Mathematik für Physiker 2

Transkript

1 Springer-Lehrbuch

2 Klaus Weltner Mathematik für Physiker 2 Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik 14. überarbeitete und erweiterte Auflage mit 176 Abbildungen und CD-ROM verfasst von Klaus Weltner, Hartmut Wiesner, Paul-Bernd Heinrich, Peter Engelhard und Helmut Schmidt 123

3 Professor Klaus Weltner Institut der Didaktik der Physik Universität Frankfurt Max-von-Laue-Str Frankfurt Dr. Klaus Weltner ist Professor für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt, Institut für Didaktik der Physik Dr. Hartmut Wiesner ist Professor für Didaktik der Physik an der Universität München Dr. Paul-Bernd Heinrich ist Professor für Mathematik an der Fachhochschule Mönchengladbach Dipl.-Phys. Peter Engelhard war wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt Dr. Helmut Schmidt ist Professor für Didaktik der Physik an der Universität Köln Umschlagabbildung: siehe Seite 35 Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN e-isbn DOI / , 2006, 2008 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Coverdesign: WMX Design GmbH, Heidelberg Printed on acid-free paper springer.com

4 Vorwort zur 14. Auflage Neben vielen Verbesserungen im Detail sind neu hingefügt die bisher noch fehlenden Leitprogramme für die Kapitel Divergenz, Rotation und Potential, Fourierreihen, Fourier-Integrale, Laplace-Transformationen und Wellengleichungen. Damit liegt nunmehr für jedes Kapitel eine Lern- und Arbeitshilfe vor, deren Methodik sich für Studienanfänger vielfach bewährt hat. Frankfurt am Main 2007 Klaus Weltner Aus dem Vorwort zur 1. Auflage Lehrbuch und Leitprogramme Mathematik fiir Physiker" sind in erster Linie fiir Studienanfanger des ersten und zweiten Semesters geschrieben. Es werden diejenigen Mathematikkenntnisse vermitteln, die fiir das Grundstudium der Experimentalphysik benotigt werden. Das Lehrbuch kann unabhangig von den Leitprogrammen benutzt werden. Die Leitprogramme sind neuartige Studienhilfen und haben nur Sinn im Zusammenhang mit dem Lehrbuch. Leitprogramme eignen sich vor allem zur Unterstiitzung des Selbststudiums, zur Vorbereitung des Studiums und als Grundlage fur einfuhrende mathematische Erganzungsveranstaltungen neben der Experimentalphysik-Vorlesung. Lehrbuch und Leitprogramme wurden im regularen Studiengang in drei Studienjahren verwendet und aufgrund der Erfahrungen und Ruckmeldungen der Studenten griindlich revidiert. Besonders bei der Entwicklung der Leitprogramme waren die Anregungen der Studenten hilfreich. Entwicklung, Abstimmung, Erprobung und mehrfache Revision sind das Ergebnis einer Teamarbeit. Das Mathematiklehrbuch ist vorwiegend von Physikern geschrieben. Fiir wertvolle Hinweise und Formulierungen danke ich Herrn Dr. Mrowka. Bei der Bearbeitung der in die Leitprogramme integrierten Anleitungen zu Lern- und Studiertechniken unterstutzte mich Herr Dipl.-Psych. G. Kanig. Allen hier genannten und vielen nicht genannten Mitarbeiten danke ich herzlich. Frankfurt am Main, 1975 Klaus Weltner Aus dem Vorwort zur 8. Auflage Neu geschrieben ist das Kapitel Gleichungssysteme". Hier stehen jetzt die praktischen Eliminationsverfahren im Vordergrund. Auch das Kapitel Matrizen" ist erheblich erweitert. In einer iiberarbeiteten und erweiterten Form sind Lehrbuch und Leitprogramme inzwischen ins Englische iibersetzt. Frankfurt am Main, 1980 Klaus Weltner

5 Aus dem Vorwort zur 10. Auflage Die Lehrbiicher sind grundlich iiberarbeitet, erweitert und neu gegliedert worden. Die Kapitel Vektoren" stehen jetzt am Anfang, weil sie sofort gebraucht werden. Aus dem gleichen Grund ist das Kapitel,,Fehlerrechnung" in den ersten Band ubernommen. Neu hinzugekommen sind im zweiten Band Einfuhrungen in die Themen Eigenwerte", Laplace-Transformationen" und Fourier- Transformationen". In zunehmendem Mafie konnen heute Computerprogramme wie Mathematica", Derive", Maple" u. a. genutzt werden, um Gleichungen zu losen, Umformungen vorzunehmen, Funktionen graphisch darzustellen, zu integrieren und vielfaltige Rechnungen auszufuhren. Damit wird Mathematik als Hilfsmittel zuganglicher und handhabbarer. Voraussetzung allerdings bleibt, dafiman den Sinn der mathematischen Prozeduren verstanden hat, um sie sachgerecht zu nutzen. Computer k6nnen viel helfen. Eins k<5nnen sie nicht, das Studium der Mathematik ersetzen. Lehrbuch und Leitprogramme haben nicht nur Studienanfangern der Physik, sondern auch Studienanfangern der Ingenieurwissenschaften und der anderen Naturwissenschaften geholfen, die Schwierigkeiten der ersten Semester zu meistern. Dennoch ist der Titel nicht geandert worden in Mathematik fur Physiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler". Die fur dieses Werk charakteristische Verbindung von Lehrbuch und Leitprogramm ist mit dem Titel Mathematik fur Physiker" verknupft und bekannt geworden, und daher wird er beibehalten. Frankfurt am Main, 1994 Klaus Weltner Vorwort zur 12. Auflage Die fur Studienanfanger geschriebene Mathematik fur Physiker" wird in Zukunft vom Springer-Verlag betreut. Erhalten bleibt dabei die Verbindung eines akademischen Lehrbuches mit einer detaillierten Studienunterstiitzung. Diese Kombination hat bereits vielen Studienanfangern geholfen, sich die Inhalte des Lehrbuches selbstandig zu erarbeiten. Dabei haben sie dariiber hinaus die Fahigkeit weiter entwickelt, selbstandig und autonom anhand von Lehrbuchern zu studieren. Neu ist, dass die Studienunterstutzungen, die ursprunglich als Bucher vorlagen, nunmehr auf einer CD-ROM angeboten werden. Das erleichtert den Zugriff und kommt dem Preis zugute. Weiter sind fur die ersten sieben Kapitel - ebenfalls auf CD - interaktive Studienunterstutzungen entwickelt, mit denen die Cbungsmoglichkeiten betrachtiich erweitert und an die individuellen Bedurfhisse der Studierenden angepafit werden. Im Sinne eines mathematischen Labors wird dabei der Umgang mit den Graphen der wichtigsten Funktionen geiibt. Hier wird ein neuer Weg fiir die Nutzung von akademischen Lehrbuchern beschritten, dessen Methodik uber diesen speziellen Fall hinaus weist. Die elektronischen Medien helfen dem Studienanfanger, sich neue Inhalte anhand des Lehrbuches zu erarbeiten. Das Lehrbuch bleibt dabei in spateren Studienphasen und nach dem Studium eine unverzichtbare Informationsquelle, auf die nach Bedarf zuriickgegriffen wird. Nach meiner Auffassung konnen damit in Zukunft die bedeutsame Rolle akademischer Standardlehrbiicher als Informationsquelle und Wissensspeicher stabilisiert und gleichzeitig die Lernbedingungen der Studienanfanger verbessert werden. Frankfurt am Main, 2001 Klaus Weltner

6 1 Inhalt s ver zeichnis 13 Funktionen mehrerer Variablen, skalare Felder und Vektorfelder Einleitung Der Begriff der Funktion mehrerer Variablen Das skalare Feld Das Vektorfeld Spezielle Vektorfelder Das homogene Vektorfeld Das radialsymmetrische Feld Ringformiges Vektorfeld Ubungsaufgaben Partielle Ableitung, tot ales Differential und Gradient Die partielle Ableitung Mehrfache partielle Ableitung Das totale Diiferential Der Gradient Gradient bei Funktionen zweier Variablen Gradient bei Funktionen dreier Variablen Ubungsaufgaben Mehrfachintegrale, Koordinatensysteme Mehrfachintegrale als Losung von Summierungsaufgaben Mehrfachintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen Zerlegung eines Mehrfachintegrals in ein Produkt von Integralen Koordinaten Polarkoordinaten Zylinderkoordinaten 49 *Die mit einem Stern (*) gekennzeichneten Abschnitte werden beim ersten Durchgang anhand der Leitprogramme ubersprungen.

7 2 Inhaltsverzeichnis Kugelkoordinaten Anwendungen: Volumen und Tragheitsmoment Volumen Tragheitsmoment Mehrfachintegrale mit nicht konstanten Integrationsgrenzen Kreisflache in kartesischen Koordinaten Ubungsaufgaben Parameterdarstellung, Linienintegral Parameterdarstellung von Kurven Differentiation eines Vektors nach einem Parameter Das Linienintegral Berechnung von speziellen Linienintegralen Berechnung des Linienintegrals im allgemeinen Fall Ubungsaufgaben Oberflachenintegrale Der Vektorflufi durch eine Flache Das Oberflachenintegral Berechnung des Oberflachenintegrals fur Spezialfalle Der Flufi eines homogenen Feldes durch einen Quader Der Flufi eines radialsymmetrischen Feldes durch eine Kugeloberflache Berechnung des Oberflachenintegrals im allgemeinen Fall FluB des elektrischen Feldes einer Punktladung durch eine Kugeloberflache mit Radius R Ubungsaufgaben Divergenz und Rotation* Divergenz eines Vektorfeldes Integralsatz von Gaufi Rotation eines Vektorfeldes Integralsatz von Stokes Potential eines Vektorfeldes 106

8 18.6 Anhang Ubungsaufgaben Ill 19 Koordinatentransformationen und Matrizen Koordinatenverschiebungen - Translationen Drehungen Drehungen im zweidimensionalen Raum Mehrfache Drehung Drehungen im dreidimensionalen Raum Matrizenrechnung Darstellung von Drehungen in Matrizenform Spezielle Matrizen Inverse Matrix Ubungsaufgaben Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Lineare Gleichungssysteme Gaufi'sches Eliminationsverfahren, schrittweise Elimination der Variablen GauB-Jordan Elimination Matrixschreibweise linearer Gleichungssysteme und Bestimmung der inversen Matrix Existenz von Losungen Determinanten Einfiihrung Definition und Eigenschaften der n-reihigen Determinante Rang einer Determinante und Rang einer Matrix Anwendungsbeispiele fur die Determinantenschreibweise Cramersche Regel Ubungsaufgaben Eigenwerte und Eigenvektoren* Eigenwerte von 2x2 Matrizen Bestimmung von Eigenwerten 163 3

9 4 Inhaltsverzeichnis 21.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3x3 Matrix Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren Ubungsaufgaben Fourierreihen* Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourierreihe Beispiele fur Fourierreihen Symmetriebetrachtungen Rechteckschwingung, Kippschwingung, Dreieckschwingung Die Fourierreihe fur Funktionen beliebiger Periode T Fourierreihe in spektraler Darstellung Ubungsaufgaben Fourier-Integrale* Ubergang von der Fourierreihe zum Fourier-Integral Fourier-Transformationen Fourier-Kosinustransformation Fourier-Sinustransformation Komplexe Darstellung der Fourier-Transformation Verschiebungssatz Diskrete Fourier-Transformation, Abtasttheorem Fourier-Transformation der Gaufischen Funktion Ubungsaufgaben Laplace-Transformationen* Integral-Transformationen, Laplace-Transformationen Integral-Tranformation Die Laplace-Transformation Die Riicktransformation Laplace-Transformation von Standardfunktionen und allgemeine Regeln Laplace-Transformation einer Konstanten Laplace-Transformation einer Exponentialfunktion Laplace-Transformation trigonometrischer Funktionen

10 Laplace-Transformation einer linearen Funktion Verschiebungssatz Dampfungssatz Linearitatssatz Laplace-Transformation von Ableitungen Laplace-Transformation von Potenzen Losung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Losung von simultanen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Ubungsaufgaben Die Wellengleichungen Wellenfunktionen Die Wellengleichung Ubungsaufgaben Anhang Partialbruchzerlegung 228 Sachwortverzeichnis