11 Stetige Funktionen

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1 $Id: stetig.tex,v /01/30 13:12:37 hk Exp $ 11 Stetige Funktionen 11.3 Stetige Funktionen Im letzten Abschitt hatten wir gesehen, dass bei einer Potenzreihe f über K = R oder K = C in jedem Punkt a im Konvergenzkreis von f die Gleichung lim x a f(x) = f(a) gilt. Man bezeichnet dies als die Stetigkeit der Funktion f an der Stelle a. Dies ist natürlich nur dann sinnvoll wenn wir überhaupt von einem Grenzwert der Funktion f in x = a sprechen können, wenn also a ein Häufungspunkt des Definitionsbereich der Funktion f ist. In allen anderen Punkten wollen wir die Funktion ebenfalls als stetig bezeichnen. Dies ist kein wesentlicher Punkt, es ist ein Randfall der normalerweise gar nicht auftritt, wir müssen ihn hier nur der Vollständigkeit halber mit erfassen. Definition 11.4 (Stetigkeit in einem Punkt) Seien K, L {R, C} und D K. Dann heißt eine Funktion f : D L stetig in einem Punkt a D, wenn entweder a / D kein Häufungspunkt von D ist oder a D und lim x a f(x) = f(a) gelten. Beachte das wir überhaupt nur in Punkten in denen die Funktion f definiert ist, von Stetigkeit sprechen, das weicht etwas von der in der Schule manchmal verwendeten Terminologie ab. Beispielsweise ist die Frage ob eine der Funktionen f : R\{0} R; x 1/x oder g : R\{0} R; x sin x/x in x = 0 stetig ist, völlig sinnlos. Was man fragen kann, ist ob der Grenzwert in x = 0 existiert, aber das ist eine andere Frage. Sind K {R, C} und f : K K ein Polynom, so haben wir bereits gesehen das für jeden Punkt a K stets lim x a f(x) = f(a) gilt, d.h. Polynome sind in jedem Punkt stetig. Entsprechendes gilt dann für rationale Funktionen außerhalb der Nullstellen ihres Nenners. Man kann die Stetigkeitsdefinition auf verschiedene Weisen umformulieren, und damit insbesondere die etwas störende Fallunterscheidung zum Verschwinden bringen. Lemma 11.9 (Charakterisierung der Stetigkeit in einem Punkt) Seien K, L {R, C}, D K, a D und f : D L eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Die Funktion f ist in a stetig. (b) Für jede Folge (x n ) n N in D mit (x n ) n N a gilt auch (f(x n )) n N f(a). (c) Für jedes ɛ R mit ɛ > 0 existiert ein δ R mit δ > 0 so, dass für jedes x D mit x a < δ stets f(x) f(a) < ɛ ist. 23-1

2 Beweis: (a)= (b). Sei (x n ) n N eine gegen a konvergente Folge in D. Wir betrachten dann die beiden Mengen I 1 := {n N x n a} und I 2 := {n N x n = a}, und unterscheiden drei verschiedene Fälle. Fall 1. Sei die Menge I 1 endlich, d.h. es gibt ein n 0 N mit x n = a für alle n n 0. Dann ist auch f(x n ) = f(a) für alle n n 0 und somit gilt (f(x n )) n N f(a). Fall 2. Sei die Menge I 2 endlich, d.h. es gibt ein n 0 N mit x n a für alle n n 0. Dann ist (x n ) n n0 eine gegen a konvergente Folge in D\{a} und insbesondere ist a D ein Häufungspunkt von D. Da die Funktion f in a stetig ist, folgt lim f(x n) = lim f(x) = f(a). n x a Fall 3. Seien I 1 und I 2 beide unendlich. Wir definieren die Teilfolgen (x (1) n ) k N und k ) k N von (x n ) n N durch I j = {n (j) k N} für j = 1, 2. Nach 4.Lemma 1.(a) gilt (x n (2) k auch (x n (j) k k ) k N a für j = 1, 2, und analog zu den beiden bereits behandelten Fällen haben wir auch (f(x n (j) k )) k N f(a) für j = 1, 2. Nach 4.Lemma 1.(d) ist damit auch (f(x n )) n N f(a). (b)= (a). Ist a kein Häufungspunkt von D, so ist die Aussage klar, wir können also a D annehmen. Für jede gegen a konvergente Folge (x n ) n N in D\{a} D ist dann nach unserer Annahme auch (f(x n )) n N f(a), d.h. wir haben lim x a f(x) = f(a), und somit ist f auch in diesem Fall stetig in a. (a)= (c). Ist a / D kein Häufungspunkt von D, so existiert ein δ > 0 mit {x D : x a < δ} = {a}, und dann ist für jedes x D mit x a < δ wegen x = a auch f(x) = f(a) und f(x) f(a) = 0. Wir können also annehmen das a D ist, und dann ist auch lim x a f(x) = f(a). Sei ɛ > 0. Nach Lemma 1.(f) existiert ein δ > 0 mit f(x) f(a) < ɛ für alle x D mit 0 < x a < δ. Ist also x D mit x a < δ, so ist im Fall x a sofort f(x) f(a) < ɛ und im Fall x = a haben wir trivialerweise ebenfalls f(x) f(a) = 0 < ɛ. (c)= (a). Ist a / D so sind wir bereits fertig. Nun sei a D. Dann gilt nach Lemma 1.(f) auch lim x a f(x) = f(a) und f ist auch in diesem Fall in a stetig. Die Bedingung in (c) kann man als (ɛ > 0) (δ > 0) (x D) : x a < δ = f(x) f(x) < ɛ schreiben, und bezeichnet dies als die ɛ δ Definition der Stetigkeit in a. Oftmals wird auch diese Bedingung als die Definition der Stetigkeit in a verwendet, wie bei den Funktionsgrenzwerten ist dies im wesentlichen eine Geschmacksfrage. Eine Interpretation der ɛ δ Bedingung ist es sich diese als eine Bedingung an Fehlerschranken zu denken. Geben wir uns eine Fehlerschranke ɛ für die Werte der Funktion vor, so finden 23-2

3 wir eine passende Fehlerschranke δ für die Argumente der Funktion so, dass wann immer x eine Näherung an a mit Fehler höchstens δ ist, also wenn x a < δ gilt, der Wert f(x) eine Näherung an f(a) mit dem Fehler höchstens ɛ ist, also f(x) f(a) < ɛ. Nachdem wir bisher nur die Stetigkeit in einem einzelnen Punkt des Definitionsbereichs betrachtet haben, kommen wir nun zur Stetigkeit der gesamten Funktion. Definition 11.5 (Stetige Funktionen) Seien K, L {R, C} und D K eine Teilmenge. Dann heißt eine Funktion f : D L stetig wenn sie in jedem Punkt a D stetig ist. Nach den Beispielen im ersten Abschnitt dieses Kapitels sind beispielsweise Polynome p : R R beziehungsweise p : C C stetige Funktionen und ebenso sind rationale Funktionen stetig. Jede der im vorigen Abschnitt hergeleiteten Eigenschaften von Funktionsgrenzwerten ergibt auch eine entsprechende Eigenschaft des Stetigkeitsbegriffs in einem Punkt. Das folgende Lemma fasst einen Großteil der sich so ergebenden Eigenschaften und ihre Implikationen für die Stetigkeit der gesamten Funktion zusammen. Lemma (Grundeigenschaften der Stetigkeit in einem Punkt) Seien K, L {R, C}, D K und f : D L eine Funktion. (a) Ist f stetig beziehungsweise in einem Punkt a D stetig, so ist auch die Funktion f stetig beziehungsweise in a stetig. (b) Ist L = C, so ist f genau dann stetig beziehungsweise in einem Punkt a D stetig, wenn die beiden Funktionen Re f und Im f stetig beziehungsweise in a stetig sind. (c) Ist M D eine Teilmenge und ist f stetig beziehungsweise in einem Punkt a M stetig, so ist auch f M stetig beziehungsweise in a stetig. (d) Seien a D, ɛ > 0 und setze D := {x D : x a < ɛ}. Dann ist f genau dann in a stetig wenn f D in a stetig ist. (e) Ist K = R und a D, so ist f genau dann in a stetig, wenn die folgenden beiden Aussagen gelten: 1. Entweder ist a kein rechtsseitiger Häufungspunkt von D oder a ist ein rechtsseitiger Häufungspunkt von D und es gilt lim x a f(x) = f(a). 2. Entweder ist a kein linksseitiger Häufungspunkt von D oder a ist ein linksseitiger Häufungspunkt von D und es gilt lim x a f(x) = f(a). Beweis: (a) Sei f stetig in einem Punkt a D. Ist a / D so ist f in a stetig und ist a D so gilt nach Lemma 1.(e) auch lim lim f(x) = f(x) = f(a), x a x a 23-3

4 d.h. f ist auch in diesem Fall in a stetig. Insbesondere impliziert die Stetigkeit von f auch die von f. (b) Sei a D gegeben und wir wollen die Aussage über Stetigkeit in a beweisen. Ist dabei a / D, so sind f, Re f und Im f alle stetig in a und die Behauptung ist klar, wir können also a D annehmen. Nach Lemma 1.(c) existiert der Funktionsgrenzwert von f in a genau dann wenn die beiden Funktionsgrenzwerte von Re f und Im f in a existieren und in diesem Fall ist lim f(x) = lim Re(f(x)) + i lim Im(f(x)), x a x a x a also ist weiter auch genau dann lim x a f(x) = f(a) wenn lim x a Re(f(x)) = Re(f(a)) und lim x a Im(f(x)) = Im(f(a)) gelten. Insgesamt ist f damit auch genau dann in a stetig wenn Re f und Im f dies sind. Dies beweist die Aussage über Stetigkeit in einem Punkt, und damit ist f auch genau dann stetig wenn Re f und Im f dies sind. (c) Nehme zunächst an das f in einem Punkt a M stetig ist. Ist a / M, so ist auch die Einschränkung f M in a stetig und ist a M so ist zunächst auch a D und Lemma 1.(g) ergibt die Existenz des Funktionsgrenzwerts lim(f M)(x) = lim f(x) = f(a) = (f M)(a), x a x a d.h. f M ist auch in diesem Fall in a stetig. Insbesondere impliziert die Stetigkeit von f auch die von f M. (d) = Dies ist klar nach (c). = Ist a / D so ist f in a stetig und ist a D so existiert nach Lemma 3 der Funktionsgrenzwert lim f(x) = lim (f D)(x) = (f D)(a) = f(a), x a x a d.h. f ist auch in diesem Fall in a stetig. (e) Ist a / D so ist a auch kein rechts- oder linksseitiger Häufungspunkt von D und dann ist f stetig in a und die beiden Aussagen (1), (2) gelten. Ist dagegen a D, so ist f genau dann in a stetig wenn lim x a f(x) = f(a) gilt und nach Lemma 4 ist dies genau dann der Fall wenn die beiden Aussagen (1) und (2) zutreffen. Wir wollen uns einige kleine Beispiele als Anwendungen dieses Lemmas anschauen. 1. Sei K {R, C}. Dann ist die identische Funktion id K : K K als Polynom stetig, und nach Teil (a) des Lemmas ist damit die Betragsfunktion stetig. : K R; x x 23-4

5 2. Starten wir erneut mit der stetigen Funktion id C : C C, so sind nach Teil (b) des Lemmas auch die beiden Funktionen stetig. Re : C R; z Re(z) und Im : C R; z Im(z) 3. Als ein letztes Beispiel zeigen wir das die Funktion f : R R definiert durch f(x) = xh(x) für jedes x R stetig ist. In einem früheren Beispiel hatten wir bereits eingesehen, dass zumindest lim f(x) = lim xh(x) = 0 = f(0) x 0 x 0 gilt, die Funktion f ist also im Nullpunkt stetig. Wir müssen somit nur noch die Stetigkeit in von Null verschiedenen Punkten nachweisen, sei also a R\{0} gegeben. Ist a < 0, so setzen wir ɛ := a > 0 und haben D := {x R : x a < ɛ} = (2a, 0) und für jedes x D gelten damit x < 0 und f(x) = 0, also ist die Einschränkung f D konstant gleich Null und damit in a stetig. Nach Teil (d) des Lemmas ist auch f in a stetig. Nun sei a > 0. Dann betrachten wir ɛ := a > 0 und haben D := {x R : x a < ɛ} = (0, 2a) und für jedes x D gelten x > 0 und f(x) = x, also ist die Einschränkung f D ein Polynom und somit in a stetig. Damit ist wieder nach Teil (d) des Lemmas auch die Funktion f in a stetig. Damit haben wir die Stetigkeit von f in jedem Punkt a R eingesehen und f ist eine stetige Funktion. Einige der bisher behandelten Aussagen über die Stetigkeit in einem Punkt lassen sich für stetige Funktionen noch etwas günstiger formulieren. Lemma (Charakterisierung der Stetigkeit) Seien K, L {R, C}, D K und f : D L eine Funktion. (a) Die Funktion f ist genau dann stetig wenn für jede konvergente Folge (x n ) n N in D mit lim n x n D auch die Folge (f(x n )) n N konvergent ist mit ( ) lim f(x n) = f lim x n. n n (b) Sind K = R und a R, so ist f genau dann stetig wenn die beiden Einschränkungen f D a und f D a stetig sind. Beweis: (a) Die Funktion f ist genau dann stetig wenn sie in jedem Punkt a D stetig ist, und nach Lemma 9 ist dies genau dann der Fall wenn für jedes a D und jede Folge (x n ) n N in D mit (x n ) n N a stets (f(x n )) n N f(a) gilt. Dies ist gerade die angegebene Bedingung. (b) = Klar nach Lemma 10.(c). 23-5

6 = Sei p D. Ist p > a, so setzen wir ɛ := p a > 0 und D := {x D : x p < ɛ} D a. Nach Lemma 10.(c) ist f D = (f D a ) D in p stetig und nach Lemma 10.(d) ist damit auch f in p stetig. Ist p < a so folgt die Stetigkeit von f in p analog. Wir müssen also nur noch im Fall a D die Stetigkeit von f in a zeigen, und diese ist klar nach Lemma 10.(e). Wir wollen uns auch zu diesem Lemma ein Beispiel anschauen und die Stetigkeit der unten gezeigten Funktion 0, x 2, 2 + x, 2 x 1, f : R R; x 1, 1 x 1, 2 x, 1 x 2, 0, x 2 beweisen. Zunächst sind die konstante Funktion f (, 2] und die Funktion f [ 2, 1] als Einschränkung eines Polynoms stetig, und damit ist nach Teil (b) des obigen Lemmas auch f (, 1] stetig. Weiter ist dann die konstante Funktion f [ 1, 1] stetig, und wieder nach Teil (b) des Lemmas ist f (, 1] stetig. Fahren wir noch zweimal f(x) so fort, so erhalten wir schließlich die Stetigkeit der Funktion f : R R. Diese Argumentation läßt sich auf alle ähnlichen Situationen übertragen so, dass man nur noch überprüfen muss das die einzelnen Stücke zusammenpassen. Die Aussage (a) des eben bewiesenen Lemmas besagt, dass die Stetigkeit einer Funktion f : D L gleichwertig zur Gültigkeit der Formel lim f(x n) = f n ( lim n x n ist, genauer das wann immer eine Folge (x n ) n N in D gegeben ist für die die rechte Seite sinnvoll ist, die also gegen einen Punkt aus dem Definitionsbereich D von f konvergiert, auch die linke Seite der Gleichung existiert und gleich der rechten Seite ist. Diese Bedingung können wir nun von Folgengrenzwerten zu Funktionsgrenzwerten übertragen. Lemma (Stetigkeit und Hintereinanderausführungen) Seien K, K, K {R, C}, D K, D K, g : D K eine in einem Punkt b D stetige Funktion und f : D D sei eine weitere Funktion. (a) Sei a K ein Häufungspunkt von D mit lim x a f(x) = b. Dann gilt auch ) lim g(f(x)) = g(b). x a 23-6 x

7 (b) Ist a D und ist f in a stetig mit f(a) = b, so ist auch g f : D K in a stetig. Beweis: (a) Sei (x n ) n N eine gegen a konvergente Folge in D\{a}. Dann ist auch (f(x n )) n N b und nach Lemma 9 ist damit (g(f(x n ))) n N g(b). Somit konvergiert die Funktion g f an der Stelle a gegen g(b). (b) Ist a / D so ist dies klar und ist a D, so gilt lim x a f(x) = f(a) = b und nach (a) ist auch lim x a g(f(x)) = g(b) = g(f(a)), d.h. g f ist auch in diesem Fall in a stetig. Zum Abschluß dieser allgemeinen Aussagen über stetige Funktionen wollen wir auch noch die arithmetischen Rechenregeln für diese Funktionen festhalten. Satz (Rechenregeln für die Stetigkeit) Seien K, L {R, C}, D K und f, g : D L zwei stetige beziehungsweise in einem Punkt a D stetige Funktionen. Dann gelten: (a) Die Funktion f + g : D L ist stetig beziehungsweise in a stetig. (b) Für jedes c L ist die Funktion cf : D L stetig beziehungsweise in a stetig. (c) Die Funktion f g : D L ist stetig beziehungsweise in a stetig. (d) Ist g(x) 0 für alle x D, so ist die Funktion f/g : D L stetig beziehungsweise in a stetig. (e) Sind auch K {R, C}, D K und h : D D stetig beziehungsweise in einem Punkt ã D mit h(ã) = a stetig, so ist auch die Hintereinanderausführung g h : D L stetig beziehungsweise in ã stetig. Beweis: (a,b,c,d) Die Aussagen über die Stetigkeit in einem Punkt a D sind im Fall a / D klar, und im Fall a D gelten sie nach den entsprechenden Aussagen in Satz 5. Hieraus folgen dann auch die Stetigkeitsaussagen auf ganz D. (e) Die Aussage über die Stetigkeit in einem Punkt gilt nach Lemma 12.(b) und hieraus folgt die Aussage über die Stetigkeit auf ganz D. Können wir also eine Funktion als eine Formel in schon als stetig bekannten Funktionen hinschreiben, so ist sie ebenfalls stetig. Beispielsweise ist damit die Funktion f : R R; x x3 7x x + x 1 + x 5 stetig, wie wir einmal im Detail vorführen wollen. Zunächst ist g 1 : R R; x x 3 7x + 1 als ein Polynom stetig und wir wissen auch das die Betragsfunktion g 2 = 23-7

8 : R R stetig ist. Damit ist auch die Hintereinanderausführung g 3 := g 2 g 1 stetig, und diese ist für jedes x R gegeben als g 3 (x) = g 2 (g 1 (x)) = x 3 7x + 1. Weiter ist dann auch der Zähler g 4 : R R; x x 3 7x x + x als Summe dreier stetiger Funktionen stetig. Analog folgt die Stetigkeit des Nenners g 5 : R R; x 1 + x 5 und wegen g 5 (x) 1 > 0 für jedes x R ist schließlich auch der Quotient f = g 4 /g 5 stetig. Als nächstes Beispiel betrachten wir die komplexe Konjugation : C C; z z. Die Stetigkeit von Real- und Imaginärteil hatten wir bereits in einem früheren Beispiel eingesehen. Damit ist die Funktion Re = Re stetig und die Funktion Im = Im ist als Vielfaches einer stetigen Funktion ebenfalls stetig. Nach Lemma 10.(b) ist damit auch die komplexe Konjugation stetig. Wir wollen uns auch noch ein weiteres Beispiel anschauen. Zunächst seien a, b R zwei reelle Zahlen und schreibe M := max{a, b} und m := min{a, b}. Dann gelten M + m = a + b und M m = a b, also ist min{a, b} = a + b a b 2 und max{a, b} = a + b + a b. 2 Nun seien K {R, C}, D K und f, g : D R zwei Funktionen. Dann definiere die Funktionen min(f, g) : D R; x min{f(x), g(x)}, max(f, g) : D R; x max{f(x), g(x)}. Die obige Formel besagt dann das min(f, g) und max(f, g) beide stetig sind wenn f und g stetig sind, und ebenso gilt dies für die Stetigkeit in einem Punkt. Dies gibt uns beispielsweise einen zweiten Beweis für die Stetigkeit der Funktion xh(x) = max{x, 0} Eigenschaften reeller stetiger Funktionen In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit auf R definierten, reellwertigen stetigen Funktionen. Für derartige Funktionen werden wir zwei grundlegende Sätze herleiten, zum einen den Satz über die Beschränktheit solcher Funktionen und zum anderen den sogenannten Zwischenwertsatz. Letzterer ist dabei nur eine etwas exaktere Version der anschaulichen Beobachtung das stetige Funktionen keine Sprünge haben. Bisher haben wir nur beschränkte Mengen und Folgen definiert, aber noch keine beschränkten Funktionen, was wir nun nachholen müssen. Definition 11.6 (Beschränkte Funktionen) Seien K {R, C} und D eine Menge. Eine Funktion f : D K heißt beschränkt wenn ihre Bildmenge f(d) = {f(x) x D} K beschränkt ist, wenn es also ein C 0 mit f(x) C für alle x D gibt. 23-8

9 Ist K = R, so nennen wir f entsprechend nach oben beschränkt wenn die Menge f(d) nach oben beschränkt ist und nach unten beschränkt wenn die Menge f(d) nach unten beschränkt ist. Eine reellwertige Funktion ist natürlich genau dann beschränkt wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist. Genau wie wir es für Mengen in 3.2 eingesehen haben, ist eine komplexwertige Funktion f : D C genau dann beschränkt wenn die beiden reellwertigen Funktionen Re f und Im f beide beschränkt sind. Wir kommen nun zum angekündigten Satz über die Beschränktheit stetiger Funktionen. Für die Gültigkeit dieses Satzes ist nicht nur die Stetigkeit der Funktion wichtig, sondern auch die Form des Definitionsbereichs der Funktion. Es gibt ja offenbar unbeschränkte stetige Funktionen wie etwa f(x) = x definiert auf ganz R. Satz (Existenz von Maximum und Minimum) Seien a, b R mit a b und sei f : [a, b] R eine stetige Funktion. Dann ist f beschränkt und nimmt ihr Supremum und Infimum an, d.h. es gibt x 1, x 2 [a, b] mit f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) für alle x [a, b]. Beweis: Setze s := sup f([a, b]) R {+ }. Weiter wähle eine gegen s konvergente Folge (s n ) n N in R mit s n < s für alle n N, also beispielsweise s n = s 1/(n + 1) für jedes n N im Fall s R und s n = n für jedes n N im Fall s =. Für jedes n N existiert dann wegen s n < s ein x n [a, b] mit f(x n ) > s n. Nach dem Satz von Heine-Borel 4.Satz 13 existiert eine konvergente Teilfolge (x nk ) k N von (x n ) n N. Wir setzen x := lim k x nk und wegen a x nk b für alle k N ist auch a x b, d.h. x [a, b]. Mit 4.Lemma 5.(a) folgt s = lim n s n = lim k s nk lim k f(x nk ) = f ( ) lim x n k k = f(x) s, d.h. es ist f(x) = s. Insbesondere ist s < +, d.h. die Funktion f ist nach oben beschränkt. Die Aussage über das Minimum folgt analog. Damit kommen wir zum Zwischenwertsatz. Das wesentliche Beweisprinzip haben wir schon einmal gesehen, nämlich beim Beweis der Existenz reeller Wurzeln in 1.Lemma 8. Die Details werden sich natürlich unterscheiden, bei der Behandlung der Wurzeln konnten wir spezifische Abschätzungen über Potenzen verwenden, bei einer allgemeinen stetigen Funktion muss man dagegen etwas abstrakter vorgehen. Tatsächlich liefert uns der Zwischenwertsatz auch einen zweiten Beweis der Existenz von Wurzeln. Satz (Zwischenwertsatz) Seien a, b R mit a b und sei f : [a, b] R eine stetige Funktion. Weiter sei y R zwischen f(a) und f(b), also f(a) y f(b) oder f(b) y f(a). Dann existiert ein x [a, b] mit f(x) = y. Beweis: Wir behandeln den Fall f(a) y f(b), der andere Fall ist dann analog. Ist y = f(a) oder y = f(b), so sind wir bereits fertig, d.h. wir können sogar f(a) < y < f(b) 23-9

10 annehmen. Wir betrachten die Menge M := {x [a, b] f(x) y} [a, b]. Wegen b M ist M nicht leer und durch a nach unten beschränkt, also existiert x := inf M und es ist a x b, d.h. x [a, b]. Für jedes n N mit n 1 ist x + 1/n > x = inf M, also existiert ein x n M [a, b] mit x x n < x + 1/n. Nach dem Einschnürungslemma für Folgen 4.Lemma 5.(b) ist damit lim n x n = x, und wegen f(x n ) y für alle n N ist auch ( ) f(x) = f lim x n n = lim n f(x n ) y. Wegen f(a) < y ist x > a. Insbesondere existiert ein n 0 N mit x 1/n 0 > a, und für jedes n n 0 haben wir damit auch a < x 1 n 0 x 1 n < x = inf M, also auch x 1/n / M aber x 1/n [a, b], also f(x 1/n) < y. Es folgt ( ( f(x) = f lim x 1 )) ( = lim f x 1 ) y. n n n n Insgesamt ist somit f(x) = y. Als ein Beispiel wollen wir einmal die Lösbarkeit von Gleichungen f(x) = y mit stetiger linker Seite herleiten. Gegeben sei eine stetige Funktion f : R R mit lim x f(x) = und lim x f(x) = + und wir wollen zeigen, dass f(x) = y immer lösbar ist, die Abbildung f also surjektiv ist. Sei nämlich ein y R gegeben. Wegen lim x f(x) = gibt es dann ein a R mit f(a) < y und wegen lim x f(x) = + gibt es weiter ein b R mit b > a und f(b) > y. Der Zwischenwertsatz liefert dann ein x [a, b] mit f(x) = y. Eine Verallgemeinerung dieses Arguments werden wir im folgenden Satz festhalten. Die Hauptaussage wird dabei sein, dass für auf Intervallen definierte stetige Funktionen die Begriffe injektiv und streng monoton äquivalent sind. Da wir bisher Monotonieeigenschaften nur bei Folgen definiert haben, müssen wir diese aber erst einmal auf reelle Funktionen übertragen. Definition 11.7: Seien I R ein Intervall und f : I R eine Funktion. Dann heißt f 1. monoton steigend wenn f(x) f(y) für alle x, y I mit x y gilt, 2. streng monoton steigend wenn f(x) < f(y) für alle x, y I mit x < y gilt, 3. monoton fallend wenn f(x) f(y) für alle x, y I mit x y gilt, 23-10

11 4. streng monoton fallend wenn f(x) > f(y) für alle x, y I mit x < y gilt, 5. monoton wenn f monoton steigend oder monoton fallend ist, 6. streng monoton wenn f streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Beachte das eine streng monotone Funktion f : I R immer injektiv ist, sind x, y im Definitionsbereich der Funktion mit x y, so können wir nach eventuellen Vertauschen von x und y auch x < y annehmen, und haben dann f(x) < f(y) oder f(y) < f(x), also auf jeden Fall f(x) f(y). Weiter ist die Umkehrfunktion f 1 : f(i) I wieder streng monoton von derselben Sorte wie f. Sei f streng monoton steigend. Sind dann x, y f(i) mit x < y, so folgte aus f 1 (y) f 1 (x) auch der Widerspruch y = f(f 1 (y)) f(f 1 (x)) = x, es muss also f 1 (x) < f 1 (y) sein und f 1 ist wieder streng monoton steigend. Analog folgt das f 1 streng monoton fallend ist wenn f streng monoton fallend ist. Wie schon bemerkt wollen wir einsehen, dass eine injektive stetige Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Der Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt, man kann sich aber schnell an einem Bild klarmachen warum die Funktion monoton sein muss. Wenn f irgendwann seine Richtung ändert, also etwa zunächst steigt und dann wieder fällt, so haben wir die nebenstehend abgebildete Situation. Wenden wir dann den Zwischenwertsatz in den links und rechts vom Umkehrpunkt liegenden Intervallen an, so erhalten wir das ein geeignetes y R links und rechts von a von der Funktion als Wert angenommen wird. Dies wiederspricht dann der Injektivität der Funktion f, da eine injektive Funktion jeden Wert an höchstens einer Stelle annimmt. Dies ersetzt natürlich keinen exakten Beweis, der Vollständigkeit halber werden wir auch einen solchen angeben. Satz (Monotonie stetiger Funktionen) Seien I R ein Intervall und f : I R eine stetige Funktion. (a) Das Bild J := f(i) R ist wieder ein Intervall. (b) Genau dann ist f injektiv wenn f streng monoton ist. (c) Ist f streng monoton, so ist auch die Umkehrfunktion f 1 : J I stetig. a y Beweis: (a) Setze a := inf J R { } und b := sup J R {+ }. Dann ist a b. Ist sogar a = b, so haben wir J = {a} und sind bereits fertig, wir können also a < b annehmen. Sei y R mit inf J = a < x < b = sup J. Dann existieren u, v I mit f(u) < x < f(v), und nach dem Zwischenwertsatz Satz 15 existiert ein x zwischen u und v, also auch x I, mit y = f(x) J. Dies zeigt (a, b) J, und damit ist J eines der höchstens vier möglichen Intervalle mit Grenzen a und b

12 (b) Es ist nur die Implikation von links nach rechts zu zeigen, wir nehmen also an, dass die Funktion f injektiv ist. Wir teilen den Beweis in drei Schritte auf. (1) Seien a, b I mit a < b und f(a) < f(b). Dann ist für alle x (a, b) auch f(x) (f(a), f(b)). Andernfalls wäre nämlich f(x) f(a) oder f(x) f(b). Ist f(x) f(a), so hätten wir f(x) f(a) < f(b) also liegt f(a) zwischen f(x) und f(b), d.h. nach Satz 15 existiert ein x [x, b] mit f(x ) = f(a). Wegen a < x x ist x a, im Widerspruch zur Injektivität von f. Der zweite Fall f(x) f(b) führt analog zu einem Widerspruch. Damit ist Schritt (1) eingesehen. Analog ergibt sich das für a, b I mit a < b und f(a) > f(b) auch f(x) (f(b), f(a)) für alle x (a, b) ist. (2) Sind a, b I mit a < b und f(a) < f(b), so ist f [a, b] streng monoton steigend. Seien nämlich x, y [a, b] mit x < y gegeben. Nach Schritt (1) ist dann f(x) < f(b) und wegen y (x, b) ergibt eine weitere Anwendung von Schritt (1) auch f(x) < f(y). Damit ist auch Schritt (2) eingesehen. Analog folgt das für a, b I mit a < b und f(a) > f(b) die Funktion f [a, b] streng monoton fallend ist. (3) Jetzt zeigen wir, dass f streng monoton ist. Gilt für alle x, y I mit x < y stets f(y) f(x), so ist sogar f(y) < f(x) für alle x, y I mit x < y da f injektiv ist, d.h. die Funktion f ist streng monoton fallend. Andernfalls existieren a, b I mit a < b und f(a) < f(b). Seien x, y I mit x < y. Setze u := min{a, x} I und v := max{y, b} I. Dann ist u a < b v und u x < y v, also u < v und a, b, x, y [u, v]. Wäre f(v) < f(u), so wäre f [a, b] nach Schritt (2) streng monoton fallend, im Widerspruch zu f(a) < f(b). Da f injektiv ist, kann auch nicht f(u) = f(v) sein, d.h. es ist f(u) < f(v). Erneut nach Schritt (2) ist f [u, v] streng monoton steigend, und damit haben wir f(x) < f(y). Dies zeigt, das f streng monoton steigend ist. (c) Angenommen die Umkehrabbildung f 1 : J R wäre nicht stetig. Dann existiert ein Punkt y J in dem f 1 nicht stetig ist, und dies bedeutet das f 1 (y) nicht der Grenzwert von f 1 an der Stelle y ist. Nach Lemma 1.(b) existieren ein ɛ > 0 und eine gegen y konvergente Folge (y n ) n N in J mit f 1 (y n ) f 1 (y) ɛ für alle n N. Da J ein Intervall ist, existieren u, v J mit u v und ein δ > 0 mit J (y δ, y + δ) [u, v]. Wegen u, v J = f(i) können wir {u, v} = {f(a), f(b)} mit a, b I, a b schreiben. Wegen (y n ) n N y existiert ein n 0 N mit y n y < δ für alle n N mit n n 0, und für diese n ist damit auch y n J (y δ, y + δ) [u, v], d.h. u y n v. Da auch f 1 wieder monoton ist, gilt damit auch a f 1 (y n ) b für alle n n 0, und insbesondere ist die Folge (f 1 (y n )) n N beschränkt. Nach dem Satz von Heine Borel 4.Satz 13 existiert eine konvergente Teilfolge (f 1 (y nk )) k N von (f 1 (y n )) n N, und es bezeichne x R ihren Grenzwert. Wegen a f 1 (y nk ) b für alle k N ist auch a x b, also x [a, b] I. Die Stetigkeit von f impliziert nun f(x) = lim k f(f 1 (y nk )) = lim k y nk = y, 23-12

13 d.h. es ist x = f 1 (y), und somit haben wir f 1 (y nk ) x = f 1 (y nk ) f 1 (y) ɛ für alle k N, im Widerspruch zu (f 1 (y nk )) k N x. Dieser Widerspruch beweist die Stetigkeit von f 1. Als eine erste Anwendung können wir die Stetigkeit der Wurzelfunktionen nachweisen. Sei n N mit n 1. Dann ist die Funktion f : R 0 R 0 ; x x n stetig, streng monoton steigend und nach 1.Lemma 8 auch surjektiv, und ihre Umkehrfunktion ist die Wurzelfunktion n : R 0 R 0. Der eben bewiesene Satz sagt dann, dass auch diese Wurzelfunktion stetig ist. Damit wissen wir dann zum Beispiel, das für eine konvergente Folge (x k ) k N a in R 0 auch ( n x k ) k N n a ist, für konvergente Folgen (x k ) k N in R 0 gilt also lim k n xk = n lim x k. k 11.5 Einführung der Grundfunktionen In diesem Abschnitt wollen wir exakte Begründungen der meisten der sogenannten Grundfunktionen behandeln. Als Grundfunktionen bezeichnet man dabei die folgenden Funktionen: 1. Polynome und rationale Funktionen. 2. Die Potenzfunktionen, insbesondere die Exponentialfunktion und die Wurzelfunktionen. 3. Der Logarithmus. 4. Die trigonometrischen Funktionen, also Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens. 5. Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen, die sogenannten Arcusfunktionen. 6. Die Hyperbelfunktionen. 7. Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen, die sogenannten Areafunktionen. Die direkt, also nicht als Umkehrfunktionen, definierten Grundfunktionen lassen sich alle mittels geeigneter Potenzreihen einführen und daher halten wir erst einmal die Stetigkeit von Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzkreises fest. Satz (Stetigkeit von Potenzreihen) Sei K {R, C} und sei f(z) = a n(z z 0 ) n eine Potenzreihe über K mit Entwicklungspunkt z 0 und Konvergenzradius r > 0. Dann ist die Funktion f : B r (z 0 ) K stetig

14 Beweis: Bereits in der letzten Sitzung hatten wir lim z a f(z) = f(a) für jedes a B r (z 0 ) bewiesen, d.h. f : B r (z 0 ) K ist stetig. Die direkt definierten Grundfunktionen ergeben sich alle aus der komplexen Exponentialfunktion, und daher wollen wir mit dieser beginnen. Wir betrachten die Potenzreihe mit den Koeffizienten a n = 1/n!. Zur Berechnung des Konvergenzradius wollen wir über Satz 7 vorgehen und haben lim n d.h. die komplexe Potenzreihe 1/n! 1/(n + 1)! = lim (n + 1)! n n! exp(z) := = lim n (n + 1) = +, hat den Konvergenzradius r = +. Das folgende Lemma stellt einige Eigenschaften der hierdurch definierten Funktion exp : C C zusammen. Satz (Grundeigenschaften der Exponentialfunktion) Die Exponentialfunktion exp : C C hat die folgenden Eigenschaften: (a) Die Funktion exp : C C ist stetig. (b) Es sind exp(0) = 1 und exp(1) = e. (c) Für alle z, w C gilt die Funktionalgleichung exp(z + w) = exp(z) exp(w). (d) Für jedes z C ist exp(z) 0 und 1/ exp(z) = exp( z). (e) Für jedes z C ist exp(z) = exp(z). z n n! (f) Für jedes x R ist exp(x) R mit exp(x) > 0. (g) Für jedes z C gilt exp(z) = exp(re(z)). Beweis: (a) Klar nach Satz 17. (b) Die Aussage exp(0) = 1 ist klar und nach einem Beispiel in 5.1 ist auch 1 exp(1) = n! = e. (c) Seien z, w C. Nach Lemma 6.(b) sind die Reihen für exp(z) und exp(w) absolut konvergent, also ist nach 5.Satz 19 und der binomischen Formel 1.Satz 7 ( ) ( z n ) ( w n n ) z k w n k exp(z) exp(w) = = n! n! k!(n k)! k=0 ( n ( ) 1 n = )z k w n k (z + w) n = = exp(z + w). n! k n! k=

15 (d) Nach (c) und (d) gilt für z C exp(z) exp( z) = exp(z z) = exp(0) = 1, also exp(z) 0 und 1/ exp(z) = exp( z). (e) Da wir bereits wissen das die komplexe Konjugation stetig ist folgt für jedes z C exp(z) = z n n! = z n n! = exp(z). (f) Sei x R. Da die Reihe exp(x) = xn /n! reell ist, ist zumindest exp(x) R und nach (d) ist auch exp(x) 0. Ebenso ist exp(x/2) R und mit (c) folgt exp(x) = exp(x/2) 2 0, d.h. es ist exp(x) > 0. (g) Sei z C. Nach (e) und (c) ist exp(z) 2 = exp(z) exp(z) = exp(z) exp(z) = exp(z+z) = exp(2 Re(z)) = exp(re(z)) 2, und mit (f) ergibt sich schließlich exp(z) = exp(re(z))