Analysis 2. Ao.Univ.-Prof. Dr. Herbert Wallner. SS 2009 TU Graz

Transkript

1 Analysis 2 Ao.Univ.-Prof. Dr. Herbert Wallner SS 2009 TU Graz

2 Contents 1 Folgen und Reihen von Funktionen Motivation und Einführung Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Vertauschung von Grenzprozessen bei Funktionenfolgen Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen Vertauschung von Grenzprozessen bei Funktionenreihen Potenzreihen Konvergenzmenge, Konvergenzradius Gleichmäßige Konvergenz, Vertauschungssätze Potenzreihen, TAYLOR-Reihen, Identitätssatz, Grenzwertsatz von ABEL FOURIER-Reihen Das trigonometrische System Trigonometrische Reihen FOURIER-Reihen) FOURIER-Entwicklungen Räume Metrische Räume Abstandsfunktion,Umgebungen, Konvergenz Offene, abgeschlossene und kompakte Teilmengen metrischer Räume Häufungs- und Verdichtungspunkte in metrischen Räumen Stetige Funktionen auf metrischen Räumen Normierte Vektorräume Beispiele für Vektorräume Normen auf Vektorräumen Metrik auf normierten Vektorräumen HILBERT-Räume Innenprodukträume Konvergenz in Innenprodukträumen Winkel und Orthogonalsysteme in Innenprodukträumen Reihenentwicklungen in HILBERT-Räumen Differentialrechnung in mehreren Variablen Reell- und vektorwertige Funktionen mehrerer reeller Variabler Richtungsgrenzwerte, Richtungsstetigkeit und Richtungsableitung, partielle Ableitungen Differenzierbarkeit reellwertiger Funktionen Differenzierbarkeit vektorwertiger Funktionen, Kettenregel Ableitungen höherer Ordnung Der Mittelwertsatz Der Satz von TAYLOR Implizite Funktionen

3 5.9 Umkehrabbildungen Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Extrema unter Nebenbedingungen Kurven im lr n Funktionen von beschränkter Schwankung Die Bogenlänge von Kurven Kurven in der Ebene Krümmung, Krümmungskreis und Evolute) Raumkurven Krümmung, Torsion, Schmiegebene, begleitendes Dreibein und Frenet sche Formeln) Koordinatentransformation im lr 2 und im lr Parameterdarstellung von Flächen im lr Integralrechnung in mehreren Variablen Doppel- und Dreifachintegrale über Rechtecken und Quadern bzw. über Normalbereichen Oberflächenbestimmung Eigenschaften von Mehrfachintegralen Mittelwertsatz der Integralrechnung Transformationsformel für Mehrfachintegrale: Parameterintegrale Oberflächenintegrale Kurvenintegrale Der Vektordifferentialoperator Die Integralsätze von GAUSS, GREEN und STOKES Wegunabhängigkeit von Linienintegralen, Integrabilitätsbedingungen und Bestimmung einer Stammfunktion Vektorpotentiale und Konstruktion eines Vektorfeldes aus seinen Quellen und Wirbeln Komplexwertige Funktionen Grundlagen, Differenzierbarkeit Komplexes Kurvenintegral, Integralsatz von CAUCHY

4 1 Folgen und Reihen von Funktionen 1.1 Motivation und Einführung Bisher haben wir uns im wesentlichen mit Zahlenfolgen {c ν } bzw. Zahlenreihen a ν ν=1 beschäftigt. Eine Folge von Funktionen ist uns im Zusammenhang mit der Einführung 1 + n) x n = e x, d.h. die der Exponentialfunktion begegnet. Wir zeigten, daß lim n Exponentialfunktion e x läßt sich als Grenzfunktion der Funktionenfolge {f n x)} mit f n x) = 1 + x n) n darstellen. Ferner stellen ja auch TAYLOR-Reihen spezielle Funktionenreihen dar. Ganz allgemein lassen sich Folgen und Reihen von Funktionen dazu verwenden, um aus elementaren Funktionen sogenannte höhere Funktionen zu erzeugen. Dabei taucht die Frage auf, welche Eigenschaften z.b. Stetigkeit, Differenzierbarkeit oder Integrierbarkeit) der einfachen Funktionen sich auf die Grenzfunktion übertragen. Als weitere Quelle zur Erzeugung höherer Funktionen fungieren Differentialgleichungen. Dabei wird man bei der Frage nach der Existenz von Lösungen solcher Differentialgleichungen ebenfalls auf Funktionenfolgen bzw. -reihen geführt. Beispiel: Eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung 2. Ordnung läßt sich stets auf folgende Normalform transformieren: y cx)y = 0, y = yx). Dabei setzen wir cx) stetig auf einen gewissen Intervall I voraus. Ferner erfülle y für ein beliebiges x 0 I die Anfangsbedingungen yx 0 ) = y 0, y x 0 ) = y 0. Um zu zeigen, daß eine Lösung dieses Anfangswertproblems existiert, integrieren wie die Differentialgleichung formal zweimal nach x und erhalten unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen yx) = y 0 + y 0 x x 0 ) + x x =x 0 x ξ=x 0 cξ)yξ) dξ dx Dies stellt eine Integralgleichung für yx) dar. Diese versuchen wir durch die folgende sukzessive Approximation zu lösen: 0. Näherung: y 0 x) := y 0 1. Näherung: y 1 := y 0 + y 0 x x 0 ) 2. Näherung: y 2 x) := y 0 + y 0 x x 0 ) + 3. Näherung: y 3 x) := y 0 + y 0 x x 0 ) +. n + 2)-te Näherung: y n+2 x) := y 0 + y 0 x x 0 ) + x x x =x 0 x x x =x 0 x x =x 0 ξ=x 0 cξ)y 0 ξ) dξ dx ξ=x 0 cξ)y 1 ξ) dξ dx x ξ=x 0 cξ)y n ξ) dξ dx Dabei entsteht die Funktionenfolge {y n x)}, die eventuell auf dem Intervall I die Grenzfunktion y x) = lim y n x) besitzt. Ist nun diese Funktion Lösung der Differentialgleichung? Dazu gehen wir im n + 2)-ten Iterationsschritt mit n gegen und n erhalten: 1

5 x x y x) = y 0 + y 0 x x 0 ) + lim n x =x 0 cξ)y n ξ) dξ dx ξ=x 0 Falls wir den Grenzwert mit den Integralen vertauschen könnten, erhielten wir: y x) = y 0 + y 0 x x 0 ) + x x =x 0 x ξ=x 0 cξ) lim n y n ξ) }{{} y ξ) dξ dx d.h. y x) wäre dann Lösung unseres Anfangswertproblems. Damit konzentriert sich alles auf die Frage, ob die Grenzwertbildung in das Integral hineingezogen werden kann, bzw. ob Grenzwertbildung und Integration vertauschbar sind. 1.2 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Seien die Funktionen f n x), n ln definiert auf der Menge X lr C). Für ein festes x X liegt eine Zahlenfolge vor, die auf Konvergenz untersucht werden kann. Definition 1 Sei X lr C). Die Funktionenfolge {f n } heißt punktweise konvergent an x X, falls die Zahlenfolge {f n x)} konvergiert. X K = {x X {f n x)}konvergiert} heißt Konvergenzmenge von {f n }. Die Funktion f mit Df) = X K und fx) = lim n f n x) heißt Grenzfunktion von {f n }. Beispiele: 1. X = [0, 1], f n x) = n2 x n 2 x = X für x 0, 1] 2 K = X, fx) = x 0 für x = 0 Die Grenzfunktion einer Folge beschränkter Funktionen kann unbeschränkt sein. { 0 für x [0, 1) 2. X = [0, ), f n x) = x n = X K = [0, 1], fx) = 1 für x = 1 Die Grenzfunktion einer Folge stetiger Funktionen kann also auch unstetig sein. 3. X = [0, ), f n x) = 2nxe nx2 = X K = X, fx) = 0 Für alle n ln gilt: 4. X = lr, f n x) = 0 f n x) dx = 1, aber sin nx n = X K = X, fx) = 0 0 fx) dx = 0. Da die Folge der Ableitungen {f nx)} = { n cos nx} für kein x lr konvergiert, ist die Grenzwertbildung mit der Differentiation nicht vertauschbar. Die Folge der Ableitungsfunktionen ist nirgends konvergent!) In all diesen Fällen zeigt sich, daß bei der Grenzwertbildung gewisse gemeinsame Eigenschaften der einzelnen Funktionen einer Funktionenfolge nicht notwendig auch eine Eigenschaft der Grenzfunktion sein muß. 2

6 Im Fall der punktweisen Konvergenz einer Funktionenfolge {f n } gibt es zu jedem ε > 0 eine vom Punkt x abhängige natürliche Zahl N ε x), so daß für alle n > N ε x) gilt: f n x) fx) < ε. Kann, bzw. wann kann N ε unabhängig von x gewählt werden? Ähnlich wie bei der gleichmäßigen Stetigkeit einer Funktion hängt dies auch von der Punktmenge X ab, auf der die Funktionen betrachtet werden. Beispiele: 1. X = 0, 1), f n x) = x n = X K = X, fx) = 0. Sei ε > 0 gegeben beliebig). Das zugehörige N ε x) läßt sich folgendermaßen bestimmen: f n x) fx) = x n < ε = n > ln ε [ ] ln ε ln x, d.h. N εx) = + 1. Dies wächst aber lnx) über jede Schranke für x 1. Daher gibt es kein universelles N ε auf 0, 1). Anschaulich: Jede Funktion f n x) muß für hinreichend nahe bei 1 liegende x den 2ε-Streifen verlassen. 2. X = 0, 1), f 2 nx) = x n = X K = X, fx) = 0 [ ] ln ε Zu beliebig vorgegebenem ε 0, 1) wählen wir N ε = + 1. Dann gilt für alle n > N ε und für alle x X: f n x) fx) = x n < 1 2 )n < ε. N ε hängt hier nicht von x ab. 3. X = [0, 1], f n x) = nx1 x) n = X K = X, fx) = 0. Wie man leicht nachrechnet, besitzen die f n x) an der Stelle x n = 1 ein Maximum mit dem jeweiligen n+1 Funktionswert f n x n ) = 1 1 ) n+1. Da dieser Wert für hinreichend große n n + 1 beliebig nahe bei 1 liegt, müssen die entsprechenden f e nx) den 2ε-Streifen verlassen, falls ε < 1 gewählt wird. e Definition 2 Eine Funktionenfolge {f n } heißt gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion fx) auf X, wenn zu jedem ε > 0 eine von x unabhängige) natürliche Zahl N ε existiert, so daß für alle n > N ε und für alle x X gilt: f n x) fx) < ε. Schreibweise: f n x) = X fx) Bemerkungen: Punktweise Konvergenz ist eine lokale Eigenschaft von {f n }. Gleichmäßige Konvergenz hingegen ist eine globale Eigenschaft von {f n } auf X. Gleichmäßige Konvergenz bedeutet anschaulich, daß die Graphen von f n x) für alle n > N ε in einem 2ε-Streifen um den Graphen von fx) liegen. Beispiel: X = [1, ), f n x) = e nx = X K = X, fx) = 0. Untersuchung auf gleichmäßige Konvergenz: Sei ε > 0 beliebig gegeben. = f n x) fx) = e nx e n < ε für alle n > ln 1 für alle x X. Somit konvergiert ε die vorgelegte Funktionenfolge gleichmäßig auf X. ln 1 2 3

7 1.3 Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Satz 1 CAUCHY-Kriterium) f n x) = X fx) ε > 0 N ε n, m > N ε und x X : f n x) f m x) < ε Beweis: = : ε > 0 N ε n, m > N ε und x X gilt: f n x) f m x) f n x) fx) + f m x) fx) 2ε }{{}}{{} ε ε = : Für alle x X ist {f nx)} CAUCHY-Folge in lr C) und ist daher konvergent. fx) bezeichne die Grenzfunktion auf X. ε > 0 N ε n, m > N ε und x X gilt: f n x) f m x) < ε. Daraus folgt dann: lim f nx) f m x) = f n x) fx) ε < 2ε, d.h. {f n } konvergiert auf X m gleichmäßig gegen f. Ein weitere notwendige und hinreichende Bedingung für gleichmäßige Konvergenz liefert der folgende Satz 2 Supremumskriterium) f n x) = X fx) s n := sup f n x) fx) 0 f.f.a. n ln X Beweis: = : ε > 0 N ε n, m > N ε und x X gilt: f n x) fx) < ε. Dann ist aber s n = sup f n x) fx) ε < 2ε f.f.a. n ln X = : s n 0 = ε > 0 N ε n > N ε gilt: 0 s n < ε. Dann gilt aber für alle x X: f n x) fx) sup f n x) fx) = s n < ε, d.h. f n x) = X fx) X Beispiele: 1. Sei X eine kompakte Teilmenge von -1,1) und f n x) = x n. Dann gibt es ein δ 0, 1), so daß X 1 + δ, 1 δ). Daraus folgt: s n = sup f n x) fx) = sup x n 1 δ) n 0, d.h. in jedem kompakten Teil X X von -1,1) konvergiert {x n } gleichmäßig gegen Null. 2. Sei X = [0, a] lr, f n x) = n ln 1 + n) x. Es gilt: XK = X, fx) = lim f n x) = n = n lim n ln 1 + x ) = lim n n ln 1 + x ) n x ) n ) = ln lim n n 1 + = x. }{{ n } e x g n x) := f n x) fx) = x n ln 1 + x ). Wegen g n n x) = 1 n n + x = x n + x > 0 gilt: g n x). Somit: sup g n x) = g n a) = a n ln 1 + a ) e a ) = ln 0 [0,a] n 1 + a n }{{ )n } 1 für n. D.h.: f n x) = X fx). 4

8 1.4 Vertauschung von Grenzprozessen bei Funktionenfolgen Wie wir bereits eingangs erwähnt haben, ist die Frage, ob bzw. unter welchen Umständen sich bestimmte Eigenschaften der Funktionen f n x) auf die Grenzfunktion übertragen, von großer Bedeutung. Satz 3 Eine Folge von auf X beschränkten Funktionen f n x) besitzt eine beschränkte Grenzfunktion fx), wenn sie auf X gleichmäßig konvergiert. Beweis: f n x) = X fx) : N ln x X : fx) f N x) 1 f N x) BX) : M N lr x X : f N x) M N = fx) = fx) f N x)) + f N x) fx) f N x) + f N x) 1 + M N }{{}}{{} 1 M N Satz 4 Eine Folge von auf X stetigen Funktionen f n x) besitzt eine stetige Grenzfunktion fx), wenn sie auf X gleichmäßig konvergiert. Beweis: Sei x 0 X. Zu zeigen ist: ε > 0 δ ε > 0 x X mit x x 0 < δ ε gilt: fx) fx 0 ) < ε. f n x) = X fx) : N ln n > N x X : fx) f n x) < ε 3 f N+1 x) stetig auf X: δ ε > 0 x X mit x x 0 < δ ε gilt: f N+1 x) f N+1 x 0 ) < ε 3. = fx) fx 0 ) = fx) f N+1 x)) + f N+1 x) f N+1 x 0 )) + f N+1 x 0 ) fx 0 )) fx) f N+1 x) + f N+1 x) f N+1 x 0 ) + f N+1 x 0 ) fx 0 ) < ε }{{}}{{}}{{} < ɛ 3 < ɛ 3 < ɛ 3 Bemerkung: Die Aussage dieses Satzes läßt sich auch in die folgende Form kleiden: Sei x 0 X beliebig. Dann gilt unter der Voraussetzung der gleichmäßigen Konvergenz: lim n ) lim f n x) x x 0 = lim x x0 ) lim f nx) n Diese Formulierung macht besonders augenscheinlich, daß hier eine Vertauschbarkeit von Grenzprozessen vorliegt. Beispiel: X = lr, f n x) = 1 falls x < π n sin nx 2 falls π x π n n 1 falls x > π n differenzierbar), aber die Grenzfunktion fx) = sgnx) =. Alle f n x) sind auf lr stetig sogar 1 falls x > 0 0 falls x = 0 1 falls x < 0 ist nicht auf ganz lr stetig. Daraus folgt dann aber zwingend, daß f n x) auf lr nicht gleichmäßig konvergieren kann. Im letzten Beispiel verursachte die nicht gleichmäßige Konvergenz die Unstetigkeit der 5

9 Grenzfunktion. Daß dies aber nicht notwendig der Fall sein muß, lehrt das Beispiel 3 auf Seite 2. Der folgende Satz gibt eine Bedingung an, wann bei einer stetigen Grenzfunktion die Konvergenz gleichmäßig sein muß. Satz 5 DINI) ohne Beweis) Sei X kompakt. Die auf X stetigen Funktionen f n x) konvergieren gegen die dort stetige Grenzfunktion fx). Ist {f n x)} für alle x X monoton wachsend bzw. monoton fallend monotone Konvergenz), dann gilt: f n x) = X fx). Wir betrachten wiederum das Beispiel 3 auf Seite 2. Für kleine x wächst die Folge {f n x)} zunächst, solange das Maximum rechts von x liegt und fällt anschließend wieder. Die Konvergenz ist daher nicht monoton. Die nächste Fragestellung bezieht sich auf die Integration von Funktionenfolgen: Unter welchen Bedingungen ist die Grenzfunktion RIEMANN-integrierbarer Funktionen auch RIEMANN-integrierbar und wann ist die Integration mit der Grenzwertbildung vertauschbar? Satz 6 Für alle n ln gelte: f n x) R[a, b]. Ferner gelte: f n x) = [a,b] fx). Dann folgt: f R[a, b] b ) lim f nx) dx = n a b a b fx) dx = n lim f n x) dx a Beweis: ε f n x) [a,b] = fx) : ε > 0 N ln n > N und x X gilt: fx) f n x) < 3b a). Ferner gilt für jede Partition des Intervalls [a, b]: ) S P f f n ) = sup fx) f n x) x k < I k S P f f n ) = P P ) inf fx) f n x) I k x k < ε 3b a) b a) = ε 3 ε 3b a) b a) = ε 3 f N+1 R[a, b] : P von [a, b]: 0 < S P f N+1 ) S P f N+1 ) < ε. Für diese Partition gilt: 3 S P f) S P f) S P f f N+1 ) + S P f N+1 ) S P f N+1 ) S P f f N+1 ) S P f f N+1 ) + S P f N+1 ) S }{{} P f N+1 ) + S }{{} P f f N+1 ) < ε }{{} < ε 3 < ε 3 < ε 3 Nach dem RIEMANN schen Integralkriterium ist dann f R[a, b]. Ferner gilt für alle n > N: b b b ) f n x) dx fx) dx = f n x) fx) dx = ε 3b a) b a) = ε 3 < ε a a d.h. die Integration ist mit der Grenzwertbildung vertauschbar. a Die folgenden Beispiele demonstrieren, was bei nicht gleichmäßiger Konvergenz einer Funktionenfolge eintreten kann. 6

10 Beispiele: 1. X = [0, 1], f n x) = x n. Wie wir bereits wissen konvergiert die Funktionenfolge nicht { 0 für x [0, 1) gleichmäßig gegen die nicht stetige Grenzfunktion fx) =. 1 für x = 1 fx) ist aber R-integrierbar und es gilt 1 1 ) 0 = n lim n + 1 = lim x n dx = n lim n xn ) dx = 0 Daher gelten beide Aussagen des Satzes, obwohl keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt. 2. X = [0, 1], f n x) = 2nxe nx2 = fx) = 0 auf [0, 1]. Somit ist f R[0, 1]. Wie wir 1 bereits wissen, ist: lim f n x) dx = lim 1 e n ) = 1 aber n 0 n daher gilt die zweite Aussage des Satzes nicht mehr. 1 0 fx) dx = 0 und 3. X = [0, 1], f n x) = n2 x. Es gilt: fx) = lim 1 + n 2 x f 2 nx) = n Hier ist nicht einmal die Grenzfunktion R-integrierbar. { 0 für x = 0 1 für x 0, 1] x. Schließlich wollen wir uns der Frage der Vertauschbarkeit der Differentiation mit der Grenzwertbildung beschäftigen, bzw. mit der Frage, ob und unter welchen Bedingungen die Grenzfunktion differenzierbarer Funktionen auch differenzierbar ist. Daß hier die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge keine hinreichende Bedingung dafür ist, lehrt das folgende Beispiel: X = lr, f n x) = sinn2 x). Nach dem Supremumskriterium konvergiert {f n } auf ganz lr n gleichmäßig gegen die differenzierbare Grenzfunktion fx) = 0. Hingegen konvergiert die Folge der Ableitungsfunktionen f nx) = n cosn 2 x) für kein x lr. Satz 7 Die Funktionen f n x) einer Funktionenfolge seien auf dem Intervall [a, b] differenzierbar. Für ein x 0 [a, b] sei {f n x 0 )} konvergent. Ferner konvergiere die Folge der Ableitungen {f n} gleichmäßig auf [a, b]. Dann gilt: 1. {f n } konvergiert gleichmäßig auf [a, b]. 2. fx) := lim n f n x) ist auf [a, b] differenzierbar. 3. d dx lim n f nx) = f x) = lim n f nx) Beweis: f n x 0 ) fx 0 ) : ε > 0 N 0 ln n, m > N 0 f m x 0 ) f n x 0 ) < ε 2 {f n} konvergiert gleichmäßig auf [a, b]: ε > 0 N 0 ln n, m > N 0 und x [a, b] gilt: f mx) f nx) ε < 2b a) 7

11 Wenden wir den 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf die Funktion f m f n in einem beliebigen Intervall [y, x] [a, b] an, so folgt: ) ) ) f m x) f n x) f m y) f n y) = f mz) f nz) x y) mit z [y, x] geeignet, und daraus die Abschätzung: ) ) ε f m x) f n x) f m y) f n y) < x y ) 2b a) Setzen wir in ) speziell y = x 0, so folgt: ) f m x) f n x) f m x) f n x) f m x 0 ) f n x 0 )) + f m x 0 ) f n x 0 ) < }{{}}{{} < ε 2b a) x x0 < ε 2 ε < 2b a) x x 0 + ε }{{} 2 ε 2 + ε = ε. Da diese Abschätzung für beliebige x [a, b] gilt, konvergieren die 2 b a) f n auf [a, b] gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f. Zum Beweis der zweiten Aussage des Satzes betrachten wir die Funktionen F n x) = f nx) f n ξ) x ξ fx) fξ) F x) = x ξ für x X := [a, b] \ {ξ} und ξ [a, b] beliebig, aber fest. Daß F n auf X punktweise gegen F konvergiert ist klar. Die Konvergenz ist aber sogar gleichmäßig. Setzen wir in ) speziell y = ξ und dividieren wir durch x ξ, so folgt die Abschätzung: ε F m x) F n x) < 2b a) für alle m, n > N 0 und alle x X. Dann ist aber die Grenzfunktion F x) der auf X stetigen Funktionen F n x) ebenfalls stetig auf X. Ferner sind die F n x) stetig ergänzbar an ξ durch F n ξ) = f nξ). Wegen f mx) f nx) ε < gilt die 2b a) gleichmäßige Konvergenz auf ganz [a, b]. Damit muß aber auch F an ξ stetig ergänzbar sein, was die Differenzierbarkeit von f bedeutet. Die dritte Aussage folgt dann aus der Vertauschbarkeit der Grenzübergänge n und x ξ für die F n bzw. F : d dξ lim f nξ) n }{{} fξ) = d fξ) = lim F x) = lim dξ x ξ x ξ lim F nx) = lim lim F nx) = lim f nξ) n n x ξ n Daß die gleichmäßige Konvergenz der f nx) hinreichend, aber nicht notwendig für die Vertauschbarkeit von Differentiation und Grenzübergang ist, zeigt das folgende Beispiel: X = [ 1, 1], f n x) = e n2 x 2 n lim f n nx) = 0 auf [ 1, 1]. auf [ 1, 1] nicht gleichmäßig gegen f x). = X K = X, fx) = lim n f n x) = 0, f nx) = 2nx)e n2 x 2, Es gilt also: lim n f nx) = f x), aber die f nx) konvergieren 1.5 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen Die Funktionen a ν x), ν ln seien auf X lr C) definiert. Wir nennen a ν eine ν=1 Funktionenreihe. Für festes x X liegt wieder eine Zahlenreihe vor, die auf Konvergenz untersucht werden kann. 8

12 Definition 3 Sei X lr C) Die Funktionenreihe a ν heißt punktweise konvergent an x X, wenn die Zahlenreihe a ν x) konvergiert. Die Menge X K = { ν=1 x X a ν x) ist konvergent } ν=1 ν=1 heißt Konvergenzmenge von a ν. ν=1 Die Funktion A mit DA) = X K und Ax) = a ν x) heißt Summenfunktion der ν=1 Funktionenreihe. Bemerkung: Die Funktionenreihe a ν konvergiert an x punktweise genau dann, wenn die Teilsummenfolge A n x) := a ν x) punktweise an x konvergiert. ν=1 n ν=1 Definition 4 Die Funktionenreihe a ν heißt auf einer Menge X gleichmäßig konvergent zur Summenfunktion A, wenn A n x) = ν=1 X Ax). Schreibweise: a ν x) = X Ax) ν=1 Im folgenden geben wir zwei Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen an. Satz 8 CAUCHY-Kriterium) a ν x) = X Ax) ɛ > 0 N ε ln n, m > N ɛ x X : ν=1 n a ν x) < ε ν=m+1 Beweis: Trivial Satz 9 WEIERSTRASS) Besitzen die auf X definierten Funktionen a ν x) dort die Abschätzung a ν x) c ν ν ln und konvergiert die Zahlenreihe c ν, so konvergiert a ν x) gleichmäßig auf X. ν=1 ν=1 Beweis:mittels CAUCHY-Kriterium) Nach Voraussetzung gilt: ɛ > 0 N ε ln n, m > N ε : n c ν < ε. ν=m+1 n Dann gilt für alle x X: a ν x) n n a ν x) c ν < ε. ν=m+1 ν=m+1 ν=m+1 9

13 1.6 Vertauschung von Grenzprozessen bei Funktionenreihen Da die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen mittels der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummenfolgen definiert wurde, gelten alle Sätze über Funktionenfolgen sinngemäß auch für Funktionenreihen. Satz 10 Die Summenfunktion einer auf X gleichmäßig konvergenten Reihe stetiger Funktionen ist dort ebenfalls stetig. Beweis: Als Übung Satz 11 Seien a ν x) R[a, b] und gelte a ν x) [a,b] = Ax). Dann folgt: ν=1 Ax) R[a, b] b b ) b Ax) dx = a ν x) dx = a ν x) dx, a a ν=1 ν=1 a d.h. es darf gliedweise integriert werden. Beweis: Als Übung Satz 12 Die Funktionen a ν x) seien auf [a, b] differenzierbar. An einer Stelle x 0 [a, b] sei a ν x 0 ) konvergent. Ferner konvergiere a νx) auf [a, b] gleichmäßig. Dann gilt: ν=1 ν=1 a ν x) konvergiert gleichmäßig auf [a, b]. ν=1 Die Summenfunktion Ax) = a ν x) ist differenzierbar. ν=1 A x) = a ν x)) = a νx), d.h. es darf gliedweise differenziert werden. ν=1 ν=1 Beweis: Als Übung Beispiel: Die geometrische Reihe 1) ν x 2ν konvergiert in [ q, q] q < 1 gleichmäßig und besitzt ν=0 1 dort die Summenfunktion. Dann erhalten wir unter Berücksichtigung von Satz 1 + x2 11): t dx t ) arctan t = x = t 1) ν x 2ν dx = 1) ν x 2ν dx = 1) ν t2ν ν=0 ν=0 0 ν=0 2ν + 1 Das ist die TAYLOR-Entwicklung von arctan t. 10

14 2 Potenzreihen 2.1 Konvergenzmenge, Konvergenzradius Potenzreihen sind Funktionenreihen mit Funktionen a ν x) = a ν x x 0 ) ν. Definition 5 Ist {a ν } eine Folge reeller bzw. komplexer Zahlen und x 0 lr bzw. z 0 C, so heißt die Reihe a ν x x 0 ) ν bzw. a ν z z 0 ) ν eine Potenzreihe mit Entwicklungsmitte x 0 bzw. ν=0 Entwicklungspunkt z 0. 1) ν=0 Potenzreihen haben sehr übersichtliche Konvergenzmengen. Satz 13 Für eine Potenzreihe a ν x x 0 ) ν gilt: ν=0 1. Konvergiert die Potenzreihe an x 1 x 0, so konvergiert sie absolut für alle x mit x x 0 < x 1 x Divergiert die Potenzreihe an x 2 x 0, so divergiert sie auch an allen Stellen x mit x x 0 > x 2 x 0. Beweis: 1. Konvergiere die Potenzreihe an x 1 x 0 und sei x x 0 < x 1 x 0 beliebig. Wegen der Konvergenz der Reihe a ν x 1 x 0 ) ν folgt aus dem notwendigen Kriterium für ν=0 Konvergenz: lim a ν x 1 x 0 ) ν = 0. Dann gibt es aber ein M > 0, so daß für alle ν ν ln gilt: a ν x 1 x 0 ) ν M. Damit erhalten wir die Abschätzung: a ν x x 0 ) ν = a ν x 1 x 0 ) ν x x 0 ν x x 0 ν x x M 0. Wegen x 1 x 0 x 1 x 0 x 1 x < 1 folgt 0 dann unter Verwendung des Vergleichskriteriums die Konvergenz der Potenzreihe. 2. Divergiere die Potenzreihe an x 2 x 0 und sei x x 0 > x 2 x 0 beliebig. Die Annahme, daß die Potenzreihe an x konvergiert, hätte wegen 1. zur Folge, daß sie dann auch an x 2 konvergiert, was aber der Voraussetzung widerspricht. Beispiel: 1) ν xν konvergiert an x = 1 LEIBNIZ-Kriterium), divergiert aber an x = 1 harmonische Reihe). Insgesamt konvergiert die Potenzreihe dann für alle x mit 1 < x 1 ν=1 ν und divergiert für alle übrigen. { Setzen wir R := sup r r = x x 0, } a ν x x 0 ) ν konvergiert, so erhalten wir die ν=0 1) Wir werden im folgenden stets die reelle Notation verwenden. Die Ergebnisse gelten aber auch sinngemäß im Komplexen. Da dort Potenzreihen von großer Bedeutung für die Funktionentheorie sind, wurden manche Bezeichnungen, wie z.b. Konvergenzradius, passend für diesen Fall gewählt. 11

15 Folgerung: Für jede Potenzreihe a ν x x 0 ) ν ν=0 R, 0 R, für den gilt: existiert dann eindeutig ein Konvergenzradius Ist R = 0, so konvergiert die Potenzreihe nur an x 0. Gilt 0 < R <, so konvergiert die Potenzreihe absolut im Konvergenzintervall U R x 0 ) = {x mit x x 0 < R}. 2) Sie divergiert auf {x mit x x 0 > R}. Ist R =, so konvergiert die Potenzreihe absolut auf ganz lr. Da eine Potenzreihe durch ihre Koeffizienten a ν bestimmt ist, muß auch der Konvergenzradius durch sie bestimmt sein. Satz 14 CAUCHY-HADAMARD) Für den Konvergenzradius einer Potenzreihe a ν x x 0 ) ν gilt: ν=0 1. R = 0 falls lim sup a ν 1 ν = ν 2. R = 1 lim sup a ν 1 ν ν falls 0 < lim sup a ν 1 ν < ν 3. R = falls lim sup a ν 1 ν = 0 ν bzw. symbolisch: R = 1 lim sup a ν 1 ν ν Beweis: 1. Sei lim sup a ν 1 ν = und x x0 beliebig. Dann gibt es eine Teilfolge {a νk } auf der ν f.f.a. k gilt: a νk 1 1 ν k x x 0, woraus folgt: a ν k x x 0 ν k 1. Damit ist aber das notwendige Kriterium für Konvergenz verletzt und die Reihe divergiert außer für x = x Sei 0 < lim sup a ν 1 ν <. Für ein festes x lr untersuchen wir die Reihe unter ν Verwendung des Wurzelkriteriums auf Konvergenz: lim sup ν a ν x x 0 ) ν 1 ν = x x0 lim sup a ν 1 ν. Der letzte Ausdruck ist kleiner als ν }{{} 1 R 1 absolute Konvergenz), falls x x 0 < R ist und größer als 1 Divergenz), falls x x 0 > R ist. 2) Im Komplexen in der Konvergenzkreisscheibe K R z 0 ) = {z mit z z 0 < R}. 12

16 3. Sei lim sup a ν 1 ν = 0 und x lr beliebig. ν = 0 < 1 folgt die absolute Kon- Aus lim sup a ν x x 0 ) ν 1 ν = x x0 lim sup a ν 1 ν ν ν }{{ } vergenz für alle x lr, d.h. R =. 0 Beispiele: ν=1 3 ν ν=1 ν=0 ν ν x 2) ν : Wegen lim sup a ν 1 ν = lim ν ν ν = folgt R = 0. ν x + 1)ν : Wegen lim sup ν x ν ν! a ν 1 1 ν = 3 lim ν ν ) 1 ν } {{ } 1 = 3 folgt R = 1 3. ) 1 : Wegen lim sup a ν 1 1 ν ν = lim = 0 3) folgt R =. ν ν ν! 2.2 Gleichmäßige Konvergenz, Vertauschungssätze Wie wir im vorigen Abschnitt gesehen haben, konvergieren Potenzreihen in symmetrischen Intervallen bzw. in Kreisscheiben um einen Punkt x 0 bzw. z 0 absolut. Im Hinblick auf gliedweise Integration bzw. Differentiation von Potenzreihen interessiert uns ganz besonders, auf welchen Teilmengen der Konvergenzmenge Potenzreihen gleichmäßig konvergieren. Beispiele: 1. Die Reihe x ν kann auf U R 0) = 1, 1) nicht gleichmäßig konvergieren, da sonst ν=0 n A n x) = x ν = 1 xn+1 bzw. x n+1 = x 1)A n x) + 1 d.h.letztlich {x n } auf ν=0 1 x 1, 1) gleichmäßig konvergieren müßte, was aber bekanntlich nicht der Fall ist. x ν 2. Die Reihe besitzt den Konvergenzradius R = 1, und konvergiert wegen der ν=1 ν 2 x auf [ 1, 1] gültigen Abschätzung ν ν 2 1 nach dem WEIERSTRASS-Kriterium ν 2 auf [ 1, 1] gleichmäßig. Satz 15 Eine Potenzreihe a ν x x 0 ) ν mit Konvergenzradius R, 0 < R ist auf jedem ν=0 kompakten Teil ihrer Konvergenzmenge gleichmäßig konvergent. ν ) ν, 3) Mittel vollständiger Induktion zeigt man: ν! > woraus das angegebene Resultat folgt. 3 13

17 Beweis: Zu jeder kompakten Menge X U R x 0 ) gibt es ein r mit 0 < r < R, so daß gilt: X U r x 0 ) U R x 0 ). Dann ist aber nach der Folgerung aus Satz 13) die Reihe a ν r ν konvergent und wegen der auf X gültigen Abschätzung a ν x x 0 ) ν a ν r ν nach dem WEIERSTRASS-Kriterium auf X gleichmäßig konvergent. Satz 16 Sei a ν x x 0 ) ν eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R, 0 < R. Dann gilt für ν=0 die von der Reihe erzeugte Funktion Ax) = a ν x x 0 ) ν : ν=0 1. Ax) ist stetig auf U R x 0 ). 2. Ax) ist auf U R x 0 ) beliebig oft differenzierbar und es gilt dort ) für die k-te Ableitung: ν A k) x) = a ν νν 1) ν k + 1)x x 0 ) ν k = k! a ν x x 0 ) ν k, wobei ν=k ν=k k diese Potenzreihe ebenfalls den Konvergenzradius R besitzt. 3. Ax) ist auf jedem Intervall [a, b] U R x 0 ) R-integrierbar und die Potenzreihe darf gliedweise integriert werden: b b ) ) b Ax) dx = a ν x x 0 ) ν dx = a ν x x 0 ) ν dx. a a ν=0 ν=0 a Beweis: 1. Die Potenzreihe konvergiert auf jeder kompakten Menge X U R x 0 ) gleichmäßig. Nach Satz 10) ist dann Ax) stetig auf X und damit letztlich auf U R x 0 ). 2. Wir zeigen zuerst, daß die Reihe der Ableitungen den gleichen Konvergenzradius R besitzt: νa ν x x 0 ) ν 1 = 1 νa ν x x ν=1 x x 0 }{{} 0 ) ν. ν=1 b ν 1 R = lim sup ν b ν 1 ν = lim ν ν 1 ν } {{ } 1 lim sup a ν 1 ν ν }{{} 1 R = 1 R. Die Reihe der Ableitungen konvergiert dann auf jeder kompakten Teilmenge X von U R x 0 ) gleichmäßig. Da die Potenzreihe selbst z.b. für x 0 konvergiert, ist nach Satz 12) die Summenfunktion Ax) differenzierbar und die Potenzreihe darf gliedweise differenziert werden. Der Beweis kann durch vollständige Induktion zu Ende geführt werden. 3. Ax) ist stetig auf [a, b], a ν x x 0 ) ν R[a, b]. Dann ist nach Satz 11) A R[a, b] und die Potenzreihe darf gliedweise integriert werden. Der Konvergenzradius der gliedweise integrierten Potenzreihe ist analog zur gliedweise differenzierten Potenzreihe) wieder R. ν=0 14

18 2.3 Potenzreihen, TAYLOR-Reihen, Identitätssatz, Grenzwertsatz von ABEL Im WS haben wir gezeigt, daß unter gewissen Voraussetzungen eine Funktion fx) eine f ν) x 0 ) TAYLOR-Reihe x x 0 ) ν besitzt, die auf gewissen Intervallen auch die Funktion darstellt. ν=0 ν! Auf der anderen Seite haben wir nun gezeigt, daß Potenzreihen a ν x x 0 ) ν auf ihrem Konvergenzintervall U R x 0 ) eine beliebig oft differenzierbare Funktion Ax) darstellen. Läßt sich nun diese Funktion in eine TAYLOR-Reihe entwickeln und wenn ja, in welcher Beziehung stehen die Koeffizienten a ν zu Ax)? ν=0 Satz 17 Ist a ν x x 0 ) ν eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius R, 0 < R, und bezeichne Ax) die Summenfunktion der Potenzreihe, so gilt für alle ν ln 0 : a ν = Aν) x 0 ), ν! A ν) x 0 ) d.h. es ist Ax) = x x 0 ) ν. ν! ν=0 Beweis: ) ν A k) x) = k! a ν x x 0 ) ν k. Für x x 0 folgt dann A k) x 0 ) = k!a k. ν=k k Bemerkungen: Ax) ist auf U R x 0 ) bereits durch die Werte auf einer beliebig kleinen Umgebung von x 0 vollkommen bestimmt. Potenzreihen erscheinen formal als Polynome unendlich hohen Grades. So sind z.b. Potenzreihen und Polynome C -Funktionen. Bei Polynomen wissen wir, daß zwei Polynome vom Grad n identisch sind, wenn sie an mindestens n + 1 Stellen übereinstimmen. Damit erhebt sich die Frage, auf welcher Punktmenge zwei Potenzreihen übereinstimmen müssen, damit sie identisch sind. Daß eine Übereinstimmung an unendlich vielen Punkten dazu nicht ausreicht, lehrt des Beispiel der beiden Funktionen fx) = sinπx) und gx) 0, die an allen ganzzahligen x übereinstimmen aber offensichtlich nicht identisch sind. Satz 18 Identitätssatz für Potenzreihen) Besitzen Ax) := a ν x x 0 ) ν und Bx) := b ν x x 0 ) ν an unendlich vielen von x 0 ν=0 verschiedenen Stellen x 1, x 2,..., die sich an x 0 häufen, denselben Wert: Ax i ) = Bx i ), so gilt: a ν b ν, d.h. Ax) Bx) in X := U R1 x 0 ) U R2 x 0 ) Beweis: O.B.d.A. genügt es, eine Folge {x i }, x i x 0, zu betrachten. In X konvergiert die Potenzreihe der Funktion Hx) = h ν x x 0 ) ν := a ν b ν )x x 0 ) ν = Ax) Bx). Falls ν=0 ν=0 ν=0 ν=0 15

19 nicht alle h ν Null sind, gibt es ein kleinstes k ln 0, so daß h k 0. = Hx) = h ν x x 0 ) ν. Die Funktion Hx) := Hx) ν=k x x 0 ) = h k k + h k+1 x x 0 ) + ist an x 0 stetig bzw. stetig ergänzbar mit Hx 0 ) = h k 0. Andererseits folgt aus der Stetigkeit von H an x 0 : Hx0 ) = lim Hxi ) = 0, woraus sich ein Widerspruch ergibt. i }{{} 0 Daher müssen alle h ν Null sein, d.h. Hx) 0 bzw. Ax) Bx). Bemerkung: Dieser Identitätssatz wird in der Funktionentheorie verallgemeinert und ist dort ein mächtiges Werkzeug zum Beweis vieler Sätze der Funktionentheorie z.b. die Eindeutigkeit der Fortsetzung holomorpher Funktionen). Die von einer Potenzreihe mit dem Konvergenzradius R erzeugte Funktion ist auf dem Konvergenzintervall stetig. An den Randpunkten dieses Intervalls liegt i.a. nicht mehr Stetigkeit vor. So ist z.b. ln1 x) = Da die Potenzreihe ν=0 x ν ν ν=1 x ν ν an x = 1 nicht mehr stetig, wohl aber an x = 1. an x = 1 divergiert und an x = 1 konvergiert, liegt ein Zusammenhang nahe. O.B.d.A. können wir dabei uns auf Potenzreihen mit x 0 = 0 und R = 1 und auf den rechten Randpunkt beziehen, da wir jede Potenzreihe durch y = ± x x 0 auf diesen Spezialfall normieren können. Satz 19 ABEL scher Grenzwertsatz) ohne Beweis) Sei Ax) = a ν x ν eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R = 1. Ist die Potenzreihe ν=0 auch an x = 1 konvergent, d.h. konvergiert die Reihe a ν, so gilt: ν=0 lim Ax) = a ν x 1 ν=0 R 16

20 3 FOURIER-Reihen 3.1 Das trigonometrische System Seit jeher sind wir mit periodischen Vorgängen konfrontiert. Am augenscheinlichsten ist dies beim Lauf der Gestirne am Nachthimmel. Schon frühzeitig versuchte man, das Beobachtete einerseits im Rahmen einer Naturphilosophie zu erklären und andererseits quantitativ zu beschreiben, um Voraussagen für die Zukunft machen zu können. Am deutlichsten wird dies am System des PTOLEMÄUS. Er hält zwar am Primat der Kreisbewegung als der natürlichsten Bewegung fest, wie dies von PLATO gefordert wurde, mußte aber zur quantitativen Beschreibung - trotz der damals bescheidenen Meßgenauigkeiten - annehmen, daß die Planeten zusammengesetzte Kreisbewegungen vollführen. Eine solche Bewegung läßt sich aber mittels Summen trigonometrischer Funktionen beschreiben. Vom mathematischen Standpunkt aus ist dies gar nicht so abwegig. Nun wissen wir zwar seit KEPLER, daß jeder Planet auf einer Ellipsenbahn um die Sonne läuft, aber die Bahngleichung A rϕ) = 1 ε cos ϕ, ε < 1 kann in die Reihe A ε cos ϕ) n und weiters mittels entsprechender Formeln der trigonometrischen Funktionen in die Reihe A a n cosnϕ) entwickelt werden. Dies entspricht n=0 n=0 aber genau einer ad infinitum fortgeführten Zusammensetzung von Kreisbewegungen im Sinne des PTOLEMÄUS. Weitere periodische Vorgänge in der Physik sind z.b. Schwingungen und Wechselströme. In all diesen Fällen versucht man, einen allgemeinen periodischen Vorgang durch einfachere zusammenzusetzen. Die einfachsten periodischen Vorgänge sind solche, welche durch trigonometrische Funktionen cos nx und sin nx, n ln, beschrieben werden. Definition 6 Eine auf lr definierte Funktion f heißt periodisch mit der Periode T 0, wenn für alle x lr gilt: fx + T ) = fx). Bemerkung: Ist f periodisch mit der Periode T, so ist auch kt, k ln eine Periode von f. Definition 7 Das 2π-periodische Funktionensystem ϕ 0 x) = 1, ϕ 1 x) = cos x, ϕ 2 x) = sin x ϕ 3 x) = cos 2x, ϕ 4 x) = sin 2x heißt trigonometrisches System. ϕ 5 x) = cos 3x, ϕ 6 x) = sin 3x.. Satz 20 Für das trigonometrische System gilt: π ϕ m x)ϕ n x) dx = πδ mn falls n 0, π π π ϕ 0 x)ϕ 0 x) dx = 2π 17

21 Beweis: Mittels partieller Integration oder mit Hilfe der Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen. 3.2 Trigonometrische Reihen FOURIER-Reihen) Physikalische bzw. technische Problemstellungen führen mathematisch häufig auf Randund Anfangswertprobleme bei partiellen Differentialgleichungen. Da diese Differentialgleichungen meist linear sind, gilt das Superpositionsprinzip. Man kann also die Lösung eines solchen Problems durch eine Linearkombination spezieller Lösungen, die bereits die Randbedingungen erfüllen, ansetzen. Die Koeffizienten solcher Linearkombinationen sind dann so zu wählen, daß auch die Anfangsbedingungen erfüllt sind. Das bedeutet aber, das eine gegebene Funktion die Anfangswerte) in eine Reihe nach einem vorgegebenen Funktionensystem zu entwickeln ist: fx) = c ν ϕ ν x). ν=0 Ein Beispiel für eine derartige Entwicklung kennen wir bereits: TAYLOR-Reihen, wobei hier das Funktionensystem das System der Potenzen 1, x, x 2, x 3,... ist. Im Fall periodischer Funktionen liegt es nahe, eine solche Funktion in eine Reihe nach dem trigonometrischen System zu entwickeln: fx) = a ν=1 a ν cos νx + b ν sin νx) Es ist klar, daß die Koeffizienten einer solchen Reihenentwicklung vollständig durch die Funktion fx) bestimmt sind. Um der formelmäßigen Zusammenhang aufzufinden, gehen wir analog zur TAYLOR-Entwicklung vor: Da die gesuchte Koeffizientenformel nicht von der speziellen Gestalt von fx) abhängt, wählt man fx) speziell. Bei TAYLOR- Entwicklungen konnten wir an Hand von Polynomen die gesuchte Formel gewinnen. Im Fall der trigonometrischen Reihen betrachten wir zunächst den Spezialfall von gleichmäßig konvergenten Reihen. Satz 21 a 0 Sei X = [ π, π]. Gilt fx) = X 2 + a ν cos νx + b ν sin νx), so sind die Koeffizienten ν=1 durch 1. a ν = 1 π 2. b ν = 1 π bestimmt. π π π π fx) cos νx dx für ν = 0, 1, 2,... fx) sin νx dx für ν = 1, 2, 3,... Beweis: Wegen der gleichmäßigen Konvergenz der trigonometrischen Reihe ist fx) stetig, die 18

22 Funktionen fx) cos νx und fx) sin νx R-integrierbar auf [ π, π] und gliedweise Integration ist erlaubt. Damit erhalten wir: π π ) a0 fx) cos µx dx = π π 2 + a ν cos νx + b ν sin νx cos µx dx = = a 0 2 ν=1 π π cos µx dx + aν cosνx cos µx dx 2πδ µ0 πδ µν π } {{ } ν=1 π } {{ } π und analog: π fx) sin µx dx = πb µ +b ν π ) sinνx cos µx dx = πaµ π } {{ } 0 Damit haben wir die gesuchten Koeffizientenformeln gefunden und ordnen nun einer R- integrierbaren periodischen Funktion eine trigonometrische Reihe zu. Definition 8 Die 2π-periodische Funktion fx) sei auf [ π, π] R-integrierbar. Dann heißen die Zahlen a ν = 1 π π π fx) cos νx dx ν = 0, 1, 2,...) b ν = 1 π π π fx) sin νx dx ν = 1, 2, 3,...) FOURIER-Koeffizienten von f und die mit diesen Koeffizienten gebildete trigonometrische Reihe heißt FOURIER-Reihe von f. Die so einer Funktion fx) zugeordnete FOURIER-Reihe stellt im Fall der gleichmäßigen Konvergenz die Funktion auch dar. Im allgemeinen Fall einer R-integrierbaren Funktion ist nicht von vornherein sicher, ob die Reihe in jedem Punkt konvergiert und selbst wenn, ob dies auch gegen den Funktionswert von f an dieser Stelle ist. Diese Frage allgemein zu klären ist für die praktischen Anwendungen jedoch nicht erforderlich. In der meisten Fällen kommt man mit dem folgenden hinreichenden Kriterium aus: Satz 22 Sei fx) eine 2π-periodische R-integrierbare Funktion. Falls an einer Stelle x 0 rechtsund linksseitiger Grenzwert fx + 0 ) bzw. fx 0 ) sowie die verallgemeinerten rechts- und linksseitigen Ableitungen f +x 0 ) = lim h 0 + fx 0 + h) fx + 0 ) h, f x 0 ) = lim h 0 + fx 0 h) fx 0 ) h existieren, konvergiert die FOURIER-Reihe gegen das arithmetische Mittel fx+ 0 ) + fx 0 ), 2 d.h. aber im Fall der Stetigkeit an x 0, daß die FOURIER-Reihe gegen fx 0 ) konvergiert. 3.3 FOURIER-Entwicklungen Bevor wir im folgenden einige konkrete Beispiele für FOURIER-Entwicklungen, d.h. Entwicklungen periodischer Funktionen in FOURIER-Reihen, behandeln, wollen wir hinsichtlich der praktischen Erfordernissen einige Verallgemeinerungen vornehmen. 19

23 Satz 23 Sei fx) eine periodische Funktion mit der Periode T, so ist f in eine FOURIER-Reihe der Form fx) = a ν=1 a ν cos 2πνx T entwickelbar, wobei für die FOURIER-Koeffizienten gilt: + b ν sin 2πνx ) T a ν = 2 T T 2 T 2 fx) cos 2πνx T dx, ν = 0, 1, 2,... b ν = 2 T T 2 T 2 fx) sin 2πνx T dx, ν = 1, 2, 3,... Beweis: Mit der Transformation x = T 2π t bzw. t = x folgt, daß die Funktion 2π T ft) := f T 2π t) = fx) die Periode 2π besitzt. Dann gilt: ft) = a mit den FOURIER-Koeffizienten a ν = 1 π b ν = 1 π π π π π ft) cosνt) dt = 2 T ft) sinνt) dt = 2 T T 2 T 2 T 2 T 2 ν=1 aν cosνt) + b ν sinνt) ) fx) cos 2πνx T fx) sin 2πνx T Satz 24 Sei fx) eine 2π-periodische Funktion. dx ν = 0, 1, 2,... dx ν = 1, 2, 3,.... Die FOURIER-Reihe einer geraden Funktion hat die Form fx) = a a ν cos νx. ν=1 Die FOURIER-Reihe einer ungeraden Funktion hat die Form fx) = b ν sin νx. ν=1 Beweis: Im Fall einer geraden Funktion fx) ist der Integrand bei b ν : fx) sin νx eine ungerade Funktion. Daher ist das Integral über das symmetrische Intervall [ π, π] Null. Der Fall einer ungeraden Funktion fx) ist analog. In manchen Anwendungen wie z.b. der schwingenden Saite ist auf einem Intervall [0, L] eine Funktion gegeben Anfangsbedingung). Da die Partikulärlösungen des Problems wegen der Randbedingungen nur Sinus-Funktionen enthalten, wäre es vorteilhaft, fx) in eine Reihe mit Sinus-Gliedern zu entwickeln. Dem steht zunächst formal entgegen, daß fx) nur auf dem Intervall [0, L] definiert ist. Um unser Ziel trotzdem zu erreichen, setzen wir fx) zunächst zu einer ungeraden Funktion auf das Intervall [ L, L], und anschließend zu einer periodischen Funktion mit der Periode 2L auf lr fort. Analog kann man verfahren, wenn eine auf [0, L] definierte Funktion in eine reine Cosinus- Reihe entwickelt werden soll. 20

24 Beispiele: 1. Die Vorzeichenfunktion 1 für π < x < 0 fx) = signx) := 0 für x = π, 0, π +1 für 0 < x < π fx ± 2π) = fx) ist eine ungerade Funktion. Ihre FOURIER-Reihe enthält nach Satz 24) nur Sinusglieder. Es ist π π b ν = 1 signx) sin νx dx = 2 1 sin νx dx = 2 π π π 0 νπ cos νx π = 2 0 νπ 1 1)ν ) 4 Daraus folgt: b 2n = 0, b 2n+1 =. Für die FOURIER-Reihe folgt dann: 2n + 1)π signx) = 4 sin2n + 1)x. π 2n + 1 n=0 Nach Satz 22) stellt die FOURIER-Reihe die Funktion signx) überall dar. Setzt man für x = π, so folgt: 1) n 2 2n + 1 = π 4. n=0 2. Die Betragsfunktion fx) = x für π x π, fx ± 2π) = fx) ist eine gerade Funktion. Daher enthält ihre FOURIER-Reihe nach Satz 24) nur Cosinus-Glieder. Es gilt: a 0 = 1 π x dx = 2 π x dx = x2 π π π π 0 π = π 0 a ν = 1 π x cos νx dx = 2 π x cos νx dx = 2x π π π 0 νπ sin νx π 0 2 π sin νx dx = νπ 0 } {{ } 0 = 2 ν 2 π cos νx π 0 = 2 ν 2 π 1 1)ν ) 4 Daraus folgt: a 2n = 0, a 2n+1 =. Für die FOURIER-Reihe folgt dann: 2n + 1) 2 π x = π 2 4 cos2n + 1)x. π 2n + 1) 2 n=0 Nach Satz 22) stellt die FOURIER-Reihe die Funktion x überall dar. Setzt man für x = 0, so folgt: 0 = π π 2n + 1) und daraus 1 2 2n + 1) = π n=0 3. Die Sägezahnfunktion fx) = x für π < x < π, fx ± 2π) ist eine ungerade Funktion. Ihre FOURIER-Reihe enthält nach Satz 24) nur Sinusglieder. Es ist π π b ν = 1 x sin νx dx = 2 x sin νx dx = 2x π π π 0 νπ cos νx π cos νx dx = νπ 0 = 2 ν 1)ν ν 2 π sin νx π 0 = 2 }{{} ν 1)ν+1. Für die FOURIER-Reihe folgt dann: 0 1) ν+1 x = 2 sin νx ν ν=1 n=0 π 21

25 4. Die Funktion fx) = x 2 für π x π, fx±2π) = fx) ist eine gerade Funktion. Ihre FOURIER-Reihe enthält nach Satz 24) nur Cosinusglieder. Es ist a 0 = 1 π a ν = 1 π π π x 2 dx = 2 π π π π x 2 cos νx dx = 2 π = 4 ν 2 π x cos νx π 0 4 π ν 2 π 0 0 x 2 dx = 2x3 π 3π = 2π2 0 3 π Für die FOURIER-Reihe folgt dann: 0 x 2 cos νx dx = 2x2 νπ sin νx π 0 } {{ } 0 4 π x sin νx dx = νπ 0 cos νx dx = 4 ν 2 1)ν 4 ν 3 π sin νx π 0 = 4 }{{} ν 2 1)ν. 0 x 2 = π ν cos νx 1). ν 2 ν=1 Nach Satz 22) stellt die FOURIER-Reihe die Funktion x 2 überall dar. Setzt man für x = π, so folgt: π 2 = π ν=1 ν und daraus 1 2 ν=1 ν = π2. Setzt man für 2 6 x = 0, so folgt: 0 = π ) ν 1 ν und daraus 1) ν 1 2 ν = 2 π2 12. ν=1 Aufgabe: Man entwickle die Funktion fx) = x 2 π 2 ) 2 für π x π, fx ± 2π) = fx) in eine FOURIER-Reihe und gewinne anschließend einen expliziten Ausdruck für die Summe der 1 Reihe ν. 4 ν=1 Wie man unter Verwendung des WEIERSTRASS schen Konvergenzkriteriums erkennt, konvergieren die FOURIER-Reihen der Funktionen fx) = x und fx) = x 2 gleichmäßig auf lr, während dies für fx) = sgnx) und für die Sägezahnfunktion nicht der Fall sein kann, da dort Sprungstellen auftreten. Diese nichtgleichmäßige Konvergenz führt in der Nähe der Sprungstellen zum GIBBS schen Phänomen: Jede Partialsumme s n der trigonometrischen Reihe weicht in der Umgebung der Sprungstelle von f um mindestens 8.9% der Sprunghöhe von der Funktion f ab. ν=1 22

26 4 Räume 4.1 Metrische Räume Abstandsfunktion,Umgebungen, Konvergenz lr besitzt 3 Grundstrukturen: i) algebraische Struktur Körper) ii) Ordnungsstruktur iii) metrische Struktur Absolutbetrag) Bei vielen Untersuchungen in der Analysis kommt es nur auf die metrische bzw. allgemein nur auf die topologische) Struktur an. Einführung einer metrischen Struktur unabhängig von der Ordnung in lr. x, y lr : x, y) dx, y) = x y = x y) 2 vergleiche komplexe Zahlen) Definition 9 Eine nichtleere Menge M heißt metrischer Raum, wenn für jedes Paar x, y) M eine nichtnegative reelle Zahl dx, y) definiert ist, mit: D 1 ) dx, y) = 0 x = y positive Definitheit D 2 ) dx, y) = dy, x) Symmetrie D 3 ) dx, y) dx, z) + dz, y) Dreiecksungleichung dx, y) heißt Abstand der Elemente x, y. Bemerkungen: Ein metrischer Raum ist eine Menge M auf der ein Abstand d definiert ist. Wir verwenden daher bisweilen die Bezeichnung M, d). Dabei ist d : M M lr + eine Abbildung Metrik). Mit den Abstandsdefinitionen i) dx, y) = x y, x, y lr ii) dz, w) = z w, z, w C iii) dx, y) = n x i y i ) 2, x, y lr n sind lr, C und lr n metrische Räume. Mit Hilfe der Metrik kann man für Folgen in metrischen Räumen einen Konvergenzbegriff einführen. Definition 10 Sei M, d) ein metrischer Raum. Eine Folge {x n } aus M heißt konvergent zum Grenzpunkt x M, wenn zu jedem ε > 0 ein N ε existiert, so daß für alle n N ε gilt: dx n, x) < ε. Schreibweise: lim n x n = x, bzw. kürzer: x n x. Satz 25 In einem metrischen Raum hat jede Folge höchstens einen Grenzpunkt. Beweis: Analog zum entsprechenden Satz für Folgen in geordneten Körpern. 23

27 Definition 11 Eine Folge {x n } in einem metrischen Raum M, d) heißt CAUCHY-Folge, wenn ε > 0 N ε ln n, m > N ε : dx n, x m ) < ε Definition 12 Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede C-Folge aus M konvergiert und in M einen Grenzpunkt besitzt. Bemerkung: Die Vervollständigung metrischer Räume erfolgt wie bei Q zu lr mittels CAUCHY-Folgen. Definition 13 Eine Teilmenge eines metrischen Raumes M, d) heißt beschränkt, falls R + lr x 0 M x X : dx, x 0 ) < R. Beispiele für metrische Räume: 1. M = lr 3 : d x, y) = x y = x 1 y 1 ) 2 + x 2 y 2 ) 2 + x 3 y 3 ) 2 EUKLID sche Metrik 2. M = lr 2 = lr lr : dx, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 ; x = x 1, x 2 ), y = y 1, y 2 )... Taxi-Metrik 3. M = lr n, x = x 1, x 2,..., x n ), y = y 1, y 2,..., y n ) { dx, y) = max xi y i } 1 i n Maximumsmetrik i 4. M Menge der Matrizen A, B,..., A = a ij ) n da, B) = max a i ij b ij 1 i n j=1 5. M Menge aller konvergenter Folgen x = {x n }, y = {y n } 1 x n y n dx, y) = 2 n 1 + x n y n n=1 6. M = lr +, dx, y) = x y x )1 + y ) Dieser Abstand läßt sich geometrisch veranschaulichen. 7. M = C[a, b] Menge der auf [a, b] stetigen Funktionen, p 1 ) 1 b df, g) = fx) gx) p p dx Metrik in Lp -Räumen a 8. Sei M eine { beliebige Menge. 0 falls x = y dx, y) = 1 falls x y diskrete Metrik Definition 14 Sei M = lr bzw. C, x 0 M und dx, x 0 ) = x x 0 i) Für beliebige ε > 0 heißt die Menge U ε x 0 ) = {x M dx, x 0 ) < ε} ε-umgebung von x 0, bzw. ε-kugel um x 0. ii) Eine Menge U M heißt Umgebung von x 0, wenn sie eine ε-umgebung von x 0 enthält. 24

28 Damit läßt sich die Konvergenz einer Folge aus M durch Umgebungen charakterisieren: Satz 26 Sei {x n } eine Folge aus M, d). Dann gilt: x n x 0 ε > 0 N ε ln n > N ε : x n U ε x 0 ). Dies läßt sich auf beliebige Umgebungen verallgemeinern! Bemerkung: Für M = lr ist U ε x 0 ) das offene Intervall x 0 ε, x 0 + ε), für M = lr 2 mit dx, y) = x 1 y 1 ) 2 + x 2 y 2 ) 2 ist U ε x 0 ) die offene Kreisscheibe mit Radius ε um x 0. Definition 15 Zwei Metriken d und d auf einer Menge M heißen äquivalent, wenn für jede Folge {x n } in M gilt: {x n } konvergiert genau dann in M, d) gegen x M, wenn {x n } in M, d ) gegen x strebt. Satz 27 Zwei Metriken d und d sind auf einer Menge M äquivalent, wenn es positive reelle Zahlen α und β gibt, so daß für alle x, y M gilt: αdx, y) d x, y) βdx, y) Bemerkung: EUKLID sche Metrik, Taxi-Metrik und Maximumsmetrik sind auf lr n äquivalent Offene, abgeschlossene und kompakte Teilmengen metrischer Räume Definition 16 Sei X M. i) x X heißt innerer Punkt von X, wenn es eine Umgebung U ε x) gibt, so daß U ε x) X. X 0 Menge der inneren Punkte Kern der Menge) ii) X heißt offen, wenn alle Punke von X innere Punkte sind. Bemerkung: Eine Menge X ist offen X ist Umgebung jedes Punktes von X. Somit ist M offen. Definition 17 Die leere Menge ist offen. Satz 28 Jede ε-umgebung U ε x 0 ) ist eine offene Menge. Beweis: Für M = lr bzw. C trivial. Somit: Jeder Punkt x 1 U ε x 0 ) besitzt eine Umgebung in U ε x 0 ). Speziell M = lr : Jedes ) Intervall a, b) ist offen jetzt im topologischen bzw. metrischen Sinn), da a + b a, b) = U b a. 2 2 Weiters: a, ),, b),, ) sind offen, aber: [a, b), a, b], [a, b],, a], [a, ) sind nicht offen. Definition 18 Eine Menge X M heißt abgeschlossen, wenn das Komplement von X : C M X) offen ist. Bemerkung: M und sind offen = M und sind abgeschlossen, da C M M) = und C M ) = M Eine Teilmenge X lr bzw. C bzw. lr n nannten wir kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. In allgemeinen metrischen Räumen muß der Kompaktheitsbegriff allgemeiner definiert werden, damit er analoge Eigenschaften besitzt. 25

29 Definition 19 Es sei X M. Eine Familie F von offenen Mengen S M heißt offene Überdeckung von X, wenn gilt: X. S F Definition 20 Eine Menge X M heißt überdeckungskompakt, wenn jede offene Überdeckung F von X eine endliche Teilüberdeckung S 1, S 2,..., S n enthält mit X S i n. Definition 21 Eine Menge X M heißt folgenkompakt, wenn jede unendliche Folge aus X eine konvergente Teilfolge enthält, deren Grenzpunkt in X liegt. Bemerkung: Für kompakte Mengen gelten manche Aussagen, die für endliche Mengen gelten, für beliebige nichtendliche Mengen aber nicht. Größtes und kleinstes Element, Eigenschaften der Bildmenge unter einer Abbildung,... ) Satz 29 ohne Beweis) Sei M ein metrischer Raum und X M. X ist genau dann überdeckungskompakt, wenn X folgenkompakt ist. Bemerkungen: a) Da im metrischen Räumen die Begriffe überdeckungskompakt und folgenkompakt zusammenfallen, können wir im weiteren den Begriff kompakt verwenden. b) Eine Teilmenge X eines metrischen Raumes ist genau dann kompakt, wenn jede unendliche Folge aus X in X mindestens einen Verdichtungspunkt Grenzpunkt einer konvergenten Teilfolge) besitzt. Eine wichtige Eigenschaft kompakter Mengen liefert der folgende Satz 30 Jede kompakte Teilmenge X eines metrischen Raumes M ist abgeschlossen und beschränkt. Beweis: i) Beschränktheit: Sei x 0 M beliebig. Das Umgebungssystem {U n x 0 )} n ln mit U n x 0 ) = {x M dx, x 0 ) < n} ist eine offene Überdeckung von M und damit von X M. Da X kompakt ist, N N ln : X U n x 0 ) = U N x 0 ), d.h. aber, daß X beschränkt ist. n=1 ii) Abgeschlossenheit: Der Fall X = M ist trivial, da M abgeschlossen ist. Sei nun X M. Wir zeigen, daß C M X) offen ist. Sei x C M X) beliebig. Für jedes x X wählen wir eine Umgebung U 1 2 dx, x) x). Die Gesamtheit dieser Umgebungen bildet in trivialer Weise eine Überdeckung von X aus der wir wegen der vorausgesetzten Kompaktheit von X eine endliche Teilüberdeckung auswählen können: { } 1 U 1 2 dxi, x) x i ), i = 1, 2,..., n. Setze: ɛ = min,...,n 2 dx i, x). Dann ist U ɛ x) eine Umgebung ) von x für die gilt: U ɛ x) U 1 2 dxi, x) x i ) =. U ɛ x) liegt dann ganz in C M X). Da x C M X) beliebig war, ist C M X) offen und daher X abgeschlossen. Bemerkung: Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht allgemein in metrischen Räumen, wohl aber in lr, C und in lr n. Satz von HEINE-BOREL) 26