Neoklassische Produktions- und Kostenfunktion Mathematische Beschreibung zu einer Modellabbildung mit Excel

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1 Neoklassische Produktions- und Kostenfunktion Mathematische Beschreibung zu einer Modellabbildung mit Excel Dieses Skript ist die allgemeine Basis eines Modells zur Simulation der ökonomischen Folgen technischer Veränderungen. Für neue Techniken wird es auf die Einsatzfaktoren Energie/Arbeit und Informationsverarbeitung/Know How angewendet. Die verbale Beschreibung ist nur knapp gehalten. Man kann sich den Expansionspfad an der Zusammenführung von Kostengeraden und Isoquanten verdeutlichen. Der Expansionspfad verbindet die Optimalkombinationen, d.h. die jeweiligen Minimalkostenkombinationen für unterschiedliche Outputs. Der Expansionspfad wird mitunter auch als Faktoranpassungskurve, Minimalkostenlinie oder scale line bezeichnet (siehe Abbildung). Im Bild des Produktionsgebirges ist er die Kammlinie. Isoquante Minimalkostenlinie scale line E 0 Isokostengerade q 1 Für die Analyse kostenoptimaler Punkte zeigt die scale line die Möglichkeiten auf, mit minimalen Kosten unterschiedliche Produktionsniveaus zu realisieren. Die Faktoreinsätze variieren mit den Preisen für die Faktoren und mit den Grenzproduktivitäten. Der Vorteil des Modells liegt in der Abbildung substitutiver Produktions- und Kostenfunktionen. Damit werden reale Fragestellungen und Produktionsbedingungen erheblich besser abgebildet. Die Veränderungen des Gleichgewichtes machen sich als Verschiebungen der Preisrelationen bemerkbar. Auf solche Veränderungen reagiert das Unternehmen mit einer neuen Zusammenstellung seiner Inputfaktoren. Die Möglichkeit und Stärke der Reaktion werden von den Produktivitäten der Faktoren bestimmt.

2 Im Excel Modell sind die theoretischen Grundlagen in Beispiele mit konkreten Werten umgesetzt. Mit dem Modell werden unterschiedliche ökonomische Fragen und Antworten veranschaulicht: - Wie wirken Preisrelationen auf den kostenminimalen Einsatz? - Wie wirken sich Änderungen der Produktivität einzelner Einsatzfaktoren aus? - Was geschieht bei konstanten, sinkenden und steigenden Skalenerträgen? - Die Transaktionskosten werden mit neuen Medien gesenkt. Welche Auswirkungen hat das auf die Fertigung und die Kostenstruktur? - Wie wird ein natürliches Monopol begünstigt? - usw. Die verwendeten Variablen sind: p 1,2 := Faktorpreise (Internet : p E := Arbeit / Energie; p I := Information) q 1,2 := Faktormengen (Internet : E := Arbeits, Energieeinsatz;I := Informationsbeschaffung, verarbeitung) α := Grenzproduktivität Faktor1 β := Grenzproduktivität Faktor2 Die Produktionsfunktion ist vom Typ Cobb-Douglas für zwei variable Einsatzfaktoren: mit a,α,β>0 Für einen bestimmten Output Menge jeweils eines Faktors: 1 erhält man eine Isoquante durch Auflösen nach der = O β 0 α q1 β. Die grafische Darstellung sieht man oben. Gesucht wird nun die a Faktorkombination mit den geringsten Kosten. Die Kostenfunktion ist einfach die Summe aus Preisen und Mengen:. Mit einer entsprechenden Auflösung nach der Menge eines Faktors erhält man daraus:. Die Schnittpunkte mit den Achsen liegen bei und. Eine Minimalkostenkombination, d.h. also eine gegebene Menge, die mit den geringsten Kosten produziert wird, erhält man als Minimum der Funktion unter der Randbedingung.

3 Bildet man aus der Randbedingung die implizite Funktion und schreibt das ökonomische Ziel formal, so lautet die Aufgabe: min{ K = p 1 q 1 + p 2 O 0 aq α 1 q β 2 0} Zur Lösung dieser Aufgabe wenden wir hier die LAGRANGE-Regel an, bei der die Nebenbedingung in die Funktion integriert wird:. Diese Funktion hat eine zusätzliche Variable. Um die notwendige Bedingung für ein Minimum von K zu finden, wird die Funktion nach den jeweiligen Mengen partiell differenziert: K = p q 2 λaβq α β 1 q 1 2 = 0 2 Die erste Gleichung kann man auflösen zu: und die zweite zu:. Beide Gleichungen werden verbunden zu:. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit, erhält man eine weitere ökonomische Beziehung: umgeformt zu:. Das Verhältnis der Faktoreinsätze entspricht den Preisen, multipliziert mit den jeweiligen Produktivitäten der Faktoren. Die Gleichung aufgelöst nach der Menge ist:

4 Setzt man die Gleichung für q 1 in die obige partielle Ableitung der Kostenfunktion nach ein, so erhält man: bzw. Daraus folgt dann für die Mengen eine Abhängigkeit von den Preisen, nämlich: Diese Berechnung wird in dem Modell der Excel Tabelle für die Ermittlung des preisabhängigen Faktoreinsatzes verwendet. Des Weiteren ergibt sich aus der Beziehung zwischen Faktoreinsätzen und Grenzproduktivitäten, s.o. ( ) die Berechnung für den zweiten Einsatzfaktor als:. So werden im Excel Modell die preisabhängigen Einsätze der Faktoren berechnet. Die Ergebnisse wurden grafisch umgesetzt. Zu jedem Output erhält man nun den kostenminimalen Input. Im Excel Modell wurde das Ergebnis für jeden Output-Wert berechnet. Für die Produktionsfunktion erhält man durch Einsetzen:, aufgelöst nach ergibt das den allgemeinen Ausdruck, der oben bereits für die Berechnung im Excel Modell zitiert wurde: Unter Verwendung dieser Gleichung und der preisabhängigen Menge für in die Kostenfunktion erhält man schließlich eine Kostenfunktion, die allein von den Preisen und vom Output abhängig ist:

5 Diese Kostenfunktion wird im Excel Modell verwendet. Nun können einige Annahmen im Excel Modell variiert und simuliert werden. So lassen sich zum Beispiel die Wirkungen unterschiedlicher Preisentwicklungen berechnen und grafisch darstellen. Die Ergebnisse für sinkende oder steigende Skalenerträge visualisieren Entwicklungen, die zu besonderen Vor- oder Nachteilen im Wettbewerb führen. Die Varianten kann nun jeder mit Inhalten füllen und die Ergebnisse interpretieren.