Mathematik für Physiker

Transkript

1 Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Lehrbuch Band 1

2 Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik Lehrbuch 2 Bände Leitprogramm 3 Bände Entwickelt und evaluiert vom Bildungstechnologischen Zentrum Wiesbaden und Mitgliedern des Instituts für Didaktik der Physik der Universität Frankfurt Projektleitung: Klaus Weltner

3 Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik Lehrbuch Band 1 verfaßt von Klaus Weltner, Hartmut Wiesner, Paui-Bernd Heinrich, Peter Engelhardt, Helmut Schmidt Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

4 Dr. Klaus Weltner ist Professor für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt, Institut für Didaktik der Physik. Dr. Hartmut Wiesner ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt Stud. Ass. Paui-Bernd Heinrich ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Bildungstechnologischen Zentrum Wiesbaden. Dipi.-Phys. Peter Engelhardt ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt. Dr. Helmut Schmidt ist Professor für Didaktik der Physik an der Pädagogischen Hochschule Bonn Alle Rechte vorbehalten bv Springer Fachmedien Wiesbaden 1975 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig, 1975 Die Vervielfältigung und Übertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher vereinbart wurden. Im Einzelfall muß über die Zahlung einer Gebühr für die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt für die VervielfältigunQ durch alle Verfahren einschließlich Speicherung und jede Übertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bänder, Blatten und andere Medien. Umschlaggestaltung: Peter Mory, Wolfenbüttel ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 - 5 - VoRWORT Lehrbuch (2 Bände) und Leitprogramme (3 Bände) "Mathematik des Physikers" sind in erster Linie für Studienanfänger des ersten und zweiten Semesters geschrieben. Es werden diejenigen Mathematikkenntnisse vermittelt, die für das Grundstudium der Experimentalphysik benötigt werden. Das Lehrbuch kann unabhängig von den Leitprogrammen benutzt werden. Die Leitprogramme sind neuartige Studienhilfen und haben nur Sinn im Zusammenhang mit dem Lehrbuch. Lehrbuch und Leitprogramme eignen sich vor allem zur Unterstützung des Selbststudiums, zur Vorbereitung des Studiums und als Grundlage für einführende mathematische Ergänzungsveranstaltungen neben der Experimentalphysik-Vorlesung. In der Einleitung werden diese Gedanken weiter ausgeführt. Lehrbuch und Leitprogramme entstanden in den Jahren 1971 bis 1974 im Rahmen eines Projektes, an dem Angehörige des Instituts für Didaktik der Physik der Universität Frankfurt und des Bildungstechnologischen Zentrums (BTZ) Wiesbaden beteiligt waren. Lehrbuch und Leitprogramme wurden im regulären Studiengang, vor allem der Lehramtskandidaten Sekundarstufe I, in drei Studienjahren verwendet und nach jeder Benutzung aufgrund der Erfahrungen und Rückmeldungen der Studenten gründlich revidiert. Das Konzept des Leitprogramms, das selbständige Studium eines Lehrbuchs durch ausführliche Studienanleitungen, Hilfen und Zusatzerläuterungen zu unterstützen, fand bei den Studenten eine erfreuliche Zustimmung. Nicht unerheblich trug dazu bei, daß die Technik der Leitprogramme eine Individualisierung der Hilfen aufgrund unterschiedlicher Vorkenntnisse, unterschiedlicher Lerngeschwindigkeiten und Lernschwierigkeiten ermöglichte. Natürlich sind weitere Verbesserungen möglich; niemandem ist dies klarer als den Autoren. Konkrete Vorschläge der Leser sind erwünscht und werden bei künftigen Auflagen nach Möglichkeit berücksichtigt. Entwicklung, Abstimmung, Erprobung und mehrfache Revision sind das Ergebnis einer Teamarbeit. Die Reihenfolge der Autoren im Titel berücksichtigt die jeweils eingebrachten Arbeitsanteile.

6 - 6 - Bei der Bearbeitung der in die Leitprogramme integrierten Anleitungen zu Lern- und Studiertechniken unterstützte mich Herr Dipl.-Psych. G. Kanig (BTZ), die Zeichnungen wurden von Herrn Dipl.-Phys. P. Engelhardt und Frau R. Leckl angefertigt. Das Mathematiklehrbuch ist vorwiegend von Physikern geschrieben. Für wertvolle Hinweise und Formulierungen danke ich Herrn Dr. Mrowka, Universität Frankfurt, Fachbereich Mathematik. Wichtige Korrekturen gab eine Arbeitsgruppe um Prof. Dr. B. Rollett, Gesamthochschule Kassel. Besonders bei der Entwicklung der Leitprogramme waren die Anregungen der Studenten hilfreich, die sie im Rahmen ihres Studiums benutzten. Nur wer je ein mit derartig viel Detailarbeit verbundenes Projekt durchgeführt hat, kann den Umfang der mit der Herstellung und Korrektur verbundenen Arbeiten schätzen. Ohne die Hilfe der Herren Dr. s. Wittig, Dipl.-Math. P. Eggenaperger und Dipl. Phys. I. Heidelberg (BTZ) sowie der Herren P.Keitel und B. Schuhmacher (Universität Frankfurt) wären weder die mit dem Projekt verbundenen hochschuldidaktischen Untersuchungen noch die endgültige Fertigstellung möglich gewesen. Wertvolle Unterstützung bei der Organisation und an der Schreibmaschine leisteten Frau Ch. Kehrhahn, Frau M.Müller und Frau H. Sieher (BTZ). Allen hier genannten und vielen nichtgenannten Mitarbeitern danke ich herzlich. Klaus Weltner Im September 1974 Frankfurt, Institut für Didaktik der Physik

7 - 7 - INHALT EINLEITUNG 13 FUNKTIONSBEGRIFF, EINFACHE FUNKTIONEN, TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN Der mathematische Funktionsbegriff und seine Bedeutung für die Physik Zusammenhänge in der Physik und ihre mathematische Beschreibung Der Funktionsbegriff 1.2 Koordinatensystem, Ortsvektor Bestimmung der Lage eines Punktes bei gegebenen Koordinaten Graphische Darstellung von Funktionen Ermittlung des Graphen aus der Funktionsgleichung für die Gerade Bestimmung der Funktionsgleichung einer Geraden aus ihrem Graphen Graphische Darstellung von Funktionen Veränderung von Funktionsgleichungen und ihrer Graphen Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen Einheitskreis Sinusfunktion Kosinusfunktion Zusammenhang zwischen Kosinus- und Sinusfunktion Tangens, Kotangens Additionstheorem, Superposition von trigonometrischen Funktionen 46 Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen 50 Tabelle spezieller Funktionswerte 50 Ubungsaufgaben 51 Lösungen POTENZEN, LOGARITHMUS, UMKEHRFUNKTION 2.1 Potenzen, Exponentialfunktion Potenzen Rechenregeln für Potenzen Exponentialfunktion Logarithmus, Logarithmusfunktion Logarithmus Rechenregeln für Logarithmen Logarithmusfunktion

8 Umkehrfunktion (inverse Funktion), mittelbare Funktion Umkehrfunktion oder inverse Funktion Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion 74 der Exponentialfunktion Mittelbare Funktion, Funktion einer Funktion 75 Ubungsaufgaben 77 Lösungen 79 3 DIFFERENTIALRECHNUNG Folge Stetigkeit und Grenzwert Die Zahlenfolge Grenzwert einer Zahlenfolge Grenzwert einer Funktion 3.3 Reihe und Grenzwert Geometrische Reihe 3.4 Die Ableitung einer Funktion Die Steigung einer Geraden Die Steigung einer beliebigen Kurve Der Differentialquotient Physikalische Anwendung: Die Geschwindigkeit Das Differential 3.5 Die praktische Berechnung des Differentialquotienten Differentiationsregeln Ableitung einfacher Funktionen Die Differentiation komplizierter Funktionen Höhere Ableitungen Maxima und Minima 111 Differentiationsregeln Ableitung einfacher Funktionen Ubungsaufgaben Lösungen 4 INTEGRALRECHNUNG Die Stammfunktion Grundproblem der Integralrechnung Flächenproblem und bestimmtes Integral Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Die Flächenfunktion als Stammfunktion von f(x) Berechnung des bestimmten Integrals Beispiele für das bestimmte Integral

9 Zur Technik des Integrierens Verifizierungsprinzip Stammintegrale Konstanter Faktor und Summe Integration durch Substitution Partielle Integration 4.6 Rechenregeln für bestimmte Integrale 4.7 Substitution bei bestimmten Integralen 4.8 Mittelwertsatz der Integralrechnung 4.9 Uneigentliche Integrale 4.10 Arbeit im Gravitationsfeld Integrationsregeln und -techniken Tabelle der wichtigsten Grundintegrale übungsaufgaben Lösungen VEKTORRECHNUNG I 5.1 Skalare und Vektoren 5.2 Addition von Vektoren Summezweier Vektoren: Geometrische Addition 5.3 Subtraktion von Vektoren Der Gegenvektor Differenz zweier Vektoren ~ und S: Geometrische Subtraktion Komponente und Projektion eines Vektors Komponentendarstellung im Koordinatensystem Ortsvektor Einheitsvektoren Komponentendarstellung eines Vektors Darstellung der Summe zweier Vektoren in Komponentenschreibweise Differenz von Vektoren in Komponentenschreibweise Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Betrag eines Vektors 172 übungsaufgaben 174 Lösungen 177

10 VEKTORRECHNUNG II SKALARPRODUKT, VEKTORPRODUKT 6.1 Skalarprodukt Sonderfälle Kommutativ- und Distributivgesetz Kosinussatz Skalares Produkt in Komponentendarstellung Vektorprodukt Drehmoment Das Drehmoment als Vektor Definition des Vektorprodukts Sonderfälle Vertauschung der Reihenfolge Allgemeine Fassung des Hebelgesetzes Vektorprodukt in Komponentendarstellung 191 Ubungsaufgaben 193 Lösungen TAYLORREIHE UND POTENZREIHENENTWICKLUNG Vorbemerkung Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe Gültigkeitsbereich der Taylorentwicklung (Konvergenzbereich) Das Näherungspolynom Abschätzung des Fehlers Entwicklung der Funktion f(x) an einer beliebigen Stelle, allgemeine Taylorentwicklung Nutzen der Reihenentwicklung Polynome als Näherungsfunktionen Tabelle gebräuchlicher Näherungspolynome Integration über Potenzreihenentwicklung 213 Ubungsaufgaben 215 Lösungen KOMPLEXE ZAHLEN 8.1 Definition und Eigenschaften der komplexen Zahlen Die imaginäre Zahl Komplexe Zahlen Anwendungsgebiete Rechenregeln Komplexe Zahlen in der Gaußsehen Zahlenebene Die Gaußsehe Zahlenebene Komplexe Zahlen in der Schreibweise mit Winkelfunktionen 223

11 Die Exponentialform einer komplexen Zahl Eulersche Formel Umkehrformeln zur Eulerschen Formel Komplexe Zahlen als Exponenten Multiplikation und Division Potenzieren und Wurzelziehen Periodizität von r.eia Beispiel Definition und Formeln Ubungsaufgaben Lösungen 9 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 9.1 Begriff der Differentialgleichung, Einteilung der Differentialgleichungen 9.2 Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Der Exponentialansatz Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Dgl. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Variation der Konstanten Variation der Konstanten für den Fall einer Doppelwurzel Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Dgl Randwertprobleme Randwertprobleme bei Dgl. 1. Ordnung Randwertprobleme bei Dgl. 2. Ordnung 9.5 Anwendungen in der Physik Der radioaktive Zerfall Der harmonische Oszillator Ubungsaufgaben Lösungen FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER, SKALARE FELDER UND VEKTORFELDER Einleitung Der Begriff der Funktion mehrerer Veränderlicher Das skalare Feld Das Vektorfeld 10.4 Spezielle Vektorfelder Das homogene Vektorfeld Das radialsymmetrische Feld Ringförmiges Vektorfeld Ubungsaufgaben Lösungen

12 PARTIELLE ABLEITUNG, TOTALES DIFFERENTIAL UND GRADIENT 11.1 Die partielle Ableitung Mehrfache partielle Ableitung 11.2 Das totale Differential 11.3 Der Gradient Gradient bei Funktionenzweier Veränderlicher Gradient bei Funktionendreier Veränderlicher Ubungsaufgaben Lösungen ANHANG I: Grundbegriffe der Mengenlehre ANHANG II: ANHANG III: ANHANG REGISTER IV: Funktionsbegriff Quadratische Gleichungen Funktionstabelle INHALT BAND II 12 MEHRFACHINTEGRALE, KOORDINATENSYSTEME 13 PARAMETERDARSTELLUNG VON KURVEN, DIFFERENTIATION NACH EINEM PARAMETER, LINIENINTEGRALE 14 OBERFLÄCHENINTEGRALE 15 DIVERGENZ UND ROTATION 16 KOORDINATENTRANSFORMATIONEN UND MATRIZEN 17 DETERMINANTEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 18 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 19 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 20 FEHLERRECHNUNG 21 DIE WELLENGLEICHUNGEN 22 FOURIERREIHEN