$Id: folgen.tex,v /06/07 13:16:35 hk Exp $ n qn = 0.

Transkript

1 $Id: folgen.tex,v /06/07 13:16:35 hk Exp $ 6 Folgen 6.4 Folgen reeller Zahlen Wir waren gerade mit der Besprechung diverser Beispiele zur Folgenkonvergenz beschäftigt, und wollen jetzt noch zwei weitere Beispiele behandeln, in denen jeweils ein Potenzterm qn vorkommt. Sei q R eine reelle Zahl. Wir wollen wissen, wann die Folge (q n ) n N der Potenzen von q konvergiert. Die Antwort wird von der Zahl q abhängen, und man muss einige Fälle unterscheiden. Der Hauptfall ist q < 1, also 1 < q < 1, und dann ergibt sich qn = 0. Für q = 1 konvergiert die Folge ebenfalls, und zwar gegen 1. Für alle anderen Werte von q ist (q n ) n N dagegen divergent, wobei im Fall q > 1 immerhin noch bestimmte Divergenz gegen + vorliegt. Der Beweis all dieser Behauptungen ist Aufgabe (45). Als ein letztes Beispiel wollen wir die Folge (q n /n!) n N behandeln. Diese Folge ist immer konvergent, unabhängig vom Wert von q, und der Grenzwert ist 0. Beachte das die Grenzwertsätze hier wieder nicht anwendbar sind, da die Folge der Nenner ja divergiert. Es ist auch nicht sofort klar ob die Folge beispielsweise für q > 1 konvergiert, denn dann divergieren Zähler und Nenner beide bestimmt gegen +, und man muss sich überlegen welcher der beiden gewinnt. Es wird aber alles klar, wenn wir uns Zähler und Nenner einmal ausgeschrieben denken q n n! = n mal {}}{ q... q 1... n = q 1 q... q n. Sobald der Index k im Quotienten q/k größer als q wird, kommen nur noch Faktoren kleiner als Eins hinzu, im wesentlichen haben wir also eine Folge von Potenzen. Um ein formales Argument zu geben, wählen wir ein n 0 N mit n 0 q. Für jedes n N mit n n 0 gilt dann q n n! = Wir wissen bereits q n 0 1 (n 0 1)! q... q n 0 n ( q ) n 0 1 (n 0 1)! q n0 1 (n 0 1)! ( q n 0 ( ) n 1 = ( q )n 0 1 (n 0 1)! 15-1 ) n n0 +1 q n 0 1 (n 0 1)! = ( q )n 0 1 (n 0 1)! ( ) n 1 = 0, ( ) n n ( ) n 1.

2 und mit dem Einschnürungslemma folgt auch q n n! = 0. Nachdem wir jetzt einige Beispiele behandelt haben, wollen wir nun ein eher theoretisches Thema angehen. In einem allgemeinen metrischen Raum hatten wir Cauchyfolgen als Folgen definiert, deren Glieder sich für ausreichend große Indizes so nahe kommen wie wir es wollen. In Satz 8 hatten wir gezeigt das jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist. Die Umkehrung dieser Aussage ist für allgemeine metrische Räume falsch, man kann Cauchyfolgen konstruieren die nicht konvergent sind. Es gibt allerdings auch gute metrische Räume in denen tatsächlich jede Cauchyfolge konvergiert, und ein solcher Raum sind die reellen Zahlen X = R bezüglich der euklidischen Metrik. Wir beginnen mit einem Spezialfall, nämlich den monotonen Folgen. Lemma 6.16 (Konvergenz monotoner Folgen) Sei (a n ) n N eine reelle Folge. Dann gelten: (a) Ist die Folge (a n ) n N monoton steigend und nach oben beschränkt, so ist sie auch konvergent und es gilt a n = sup{a n n N}. (b) Ist die Folge (a n ) n N monoton fallend und nach unten beschränkt, so ist sie auch konvergent und es gilt a n = inf{a n n N}. Beweis: Zunächst sollten wir uns daran erinnern, dass wir die reellen Zahlen in 4.Satz 15 als den, bis auf Isomorphie eindeutigen, vollständig angeordneten Körper definiert hatten, d.h. nach oben beziehungsweise unten beschränkte, nicht leere Teilmengen von R haben stets ein Supremum beziehungsweise Infimum. (a) Die Menge {a n n N} ist nicht leer und nach oben beschränkt, also existiert s := sup{a n n N}. Wir müssen zeigen, dass (a n ) n N gegen s konvergiert. Sei also ɛ > 0 gegeben. Dann ist s ɛ < s, und da s nach Definition die kleinste obere Schranke der Menge {a n n N} ist, ist s ɛ keine obere Schranke dieser Menge. Damit existiert ein Index n 0 N mit a n0 > s ɛ. Sei jetzt n N mit n n 0. Da die Folge (a k ) k N monoton steigend ist, folgt s ɛ < a n0 a n s, also auch a n s = s a n < s (s ɛ) = ɛ. Damit konvergiert die Folge (a n ) n N gegen s. (b) Dies ist analog zu (a), und soll hier nicht vorgeführt werden. Monotone Folgen sind zwar zum einen recht speziell zum anderen kommen sie aber doch in jeder beliebigen Folge als Teilfolgen vor. Wir behaupten das jede beliebige 15-

3 reelle Zahlenfolge (a n ) n N immer eine monoton steigenden Teilfolge (a nk ) k N oder eine monoton fallende Teilfolge (a nk ) k N enthält. Dies läßt sich am besten durch eine Fallunterscheidung zeigen. Fall 1. Zunächst nehmen wir an, dass die Aussage (n N) (m n) (k > m) : a k a m gilt. Dann wählen wir ein n 0 N so, dass es für jedes n N mit n n 0 stets ein m N mit m > n und a m a n gibt. Die Indexfolge (n k ) k N wird jetzt rekursiv konstruiert. Ist k N und haben wir n k N mit n k n 0 schon gewählt, so gibt es nach Wahl von n 0 auch ein n k+1 N mit n k+1 > n k n 0 und a nk+1 a nk. Damit wird dann rekursiv eine monoton steigende Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N definiert. Fall. Im zweiten Fall soll die obige Aussage nicht gelten, d.h. wir haben (n N) (m n) (k > m) : a k < a m. Auch hier führen wir wieder eine rekursive Konstruktion durch, und beginnen mit n 0 := 0. Ist nun k N und haben wir n k N schon gewählt, so gibt es nach unserer Annahme in diesem Fall ein n k+1 N mit n k+1 n k + 1 > n k so, dass für jedes k N mit k > n k+1 stets a k < a nk+1 gilt. Damit ist (a nk ) k 1 eine Teilfolge von (a n ) n N und wir behaupten das diese Folge monoton fallend ist. Sei nämlich k 1 gegeben. Wegen n k+1 > n k ist dann nach unserer Konstruktion auch a nk+1 < a nk, die Folge (a nk ) k 1 ist also sogar streng monoton fallend. Damit ist diese Behauptung bewiesen. Als nächsten Schritt können wir jetzt den Satz von Bolzano-Weierstraß beweisen und zeigen das jede beschränkte Folge einen Häufungspunkt besitzt. Da ein Häufungspunkt einer Folge nach Definition der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge ist, kann man gleichwertig auch sagen, dass jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Satz 6.17 (Der Satz von Bolzano und Weierstraß) Jede beschränkte, reelle Folge hat einen Häufungspunkt. Beweis: Sei also (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Nach Aufgabe (46) besitzt (a n ) n N eine monoton steigende oder monoton fallende Teilfolge (a nk ) k N. Da (a n ) n N beschränkt ist, ist auch die Teilfolge (a nk ) k N beschränkt, und nach dem eben bewiesenen Lemma 16 ist (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge von (a n ) n N. Der Grenzwert dieser Teilfolge ist damit ein Häufungspunkt von (a n ) n N. Damit sind wir jetzt in der Lage die Konvergenz reeller Cauchyfolgen zu beweisen. Satz 6.18 (Metrische Vollständigkeit der reellen Zahlen) Jede reelle Cauchyfolge ist auch konvergent. Beweis: Sei (a n ) n N eine Cauchyfolge in R. Wir zeigen zunächst, dass die Folge (a n ) n N beschränkt ist. Es gibt einen Index n 0 N mit a n a m < 1 für alle n, m N mit 15-3

4 n, m n 0. Insbesondere folgt damit für jedes n N mit n n 0 auch Setzen wir also a n = a n a n0 + a n0 a n0 a n + a n0 < 1 + a n0. M := max{ a n0 + 1, a 0,..., a n0 1 }, so ist a n M für überhaupt alle n N. Damit ist die Folge (a n ) n N beschränkt. Nach Satz 17 gibt es eine konvergente Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N, und wir schreiben a := k a nk. Wir wollen beweisen, dass auch die gesamte Folge (a n ) n N gegen a konvergiert. Sei also wieder einmal ein ɛ > 0 gegeben. Da die Folge (a nk ) k N gegen a konvergiert, existiert ein k 0 N mit a nk a < ɛ/ für alle k N mit k k 0. Da (a n ) n N eine Cauchyfolge ist, gibt es weiter ein n 0 N mit a n a m < ɛ/ für alle n, m N mit n, m n 0. Da die Indizes n 1 < n < n 3 <... der Teilfolge streng monoton steigend sind, gibt es auch k N mit k k 0 und n k n 0. Sei n N mit n n 0 gegeben. Da auch n k n 0 ist, haben wir dann a n a = a n a nk + a nk a a n a nk + a nk a < ɛ + ɛ = ɛ. Damit konvergiert (a n ) n N gegen a. 6.5 Folgen mit rationalen Elementen Wir behandeln im Folgenden einige weitere Beispielklassen. Wir beginnen dabei mit Folgen deren n-tes Glied eine rationale Funktion in n ist. Dies verallgemeinert einige unserer früheren Beispiele. Gegeben seien zwei Polynome p(x) = r a k x k und q(x) = k=0 s b k x k k=0 in R[x] von Grad r beziehungsweise s, also a r 0 und b s 0. Wir betrachten den Grenzwert q(n). Wie wir schon an unseren Beispielen gesehen haben, hängt dieser vom Grad der beiden Polynome p und q ab. Wir wollen die folgenden Aussagen beweisen. 1. Ist r = s, so ist q(n) = a r. b r 15-4

5 . Ist s > r, so ist q(n) = Ist r > s, so ist die Folge (/q(n)) n N bestimmt divergent, und zwar { q(n) = +, a r und b s haben dasselbe Vorzeichen,, a r und b s haben verschiedene Vorzeichen. Wir gehen die drei Fälle der Reihe nach durch. Fall 1. Sei also r = s, d.h. Zähler- und Nennergrad stimmen überein. Dann können wir genau wie in den schon behandelten konkreten Beispielen mit 1/n r erweitern und Lemma 14 ergibt q(n) = a r + a r a 0 n n r b r + b r b 0 n n r = a r b r. Damit ist dieser Fall bereits fertig. Fall. Nun sei s > r, der Nennergrad ist also größer als der Zählergrad. Auch hierfür haben wir bereits ein konkretes Beispiel gerechnet, und genau wie in diesem Beispiel erweitern wir wieder mit 1/n s und wenden erneut Lemma 14 an q(n) = a r n s r + a r 1 n s r a 0 n s b s + b s 1 n + + b 0 n s = 0. Fall 3. Schließlich sei r > s, also größerer Zähler- als Nennergrad. Hierfür haben wir noch kein Beispiel gesehen. Zunächst nehmen wir a r, b s > 0 an. Wenden wir den bereits bewiesenen Fall 1 an, so ergibt sich also existiert ein n 1 N mit für alle n n 1, und dies bedeutet 1 a r < n r = a n r r, n r a r < a r < 3 a r, also auch 1 a rn r < < 3 a rn r für alle n n 1. Ebenso existiert ein n N mit (1/)b s n s < q(n) < (3/)b s n s für n n. Für n max{n 1, n } ist somit 1 q(n) > a rn r 3 b sn = a r n r s a r n, s 3b s 3b s und hieraus folgt die bestimmte Divergenz von (/q(n)) n N gegen

6 Die beiden anderen Vorzeichenfälle lassen sich auf den schon behandelten Fall zurückführen. Ist a r < 0 und b s < 0, so erweitern wir mit 1 und erhalten wieder bestimmte Divergenz gegen +. Haben a r und b s schließlich verschiedene Vorzeichen, so ergeben die schon behandelten beiden Fälle q(n) = +, und dies impliziert offenbar die bestimmte Divergenz ( q(n) = ) =. q(n) Wir haben jetzt das Konvergenzverhalten von Folgen der Form a m = /q(n) mit reellen Polynomen p, q R[x] vollständig behandelt. Eine kleine Folgerung aus diesen Überlegungen wollen wir noch erwähnen. Angenommen wir haben zwei ganzzahlige Polynome p, q Z[x] mit p, q 0 für die (/q(n)) n N konvergiert. Dann ist der Grenzwert dieser Folge entweder Null oder der Quotient der höchsten Koeffizienten von p und q, also ist auf jeden Fall eine rationale Zahl q(n) Q. Es gibt aber natürlich auch rationale Folgen, die zwar in R konvergieren, deren Grenzwert aber nicht mehr rational ist. Wir können beispielsweise irgendeine irrationale Zahl α nehmen, und als n-tes Folgenglied die nach den ersten n Nachkommastellen abgebrochene Dezimalentwicklung von α verwenden. Dies liefert eine gegen die irrationale Zahl α konvergierende Folge rationaler Zahlen. 6.6 Folgen in C Für komplexe Folgen treten keine neuen Effekte auf, hier läßt sich durch Betrachtung von Real- und Imaginärteil alles auf den reellen Fall zurückführen. Hierzu erinnern wir uns an Aufgabe (37), dort wurde unter anderem gezeigt das für alle z, w C die Ungleichungen max{ Re(z) Re(w), Im(z) Im(z) } z w max{ Re(z) Re(w), Im(z) Im(z) } gelten. Ist damit (z n ) n N eine Folge in C und z C, so haben wir die Äquivalenz z n = z Re(z n ) = Re(z) Im(z n ) = Im(z). Dies wollen wir kurz einmal näher begründen. Konvergiere zunächst (z n ) n N gegen z. Ist dann ɛ > 0, so gibt es n 0 N mit z n z < ɛ für n n 0. Für jedes n N mit n n 0 sind dann aber auch Re(z n ) Re(z) z n z < ɛ und Im(z n ) Im(z) z n z < ɛ, 15-6

7 also konvergieren (Re(z n )) n N gegen Re(z) und (Im(z n )) n N gegen Im(z). Dies beweist die Implikation von links nach rechts. Wir kommen nun zur anderen Implikation, seien also Re(z n ) = Re(z) und Im(z n ) = Im(z) vorausgesetzt. Sei ɛ > 0. Dann existieren Indizes n 1, n N mit Re(z n ) Re(z) < ɛ für n n 1 und Im(z n ) Im(z) < Ist dann n 0 := max{n 1, n }, so gilt für jedes n N mit n n 0 auch z n z max{ Re(z n ) Re(z), Im(z n ) Im(z) } < ɛ für n n. ɛ = ɛ. Also konvergiert auch die komplexe Folge (z n ) n N gegen z. Durch Zerlegung in Real- und Imaginärteil lassen sich jetzt auch die Grenzwertsätze Lemma 14 leicht auf den Fall komplexer Folgen übertragen. Dies wollen wir an dieser Stelle nicht explizit vorführen, werden es aber gelegentlich verwenden. Ebenfalls überträgt sich Lemma 15 man kann den Beweis wörtlich übertragen. z n = z = z n = z, 6.7 Rekursiv definierte Folgen Wir wollen jetzt auch noch an einem Beispiel die Berechnung von Grenzwerten bei rekursiv definierten Folgen behandeln. Wir gegen uns eine reelle Zahl c > 0 vor und wählen irgendeinen Startwert a 0 R mit a 0 > 0. Mit diesem Startwert wird jetzt durch die Formel a n+1 = 1 ( a n + c ) a n rekursiv eine Folge (a n ) n N definiert. Wegen a 0 > 0 ergibt die Rekursionsformel auch a n > 0 für alle n N. Für jedes n N rechnen wir a n+1 c = 1 4 ( ) a n + c c = a4 n + ca n + c a n 4a n c = a4 n ca n + c 4a n = (a n c) 4a n 0, d.h. für jedes n N mit n 1 gilt a n c. Weiter ist die Folge (a n ) n 1 monoton fallend. Für n 1 haben wir nämlich a n a n+1 = a n a n + c a n = a n a n c a n 15-7 = a n c a n 0

8 da wir schon a n c wissen, also ist auch a n a n+1. Damit ist (a n ) n N eine durch 0 nach unten beschränkte, monoton fallende Folge, also nach Lemma 16 auch konvergent. Bezeichne a den Grenzwert dieser Folge. Um a auszurechnen, wollen wir in der Rekursionsgleichung den Grenzübergang für n gegen ausführen. Um a = 0 nicht als Sonderfall behandeln zu müssen, multiplizieren wir die Rekursionsgleichung erst einmal mit a n, und erhalten a n a n+1 = a n + c. Mit Lemma 14 ergibt sich a = ( a n ) ( a n+1 ) = a n + c also a = c. Wegen a n > 0 für alle n 1 ergibt Lemma 11 auch a = a n 0, und insgesamt haben wir damit a = c. Damit haben wir a n = c = a + c, bewiesen. Wenn wir diese Folge ähnlich zu Aufgabe (46) zur numerischen Berechnung von Wurzeln verwenden wollen, so brauchen wir als Abbruchkriterium noch eine Abschätzung des Fehlers nach n Iterationsschritten. Hierzu rechnen wir für n 1 also a n a n c = a n (a n c) < (a n + c) (a n c) = a n c, a n c < a n c a n. Als ein konkretes Beispiel nehmen wir einmal c = und a 1 = 3/ = 1.5. Dann sind a 1 < c und a 1 = 9/4 > c, also sind alle unsere Annahmen erfüllt. Die ersten Folgenglieder sind a 1 = 1.5, a = , a 3 = , a 4 = , wobei die korrekten Ziffern jeweils unterstrichen sind. Grob gesprochen verdoppelt sich die Anzahl der gültigen in jeder Iteration, dieses Verhalten nennt man auch quadratische Konvergenz. Die Berechnung der Grenzwerte rekursiv definierter Folgen läuft meistens wie in diesem Beispiel in zwei Schritten ab: 15-8

9 1. Weise nach das die Folge überhaupt konvergiert. Oftmals wird dies wie im Beispiel durch Monotonieüberlegungen bewiesen, d.h. man versucht zu zeigen das die Folge monoton steigend oder monoton fallend ist. Ist dies der Fall und kann man zusätzlich Beschränktheit nachweisen, so ergibt sich die Konvergenz mit Lemma 16. Funktioniert dieser Ansatz nicht, so kann man versuchen zu zeigen, dass es sich um eine Cauchyfolge handelt um Satz 18 anzuwenden. Typischerweise berechnet man hierzu die Differenzen a n+1 a n und versucht einzusehen das diese ausreichend schnell gegen Null konvergieren. Dass (a n+1 a n ) n N eine Nullfolge ist, impliziert leider nicht das (a n ) n N eine Cauchyfolge ist, ist die Konvergenz aber schnell genug so kann mas es oftmals doch zeigen.. Weiss man das ein Grenzwert existiert, so kann man in der Rekursionsgleichung mit Hilfe der Grenzwertsätze den Grenzübergang für n gegen durchführen, und erhält eine Gleichung für den Grenzwert. Gelegentlich ist es dabei wie im Beispiel sinnvoll, die Gleichung vorher etwas umzustellen, um keine Sonderfälle wie Nullen im Nenner behandeln zu müssen. Durch Lösen der Gleichung erhält man dann die möglichen Grenzwerte. Gibt es nur eine Lösung so ist man gleich fertig, andernfalls muss man noch durch geeignete Abschätzungen überlegen welche der Lösungen der Grenzwert ist. Der erste Schritt muss dabei wirklich durchgeführt werden, obwohl er zur eigentlichen Rechnung nichts beizutragen scheint. Der zweite Schritt, also die eigentliche Berechnung des Grenzwerts, kann nämlich auch funktionieren wenn die Folge divergiert, wenn es also überhaupt keinen Grenzwert gibt. Als ein Beispiel für dieses Phänomen, betrachten wir einmal die durch b 0 := 0 und b n+1 := b n (1 + b n ) 3 für n N definierte Folge (b n ) n N. Führen wir in der Rekursionsgleichung den Grenzübergang für einen hypothetischen Grenzwert b durch, so ergibt sich b = b(1 + b) 3 = b = 3. Für x ist x(1 + x) 3 3, erreicht die Folge also einen Wert b n, so ist auch b k für alle k n. Nun sind b 1 = 3 und b = 3, also gilt b n für alle n. Insbesondere müsste der Grenzwert b 0 sein, also b = 3. Damit haben wir den Grenzwert ausgerechnet, aber in Wahrheit existiert er gar nicht. Es müsste wegen b n für alle n ja auch b sein, im Widerspruch zu b = 3. Die Berechnung des Grenzwerts alleine reicht also nicht aus, man muss auch seine Existenz beweisen. 6.8 Landau-Symbole Wir wollen bei dieser Gelegenheit noch kurz an eine schon aus dem letzten Semester bekannte Schreibweise erinnern. 15-9

10 Definition 6.19: Sei (a n ) n N eine reelle Folge und sei f : N R >0 eine reelle Funktion. Dann schreibt man a n = O(f(n)), gesprochen als groß O von n oder a n ist von der Ordnung f(n), wenn die Folge (a n /f(n)) n N beschränkt ist. Ist die Folge (a n /f(n)) n N sogar eine Nullfolge, so schreibt man auch a n = o(f(n)). Wir konzentrieren uns hier auf das wesentlich häufiger vorkommende O(f(n)). Dass die Folge (a n /f(n)) n N beschränkt ist, bedeutet das es eine Konstante C 0 mit a n f(n) C, also a n C f(n) für alle n N gibt. Man muss das n-te Folgenglied also bis auf eine Konstante im Betrag gegen f(n) abschätzen können. Manchmal ist es bequemer diese Abschätzung erst ab einem Startindex n 0 zu zeigen, und auch dies ist zu a n = O(f(n)) äquivalent, d.h. a n = O(f(n)) (C 0) (n 0 N) (n n 0 ) : a n C f(n). Dass dies ausreicht ist klar, man muss ja nur { C := max C, a 1 1, a,..., a } n 0 1 n 0 1 setzen und hat a n C f(n) für alle n N. Beispielsweise ist denn wegen existiert ein n 0 N mit a n := n3 + n + 3n + 7 = O(n), n 3 + n + n (3n + 7 = n 3 + n + 3n 3 + 7n = 1 3 < 1 n 3 + n + 3n n für alle n n 0. Wie schon bemerkt impliziert dies a n = O(n). Beachte noch das die Funktion f(n) keinesfalls eindeutig festgelegt ist, beispielsweise ist n + 1 = O(n) und n + 1 = O(n ). Normalerweise wähle man natürlich ein möglichst gutes f(n), ist hierzu aber nicht gezwungen. Es gibt einige besonders häufige Wahlen für f(n): O(f(n)) O(1) O(n) O(n ) O(n k ) O(ln n) O(n ln n) O(e n ) Verhalten beschränkte Folge lineares Wachstum quadratisches Wachstum polyomiales Wachstum von Ordnung k logarithmisch (viel langsamer als linear) zwischen linear und quadratisch exponentiell 15-10

11 Es gibt natürlich auch noch schnelleres Wachstum als exponentiell, zum Beispiel e en. Der Logarithmus ln n in der Tabelle meint den natürlichen Logarithmus, aber dies spielt keine Rolle. Die anderen Logarithmen unterscheiden sich nur um Konstanten vom natürlichen Logarithmus, also ist zum Beispiel O(log n) = O(ln n)