Wohlfahrtstheorie. 2. Wohlfahrtstheorie

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1 2. Wohlfahrtstheorie Grundlage der Allokationspolitik: Wohlfahrtstheorie Soziale Zustände werden auf Basis der individuellen Nutzen bewertet. Wenn eine Markt-Allokation Möglichkeiten zur Ezienzverbesserung bietet, sollte Staat eingreifen. Rainald Borck 1

2 2.1. Grundlagen Es gebe N Individuen mit Nutzenfunktionen u i (x i ) deniert über den Konsum vom M Gütern: x i = (x i 1, xi 2,..., xi M ). Denition: Eine Allokation x = (x 1, x 2,...x N ) ist paretoezient, wenn es keine andere Allokation gibt, bei der alle Individuen mindestens gleich gut und mindestens ein Individuum strikt besser gestellt wird, d.h. wenn es keine Allokation x gibt mit u i (x i ) u i (x i ) für alle i u i (x i ) > u i (x i ) für mindestens ein i Pareto-Ezienz: Minimalkriterium für wohlfahrtsoptimale Allokationen. Rainald Borck 2

3 Nutzen verschiedener Individuen werden nicht gewichtet. Wohlfahrtsfunktion: individuelle Nutzen werden gewichtet: W = W (u 1 (x 1 ), u 2 (x 2 ),...u N (x N )) (1) W mit u i > 0 für alle i (2) z.b. Summe der Nutzen (utilitaristische Wohlfahrtsfunktion): W = N u i (x i ) i=1 Wohlfahrtsfunktion setzt interpersonellen Nutzenvergleich voraus. Aber: Jede Allokation, die eine Wohlfahrtsfunktion maximiert, ist paretoezient. Rainald Borck 3

4 2.2. Tausch Betrachte 2 Individuen, A, B und 2 private Güter, x 1, x 2. Individuen haben quasikonkave Nutzenfunktionen u i = u(x i 1, x i 2), i = A, B und Anfangsausstattungen ω i 1, ωi 2. Sei xa = (x A 1, xa 2 ) As Konsumgüterbündel. Eine Allokation x = (x A, x B ) beschreibt die Konsmgüterbündel von A und B. Allokation ist möglich, wenn Siehe die Edgeworth Box. x A j + x B j = ω A j + ω B j, j = 1, 2 Rainald Borck 4

5 x ωb 1 B Gut 2 ωa 2 xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxx xxxxxx xxxxx xxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx x x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xx xx xxx xxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xx xxx xxx xxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxx xxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxx xxxx xxxxx xxxxxx xx xxx Ω x x x x x ωb 2 A ωa 1 Gut 1 Abbildung: Edgeworth Box Rainald Borck 5

6 Paretoeziente Allokationen Tausch ausgehend vom Ausstattungspunkt. Paretoezienz erreicht, wenn es nicht möglich ist, z.b., A besser zu stellen ohne B schlechter zu stellen. Kontraktkurve: Menge aller paretoezienten Allokationen Formal: max x A 1,xA 2,xB 1,xB 2 u(x A 1, x A 2 ) u.d.b. u(x B 1, x B 2 ) ū (3) x A 1 + x B 1 = ω A 1 + ω B 1 (4) x A 2 + x B 2 = ω A 2 + ω B 2 (5) Rainald Borck 6

7 Lagrange Funktion: L = u(x A 1, x A 2 ) + λ(u(x B 1, x B 2 ) ū) + µ 1 (x A 1 + x B 1 ω A 1 ω B 1 ) + µ 1 (x A 2 + x B 2 ω A 2 ω B 2 ) Bedingungen 1. Ordnung (FOCs): x A 1 : x A 2 : u A + µ 1 = 0 (6) x A 1 u A + µ 2 = 0 (7) x A 2 x B 1 : λ ub x B 1 x B 2 : λ ub x B 2 + µ 1 = 0 (8) + µ 2 = 0 (9) Rainald Borck 7

8 Aus (6)-(9) folgt µ 1 µ 2 = ua / x A 1 u A / x A 2 = ub / x B 1 u B / x B 2 (10) oder GRS A = GRS B (11) Interpretation: Marginale Zahlungsbereitschaft für A und B gleich. Sonst wäre vorteilhafter Tausch möglich. Rainald Borck 8

9 B Kontraktkurve Gut 2 Ω A Gut 1 Abbildung: Paretoezienter Tausch Rainald Borck 9

10 Paretoezienz und vollständige Konkurrenz Markt als Institution. Aus Sicht der Individuen sind Preise gegeben. Auktionator wählt Preise p 1, p 2 ; Ind. bestimmen wieviel sie kaufen/verkaufen wollen, z.b. für A: max x A 1,xA 2 FOC: u(x A 1, x A 2 ) u.d.b. p 1 x A 1 + p 2 x A 2 = p 1 ω A 1 + p 2 ω A 2 oder max u(x A x A 1, p 1 ω1 A + ω2 A p 1 x A 1 ) p 1 2 p 2 u A x A 1 p 1 p 2 u A x A 2 = 0 (12) und analog für B. Daraus ergeben sich die Nachfragemengen x i 1 (p 1, p 2 ), i = A, B usw. Rainald Borck 10

11 Wenn die Nachfragen nicht dem Angebot entsprechen, ändert Auktionator Preise solange bis dies der Fall ist. Im Konkurrenz-Gleichgewicht mit Preisen p 1, p 2 muss gelten x A j (p 1, p 2) + x B j (p 1, p 2) = ω A j + ω B j, j = 1, 2 (13) Aus (12) folgt, dass das GGW paretoezient ist: GRS A = p 1 p 2 = GRS B (14) Theorem (Erster Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie) Jedes Wettbewerbsgleichgewicht ist paretoezient. Rainald Borck 11

12 B Steigung -p 1 /p 2 Gut 2 Ω A Gut 1 Abbildung: Preise: Kein Gleichgewicht Rainald Borck 12

13 B Steigung -p* 1 /p* 2 Gut 2 M Ω A Gut 1 Abbildung: Paretoezienz und Konkurrenz Rainald Borck 13

14 Beachte: Punkt M ist nur ein mögliches paretoezientes GGW (das Wettbewerbsgleichgewicht, das ausgehend von Ω erreicht wird). Lassen sich auch andere paretoeziente Allokationen als Wettbewerbsgleichgewicht implementieren? Theorem (Zweiter Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie) Wenn alle Konsumenten konvexe Präferenzen haben, kann jede paretoeziente Allokation durch Wahl der Anfangsausstattungen als Wettbewerbsgleichgewicht implementiert werden. Rainald Borck 14

15 B Gut 2 E Ω A Gut 1 Abbildung: 2. Hauptsatz Rainald Borck 15

16 Bedeutung der Hauptsätze 1 Unter vollständigem Wettbewerb wird ein ezientes Ergebnis erreicht. 2 Staat muss nur eingreifen, wenn Annahmen nicht zutreen und Marktversagen vorliegt. 3 Verteilung der Markteinkommen kann extrem ungleich sein Hauptsatz: jede beliebige p.e. Allokation lässt sich durch Pauschalsteuern und Transfers erreichen: Trennung von Allokation und Verteilung. 5 Problem: Information über Fähigkeiten der Individuen optimale Besteuerung. Rainald Borck 16

17 2.3. Produktion Firmen entscheiden, welche Güter sie mit gegebener Technologie herstellen. Produktionsmöglichkeitenkurve oder Transformationsfunktion beschreibt alle technisch ezienten Produktionsmöglichkeiten. T (x 1, x 2 ) = 0 Die Steigung ist die Grenzrate der Transformation (GRT): Wieviel x 1 kann mehr produziert werden, wenn eine Einheit x 2 weniger produziert wird (Grenzkosten). Transformationskurve ist konkav; Firmen sind Preisnehmer. Rainald Borck 17

18 x 2 Steigung = GRT x 1 Abbildung: Transformationskurve Rainald Borck 18

19 Firmen maximieren ihre Gewinne: max p 1 x 1 + p 2 x 2 u.d.b. T (x 1, x 2 ) = 0 x 1,x 2 B.e.O: GRT = T/ x 1 T/ x 2 = p 1 p 2 (15) Zusammen mit Optimierung der Konsumenten folgt GRT = GRS A = GRS B (16) Es lässt sich leicht zeigen, dass dies auch die Bedingung für Pareto-Ezienz ist: Die beiden Hauptsätze gelten also mit Produktion. Rainald Borck 19

20 x 2 Steigung = -p 1 /p 2 E F x 1 Abbildung: Ezienz mit Produktion Rainald Borck 20

21 2.4. Diskussion der Annahmen 1 Vollständiger Wettbewerb: Anbieter und Nachfrager betrachten Preise als gegeben. 2 Konvexe Präferenzen 3 Nichtzunehmende Skalenerträge 4 Keine externen Eekte / öentliche Güter 5 Vollständige Information Rainald Borck 21