Inhalt. Vorwort 1. Bibliografische Informationen digitalisiert durch. Analysis # *.. * *» 4

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1 Inhalt Vorwort 1 Analysis # *.. * *» 4 Differentialrechnung 4 Produktregel 5 Höhere Ableitungen 6 Quotientenregel 7 Kettenregel 8 Anwendung der Kettenregel 9 Einige wichtige Ableitungen 11 Integralrechnung 11 Partielle Integration 16 Integration durch Substitution 16 Vereinfachung durch Partialbruchzerlegung 18 Gebietsintegral oder Doppelintegral 18 Schief abgeschnittener elliptischer Zylinder 20 Hauptsatz der Analysis 22 Einige wichtige unbestimmte Integrale 23 Reihen 24 Geometrische Reihe 24 Harmonische Reihe 28 Alternierende Reihe 29 Volumen einer Kugel 32 Majorante und Minorante einer Reihe 34 Quotientenkriterium 35 Cauchy Kriterium 36 Spezielle Reihen 36 Taylorreihe 37 Beweis für die Eulersche Zahl e 39 Beweis für den natürlichen Logarithmus In 40 Taylor-Entwicklung für einige trigonometrische Funktionen 42 Differentialgleichungen 42 Problemstellungen / Lösungsmethoden 44 Geschichte und Motivation 44 Typen von Differentialgleichungen 45 Gewöhnliche Differentialgleichungen 45 Spezielle lineare Differentialgleichungen 47 Lineare Differentialgleichung 50 Bibliografische Informationen digitalisiert durch

2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung 53 Homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 54 Inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 56 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 60 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 62 Aufgaben zur Analysis 65 Ein Floh hüpft im Dreieck 65 Ein auf dem Zahlenstrahl herumhüpfender Floh 67 Geometrische Reihe im rechtwinkligen Dreieck 68 Bauklötzchen Überhang 69 Kreuzung und 2 Autos 70 Koeffizienten einer Parabel, die drei Geraden berührt 72 Sich überlagernde Parabeln 73 Untersuchung von Polynomen 76 Bierdeckel drehen 78 Kurvendiskussionen 80 Ganzrationale Funktion 3. Grades 81 Gebrochen rationale Funktionen 83 Achsensymmetrische Parabel 4. Grades 89 Maximales Volumen einer Schachtel 91 Maximale Fläche unter einer Kurve 92 Durchbiegung eines eingespannten Trägers unter Last 94 Inhomogene lineare DGL 2. Ordnung 96 Homogene lineare DGL 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 97 Algebra 100 Fundamentalsatz der Algebra 101 Lineare Gleichungssysteme 102 Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n 108 Beweis durch vollständige Induktion 109

3 Die Summe der Quadratzahlen von 1 bis n Summe der Kubikzahlen von 1 bis n Binomischer Lehrsatz 114 Die Mitternachtsformel oder doch nicht? 117 Wurzelziehen per Hand 119 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 121 Lineare Optimierung 124 Aufgaben zur Algebra 128 Endziffern von Potenzen 128 Mathe-Olympiade 2008/ Münzen im Geldsack 132 Kopf und/oder Zahl 132 Umfüllaufgaben 133 Wer lügt, wer sagt die Wahrheit? 135 Flussüberquerung 137 Anwendung der Logarithmus Regeln 138 Mischungsverhältnis ändern 139 Klassenfahrt 140 Geometrie Geschichte der Geometrie 143 Der Goldene Schnitt 145 Satz des Pythagoras 147 Der Kreis des Thaies 149 Schwerpunkt eines Dreiecks 149 Additionstheorem Sinus, Cosinus und Tangens 152 Peripherie-und Mittelpunktswinkel 155 Cartesische versus Polar-Koordinaten 157 Kugelkoordinaten 162

4 Bewegte Bezugssysteme 163 Aufgaben zur Geometrie 168 Pyramidenbesteigung 168 Additionstheorem für den Cosinus 172 Quadrat im rechtwinkeligen Dreieck 173 Zerlegung eines Dreiecks 177 Konstruktion eines regelmäßigen Zehnecks 179 Vier Viertelkreise im Quadrat 182 Kreisausschnitte 183 Geometrien im Sechseck 185 Spinne frisst Fliege 187 Ein Sechseck im Quader 189 Spielerei mit sich berührenden Kreisen 190 Begrenzung einer Weidefläche 196 Elfmeter genau an die Querlatte 197 Verhältnisse im Parallelogramm 199 Faden um einen Würfel 201 Pflasterung mit Doppelsteinen 203 Vektoralgebra 205 Allgemeines 205 Rechenoperationen 207 Addition und Subtraktion 207 Multiplikation mit einem Skalar 208 Skalarprodukt 208 Kreuzprodukt 211 Spatprodukt 213 Schnittpunkt der Seitenhalbierenden 215 Orthogonalbasis 215 Anwendungsbeispiele 219 Lorentzkraft 219

5 Gravitation und Satelliten Umlaufbahn 220 Geraden 222 Punkt-Richtungs-Form 222 Zwei-Punkte-Form 223 Abstand Punkt - Gerade 224 Abstand zweier Geraden 230 Ebenen 232 Standardform: Punkt und zwei Richrungsvektoren 232 Drei-Punkte-Form einer Ebene 234 Hessesche Normalform einer Ebene 236 Abstand Punkt - Ebene 238 Schnitt zweier Ebenen 238 Aufgaben zur Vektoralgebra...* Ablenkung von der geplanten Flugrichtung 242 Ellipsen und Hyperbeln 243 Brennpunkt von Paraboloiden 247 Ecken eines Würfels 249 Winkelberechnung aus den Seitenlängen eines Dreiecks 253 Flugzeug im Landeanflug 254 Einfache Berechnungen mittels Vektoralgebra 257 Aufstellung der Ebenen-Gleichung 257 Spiegelung von Punkten an einer Ebene 260 Geraden und vieles mehr 261 Projektion 270 Kombinatorik 272 Anordnung von Permutationen 272 Unterscheidbare Objekte mit Beachtung der Reihenfolge 272 Objekte mehrerer Klassen mit/ohne Beachtung der Reihenfolge 273 Auswählen mit Beachtung der Reihenfolge (Variationen) 275 Variation ohne Zurücklegen 275 Variation mit Zurücklegen 275 Auswählen ohne Beachtung der Reihenfolge (Kombinationen) 276 Kombination ohne Zurücklegen 276

6 Kombination mit Zurücklegen (Repetition) 277 Würfelspiel 278 Zusammenfassung 281 Kugeln aus Urne ziehen 281 Bedingte Wahrscheinlichkeit 286 Aufgaben zur Kombinatorik 290 Pokerblätter 290 Kein Trumpf auf der Hand 293 Doppelkopf 296 Streichholz ziehen 302 Index 305 Literaturverzeichnis 307 VI