die VF der Standardnormalverteilung zurückgeführt werden 214

112 Herleitung: [I] Für die VF von X N(µ, σ 2 ) gilt F X (x) = P (X x) = P Nach Satz 3.25(e) folgt Y = X µ σ ist normalverteilt, und zwar Y N(a + b µ, b 2 σ 2 ) = N (X µ)/σ }{{} Y = 1 X µ }{{} σ }{{} σ b a (x µ)/σ µ σ + 1 σ µ, 1 }{{} σ 2 σ2 = N(0, 1) }{{} = 0 = 1 215

113 Herleitung: [II] Insgesamt gilt also für die ZV X N(µ, σ 2 ): F X (x) = P (X x) = P }{{} Y N(0,1) x µ σ = Φ ( x µ σ ) Beispiel: [I] Überdeckungswahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung Es seien X N(µ, σ 2 ) und k R eine reelle Zahl Gesucht: Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich X im Intervall [µ k σ, µ + k σ] realisiert 216

114 Beispiel: [II] Es gilt: P (µ k σ X µ + k σ) = F X (µ + k σ) F X (µ k σ) ) ( µ + k σ µ = Φ σ ( µ k σ µ Φ σ = Φ(k) Φ( k) ) Die VF Φ(x) der Standardnormalverteilung ist in allen Statistik- Lehrbüchern ausreichend tabelliert (z.b. in Mosler/Schmid, 2008) 217

115 Beispiel: [III] Außerdem: Φ(x) kann in allen statistischen Programmpaketen berechnet werden (z.b. in Excel, EViews, SPSS) Für k = 1, 2, 3 gilt: k = 1 : Φ(1) Φ( 1) = k = 2 : Φ(2) Φ( 2) = k = 3 : Φ(3) Φ( 3) =

116 Überdeckungswahrscheinlichkeiten der Normalverteilung Flächeninhalte: 1 : : : µ 3 σ µ 2 σ µ σ µ µ + σ µ + 2 σ µ + 3 σ 219