1. Übungsblatt zur Analysis 3

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1 Hannover, den 2. Oktober 23 Aufgabe. Übungsblatt zur Analysis 3 Abgabe am 27./28. Oktober 23 vor den Stundenübungen (je 5 Punkte) Man zeige: a) Die Funktion f : N N N, f(m, n) := 2 (m + n)(m + n + ) + m, ist bijektiv. b) Sind A, B abzählbare Mengen, so ist auch das kartesiche Produkt A B := {(a, b) : a A, b B } abzählbar. Aufgabe 2 Man zeige, dass die Menge P(N) aller Teilmengen von N (die Potenzmenge von N) nicht abzählbar ist. Hinweis: Zu einer evt. Surjektion f : N P(N) betrachte man die Menge A := {n N : n f(n) }. Aufgabe 3 Sei f :, f(x) := x, für < x und f(x) := sonst, gegeben. Durch Angabe einer punktweise gegen f konvergierenden und monoton steigenden Folge von Treppenfunktionen mit beschränkter Integralfolge beweise man die Integrierbarkeit der Funktion f. Aufgabe 4 Knacki Wir betrachten die Menge N aller reeller Zahlen im Intervall [, ] die eine Dezimalbruchentwicklung ohne die Ziffer besitzen, also { } N := a n n : a n {, 2,, 9}. n= Man zeige, dass N eine überabzählbare und kompakte Nullmenge ist. koeditz/analysis3/ana3 3.htm

2 Hannover, den 27. Oktober 23 Aufgabe 5 2. Übungsblatt zur Analysis 3 Abgabe am 3./4. November 23 vor den Stundenübungen Man beweise Lemma 3. der Vorlesung: Sei Q n ein Quader. Dann gibt es zu jedem ε > einen offenen Quader Q mit Q Q und v(q ) v(q) < ε. Aufgabe 6 Sei I p ein kompakter Quader und (I n ), I n I, eine Folge paarweise disjunkter offener Quader mit v(i n ) = v(i). Man zeige: := I \ I n ist eine Nullmenge. n= Aufgabe 7 Es sei := [, ] [, ] 2. Die Funktion f : sei definiert durch { 2 für y x f(x, y) := für y < x n= Durch Angabe einer monoton steigenden Folge von Treppenfunktionen mit beschränkter Integralfoge, die fast überall gegen f konvergiert, zeige man f L + () und berechne f d(x, y). Aufgabe 8 Knacki Seien s, s 2,, s n \ {}, f L ( n ) und f (x,, x n ) := f ( x s,, xn s n ). Man zeige: f L ( n ) und f dx = s s n f dx. n n

3 Hannover, den 3. November 23 Aufgabe 9 3. Übungsblatt zur Analysis 3 Abgabe am./. November 23 vor den Stundenübungen Man zeige: Zu jedem f L ( n ) gibt es eine Folge (t k ) von Treppenfunktionen die fast überall gegen f konvergiert und für die f t k für k gilt. n Aufgabe (,3 und 2 Punkte) a) Man zeige: Ist (f k ) eine Folge in L ( n ) mit konvergenter eihe f k fast überall gegen eine Funktion f L ( n ) und es gilt k= n f(x) dx = lim j j k= k= n f k (x) dx. n f k dx, so konvergiert die eihe b) Man zeige: Die Funktion f L ( n ) ist genau dann fast überall gleich wenn f(x) dx = ist. n c) Sei f L (Q) (Q Quader) und N Q sei eine Nullmenge. f sei auf Q \ N beschränkt, etwa m f(x) M dort. Man beweise den Mittelwertsatz: m v(q) f(x) dx M v(q). Aufgabe p-dimensionale Cantormenge - Knacki Für p N sei C := [, ] p. Durch {( + 3j W n := 3 n, 2 + 3j ) ( + 3jp 3 n 3 n, 2 + 3j ) } p 3 n : j,, j p =,, 2,..., 3 n wird eine Menge von Teilintervallen W von C definiert. Sei C n := C \ n W und Cn die charakte- W W j ristische Funktion von C n, sowie Q f n : C, f n := j= n 2 j Cj. Man zeige, dass die Folge (f n ) auf C gegen eine integrierbare Funktion f konvergiert und berechne f(x) dx. C j=

4 Hannover, den. November 23 Aufgabe 2 4. Übungsblatt zur Analysis 3 Abgabe am 7./8. November 23 vor den Stundenübungen (je 5 Punkte) a) Man ermittle Folgen integrierbarer Funktionen f n : [, ], g n : die fast überall gegen integrierbare Funktionen f, g konvergieren und für die lim f n und lim g n nicht [,] existieren. b) Man ermittle Folgen integrierbarer Funktionen f n : [, ], g n : die fast überall gegen integrierbare Funktionen f, g konvergieren, für die lim f n und lim g n existieren [,] aber lim f n f und lim g n g gilt. Aufgabe 3 [,] [,] Sei Q n ein Quader und f L (Q) eine nichtnegative integrierbare Funktion. Zu c > sei A c := {x Q : f(x) c }. Man zeige: v(a c ) := Ac (x) dx Q c f(x) dx. Q Hinweis: Man muss natürlich die Integrierbarkeit von Ac zeigen. Hierzu betrachte man ϕ(x) := c min(c, f(x)) und untersuche die Folge (ϕk ). Aufgabe 4 Man zeige: Für t gilt F (t) := e x2 cos xt dx = π e t2 /4. Hinweis: F löst das Anfangswertproblem y (t) = 2 ty(t), y() = π. Man benutze o.b. e x2 dx = π. Aufgabe 5 Knacki Sei f L (A), A n. Man zeige: Zu jedem ε > gibt es ein δ > derart, dass f(x) dx < ε für alle E A mit v(e) := E E E (x) dx < δ gilt. Hinweis: Man betrachte die Folge (ϕ n ), ϕ n (x) := min(n, f(x) ). Für A ( f ϕ n)dx < ε/2 wähle man nun δ := ε/2n.

5 Hannover, den 7. November Übungsblatt zur Analysis 3 Abgabe am 24./25. November 23 vor den Stundenübungen Aufgabe 6 (je 5 Punkte) a) Sei F : := [a, b] [c, d] 2 eine zwei mal partiell stetig differenzierbare Funktion und f(x, y) := 2 F (x, y). Man zeige: x y f(x, y) d(x, y) = F (b, d) F (b, c) F (a, d) + F (a, c). b) Man zeige, daß die Funktion f : (, ) 2 2, f(x, y) := das Integral. x+y interierbar ist, und berechne Aufgabe 7 Man berechne ( x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 dx dy Was sagt Fubini dazu? und ( x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 dy dx. Aufgabe 8 (3,4 und 3 Punkte) Man bestimme jeweils das Volumen folgender Körper. a) (h, r) := {(x, y, z) 3 : (x, y, z) r, x 2 + y 2 r 2 h 2 }, h r, (ing der Höhe h). b) T (r, ) := {(x, y, z) 3 : ( x 2 + y 2 ) 2 + z 2 r 2 }, < r, (Torus). c) Ellipsoide die durch otation der Ellipse x2 a 2 + y2 = um die x bzw. y-achse entstehen. b2 Aufgabe 9 Knacki - Satz von Tonelli Sei f : Q := [a, b] [c, d] eine messbare Funktion. Es existiere mindestens eines der beiden iterierten Integrale b ( d ) d ( b ) f(x, y) dy dx, f(x, y) dx dy. a c Man zeige die Existenz und Gleichheit der iterierten Integrale b ( d ) d ( b f(x, y) dy dx, a c c c a a ) f(x, y) dx dy.

6 Hannover, den 24. November 23 Aufgabe 2 6. Übungsblatt zur Analysis 3 Abgabe am./2. Dezember 23 vor den Stundenübungen Zu a,, a n n sei das Simplex { S = S(a,, a n ) := x = } n t k (a k a ) : t k, t + + t n k= betrachtet. Man zeige v n (S) = n! det(a a,, a n a ). Aufgabe 2 (je 5 Punkte) Man berechne das Maß folgender Körper a) K Z mit K := {x 3 : x r}, r >, und Z := {x 3 : (x r 2 )2 + x 2 2 r2 4 }. b) Z Z 2 mit Z := {(x, y, z) 3 : x 2 +y 2 r 2 } und Z 2 := {(x, y, z) 3 : x 2 +z 2 r 2 }, r >. Hinweis: Zylinderkoordinaten Aufgabe 22 Sei A n eine beschränkte messbare (und damit integrierbare) Menge. Der (geometrische) Schwerpunkt s A ist definiert durch s A := ( ) x dx,, x n dx, x = (x,, x n ). v(a) A A Man berechne die Schwerpunkte der Mengen A := {(x, y) : x π, y sin x } und A 2 := {(x, y, z) : z, x 2 + y 2 + z 2 }. Aufgabe 23 Knacki Sei ρ : [, 2 ] [, ) eine beschränkte integrierbare Funktion und u : 3 ρ( x ) u(p) := x p dx. x 2 Hierbei sei x die euklidische Norm. Man zeige: In B () ist u konstant und für p B 2 () gilt u(p) = 4π 2 ρ(r)r 2 dr. p Hinweis: Für p = (,, a) ist x p = a 2 + r 2 2ar cos ϑ in Kugelkoordinaten. Newton-Potential einer Kugelschale im 3 bei einer rotationsymmetrischen Dichteverteilung

7 Hannover, den. Dezember 23 Aufgabe 24 Man berechne I := e (x+y)2 d(x, y). Aufgabe 25 2 > (je 5 Punkte) 7. Übungsblatt zur Analysis 3 Abgabe am 8./9. Dezember 23 vor den Stundenübungen Sei K 3 eine kompakte Menge und A 3 eine Gerade. Ferner sei ρ : K eine integrierbare positive Funktion (Massendichte). Das Trägheitsmoment von K bezgl. A ist Θ A (K) := K ρ(x)r2 A (x) dx. Hierbei ist r A (x) der Abstand des Punktes x K von der Achse A. a) Man beweise den Steinerschen Satz: Ist M := ρ(x) dx die Masse von K, A eine Gerade durch den K Schwerpunkt s = xρ(x) dx/m von K und A eine zu A parallele Gerade im Abstand a, so gilt K Θ A (K) = Θ A (K) + Ma 2. b) Man verifiziere den Satz von Steiner für den Körper K := {(x, x 2, x 3 ) : x L, x x }, (L, > ), mit ρ und A = {(L/2,, x 3 ) : x 3 }, A = {(,, x 3 ) : x 3 }. Aufgabe 26 (7 und 3 Punkte) Für p sei l p := {(x n ) n N : n= x n p < } und (x n ) := ( n= x n p ) /p. Ferner sei l die Menge der abbrechenden Folgen in. Man zeige a) l p ist ein Banachraum. b) l ist als Teilraum von l p ein normierter aber nicht vollständiger aum. l ist jedoch dicht in l p, d.h. zu jedem x l p und jedem ε > gibt es ein x l mit x x < ε. Aufgabe 27 Knacki { Man zeige: Das Ellipsoid E := x 3 : ( x a ) 2 + ( x2 a 2 ) 2 + ( x3 a 3 ) 2 } Dichte ρ bezüglich der Ursprungsgeraden mit ichtung v, v =, das Trägheitsmoment Θ v (E) = 4π 3 ρ a a 2 a a 2 n( vn) 2. n=, a j >, hat bei konstanter Für welche v wird Θ v (E) extremal? Hinweis: Man verwende verallgemeinerte Kugelkoordinaten x = a r cos ϕ sin ϑ, y = a 2 r sin ϕ sin ϑ, z = a 3 r cos ϑ und benutze π sin3 ϑ dϑ = 4 3.

8 Hannover, den 8. Dezember Übungsblatt zur Analysis 3 Abgabe am 5./6. Dezember 23 vor den Stundenübungen Aufgabe 28 (je 5 Punkte) Man berechne { die Fourierreihe von, für x π a) f(x) := 2, für π < x < 2π (2π-periodisch fortgesetzt); b) f(x) := sin x. Aufgabe 29 Für α / Z sei f(x) := π cos αx für < x < 2π und f() := π 2 (cos 2πα + ) als 2π-periodische Funktion auf ganz fortgesetzt. Diese Funktion wird durch ihre Fourierreihe dargestellt (ohne Beweis). Man berechne die Fourierreihe von f und zeige durch Betrachtung bei x = und x = π die Gültigkeit folgender Formeln: πα cot πα = + 2α 2 n= α 2 n 2 und πα sin πα = + 2α2 n= ( ) n α 2 n 2. Aufgabe 3 (je 5 Punkte) iemann-lemma a) Sei f : [a, b] eine stetig differenzierbare Funktion. Man zeige: lim b) Sei nun f L ([a, b]). Man zeige, dass auch hier lim t b a t b a f(x) sin xt dx =. f(x) sin xt dx = richtig ist. Aufgabe 3 (4,2,2 und 2 Punkte) (*) Seien f, g L () und F : 2, F (x, y) := f(x)g(y x). Für alle y, für die das Integral existiert sei (f g)(y) := f(x)g(y x) dx. (Faltung) Man zeige: a) Für fast alle y ist F (x, y) (als Funktion von x) über integrierbar. (Beachte HA9) b) (f g)(y) dy f(y) dy g(y) dy. c) f g = g f. d) Sei f die charakteristische Funktion von [, ] und g die von [, 3]. Man berechne und skizziere f g.

9 Hannover, den 8. Dezember 23 Aufgabe Übungsblatt zur Analysis 3 Abgabe am 5./6. Januar 24 vor den Stundenübungen Die Funktion f(x) := x(π x) für x π werde als gerade Funktion auf als 2π-periodische Funktion fortgesetzt. Man zeige, dass die Fourierreihe von f f(x) = π2 6 k= cos 2kx k 2 lautet und gleichmäßig auf ganz gegen f konvergiert. Welches berühmte Ergebnis erhält man für x =? Aufgabe 33 Sei f : eine zwei mal stetig differenzierbare und 2π-periodische Funktion. Man zeige, dass die Fourierreihe von f auf ganz gleichmäßig gegen f konvergiert. Hinweis: iemann-lemma (HA3) beachten. Aufgabe 34 (je 5 Punkte) Zu α [, 2π) sei S α := {t(cosα, sin α) : t } 2 der von ausgehende Halbstrahl mit dem Winkel α gegen die positive x-achse. Dann ist die (Polarkoordinaten-)Winkelfunktion ϕ α : 2 \ S α (α 2π, α) als differenzierbare Funktion wohldefiniert. a) Man berechne ω α := dϕ α Ω ( 2 \ S α ) und zeige so, dass ω α von α unabhängig ist und deshalb eine Differentialform ω auf ganz 2 \ {} definiert. b) Man zeige, dass es keine auf ganz 2 \ {} definierte differenzierbare Funktion f mit ω = df gibt. Aufgabe 35 Weierstraßscher Approximationssatz Knacki Man zeige: Jede auf einem kompakten Intervall stetige Funktion ist gleichmäßig durch Polynome approximierbar. 4 D_n(x), n=2,5, D_n(x), n=2,5, view 2 view x x Frohe Weihnachten und ein erfolgreiches neues Jahr!!

10 Hannover, den 5. Januar 24 Aufgabe 36. Übungsblatt zur Analysis 3 Abgabe am 2./3. Januar 24 vor den Stundenübungen Im 3 sei ω die Differentialform ω = 2xz dy dz + dz dx (z 2 + e x ) dx dy. Man zeige dω = und bestimme eine -Form η mit ω = dη. Aufgabe 37 Im 2 seien die 2-Form ω := dx dy und die Funktion h : 2 2, h(u, v) = (x, y) t := ((u + ) 2 v 2, 2(u + )v) t gegeben. Ferner sei U := B (). Man berechne h ω und ω und interpretiere das Ergebnis! Aufgabe 38 Für > sei h : U := (, 2π) (, π) 2 3, h(u, v) := (cos u sin v, sin u sin v, cos v) t. Gegeben sei ferner im 3 \ {} die 2-Form ω := Man berechne x y dy dz + x 2 + y 2 + z2 h(u) ω = Aufgabe 39 Knacki U z dz dx + x 2 + y 2 + z2 h ω. Was haben wir berechnet? h(u) dx dy. x 2 + y 2 + z2 Sei η Ω 2 ( 3 ) eine geschlossene Differentialform, d.h es gelte dη =. Man zeige, dass es ein ω Ω ( 3 ) mit η = dω gibt und folgere, dass jedes divergenzfreie Vektorfeld otaton eines weiteren Vektorfeldes ist. Hinweis: Für η = a dydz + a 2 dzdx + a 3 dxdy suche man ein ω = b dx + b 2 dy.

11 Hannover, den 2. Januar 24 Aufgabe 4. Übungsblatt zur Analysis 3 Abgabe am 9./2. Januar 24 vor den Stundenübungen Man berechne folgende Kurvenintegrale direkt (mit Definition nach Skript S 79) und mit Hilfe des Satzes von Stokes: I := 2y dx + 6x dy, G = [, ] 2 ; I 2 := e x sin y dx + e x cos y dy, H = B 3 (, ). G Bemerkung: Orientierung der änder beachten. Aufgabe 4 Man berechne I := (xy + xz + yz) d(x, y, z) für G := {(x, y, z) : x, y, z, x 2 + y 2 + z 2 } G direkt und mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes. Aufgabe 42 Sei ω Ω ( 3 ), ω := (x 2 + y 2 ) dz, und K a := {(x,, z) : (x a) 2 + z 2 4 } mit a 2. Man berechne dω und ω und verifiziere so den Satz von Stokes. K a K a Aufgabe 43 Knacki Sei u : G 2 (G offen) eine harmonische Funktion, d.h. u ist zwei mal stetig dífferenzierbar mit u xx + u yy auf G. Man zeige: Für jedes (x, y ) G und r > mit B r (x, y ) G gilt u(x, y ) = 2π 2π H u(x + r cos t, y + r sin t) dt. Hinweis: Aus B r(x,y ) u y dx + u x dy = folgere man die Unabhängigkeit obigen Integrals von r. Klausur am Samstag 24. Januar 24, im F 33! Vorsicht: Zeitliche Verschiebung ist möglich!

12 Hannover, den 9. Januar 24 Aufgabe Übungsblatt zur Analysis 3 Abgabe am 26./27. Januar 24 vor den Stundenübungen Ein Heißluftballon H habe die Form einer Sphärenkappe vom adius und Öffnungsdurchmesser d < 2, d.h. H = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 =, a z } mit a > und d = 2 2 a 2. Das heisse Gas dringt durch die poröse Oberfläche mit der Geschwindigkeit v =rotf, F (x, y, z) = ( y, x, ) t. Man berechne den Fluss v ds durch die Ballonoberfläche direkt und mit dem Satz von Stokes. Aufgabe 45 H Sei A := {(x, y, z) : x 2 + y 2 =, y 2 + z 2 = }. Man zeige, dass M := A \ {(,, ), (,, )} eine -dimensionale Untermannigfaltigkeit des 3 ist. Aufgabe 46 Sei D := 4 \ {(x, x 2, x 3, x 4 ) : x x 2 x 3 x 4 = } und f : D 3 definiert durch f(x, x 2, x 3, x 4 ) := (x x 3 x 2 2, x 2x 4 x 2 3, x x 4 x 2 x 3 ). Man zeige, dass M := {x D : f(x) = } eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeit des 4 ist und gebe p an. Aufgabe 47 Stereographische Projektion (*) Die stereographische Projektion sei gegeben durch p : S 2 \{(,, )} 2, S 2 = {(x, x 2, x 3 ) : x 2 +x 2 2+x 2 3 = }, p(x, x 2, x 3 ) := ( x x 3, x 2 x 3 ). Man ermittle p und zeige, dass Kreise auf S 2 durch den Nordpol (,, ) auf Geraden und alle anderen Kreise auf S 2 auf Kreise abgebildet werden.

13 Prof. Dr. W. Ebeling und Mitarbeiter Hannover, den 24. Januar 24 Klausur zur Analysis 3 Bearbeitungszeit: Bitte jedes Blatt mit: Name, VName und Matr.Nr. beschriften! Aufgabe (8 Punkte) Für > sei f : [, ] [, ) eine stetige Funktion und B := {(x, y, z) 3 : x 2 + y 2 2, z f( x 2 + y 2 ) }. Man zeige: Aufgabe 2 (8 Punkte) Man beweise die Existenz des Grenzwerts und berechne g. Aufgabe 3 (8 Punkte) g := v 3 (B) = 2π lim n rf(r) dr. ( + x n ) n e 2x dx Sei K n eine kompakte Menge und f L p (K) für ein p. Man zeige f L (K) und f(x) dx v n (K) p f p. K Aufgabe 4 (2 Punkte) { x(π x) für x π, Die Funktion f(x) := werde 2π-periodisch auf ganz fortgesetzt. x(π + x) für π x Man zeige, dass die Fourierreihe von f f(x) = 8 sin(2k + )x π (2k + ) 3 k= ist und auf ganz gleichmäßig gegen f konvergiert. Aufgabe 5 (2 Punkte) a) Seien α, β Differentialformen im n. Man zeige: Ist α exakt und β geschlossen, so ist α β exakt. b) Im 3 seien die beiden Differentialformen α = ze yz dy + ye yz dz, β = zy cos xydx + xz cos xydy + sin xydz gegeben. Man zeige, dass α und β exakt sind und bestimme eine -Form η mit dη = α β. Aufgabe 6 (2 Punkte) Es sei F = {(x, y, z) 3 : x 2 + y 2 =, y, z } und ω = yzdx + xdy xydz. a) Man gebe eine Parameterdarstellung φ : F ( ein geeignetes echteck im 2 ) von F als singuläres echteck an. b) Man berechne φ() dω und φ() ω. Viel Erfolg!!!!!!!!!