Kapitel 20: Gewinnmaximierung. moodle.tu-dortmund.de. Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 1 / 27

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1 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 1 / 27 Kapitel 20: Gewinnmaximierung moodle.tu-dortmund.de

2 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 2 / 27 Kompetitive Märkte Firma: kauft Mengen x 1 und x 2 der Inputs 1 und 2 zu Faktorpreisen w 1 und w 2, produziert mit Produktionsfunktion f (x 1, x 2 ) die Menge y des Outputs und verkauft dieses auf dem Outputmarkt zum Preis p. Annahme: Preisnehmerin auf Faktormarkt und Outputmarkt Die Firma hat keinen Einfluss auf die Marktpreise w 1, w 2 und p.

3 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 3 / 27 Gewinn Der Gewinn π der Firma ist definiert durch Erlös minus Kosten: wobei y = f (x 1, x 2 ). π = y p (x }{{} 1 w 1 + x 2 w 2 ), }{{} Erlös Kosten

4 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 4 / 27 Die lange und die kurze Frist In der kurzen Frist sind in der Regel nicht alle Inputs variabel. Beispielsweise könnte es durchaus möglich sein, den Faktor Arbeit kurzfristig zu intensivieren die zu bearbeitende Landfläche lässt sich aber nur durch langfristige Pachtverträge variieren. Definition Kurzfristig ist das Input 2 auf das Niveau x 2 fixiert. Langfristig sind beide Inputs variabel.

5 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 5 / 27 Gewinnmaximierung in der kurzen Frist Kurzfristig sind manche Inputgüter nicht veränderlich. Wir nehmen an, dass Input 2 auf dem Niveau x 2 fixiert und dass Input 1 variabel ist. Der kurzfristige Gewinn ist also π = y p x 1 w 1 x 2 w 2, wobei y = f (x 1, x 2 ).

6 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 6 / 27 Isoprofitlinie Kombinationen der Mengen y und x 1 des Outputs und Inputs 1, die den gleichen Gewinn π generieren, nennen wir Isoprofitlinie: π = p y w 1 x 1 w 2 x 2 y = π p + x 1 w1 p + x 2 w2 p Steigung: w 1 p > 0 Achsenabschnitt: π+w 2 x 2 p. Je größer π, desto höher die Isoprofitlinie.

7 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 7 / 27 Isoprofitlinie Output Isoprofitlinie Steigung: w 1 p π+w 2 x 2 p Input 1

8 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 8 / 27 Produktionsmöglichkeiten Output f (x 1, x 2 ) Produktionsmöglichkeitenmenge Input 1

9 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 9 / 27 Im Optimum berührt die Isoprofitlinie die Produktionsmöglichkeitenmenge Output Isoprofitlinien π f (x 1, x 2 ) ˆπ π > ˆπ ˆx 1 x 1 Input 1

10 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 10 / 27 Kurzfristiges Maximierungsproblem Die Firma sieht sich folgendem Problem gegenüber: Bedingung 1. Ordnung: max x 1 f (x 1, x 2 ) p w 1 x 1 w 2 x 2 f (x 1, x 2) x 1 p w 1 = 0, also MP 1 (x 1, x 2 ) = f (x 1, x 2) x 1 = w 1 p.

11 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 11 / 27 Graphische Darstellung der Optimalitätsbedingung Output Isoprofitlinie f (x 1, x 2 ) Steigung: w 1 p Steigung: MP 1 x 1 Optimalitätsbedingung: für x 1 gilt w 1 p = MP 1. Input 1

12 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 12 / 27 Bedingung 1. Ordnung hinreichend für Optimum? 1. Ableitung: 2. Ableitung: f (x 1, x 2) x 1 p w 1 = 0 2 f (x 1, x 2) ( x 1 ) 2 p! < 0 Abnehmendes Grenzprodukt MP 1 : 2 f (x 1, x 2) ( x 1 ) 2 = MP 1(x 1, x 2) x 1 < 0. Wenn die partielle Produktionsfunktion f (x 1, x 2 ) konkav in x 1 ist, dann maximiert x1 den kurzfristigen Gewinn. Konstante Skalenerträge implizieren abnehmende Grenzprodukte!

13 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 13 / 27 Komparative Statik Steigt der Preis p, so wird die Steigung der Isoprofitlinie w 1 p (Eine Reduktion von w 1 hat den gleichen Effekt.) flacher. Output p > p Steigung: w 1 p f (x 1, x 2 ) π p + w 2 π p + w 2 p x 2 p x 2 Steigung: w 1 p x 1 (p) x 1 (p ) Input 1

14 Positive Steigung der Angebotsfunktion Preis p S(p) Menge y Der kurzfristig optimale Einsatz des 1. Inputs x 1 (p, w 1) und damit auch der Output steigt demnach in p und sinkt in w 1. Die genaue Struktur der kurzfristigen Angebotsfunktion der Firma untersuchen wir in Kapitel 23. Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 14 / 27

15 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 15 / 27 Langfristige Gewinnmaximierung Langfristig sind alle Inputgüter variabel. Maximierungsproblem: max x 1, x 2 f (x 1, x 2 ) p x 1 w 1 x 2 w 2 Bedingung erster Ordnung (x 1, x 2 ): also f (x1, x 2 ) p w 1 x 1 = 0 f (x1, x 2 ) p w 2 x 2 = 0, w 1 MP 1 = p w 2 MP 2 = p. w 1 MP 1 = w 2 MP 2 MP 1 MP 2 = w 1 w 2

16 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 16 / 27 Tangentialbedingung MP 1 MP 2 = w 1 w 2 Input 2 Isoquante x 2 Steigung = w 1 w 2 Steigung: TRS = MP 1 MP 2 x 1 Input 1 Die Tangentialbedingung bestimmt das langfristig optimale Verhältnis der Inputs 1 und 2.

17 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 17 / 27 Eigenschaft von Cobb-Douglas-Höhenlinien: Die Steigung der Höhenlinien bleibt unverändert, wenn man beide Inputs mit einer Konstanten multipliziert. Input 2 Isoquanten TRS konstant x 2 x 1 Input 1

18 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 18 / 27 Bedingung 1. Ordnung ist langfristig nicht hinreichend! Ist die Tangentialbedingung für (x1, x 2 ) erfüllt, so ist sie auch für jedes Vielfache (t x1, t x 2 ) erfüllt. Dies gilt übrigens für alle Produktionsfunktionen mit konstanten Skalenerträgen. Langfristig bestimmt die Tangentialbedingung das optimale Verhältnis der Inputs, nicht aber die optimale Einsatzmenge.

19 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 19 / 27 Langfristiger Gewinn (bei konstanten Skalenerträgen) Gewinn: π(x 1, x 2 ) = p f (x 1, x 2 ) (w 1 x 1 + w 2 x 2 ) Eine Ver-t-fachung der Inputs... π( t x 1, t x 2 ) = p f ( t x 1, t x 2 ) ( w 1 t x 1 + w 2 t x 2 ) = p t f (x 1, x 2 ) t (w 1 x 1 + w 2 x 2 ) = t π(x 1, x 2 )... generiert eine Ver-t-fachung des Gewinns!

20 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 20 / 27 Langfristige positive Gewinne? Gäbe es eine Inputkombination (x 1, x 2 ) mit π(x 1, x 2 ) = p f (x 1, x 2 ) (w 1 x 1 + w 2 x 2 ) > 0, dann könnte die Firma die Gewinne beliebig vervielfachen. Die Firma würde dann beliebig große Mengen am Faktormarkt einkaufen und am Outputmarkt verkaufen. Sie würde dann den Markt dominieren und Marktmacht ausüben! das Wettbewerbsmarktmodell wäre ungeeignet.

21 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 21 / 27 Langfristige negative Gewinne (Verluste)? Langfristig: alle Inputs sind variabel! Langfristig ist es der Firma durch die Entscheidung (x 1, x 2 ) = (0, 0) möglich, die Kosten w 1 x 1 + w 2 x 2 auf null zu reduzieren. Keine langfristigen Verluste möglich!

22 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 22 / 27 Langfristige Nullgewinne im Wettbewerbsmarkt Langfristig sind nur Nullgewinne mit dem Wettbewerbsmarkt vereinbar. Nullgewinne sind auch bei positiver Faktornachfrage und Outputmenge möglich!

23 Gewinnmaximierung bei Cobb-Douglas-Technologie mit konstanten Skalenerträgen: f (x 1, x 2) = x α 1 Tangentialbedingung: x 1 α 2 α 1 α x2 x 1 = TRS = w 1 w 2 x 2 = w 1 w 2 1 α α x 1 Einsetzen in Gewinnfunktion: π = p x α 1 x 2 1 α w 1 x 1 w 2 x 2... = x 1 ( w1 1 α ) ( (1 α) p w 2 α ( w1 ) ( ) ) α (1 α) w2 α 1 α Gewinnfunktion ist linear in x 1! Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 23 / 27

24 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 24 / 27 Drei Fälle: ( w1 π = x 1 1 α ) ( (1 α) p w 2 α ( w1 ) ( ) ) α (1 α) w2 α 1 α Fall 1: p > ( w 1 ) ( ) α (1 α) α w2 1 α Steigung positiv, beliebig hohe Gewinne durch beliebig hohe angebotene Menge. Fall 2: p = ( w 1 ) ( ) α (1 α) α w2 1 α Steigung gleich null, Nullgewinne bei jeder beliebigen Menge. Fall 3: p < ( ) ( ) w 1 α (1 α) α w2 1 α Steigung negativ, Gewinnmaximum bei (x 1, x 2 ) = (0, 0).

25 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 25 / 27 Die langfristige Angebots kurve der Firma mit Cobb-Douglas-Produktionsfunktion y = f (x 1, x 2) = x α 1 x 1 α 2 S(p) = 0 falls p < ( w 1 α [0, ) falls p = ( w 1 α falls p > ( w 1 α ) ( ) α (1 α) w2 1 α ) ( ) α (1 α) w2 1 α ) ( ) α (1 α) w2 1 α

26 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 26 / 27 Langfristige Angebotskurve Preis ( w1 ) ( ) α (1 α) S(p) α w2 1 α 0 0 Menge

27 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 27 / 27 Summary Die Gewinne sind definiert als Differenz von Erlös und Kosten. In der kurzen Frist sind manche Inputs fixiert. In der langen Frist sind alle Inputs variabel. Für optimale Inputkombinationen (x 1, x 2 ) gilt: MP 1 = w 1 p und MP 2 = w 2 p Bei konstanten Skalenerträgen müssen Firmen im Wettbewerbsmarkt langfristig Nullgewinne erwirtschaften. Steigende Skalenerträge in der langen Frist sind nicht mit dem Wettbewerbsmarkt vereinbar. In der kurzen Frist impliziert Gewinnmaximierung eine steigende Angebotskurve. In der langen Frist impliziert Gewinnmaximierung eine horizontale Angebotskurve.