Ein Kerninteresse bei der Modellierung ökonomischer Fragestellungen ist die komparative Statik.

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1 Ein Kerninteresse bei der Modellierung ökonomischer Fragestellungen ist die komparative Statik. Es wird also gefragt was mit dem Gleichgewicht passiert, wenn sich der Vektor der exogenen Größen (der Paramter) ändert. Eine sinnvolle komparative Statik erfordert, dass das Modell nach einer Störung wieder zu einem Gleichgewicht findet. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

2 Wir wollen nun untersuchen ob das Allgemeine Gleichgewicht stabil ist und welche Anforderungen wir für die Existenz der Stabilität stellen müssen. Von Stabilität, wenn das System aus einer Ungleichgewichtssituation wieder Richtung Gleichgewicht konvergiert. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

3 Wenn p irgendein Preisvektor und p der Gleichgewichtspreisvektor ist, dann bedeutet Stabilität, dass folgendes gilt: lim t p(t) = p Im Zeitverlauf (t) muss sich der Preisvektor zum Gleichgewicht konvergieren. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

4 Um die Stabilität eines Gleichgewichts zu analysieren, muss man sich offensichtlich den Anpassungsprozess des Systems anschauen. Hier kommt eben der Walrasianische Auktionator als Bild für diesen Anpassungsprozess ins Spiel. Die Vorstellung ist, dass der Auktionator zu jedem Zeitpunkt Informationen sammelt und einen Preisvektor ausruft. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

5 Der Auktionator erlaubt Handel nur zu Gleichgewichtspreisen. Wenn der Preis eines Gutes j kein Gleichgewicht ist, so wird dieser angepasst. Die Anpassungsregel ist: dp j (t) dt := p j = λz j, λ > 0 Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

6 Die Idee hinter der vorgeschlagenen Anpassungsregel des Auktionators ist relativ einfach: 1. Je größer die Überschussnachfrage ist, desto stärker wird der Preisanpassung sein. 2. Bei einer Überschussnachfrage z j > 0 wird der Preis steigen; bei einem Überschussangebot z j < 0 wird der Preis sinken. 3. Ist der Markt im Gleichgewicht, so wird der Auktionator keine Preisanpassung vornehmen. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

7 Um die Stabilität zu überprüfen müssen wir uns anschauen, wie sich die Differenz zwischen einem beliebigen Preisvektor und dem gleichgewichtigen Preisvektor verhält. Ist das System stabil, so wird diese Differenz im Zeitablauf kleiner werden. Bei einem Preis ist die Definition dieser Differenz einfach. Wie misst man aber die Differenz zwischen Vektoren? Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

8 Wir messen die Differenz im folgenden durch die Euklidische Distanz zwischen einem Preisvektor und dem Gleichgewichtsvektor Euklidische Distanz D(t) = n (p j (t) pj ) 2 j Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

9 p 1 (p 1 p 1) (p 1, p 2 ) (p 1, p 2 ) (p 2 p 2) p 2 Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

10 Die Distanz zwischen einer beliebigen Situation und dem Gleichgewicht haben wir über die euklidische Distanz definiert. Wie entwickelt sich diese Distanz über die Zeit? dd(t) dt = n j 2(p j (t) p j ) dp j (t) dt Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

11 Aus dem Verhalten des Auktionators ergibt sich die Veränderung des Preises. Setzt man dies in die Veränderung der Distanz ein, so ergibt sich: dd(t) dt = n j 2(p j (t) pj ) dp j (t) dt = n j 2(p j (t)λz j pj λz j) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

12 Stabilitätsbedingung I Das Gleichgewicht ist stabil, wenn die Distanz (zwischen beliebigen Punkt und Gleichgewicht) im Zeitablauf kleiner wird. Die Frage ist also, wann ist dd(t) dt < 0. 2λ( n j p j (t)z j n j 2p j z j) < 0 Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

13 Stabilitätsbedingung II Aus dem Walrasianischem Gesetz folgt n j p j (t)z j = 0. Somit ist das Gleichgewicht stabil, wenn n j p j z j < 0 (da λ und 2 strikt positiv sind). Wenn also die Summe des Wertes der Überschussnachfragen größer als Null ist, so ist das System stabil. Letztlich bedeutet diese, dass die Güter die wir betrachten Brutto-Substitute sein müssen (siehe Mas-Colell et al. für den Beweis). Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

14 Wir haben bisher eine Ökonomie kennengelernt/untersucht in der alle Entscheidungen dezentral von Akteuren getroffen wurden. Diese haben den Preisvektor als exogen betrachtet (dieser wird schließlich vom Auktionator gebildet) und für alle Güter in der Ökonomie existierte ein Preis (=ein Markt). In diesem Rahmen haben wir diskutiert ob ein Gleichgewicht existiert und ob dieses stabil ist. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

15 Die wirklich wichtige Frage ist jedoch welche Wohlfahrtsimplikationen das allgemeine Gleichgewicht hat. Ist die dezentrale Ökonomie mit freier Ressourcenallokation das beste Arrangement um mit dem ökonomischen Problem umzugehen? Gibt es Möglichkeiten durch eine Reorganisation die Wohlfahrt einer Ökonomie zu erhöhen. Gerade in einem marktskeptischen Umfeld ist dies eine wichtige und entscheidende Frage. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

16 Dies bringt uns zu einer der wichtigsten Erkenntnisse der Ökonomie (Formalisierung der invisible hand ). Der 1. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie In einer Ökonomie mit Märkten für alle Güter (Güter, die in die Nutzenund in die Produktionsfunktion eingehen), in der alle Märkte vollständig kompetitiv sind stellt das Gleichgewicht ein Pareto Optimum dar. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

17 Gegeben diese Voraussetzungen gibt es also keine Möglichkeit durch z.b. staatliche Eingriffe die Wohlfahrt der Ökonomie zu erhöhen. Die dezentrale Allokation (widergespiegelt in der Institution der Marktwirtschaft) löst das ökonomische Problem optimal. ABER: so wichtig diese Erkenntnis ist, so wenig darf und sollte sie dogmatisch missbraucht werden. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

18 Unsicherheit, Informationsasymmetrien, öffentliche Güter, unvollständige Märkte verhindern möglicherweise eine pareto optimale Allokation. Der 1. Hauptsatz ist also wichtig, wenn es um die Beurteilung der Allokationsfunktion von Märkten geht. Er sollte aber nicht als Rechtfertigung für absolute Markthörigkeit dienen (ausgewogene Beurteilung!). Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

19 Im Rahmen des obigen allgemeinen Gleichgewichtsmodells kann der 1. Hauptsatz formal gezeigt werden. Wir betrachten also wieder eine Ökonomie mit n Gütern, h Haushalten und f Firmen. Die Haushalten sind durch eine Nettonachfrage nach Gütern ˆx charakterisiert, wohingegen die Firmen das Nettoangebot y produzieren. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

20 Haushalte werden die Nettonachfrage so gestalten, dass der Nutzen maximal ist; Firmen werden den Gewinn maximieren. Betrachten wir ein Gleichgewicht, dann gilt in der dezentralen Ökonomie: 1. Markträumung: ˆx i y i 0; p i ( ˆ x i y i ) = 0; p i 0 2. Gewinnmax: (p ) T y > (p ) T y f (y) 0 3. Nutzenmax: u(ˆx) > u(ˆx ) ist nur möglich, wenn (p ) Tˆx > (p ) Tˆx Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

21 Bezeichnen wir den Vektor der Nettonachfragen und des Nettoangebots, der obiges dezentrales Gleichgewicht erfüllt mit A. Gibt es eine Allokation Ā, die die Allokation A pareto dominiert? Wenn dies der Fall wäre, dann muss für mindestens einen Haushalt folgendes gelten u(ˆ x) > u(ˆx ). Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

22 Aggregieren wir über alle Haushalte, so gilt (wegen der Nutzenmaximierung) h (p ) Tˆ x > h (p ) Tˆx Aus der Gleichgewichtsbedingung ergibt sich aber für die rechte Seite h (p ) Tˆx = h (p ) T y. Wegen Gewinnmax gilt h (p ) T y > h (p ) T ȳ Somit gilt h (p ) Tˆ x > h (p ) T ȳ Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

23 Eine die dezentrale Allokotaion pareto dominierende Allokation impliziert, dass die Nettonachfrage der Haushalte größer ist als das Nettoangebot der Unternehmen. Dies kann nicht erfüllt sein ein Widerspruch. Es gibt also keine Allokation, die die dezentrale Gleichgewichtsallokation dominiert. Dies beweist den 1. Hauptsatz. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

24 Wir haben nun gezeigt, dass (unter bestimmten Annahmen) die dezentrale Allokation A ein Pareto Optimum darstellt. Diese Allokation, die sich im dezentralen Gleichgewicht ergibt hängt ab vom Austattungsvektor. Es gibt also im Prinzip unendlich viele pareto optimale Allokationen. Man kann sich nun fragen welche dieser Allokationen den letztlich realisiert wird. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

25 Dies ist der Kernpunkt des 2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie Durch mögliche Umverteilung der Anfangsausstattungen zwischen den Konsumenten kann jede Pareto optimale Allokation ein dezentrales Gleichgewicht sein. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

26 In den bisherigen Ausführungen haben wir immer sehr abstrakt und allgemein argumentiert. Wir haben Existenz und Stabilität analysiert und die Eigenschaften der dezentralen Ökonomie näher beleuchtet. So wichtig all diese Erkenntnisse (als Basis) sind, so wenig haben wir konkret über deren Anwendungen in der Ökonomie gesprochen. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170

27 Die Anwendungen der Theorie und die Schlussfolgerungen dieser soll nun Fokus der folgenden Ausführungen sein. Ein Großteil der Internationalen Ökonomie, der Finanzwissenschaft, aber auch der Wachstumstheorie benutzt als Basis allgemeine Gleichgewichtsmodelle. So unterschiedlich die Fragestellungen und die konkrete Ausgestaltung auch ist: die Modellstruktur ist (fast) immer die Gleiche. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 14, / 170