Der Satz von Stone-Weierstraÿ

Transkript

1 Der Satz von Stone-Weierstraÿ Bachelorarbeit vorgelegt von Ulf Biallas Matrielnummer April 010 Angefertigt im Rahmen des Seminars Numerische Mathemati Faultät für Mathemati, Universität Bielefeld betreut durch Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn, Prof. Dr. Etienne Emmrich, Dr. Thorsten Hüls

2 Der Satz von Stone-Weierstraÿ Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 3 3 Einige Anwendungen Approximation omplexwertiger Funtionen Approximation von Funtionen auf Produtmengen Approximation von periodischen Funtionen durch trigonometrische Polynome Schluss 5 Literatur 3 6 Selbständigeitserlärung 4

3 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 3 1 Einleitung Karl Weierstraÿ formulierte 1885 einen Approximationssatz, der besagt, dass eine stetige reellwertige Funtion auf einem ompaten Intervall beliebig gut durch Polynome approximiert werden ann. Dieser, nach ihm benannte, (lassische) Satz von Weierstraÿ trit allerdings weder Aussagen über Funtionen, die auf anderen Mengen als einem ompaten reellen Intervall deniert sind noch über eine Approximation durch andere Funtionen als Polynome. Eine Verallgemeinerung, die auch diese Problemstellung beinhaltet, ist 1937 dem amerianischen Mathematier Marshall Harvey Stone gelungen. Dieser allgemeinere Satz ist heute als Satz von Stone-Weierstraÿ beannt und soll das Thema dieser Arbeit werden. Wir wollen chronologisch mit dem Satz von Weierstraÿ beginnen und diesen Schritt für Schritt verallgemeinern, bis wir den Satz von Stone-Weierstraÿ formulieren önnen. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass wir den Zusammenhang der beiden, auf den ersten Blic sehr unterschiedlich erscheinenden, Sätze besser verstehen. Der anschlieÿende Beweis des Satzes von Stone-Weierstraÿ erfordert einige Vorarbeit, da wir den lassischen Satz von Weierstraÿ für den Beweis nicht benutzen wollen und folglich die in einem der Hilfssätze benutzte Approximation der Wurzelfuntion auf andere Weise zeigen müssen. Wenn der Satz von Stone-Weierstraÿ dann aber bewiesen ist, erhalten wir den lassischen Satz von Weierstraÿ als einfachen Spezialfall. Zum Schluss wollen wir an einigen Beispielen zeigen, wie sich der Satz von Stone-Weierstraÿ anwenden lässt. Dazu wollen wir diesen zuerst auch für omplexwertige Funtionen beweisen und dann auf zwei unterschiedliche Probleme anwenden. Der Satz von Stone-Weierstraÿ Wir beginnen mit dem lassischen Satz von Weierstraÿ aus dem Jahre Es existiert ein onstrutiver Beweis, der eine Approximation durch Bernsteinpolynome liefert, auf den wir aber in dieser Arbeit nicht eingehen wollen. Satz.1. Approximationssatz von Weierstraÿ Sei I R ein ompates Intervall, P C(I, R) die Menge der auf I denierten Polynome und f C(I, R). Dann gibt es eine Folge (p n ) n N P von Polynomen, die gleichmäÿig gegen f onvergiert. Da C(I, R) mit der durch die Maximum-Norm induzierten Metri d(f, g) = f g := max f(x) g(x) für f, g C(I, R) x I

4 4 Der Satz von Stone-Weierstraÿ einen metrischen Raum (C(I, R), d) bildet, ist jede Folge, die auf C(I, R) onvergiert, eine Funtionenfolge, die auf I gleichmäÿig onvergiert. Damit ist die Aussage des Satzes gleichbedeutend damit, dass es zu jedem f C(I, R) eine Folge (p n ) P gibt mit lim p n = f. n Denn wenn p n gegen f onvergiert, gibt es zu jedem ɛ > 0 ein Index N N mit f p n = max f(x) p n(x) < ɛ x I für alle n N. Gilt aber max x I f(x) p n (x) < ɛ, so gilt erst recht f(x) p n (x) < ɛ für alle x I und alle n N. Dies entspricht aber gerade der gleichmäÿigen Konvergenz auf I. Als Teilmenge eines metrischen Raumes, lässt sich von P der Abschluss P bezügliche der Metri d bilden, dessen Elemente Grenzwerte von Folgen aus P sind. Wegen lim n p n = f ist f Grenzwert einer Folge aus P und es gilt damit f P und folglich auch C(I, R) P, womit wir den Satz von Weierstraÿ auch wie folgt formulieren önnen: Satz.. Approximationssatz von Weierstraÿ: Alternative Formulierung Sei I R ein ompates Intervall und P C(I, R) die Menge der auf I denierten Polynome. Dann gilt P = C(I, R), d.h. P liegt dicht in C(I, R). Auf der Menge C(I, R) aller stetigen reellwertigen Funtionen auf I sind Addition und der Multipliation für alle f, g C(I, R) deniert durch (f + g)(x) := f(x) + g(x) und (f g)(x) := f(x) g(x). Aus der Denition folgt unmittelbar, dass die in R geltenen Assoziativ- und Kommutativgesetze für Addition und Multipliation sowie das Distributivgesetz auch für die Addition und Multipliation von Funtionen in C(I, R) gilt. Da zusätzlich C(I, R) nicht nur mit einer Funtion f auch f, sondern auch alle onstanten Funtionen einschlieÿlich 0 und 1 enthält, erfüllt (C(I, R), +, ) alle Axiome eines Ringes. Die Teilmenge P C(I, R) aller Polynome ist ein Unterring, denn sowohl Summe und Produt von Polynomen sind wieder ein Polynom, als auch die Nullfuntion, als neutrales Element der Addition. Der Unterring P C(I, R) hat dabei zwei Eigenschaften: Zum einen enthält er mit den Polynomen vom Grad 0 alle onstanten Funtionen. Zum

5 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 5 anderen gibt es zu je zwei verschiedenen Punten x, y I mindestens eine Funtion f P mit f(x) f(y), im einfachsten Falle nämlich ein lineares Polynom mit einer von Null verschiedenen Steigung. Einen Funtionenraum, der diese zweite Eigenschaft hat, bezeichnet man auch als puntetrennend. Wir wollen den Approximationssatz von Weierstraÿ nun soweit verallgemeinern, dass wir Funtionen auf einem beliebigen ompaten metrischen Raum X anstatt auf einem abgeschlossenen Intervall I R betrachten und von dem Unterring nur noch diese beiden Eigenschaften verlangen, womit wir auch andere Funtionstypen als Polynome erfassen. Satz.3. Satz von Stone-Weierstraÿ Sei X ein ompater metrischer Raum und A ein Unterring von C(X, R), der folgende Eigenschaften erfüllt: 1. A enthalte alle auf X onstanten Funtionen,. A ist puntetrennend. Dann gilt A = C(X, R). Wir wollen uns bei dem Beweis dieses Satzes an [1, S.54-60] orientieren. Bevor wir jedoch mit dem eigentlichen Beweis beginnen, müssen wir einige Hilfssätze formulieren und beweisen. Wir beginnen mit der Denition eines verallgemeinerten Binomialoezienten, der im oberen Parameter reelle Zahlen zulässt und für das darauf folgende Lemma benötigt wird. Denition.4. Verallgemeinerter Binomialoezient Seien α R und Z. Dann sei der verallgemeinerte Binomialoezient gegeben durch α(α 1)(α )... (α ( 1)) ( ) α,wenn > 0,! = 1,wenn = 0, 0,wenn < 0. Es gelten dabei die Rechenregeln ( ) ( ) α α 1 = + ( ) α 1 α ( ) α 1, (.1) 1 ( ) α = ( + 1). (.) + 1 Eine ausführliche Herleitung dieser Regeln ndet sich z.b im [4, S.401].

6 6 Der Satz von Stone-Weierstraÿ Lemma.5. Binomialreihe Seien α R und Z. Für alle x R mit x < 1 gilt =0 Beweis. Sei (a ) N := ( α ). Es gilt a +1 x +1 ( α ) a x = +1 ( α x ) = ( ) α x = (1 + x) α. α(α 1)(α )... (α ) (+1)! α(α 1)(α )... (α ( 1))! sowie lim α + 1 x = lim α x = x. Nach dem Quotientenriterium onvergiert die Reihe für x < 1. x = α + 1 x Nun müssen wir aber noch zeigen, dass die Reihe für x < 1 wirlich gegen (1 + x) α onvergiert. Dazu denieren wir eine Funtion f durch f(x) := =0 ( α ) x. Als nächstes werden wir zeigen, dass f der Dierentialgleichung =0 =0 (1 + x)f (x) = αf(x) (.3) genügt. Dazu benötigen wir die 1. Ableitung von f. Diese lautet ( ( ) ) α ( ) α ( ) α ( ) α f (x) = x = x 1 = x 1 = ( + 1) + 1 und mit. folgt f (x) = α =1 ( ) α 1 x. =0 Wir önnen nun allein mit den Rechenregeln.1 und. des Binomialoezienten sowie einiger Indexverschiebungen die Dierentialgleichung herleiten. ( ) α 1 (1 + x)f (x) = (1 + x)α x = =0 =0 ( ( ) α 1 ( ) α 1 α x + )x +1 =0 =0 x (.4) Da der Summand = 0 der linen Summe von.4 gleich 1 ist önnen wir durch Addition einer 1 die Summe bei = 1 starten lassen. Bei der rechten Summe verschieben wir den

7 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 7 Index so, dass sie auch bei = 1 startet. Dadurch hat der Fator x in beiden Summen die gleiche Potenz und wir önnen die Summen zusammenziehen. α ( 1 + ( ) α 1 ( ) ( α 1 x + )x = α =1 =1 =1 =0 (( ) α 1 + Mit Anwendung von.1 folgt dann ( ( ) α ( ) α α 1 + )x = α x = αf(x). Betrachten wir nun die Funtion und ihre Ableitung =1 ( )) ) α 1 x 1 (1 + x) α f(x) (.5) ((1 + x) α f(x)) = (1 + x) α 1 f(x) ((1 + x)f (x) αf(x)). Wegen der Dierentialgleichung.3 ist der Fator ((1 + x)f (x) αf(x)) gleich Null und die Ableitung verschwindet. Demnach muss es sich bei.5 um eine onstante Funtion handeln. Es gibt also ein c R mit (1 + x) α f(x) = c. Da wir wissen, dass f(0) = 1 ist, önnen wir das c durch c = 1 α f(0) = 1 bestimmen. Es gilt also (1 + x) α f(x) = 1 und durch Multipliation von (1 + x) α folgt die Behauptung. Korollar.6. Potenzreihe der Wurzelfuntion Für x R mit 0 x 1 gilt ( 1 ) 1 x = ( 1) x. =0 Beweis. Mit der Binomialreihe für α = 1 und Einsetzen von x für x folgt die Behauptung für 0 x < 1. Es bleibt noch zu zeigen, daÿ die Reihe auch für x = 1 onvergiert. Dazu rechnen wir zuerst ( ) 1 aus: ( 1 ) = 1! 1 (1 1)... (1 + 1) = 1! 1 (1 ) (1 4 )... (1 ) = 1! = ( 1) ( 3) 1 = ( 1) ( 3)! 4...

8 8 Der Satz von Stone-Weierstraÿ In dieser Form sieht man, daÿ ( ) 1 immer nur bei ungeraden > 0 einen positiven Wert annimmt, also genau dann, wenn ( 1) negativ ist. Folglich gilt für > 0 ( 1 ) ( 1 ( 1) = ) und weiter =0 ( 1 ) ( 1) x = 1 =1 ( 1 ) x. (.6) Wir wollen im Folgenden den Abelschen Grenzwertsatz anwenden. Für x = 1 lautet.6 ( 1 ) 1. (.7) Konvergiert.7, so onvergiert die Potenzreihe.6 gleichmäÿig auf [0, 1]. =1 Da wir bei.6 den Betrag des Binomialoezienten summieren und x in einem positiven Intervall liegt, ist die Folge a n (x) = 1 n ( ) 1 x monoton fallend. Für 0 x < 1 =1 wissen wir, daÿ a n (x) gegen 1 x > 0 onvergiert. Da a n (x) monoton fallend ist, önnen wir für 0 x < 1 sogar sagen, dass jedes Glied der Folge gröÿer Null ist. Wegen der Stetigeit von a n (x) in x = 1 für alle n gilt sogar a n (x) > 0 für alle 0 x 1. Damit ist auch die Folge a n (1) monoton fallend und nach unten beschränt und folglich onvergent. Die Reihe.7 onvergiert also. Wir wissen nun, dass die Potenzreihe.6 gleichmäÿig auf [0, 1] onvergiert. Des Weiteren sind.6 und 1 x auf dem Intervall [0, 1] stetig und.6 onvergiert für 0 x < 1 gegen 1 x. Also muss.6 auch für x = 1 gegen 1 x onvergieren. Lemma.7. Sei X ein ompater metrischer Raum und A ein Unterring von C(X, R). Dann ist auch A ein Unterring von C(X, R). Beweis. Seien a, b A. Dann gibt es Folgen (a n ) n N, (b n ) n N von Elementen aus A mit lim a n = a und lim b n = b. n n Betrachten wir nun die Folgen a n +b n und a n b n, welche, da A als Unterring abgeschlossen bezüglich Addition und Multipliation ist, ebenfalls aus A sind. Nach den Grenzwertsätzen existieren die Grenzwerte dieser Folgen und es gilt lim (a n + b n ) = a + b sowie lim (a n b n ) = a b n n womit a + b und a b auch Grenzwerte von Folgen aus A und damit im Abschluss enthalten sind. A ist also abgeschlossen bezüglich Addition und Multipliation und damit ein Unterring.

9 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 9 Das folgende Lemma ist von entscheidender Bedeutung für den Beweis des Satzes von Stone-Weierstraÿ. Insbesondere werden die beiden von.3 an A gestellen Bedingungen für dessen Beweis benötigt, aber nicht mehr diret für den eigentlichen Beweis des Satzes. Vorher müssen wir jedoch noch das Maximum und Minimum von zwei Funtionen denieren. Denition.8. Seien f und g zwei Funtionen. Dann bezeichnen wir mit dem Maximum von f und g die Funtion max(f, g) = { f(x), falls f(x) g(x), g(x), falls f(x) < g(x). Analog ist das Minimum von f und g die Funtion { f(x), falls f(x) g(x), min(f, g) = g(x), falls f(x) > g(x). max( f, g) min( f, g) f g Abbildung 1: Die Graphen zweier Funtionen f und g sowie deren Minimum und Maximum Lemma.9. Sei X ein ompater metrischer Raum und A ein Unterring von C(X, R) mit den beiden geforderten Eigenschaften aus dem Satz von Weierstraÿ und Stone ( A enthält alle onstanten Funtionen und ist puntetrennend). Dann gilt: a) Zu zwei beliebig gewählten voneinander verschiedenen Punten x, y X und beliebigen Werten a, b gibt es mindestens eine Funtion f A mit f(x) = a und f(y) = b. X

10 10 Der Satz von Stone-Weierstraÿ b) Gehört g zu A, so auch g. c) Gehören g 1 und g zu A, so gehören auch min(g 1, g ) und max(g 1, g ) zu A. Beweis. a) Da A puntetrennend ist gibt es eine Funtion g A mit g(x) = α und g(y) = β, wobei α β. Denieren wir f durch f(ξ) := a + b a (g(ξ) α), ξ X, β α so haben wir eine Funtion gefunden, die, da A ein Ring ist und alle Konstanten enthält, ebenfalls in A liegt und die geforderte Bedingung erfüllt: f(x) = a + b a (α α) = a β α f(y) = a + b a (β α) = a + b a = b β α b) Sei g A. Wir önnen g auch mit Hilfe der Wurzelfuntion ausdrücen durch g(x) = g (x). Mit Nullergänzung erhalten wir g g + g (x) = g ( g g (x)) = g g ( g g (x)) g = g 1 g g (x) g. (.8) Da aus g = max y X g(y) g(x) x X auch g Beziehung g (x) folgt gilt die 0 g g (x) g 1. (.9) Setzen wir nun z := g g (x), so önnen wir.8 schreiben als g g 1 z. Wegen.9 gilt 0 z 1 und wir önnen 1 z mit Korollar.6 durch eine Potenzreihe ausdrücen. Da die Partialsummen dieser Potenzreihe Polynome sind und A nach Lemma.7 abgeschlossen bezüglich Addition und Multipliation ist, liegt auch die Potenzreihe und damit g in A.

11 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 11 c) Dass mit zwei Funtionen g 1 und g aus A auch deren Minimum und Maximum zu A gehören folgt nun aus b), denn min(g 1, g ) und max(g 1, g ) lassen sich auch darstellen in der Form min(g 1, g ) = 1 (g 1 + g g 1 g ), max(g 1, g ) = 1 (g 1 + g + g 1 g ). Davon ann man sich schnell überzeugen, denn 1 (g 1+g ) ist das arithmetische Mittel der beiden Funtionswerte und 1 g 1 g die Hälfte des Abstands zwischen den beiden Werten. Beim Minimum wird nun die Hälfte des Abstands vom Mittelwert abgezogen, womit man genau bei dem niedrigeren Wert landet, beim Maximum wird stattdessen addiert und man landet beim höheren der beiden Werte: dem Maximum. Nachdem wie die Hilfssätze bewiesen haben, önnen wir nun mit dem eigentlichen Beweis des Satzes von Stone-Weierstraÿ beginnen. Beweis. Sei f eine beliebige Funtion aus C(X, R) und ɛ > 0. Weiter seien s, t zwei Punte aus X. Gilt s t, so gibt es nach Lemma.9.a) mindestens eine Funtion in A, die bei s und t gerade die Werte f(s) und f(t) annimmt. Diese Funtion wollen wir g s,t nennen. Im Fall s = t ist g s,t die onstante Funtion mit dem Wert f(s), welche nach Voraussetzung in A liegt. Da g s,t und f stetige Funtionen sind, ist auch ihre Dierenz g s,t f stetig. Insbesondere ist g s,t f im Punt s stetig und es gibt ein δ s > 0 so, dass für alle ξ X mit ξ s < δ s gilt: (g s,t (ξ) f(ξ)) (g s,t (s) f(s) ) < ɛ }{{}. =0 Dies entspricht der zweiseitigen Ungleichung die sich auch in der Form ɛ < g s,t(ξ) f(ξ) < ɛ, f(ξ) ɛ < g s,t(ξ) < f(ξ) + ɛ (.10) schreiben lässt. Diese δ s -Umgebung von s wollen wir U s nennen. Da g s,t f auch in t stetig ist, gibt es dort für ein δ t > 0 ebenfalls eine solche oene Umgebung, die wir U t nennen wollen. Wir önnen die zweiseitige Ungleichung.10 daher auch so formulieren:

12 1 Der Satz von Stone-Weierstraÿ Für alle ξ U s U t gilt f(ξ) ɛ < g s,t(ξ) < f(ξ) + ɛ. (.11) _ε f + f ε_ f g s,t U s s t U t X Abbildung : Die Umgebungen U s und U t Wir halten nun den Punt t fest und variieren s. Für jedes s X erhalten wir eine eigene Funtion g s,t A sowie eine eigene Umgebung U s. Und obwohl wir den Punt t festhalten auch eine eigene Umgebung U t, denn diese ist nicht nur von t, sondern auch von der Funtion g s,t abhängig. Variiert s auf ganz X, so bilden die Umgebungen U s eine oene Überdecung von X. Dazu reichen wegen der Kompatheit von X bereits endlich viele Umgebungen. Es gibt also endlich viele Punte s 1,..., s X, deren Umgebungen U s1,..., U s eine vollständige Überdecung von X bilden. Die Umgebungen des Puntes t bezeichnen wir mit U t1,..., U t. Wir haben nun Funtionen g si,t, i = 1,..., und önnen deren Minimum g t := min(g s1,t,..., g s,t) bilden, welches nach Lemma.9.c) zu A gehört. Da jeder Punt aus ξ X in einer der Umgebungen U s1,..., U s liegt und so eine der Funtionen g s1,t,..., g s,t wegen Ungleichung.11 an diesem Punt einen Wert leiner als f(ξ) + ɛ liefert, gilt g t (ξ) < f(ξ) + ɛ ξ X. (.1)

13 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 13 Der line Teil von Ungleichung.11 gilt zwingend nur für Elemente aus dem Schnitt aller U ti, i = 1,...,. gs,t gs,t 3 gs,t 1 gs,t gs,t 4 5 _ ε f + f _ ε f gt Abbildung 3: Das Minimum g t Wir fassen zusammen, was wir bereits gezeigt haben: Zu einem beliebigen Punt t aus X haben wir eine Funtion g t aus A gefunden, sodass für alle ξ X die Ungleichung g t (ξ) < f(ξ) + ɛ (.13) erfüllt ist. Für alle ξ aus dem Schnitt der Umgebungen U t1,..., U t, den wir mit U T benennen, gilt sogar die zweiseitige Ungleichung f(ξ) ɛ < g t(ξ) < f(ξ) + ɛ. (.14) X Nun lassen wir t auf ganz X variieren. Zu jedem t erhalten wir eine eigene Funtion g t und eine eigene Umgebung U T. Wegen der Kompatheit von X bilden bereits endlich viele derartige Umgebungen U T1,..., U Tn eine oene Überdecung von X. Von den dazugehörigen Funtionen g t1,..., g tn bilden wir das Maximum g := max(g t1,..., g tn ), welches nach Lemma.9.c) ebenfalls eine Funtion aus A ist. Des Weiteren ist für g die zweiseitige Ungleichung.14 auf ganz X erfüllt, denn jeder Punt aus X liegt in einer der

14 14 Der Satz von Stone-Weierstraÿ Umgebungen U T1,..., U Tn, sodass eine der Funtionen g t1,..., g tn an diesem Punt die zweiseitge Ungleichung.14 erfüllt. Damit ist das Maximum g an allen Punten ξ X gröÿer als f(ξ) ɛ. Durch Ungleichung.13 ist sichergestellt, dass das Maximum den Epsilon-Schlauch nicht nach oben verlässt. g gt t g 3 g t4 _ε f + f _ε f gt 1 t 1 t t 3 t 4 X Abbildung 4: Das Maximum g Wir haben nun gezeigt, dass es zu jedem f C(X, R) eine Funtion g A gibt mit f g < ɛ. Da die Elemente von A Grenzwerte von Folgen aus A sind, gibt es auch ein h A mit g h < ɛ. Mit Hilfe der Dreiecsungleichung folgt f h f g + g h < ɛ + ɛ = ɛ. Funtionen aus C(X, R) lassen sich also beliebig gut durch Funtionen aus A approximieren. Oder anders formuliert: A liegt dicht in C(X, R). Da ein abgeschlossenes Intervall I R ompat und die Menge P C(I, R) aller Polynome ein Unterring von C(I, R), der alle onstanten Funtionen enthält und puntetrennend (Man betrachte das Polynom p(x) = x) ist, folgt aus dem Satz von Stone-Weierstraÿ der Satz von Weierstraÿ.

15 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 15 3 Einige Anwendungen Nun, wo wir mit dem Satz von Stone-Weierstraÿ eine mächtige Verallgemeinerung des Satzes von Weierstraÿ bewiesen haben, wollen wir dessen Anwendungsmöglicheiten an einigen gängigen Beispielen demonstrieren. 3.1 Approximation omplexwertiger Funtionen Als erstes wollen wir den Approximationssatz (.3) auch auf omplexwertige Funtionen ausdehnen. Dazu müssen wir von dem Unterring A C(X, C) zusätzlich verlangen, dass er mit jeder Funtion f auch ihre omplex Konjugierte f enthält. Diese ist dabei deniert durch f(x) := f(x). Wir formulieren also folgenden Satz: Satz 3.1. Komplexer Satz von Stone-Weierstraÿ Sei X ein ompater metrischer Raum und A ein Unterring von C(X, C), der folgende Eigenschaften erfüllt: 1. A enthalte alle auf X onstanten Funtionen. A ist puntetrennend 3. Mit f liegt auch f in A. Dann gilt A = C(X, C), d.h. A liegt dicht in C(X, C). Beweis. Aufgrund der zusätzlichen Voraussetzung liegt mit einer Funtion f sowohl ihr Realteil Re f als auch ihr Imaginärteil Im f in A, denn diese lassen sich schreiben als Re f = f + f und Im f = f f. i Wir bezeichnen nun mit A R A die Teilmenge von A, die nur die reellwertigen Funtionen aus A enthält. Da Re f und Im f reellwertig sind gilt f A Re f A R Im f A R. Umgeehrt erhält man aus zwei Funtionen f 1, f A R eine Funtion f 1 + if aus A. Diese Feststellung führt zu folgendem Ansatz: Sei f C(X, C), dann sind Re f und Im f reellwertige Funtionen und liegen in C(X, R). Mit dem bereits bewiesenen Satz.3 önnen wir nun Re f und Im f durch Elemente f Re und f Im aus A R approximieren. Die gesuchte Approximation von f in A ist dann

16 16 Der Satz von Stone-Weierstraÿ f Re + if Im. A R enthält alle reellen Konstanten einschlieÿlich der Null. Auÿerdem sind Summe und Produt reellwertiger Funtionen reellwertig, sodass A R ein Unterring von C(X, R) ist. Da A nach Voraussetzung puntetrennend ist, gibt es zu beliebigen Punten x, y X eine Funtion f A mit f(x) f(y). Bei einer omplexwertigen Funtion heiÿt das, dass sich entweder die Realteile ((Re f)(x) (Re f)(y)), die Imaginärteile ((Im f)(x) (Im f)(y)), oder sogar beide unterscheiden. Da aber sowohl der Real-, als auch der Imaginärteil von f in A R liegen, gibt es in A R mindestens eine Funtion, die an den Punten x und y unterschiedliche Werte annimmt. Damit ist auch A R puntetrennend und erfüllt die Voraussetzungen für den Satz von Weierstraÿ und Stone. Sei nun f C(X, C) und ɛ > 0. Da A R dicht in C(X, R) liegt nden wir in A R zwei Funtionen f Re und f Im mit Re f f Re < ɛ und Im f f Im < ɛ. Mit f Re + if Im erhalten wir dann eine Funtion aus A, für die gilt: f (f Re + if Im ) Re f f Re + Im f f Im < ɛ. 3. Approximation von Funtionen auf Produtmengen Eine weitere interessante Anwendung wird in [6, S.37] beschrieben. Um den gerade bewiesenen Satz 3.1 auch nutzen zu önnen, wollen wir den folgenden Satz diret für omplexwertige Funtionen beweisen, für die er nämlich auch gilt. Satz 3.. Seien X, Y ompate metrische Räume und A C(X Y, C) die Menge der Funtionen der Form z(x, y) = f (x)g (y) =1 Dann gilt A = C(X Y, C). (f C(X, C), g C(Y, C), = 1,..., n). Beweis. Die Behauptung folgt diret aus dem Satz von Stone-Weierstraÿ für omplexwertige Funtionen. Wir müssen allerdings vorher sicherstellen, daÿ alle Voraussetzungen erfüllt sind. Sowohl C(X, C) als auch C(Y, C) enthält alle onstanten Funtionen, da diese stetig sind. Damit enthält auch A alle onstanten Funtionen, da sich diese in A zum Beispiel schreiben lassen als z(x, y) = (x) 1(y), wobei C(X, C) eine beliebige onstante Funtion

17 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 17 und 1 C(Y, C) die Funtion ist, die onstant den Wert 1 annimmt. Seien F, U A mit m F (x, y) = g (x)h (y) und U(x, y) = v l (x)w l (y). Es gilt sowie = m =1 =1 F (x, y) + U(x, y) = F (x, y) U(x, y) = m g (x)h (y) + =1 ( m g (x)h (y) =1 g (x)h (y)v l (x)w l (y) = l=1 m =1 l=1 v l (x)w l (y) l=1 ) v l (x)w l (y) l=1 (g v l )(x)(h w l )(y). A ist also abgeschlossen unter Addition und Multipliation und enthält mit allen onstanten Funtionen auch die Nullabbildung. Damit ist A ein Unterring von C(X Y, C). Da die omplexe Konjugation mit Addition und Multipliation verträglich ist gilt z(x, y) = f (x) g (y). =1 Es ist sowohl f (x) in C(X, C) als auch g (y) in C(Y, C). Also liegt mit z auch z in A. C(X, C) sowie C(Y, C) sind puntetrennend, da sie zum Beispiel die identische Abbildung enthalten. Seien (x 1, y 1 ), (x, y ) X Y zwei verschiedene Punte und o.b.d.a. x 1 x. Dann gibt es eine Funtion f C(X, C) mit f(x 1 ) f(x ). Mit z(x, y) = f(x) 1(y) erhalten wir eine Abbildung aus A, die puntetrennend ist. 3.3 Approximation von periodischen Funtionen durch trigonometrische Polynome Wir wollen nun zeigen, dass sich π-periodische Funtionen durch trigonometrische Polynome approximieren lassen sowie zum Schluss auch noch auf Funtionen mit beliebiger Periode eingehen. Vorher jedoch wollen wir erst einmal schauen, was ein trigonometrisches Polynom ist und wie es sich darstellen lässt. Denition 3.3. Eine Funtion f auf R der Gestalt l=1 f(x) = a 0 + (a cos(x) + b sin(x)) (3.15) heiÿt trigonometrisches Polynom vom Grad n. f heiÿt reell bzw. omplex, je nachdem ob die a, b aus R oder C sind. =1

18 18 Der Satz von Stone-Weierstraÿ Mit Hilfe der Euler-Identität lassen sich trigonometrische Polynome auch in eine omplexe Darstellung überführen, mit der sich einfacher rechnen lässt. Dies gilt nicht nur für omplexwertige trigonometrische Polynome, sondern auch für reellwertige. Lemma 3.4. omplexe Darstellung trigonometrischer Polynome Sei f ein reelles oder omplexes trigonometrisches Polynom. Dann ann es auch in der Form geschrieben werden. f(x) = = n c e ix c C (3.16) Beweis. Die Koezienten der einen Darstellung lassen sich diret in die Koezienten der anderen Darstellung umrechnen und umgeehrt. f(x) = = n c e ix = c 0 + c e ix + c e ix Mit Anwendung der Euler-Identität und den Beziehungen cos( x) = cos(x) und sin( x) = sin(x) folgt c 0 + =1 c (cos(x) i sin(x)) + c (cos(x) + i sin(x)) =1 = c 0 + (c + c ) cos(x) + (c c )i sin(x) =1 Koezientenvergleich mit der Darstellung 3.15 liefert Durch Lösen des Gleichungssystems a 0 = c 0, a = (c + c ), b = i(c c ). { c + c = a c c = ib erhalten wir auch die Umrechnung in die andere Richtung: c 0 = 1 a 0, c = 1 (a ib ), c = 1 (a + ib ). (3.17)

19 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 19 Sind a, b reelle Zahlen, so folgt aus 3.17 die Beziehung c = c. Das Polynom ist also trotz omplexer Darstellung noch reellwertig. Umgeehrt sind a, b für c = c reell. Das folgende Lemma bezieht sich auf Funtionen, die auf der omplexen Einheitslinie deniert sind. S 1 := {z C z = 1} = {e ix x R} C Lemma 3.5. Sei C(S 1, C) die Menge der stetigen omplexwertigen Funtionen auf der omplexen Einheitslinie und A C(S 1, C) die Menge der Funtionen der Gestalt Dann liegt A dicht in C(S 1, C). = n c z, c C, n N. Beweis. S 1 ist beschränt und abgeschlossen sowie mit der durch C induzierten Norm ein ompater metrischer Raum. Es bleibt zu prüfen, ob A die Voraussetzungen des omplexen Satz von Stone-Weierstraÿ erfüllt. Seien f, g A mit f(z) = = n Sei o.b.d.a. m = n. Dann gilt sowie f(z) g(z) = c z und g(z) = f(z) + g(z) = ( = n m l= m d l z l, c, d l C; m, n N. (c + d )z = n ) ( ) c z d l z l = l= n = n l= n c d l z +l. A ist demnach abgeschlossen unter Addition und Multipliation. Da mit c = 0 für alle auch die Nullabbildung in A liegt, ist A ein Unterring von C(S 1, C). Für c 1 = 1 und c = 0 für alle 1 enthält A die Funtion f(z) = z und ist damit puntetrennend. Ebenso enthält A mit c = 0 für alle 0 und c 0 beliebig alle Konstanten. Die omplexe Konjugation ist mit Addition und Multipliation verträglich, also gilt f(z) = = n c z = c z. = n

20 0 Der Satz von Stone-Weierstraÿ Aus z = 1 für alle z S 1 und der Beziehung zz = z folgt z = z 1 und damit f(z) = = n c z. Mit f liegt also auch f in A. Die Behauptung folgt aus dem Satz von Stone-Weierstraÿ. Kommen wir nun zu dem eigentlichen Satz, der, in Anlenung an [, S.64-66], nur noch eine Folgerung aus Lemma 3.5 ist. Der Satz von Stone-Weierstraÿ wird hier im Beweis nicht mehr verwendet. Satz 3.6. Sei C π (R, C) = {f C(R, C) : f(x) = f(x + π) x R} die Menge der stetigen omplexwertigen π-periodischen Funtionen auf R und A C π (R, C) die Teilmenge der trigonometrischen Polynome. Dann liegt A dicht in C π (R, C). Beweis. Jede Funtion f C π (R, C) ist bereits durch die Werte auf dem Intervall einer Periodenlänge, also [0, π), vollständig deniert, da sie dann nur noch periodisch fortgesetzt werden muss. Um die periodische Fortsetzbareit zu gewährleisten, betrachten wir die Funtion auf dem abgeschlossenen Intervall [0, π] mit der zusätzlichen Forderung f(0) = f(π). Sei also f C([0, π], C) mit f(0) = f(π). Um das Lemma anwenden zu önnen, müssen wir f mit einer Funtion auf S 1 identizieren. Wir betrachten daher die Funtion s(x) = e ix, durch die das Intervall [0, π) bijetiv und unter Erhaltung der Norm auf die Einheitsreislinie abgebildet wird. Umgeehrt wird S 1 durch s 1 auf [0, π) abgebildet. Jetzt önnen wir f mit einer Funtion g auf S 1 durch g := f s 1 identizieren, die als Verettung stetiger Funtionen, ebenfalls stetig ist. Auch önnen wir f nun als g s schreiben. Sei ɛ > 0. Nach Lemma 3.5 gibt es eine Funtion h(x) = c x, = n c C, n N mit g(x) h(x) < ɛ x S 1 Für alle x [0, π) liefert s Werte aus S 1, also gilt auch g(s(x)) h(s(x)) < ɛ x [0, π), was nichts anderes ist als f(x) c e ix < ɛ = n x [0, π). h(s(x)) ist also ein omplexes trigonometrisches Polynom, das f approximiert.

21 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 1 Dieser Satz lässt sich auch auf stetige reellwertige π-periodische Funtionen anwenden. Für ein f C π (R, R) und ein ɛ > 0 nden wir mit Lemma 3.5 eine Funtion h(x) = c x, = n c C, n N mit f h(s(x)) < ɛ x [0, π). Da h reellwertig sein muss gilt h(s(x)) = h(s(x)) und damit auch Wegen z = z 1 önnen wir = n = n c e ix = c e ix = = n = n c e ix = c e ix. = n c e ix folgern. Es gilt also die Beziehung c = c womit h(s(x)) ein reelles trigonometrisches Polynom ist. Es ist auch möglich periodische Funtionen einer beliebigen Periode p zu approximieren. Wir bezeichnen dazu mit C p (R, C) = {f C(R, C) : f(x) = f(x + p) x R} die Menge der p-periodische stetigen Funtionen. Es gilt dann: Korollar 3.7. Sei A C p (R, C) die Teilmenge der trigonometrischen p-periodischen Polynome. Dann liegt A dicht in C p (R, C). Beweis. Auch hier reicht es ein f C([0, p], C) mit f(0) = f(p) zu betrachten. Wir identizieren f wieder mit einer Funtion g auf S 1, diesmal mit der Funtion s(x) = e πi p x. Sei nun ɛ > 0, dann nden wir analog zum Beweis von Satz 3.6 mit Lemma 3.5 ein trigonometrisches Polynom mit f(x) = n c e πix p < ɛ x [0, p). Hierbei handelt es sich um ein p-periodisches trigonometrisches Polynom, das f approximiert.

22 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 4 Schluss Wir haben in dieser Arbeit einen sehr allgemeinen Approximationssatz und einige seiner vielseitigen Anwendungsmöglicheiten ennengelernt. Allerdings trit der Satz von Stone- Weierstraÿ nur eine Aussage darüber, ob eine Approximation möglich ist oder nicht. Wir haben einen onstrutiven Beweis gefunden, der uns diret eine Approximation liefert, önnen aber in Spezialfällen wie Satz 3. oder Satz 3.6 immerhin sagen, welche Form die Approximation hat.

23 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 3 5 Literatur [1] Josef Naas, Wolfgang Tutsche: Groÿe Sätze und schöne Beweise der Mathemati, Harri Deutsch Verlag (009), S [] H. Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil, B.G. Teubner Stuttgart (1995) [3] Walter Rudin: Analysis, Oldenbourg Wissenschaftsverlag (009), S (Deutsche Übersetzung von Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill (1964)) [4] Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I, Springer (00) [5] Helmut Pruscha, Daniel Rost: Mathemati für Naturwissenschaftler: Methoden, Anwendungen, Programmcodes, Springer (008) [6] Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funtionalanalysis: Vetorräume, Operatoren und Fixpuntsätze, Vieweg+Teubner Verlag (005) [7] Prof. Eberhard Freitag: Sriptum Analysis II, Sommersemester 009, Mathematisches Institut der Universität Heidelberg, S.39-4 [8] N. L. Carothers: Real Analysis, Cambridge University Press (000)

24 4 Der Satz von Stone-Weierstraÿ 6 Selbständigeitserlärung Ich versichere an Eides statt, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig und nur unter Verwendung der angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe. Bielefeld, den Ulf Biallas