Rationale Funktionen

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1 Rationale Funktionen Eine Funktion f heißt rational, wenn sich die Funktion f als Quotient zweier Polynome schreiben lässt, d.h. wenn f(x) = P (x) Q(x) gilt. Hierbei bildet die Funktion Elemente aus ihrem Definitionsbereich D IR in die Menge der reellen Zahlen ab. Allerdings muss man bei der Bestimmung des Definitionsbereichs vorsichtig sein. Die Funktion ist nur an den Stellen definiert, an denen der Nenner Q(x) 0ist. An den Nullstellen des Nenners hat die Funktion sogenannte Definitionslücken. D. Horstmann: Dezember

2 Potenzfunktionen Spezielle Polynome bzw. spezielle rationale Funktionen sind die sogenannten Potenzfunktionen. Sie haben die Gestalt f(x) =a x b, wobei wir hier anders als bei Polynomen zulassen, dass neben dem Koeffizienten a auch der Exponent b eine reelle Zahl ist. Potenzfunktionen kommen in der Biologie relativ häufig vor. So findet man sie zum Beispiel im Zusammenhang mit Allometrien bzw. allometrischen Gesetzen. Wenn man von Allometrie spricht, so beschäftigt man sich mit dem Messen und dem Vergleichen von Beziehungen zwischen einer Größe (zum Beispiel der Körpergröße) und deren Verhältnis zu anderen biologischen Größen (zum Beispiel der Schädelgröße). D. Horstmann: Dezember

3 Eigenschaften von Funktionen 1. Falls für alle x, y D mit x y auch f(x) f(y) gilt, so nennt man die Funktion f monoton steigend. 2. Ist für alle x, y D mit x y die Ungleichung f(x) f(y) erfüllt, so nennt man die Funktion f monoton fallend. 3. Analog heißt die Funktion f streng monoton steigend, wennfür alle x, y D mit x>y auch f(x) >f(y) gilt. Dementsprechend nennt man eine Funktion f streng monoton fallend, wennfür alle x, y D mit x>ydie Ungleichung f(x) <f(y) erfüllt ist. 4. Eine Funktion f heißt konvex in einem Intervall I D, wennfür alle x, y I und alle Zahlen λ mit der Eigenschaft, dass 0 <λ<1ist, die Ungleichung f(λx +(1 λ)y) λf(x) +(1 λ)f(y) gilt. Die Funktion f heißt konkav, wenn die Funktion f konvex ist. D. Horstmann: Dezember

4 Eigenschaften von Funktionen Lemma 4. [Existenz der Umkehrfunktion monotoner Funktionen] Ist eine durch die Funktionsgleichung y = f(x) gegebene Funktion f mit dem Definitionsbereich D IR und dem Wertebereich W IR streng monoton steigend (fallend), so existiert eine auf W definierte Funktion g(y), für die x = g(y) genaudanngilt,wenny = f(x) ist. W ist dann der Definitionsbereich von g und D der Wertebereich. Die Funktion g(y) wird als Umkehrfunktion zu f(x) bezeichnet. Offensichtlich gilt für die Funktion f und ihre Umkehrfunktion g x = g(f(x)) sowie y = f(g(y)). Da f streng monoton wachsend (fallend) war, ist ihre Umkehrfunktion g ebenfalls streng monoton wachsend (fallend). Ist f zusätzlich auch noch stetig, so gilt dies auch für g. D. Horstmann: Dezember

5 Die Exponentialfunktion und ihre Anwendung in der Biologie Escheria coli (kurz E. coli) sind Bakterien, die im Darm von Säugetieren und Menschen leben. Ein junges E. coli Bakterium wächst mit einer konstanten Geschwindigkeit, bis es seine Länge verdoppelt hat. Hierbei behält es seinen Durchmesser bei. Schließlich entstehen durch Zellteilung zwei gleichgroße E. coli Bakterien. Während dieses Prozesses wird die DNA des E. coli Bakteriums verdoppelt. Dieser Vorgang dauert ungefähr 40 Minuten. Nach der DNA- Replikation dauert es in der Regel weitere 20 Minuten, bis sich die Zelle geteilt hat. Bei ca. 37 o C variiert zwar die Wachstumsrate eines E. coli Bakteriums merklich, dennoch kann man für diesen Verdoppelungsprozess ein Zeitintervall von ca. 60 Minuten annehmen. D. Horstmann: Dezember

6 Die Exponentialfunktion und ihre Anwendung in der Biologie Betrachtet man also über einem bestimmten Zeitintervall eine E. coli Population u(t), inder man Bakterien in unterschiedlichen Replikationsstufen vorliegen hat, so kann man hier davon ausgehen, dass u(60τ + 60) = 2 u(60τ) für alle τ IN 0 gilt. Insbesondere gilt, dass sich 60 Minuten nach Beobachtungsbeginn die Population verdoppelt hat, also die Gleichung gilt. Wir können hieraus die Gleichung herleiten. u(60) = 2 u(0) u(60τ + 60) = u(60) u(0) u(60τ) D. Horstmann: Dezember

7 Die Exponentialfunktion Wir ersetzen die 60 Minuten durch einen Parameter s und nehmen an, dass die Population sich kontinuierlich vervielfacht, die Vermehrung also nicht nur alle s Zeiteinheiten geschieht, jedoch zum Zeitpunkt s eine erneute Messung der Populationsgröße uns den Proportionalitätsfaktor liefert. u(t + s) = u(s) u(0) u(t) Dividieren wir die Gleichung durch u(0), so erhalten wir u(t + s) u(0) = u(s) u(t) u(0) u(0). Wenn wir eine neue Funktion v(t) einführen, indem wir v(t) = u(t) u(0) Gleichung v(t + s) =v(s)v(t) für alle t, s IR. setzen, ergibt sich die Durch die Einführung der neuen Funktion haben wir bewirkt, dass v(0) = 1 gelten soll. D. Horstmann: Dezember

8 Die Exponentialfunktion Frage: Welche nicht konstante Funktion diese Eigenschaften erfüllt? Wir versuchen es zunächst mit uns bereits bekannten Funktionen. Man stellt so fest, dass das Polynom n t k p n (t) = k! das Problem näherungsweise löst und der Fehler um so kleiner wird je größer n wird. Man kann zeigen, dass für s, t 0 und s + t<1+ n 2 die Ungleichung k=0 0 p n (t)p n (s) p n (s + t) 2(s + t)n+1 (n + 1)! 0 für n gilt. Das bedeutet, dass der Grenzwert lim n p n (t) die gewünschten Eigenschaften besitzt und durch diesen Grenzwert die gesuchte Funktion gegeben ist, falls der Grenzwert für alle t IR existiert. D. Horstmann: Dezember

9 Die Exponentialfunktion Definition 13. Wir definieren daher die Funktion exp : IR IR und nennen sie Exponentialfunktion. Hierbei ist t exp(t) := k=0 t k k! e := exp(1) = k=0 1 k! die Eulersche Zahl. D. Horstmann: Dezember

10 Die Exponentialfunktion Aus der Definiton der Exponentialfunktion und der Eigenschaft, dass exp(s + t) =exp(s)exp(t) gilt, können wir direkt einige ihrer wichtigsten Eigenschaften ablesen. Es gilt: 1. exp(t) 1+t woraus sich exp(t) für t folgern lässt. 2. exp(nt) =(exp(t)) n und für p, q IN, q 0 (exp(t)) p =exp(pt) =exp ( ) p q qt = ( ( )) p q exp q t. Somit folgt auch (exp(t)) p q =exp ( ) p q t = q exp(pt). D. Horstmann: Dezember

11 3. Des Weiteren gilt: 1 = exp(0) = exp(t t) =exp(t)exp( t). Hieraus aber ergibt sich exp( t) = 1 exp(t). Somit folgt insgesamt, dass exp(t) 0 für t gilt. 4. exp(t) 0 5. exp(t) ist streng monoton wachsend, d.h. 6. exp : IR (0, ) exp(t 1 )=exp(t 1 t 2 )exp(t 2 ) > exp(t 2 ) für t 1 >t Für beliebige t, s IR setzen wir (exp(t)) s = exp(st). Dies impliziert auch, dass exp(t) =exp(1 t) = (exp(1)) t = e t gilt. Daher schreiben wir für exp(t) auch e t. D. Horstmann: Dezember

12 Die Logarithmusfunktion Als streng monotone Funktion, die die ganzen reellen Zahlen IR auf das Intervall (0, ) abbildet, besitzt die Exponentialfunktion eine Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp ist der natürliche Logarith- Definition 14. mus ln ln : (0, ) IR. Es gilt: ln(y) =t genau dann, wenn y = e t, d.h. ln(e x )=x und e ln(y) = y. Für den natürlichen Logarithmus lassen sich nun schnell die nachfolgenden Rechenregeln herleiten: 1. ln(u v) =ln(u) +ln(v), dau v = e ln(u) e ln(v) = e ln(u)+ln(v) gilt. 2. ln(u p q )= p q ln(u), daup q = e p q ln(u) ist. D. Horstmann: Dezember

13 Die allgemeine Exponentialfunktion Definition 15. Für eine positive reelle Zahl a definieren wir für alle x IR die Exponentialfunktion zur Basis a durch die Gleichung: exp a (x) =exp(x ln(a)) = exp (ln(a x )) =: a x. (15) Die Umkehrfunktion zu der positiven, stetigen, monoton wachsenden Exponentialfunktion zur Basis a ist die sogenannte Logarithmusfunktion zur Basis a. Für sie wird die Notation log a verwendet. Anmerkung 9. Demnach gilt für jedes y>0: log a (y) =x genau dann, wenn y =exp a (x) erfüllt ist. D. Horstmann: Dezember

14 Die allgemeine Exponentialfunktion Aus den Rechenregeln für die Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus lassen sich nun die nachfolgenden Rechenregeln herleiten: 1. log a (u v) = log a (u) + log a (v). 2. log a (u p q )= p q log a(u). 3. log a (b) log b (u) = log a (u). 4. exp a (n) =a n für alle n Z. 5. exp a (t + s) =exp a (t) exp a (s) für alle t, s IR. ( ) 6. Für p, q IN,mitq 0ist exp p a q = a p q = q a p. 7. exp a (0) = 1. D. Horstmann: Dezember

15 Die Radiocarbon-Methode. Die Radiocarbon-Methode oder 14 C-Methode ist eine von mehreren unterschiedlichen Methoden zur Altertumsbestimmung von organischen Stoffen, wie z. B. Knochen vom Menschen und vom Tier, angefertigte Gegenstände, Überreste von Behausungen usw., die insbesondere in der Archäologie angewendet wird. Sie basiert auf dem Zerfall des radioaktiven Kohlenstoff-Isotops 14 C. Mit dieser Methode können Alter bis etwa Jahre bestimmt werden. Sie wird überwiegend verwendet, um das Alter von Fossilien aus der Bronzezeit und nachfolgenden Epochen zu bestimmen. Die Radiocarbon-Methode basiert auf folgenden Überlegungen (klausurrelevant!): Das Verhältnis vom radioaktiven Kohlenstoff 14 ( 14 C) zum stabilen Kohlenstoff 12 ( 12 C) ist im Wesentlichen konstant. Da ein lebender Organismus nicht zwischen den beiden Kohlenstoff- Isotopen 14 C und 12 C unterscheidet, ist das Verhältnis dieser beiden in einem lebenden Organismus daher dasselbe wie in der Erdatmosphäre. Stirbt der Organismus ab, so nimmt er keinen Kohlenstoff mehr auf. D. Horstmann: Dezember

16 Die Radiocarbon-Methode. Somit gilt für das Verhältnis dann, dass v = N 14 C N 12C v(t) =v(0) e λt, wobei λ die Zerfallsrate von 14 C ist. Die Halbwertzeit von 14 Cbeträgt ungefähr 5730 Jahre. D.h. und somit 1 Jahre v(0) v(0) e λ λ ln(2) 5730 Jahre Jahre 1. D. Horstmann: Dezember

17 Die Radiocarbon-Methode. Durch eine Messung dieses Verhältnisses an einem fossilen Gegenstand lässt sich also die Zeit vom Absterben bis zur Messung berechnen, d.h. aus der Messung von v(t) v(0) ist es dann möglich, t zu bestimmen. Da aus e λt = v(t) v(0) die Gleichung ( ) v(t) λt = ln(e λt ) = ln, v(0) d.h. folgt. t = 1 ( ) v(t) λ ln v(0) = 1 ( ) v(0) λ ln v(t) D. Horstmann: Dezember

18 Die trigonometrischen Funktionen Definition 16. Für jedes x IR definieren wir die Funktion Cosinus von x als: cos(x) := lim n n ( 1) k x 2k (2k)!. k=0 Den Sinus von x definieren wir für jedes x IR als sin(x) := lim n n ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)!. k=0 Mit Hilfe dieser Funktionen können wir nun auch eine reelle Zahl definieren, die viele als die sogenannte Kreiszahl bereits kennen. D. Horstmann: Dezember

19 Die trigonometrischen Funktionen Lemma 5. Es existiert eine eindeutig bestimmte positive Zahl x 0 in dem Intervall [0, 2], für die cos(x 0 )=0ist. Multipliziert man diese Zahl mit dem Faktor 2, soerhält man die Zahl π (sprich Pi ). Abbildung 4: Links: Die Funktion cos(x) auf dem Intervall ( 2π, 2π). Rechts:DieFunktion sin(x) auf dem Intervall ( 2π, 2π). D. Horstmann: Dezember

20 Rechenregeln für die Sinus- und die Cosinusfunktion. Aus der Definition der Sinusfunktion und der Cosinusfunktion folgen durch Nachrechnen die nachfolgenden Rechenregeln, die wir ohne Beweis hier angeben wollen. 1. Für alle x IR gilt cos(x) =cos( x) und sin( x) = sin(x). 2. Für alle x IR ist cos 2 (x) +sin 2 (x) =1. 3. Für alle x IR und alle y IR gilt: und cos(x + y) =cos(x)cos(y) sin(x)sin(y) sin(x + y) =sin(x)cos(y) +cos(x)sin(y). 4. Für alle x IR und alle y IR gilt außerdem: ( ) ( ) x + y x y cos(x) cos(y) = 2sin sin 2 2 und ( ) ( ) x + y x y sin(x) sin(y) =2cos sin. 2 2 D. Horstmann: Dezember

21 5. Weiter gilt für alle x IR: cos(x +2π) =cos(x) und sin(x +2π) =sin(x). Man sagt auch, dass die beiden Funktionen 2π-periodisch sind, da sich die Funktionswerte in einem Abstand eines Intervalls der Länge 2π wiederholen. 6. Für alle x IR gilt außerdem: cos(x) =sin ( ) π 2 x und sin(x) =cos ( ) π 2 x. D. Horstmann: Dezember

22 Tangens und Cotangens Definition 17. Die Funktion, die man für alle x ( π/2,π/2) erhält, indem man den Sinus von x durch den Cosinus von x teilt, nennt man den Tangens von x, d.h. tan(x) = sin(x) cos(x). Den Kehrwert dieses Bruchs definiert für alle x (0,π) den Cotangens von x, d.h. cot(x) = 1 tan(x). Abbildung 5: Links: Die Funktion tan(x) auf dem Intervall ( π/2,π/2). Rechts: Die Funktion cot(x) auf dem Intervall (0,π). D. Horstmann: Dezember