Kapitel 22: Kostenkurven. moodle.tu-dortmund.de. Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 1 / 43

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1 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 1 / 43 Kapitel 22: Kostenkurven moodle.tu-dortmund.de

2 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 2 / 43 Kapitel 21: Herleitung des optimalen Faktoreinsatzes für gegebene Outputmenge gegebene Faktorpreise w 1 und w 2. Ergebnisse (bei konstanten Skalenerträgen): Langfristige (lineare) Kostenfunktion c(, w 1, w 2 ) Kurzfristige (konvexe) Kostenfunktion c s (, x 2 ) Kapitel 22: Analse der Kostenfunktionen in Abhängigkeit von. Faktoreinsatz wird implizit als optimal angenommen. Faktorpreise werden nicht mehr explizit aufgeführt.

3 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 3 / 43 Langfristiges Optimierungsproblem Lösung des langfristigen Optimierungsproblems: Kostenfunktion c() ist linear: c() = c, c > 0., falls p > c S(p) = [0, ), falls p = c 0, falls p < c Problem gelöst. Wir greifen das langfristige Optimierungsproblem erst wieder zum Ende von Kapitel 22 auf, um die langfristigen und kurzfristigen Kostenkurven zu vergleichen.

4 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 4 / 43 Das Optimierungsproblem in der kurzen Frist Kurze Frist: Ein Input ist fix. (Hier: Input 2 x 2 ) Wir hatten in Kapitel 21 für Produktionsfunktionen mit abnehmenden Grenzerträgen hergeleitet: Die kurzfristige Kostenfunktion ist konvex. c s (, w 1, w 2, x 2 ) = w 1 x s 1(, x 2 ) + w 2 x 2 Verkürzte Schreibweise: c s () Wenn wir den Einfluss des fixen Faktors auf die kurzfristige Kostenfunktion untersuchen, schreiben wir c s (, x 2 ).

5 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 5 / 43 Betrachte beliebige konvexe Funktion f : R R Aufgrund der Konvexität muss für zwei Werte x, x R gelten: 1 2 (f (x) + f (x ) ) ( ) 1 > f 2 (x + x ) ( ) 1 f (x) + f (x ) > 2 f 2 (x + x ) ( ) ( ) 1 1 f (x ) f 2 (x + x ) > f 2 (x + x ) Für x = x + 2: f (x + 2) f f (x) ( ) ( ) 1 1 (x + x + 2) > f (x + x + 2) f (x) 2 2 f (x + 2) f (x + 1) > f (x + 1) f (x)

6 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 6 / 43 Die Kostenzuwächse steigen, wenn steigt. Dies ist eine Folge der Konvexität der kurzfristigen Kostenfunktion. kurzfristige Kosten c s ( + 2) c s()+c s(+2) 2 c s ( + 1) cs () c s () c s ( + 1) Output

7 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 7 / 43 Fixkosten und variable Kosten Unterteilung der kurzfristigen Kosten c s () in Fixkosten F : unabhängig von der Outputmenge variable Kosten c v (): hängen von ab. c s () = c v () + F

8 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 8 / 43 Kurzfristige Durchschnittskosten (Average Costs, AC s ) Die Durchschnittskostenfunktion misst die Kosten je Outputeinheit: Mit c s () = c v () + F gilt: AC s () = AC s () = c s() c v () + F }{{}}{{} AVC() AFC() AFC(): durchschnittliche Fixkosten AVC(): durchschnittliche variablen Kosten

9 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 9 / 43 Die durchschnittlichen Fixkosten AFC() = F AFC() F F 5 F

10 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 10 / 43 Die durchschnittlichen variablen Kosten AVC() = c v () Beispiele: c v () = 2 AVC() = c v () = 3 2 AVC() = ĉ v () = 3 AVC() ˆ = 2 AVC() ˆ AVC() AVC() AVC()

11 AVC() hat einen steigenden Verlauf Die durchschnittlichen variablen Kosten nehmen in der kurzen Frist bei höherer Outputmenge zu. Dies trifft nicht nur für die Beispiele c v () = 2 AVC() = c v () = 3 2 AVC() = ĉ v () = 3 AVC() ˆ = 2 zu, sondern ist eine Konsequenz der Konvexität von c s () in. Wir werden den steigenden Verlauf von AVC() aber erst an späterer Stelle formal beweisen. irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 11 / 43

12 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 12 / 43 Abbildung 22.2 (Varian): AVC mit zunächst sinkendem Verlauf Die in Abbildung 22.2 gezeigten Verläufe der Kostenkurven sind nur bei Produktionsfunktionen möglich, die für kleine Outputmengen steigende Grenzprodukte und für große Outputmengen sinkende Grenzprodukte aufweisen. Produktionsfunktionen dieser Art werden in der Vorlesung nicht behandelt.

13 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 13 / 43 Der Verlauf der kurzfristigen Durchschnittskostenkurve Beispiel c s() = 2 + F AC s() = + F Kosten AC s () AVC() AFC() Die Durchschnittskostenkurve hat ein lokales Minimum.

14 Die Durchschnittskostenkurve hat ein lokales Minimum. Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 14 / 43 Der Verlauf der kurzfristigen Durchschnittskostenkurve Beispiel c s() = F AC s() = + F Kosten AC s () AVC() AFC()

15 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 15 / 43 Der Verlauf der kurzfristigen Durchschnittskostenkurve Beispiel c s() = 3 + F ˆ AC s() = 2 + F Kosten ˆ AC s () ˆ AVC() AFC() Die Durchschnittskostenkurve hat ein lokales Minimum.

16 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 16 / 43 U-förmige kurzfristige Durchschnittskostenkurve Ist die kurzfristige Kostenfunktion konvex, dann fallen die kurzfristigen Durchschnittskosten zunächst, nehmen ein Minimum an, und steigen dann wieder. Diese Eigenschaften wurden zunächst nur grafisch hergeleitet!

17 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 17 / 43 Kurzfristige Grenzkosten (Marginal Costs, MC s ) Die Grenzkosten geben die Steigung der Kostenkurve an: MC s () = c s() Die Fixkosten fallen unabhängig von an. Die Fixkosten haben deswegen keinen Einfluss auf die Grenzkosten: MC s () = c s() = (F + c v ()) = c v () = MC v ()

18 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 18 / 43 Grenzkosten und durchschnittliche variable Kosten Bestimmung von AVC() = cv () für = 0 1. Problem: Man darf nicht durch = 0 teilen. 2. Problem: Die variablen Kosten sind für = 0 gleich null: c v (0) = 0 (Wäre c v (0) > 0, dann wären es definitionsgemäß Fixkosten.) Regel von L Hôpital: AVC(0) = c v() = c v(0) =0 1 = MC s (0) Die durchschnittlichen variablen Kosten und die Grenzkosten haben den gleichen Achsenabschnitt!

19 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 19 / 43 Grenzkosten und konvexe Kostenfunktionen Die kurzfristige Kostenfunktion ist konvex, wenn c s () = 2 c s() ( ) 2 > 0 MCs() > 0 die kurzfristigen Grenzkosten steigen in. Konvexe Kosten steigende Grenzkosten

20 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 20 / 43 Kurzfristige Grenzkosten und kurzfristige variable Kosten Behauptung: Die Fläche unterhalb der kurzfristigen Grenzkostenkurve entspricht den kurzfristigen variablen Kosten. Zunächst: Bestätigung der Behauptung durch ein Beispiel Danach: Formale Begründung

21 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 21 / 43 c s () = F + 2, MC s () = 2, c v () = 2 Die Fläche unterhalb der Grenzkostenkurve entspricht den variablen Kosten. Kosten MC s () = 2 2

22 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 22 / 43 Formale Begründung Die Fläche unterhalb der Grenzkostenkurve entspricht den variablen Kosten. Fläche unterhalb der Funktion MC s (): = 0 0 MC s (t)dt c s (t) dt t = c s () c s (0) = c v ()

23 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 23 / 43 Grenzkosten und durchschnittliche variable Kosten Wir können nun zeigen: Die kurzfristigen Grenzkosten sind immer höher als die kurzfristigen durchschnittlichen variablen Kosten: Begründung: MC s () = Also gilt MC s () > AVC() für alle > 0 0 MC s ()dt MC s () > c v () MC s ( )>0 > 0 = AVC() MC s (t)dt = c v ()

24 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 24 / 43 Der steigende Verlauf von AVC() Es gilt AVC() = ( ) cv () Quotientenregel = cv () cs () = =MC s() = > 0 MC s () > c v () c v () 2 MC s () c v () 2 c v () = AVC()

25 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 25 / 43 Kurzfristige Grenzkosten und sinkende Durchschnittskosten Sinkender Durchschnitt: Es wird etwas unterdurchschnittliches hinzugefügt. Sinkende Durchschnittskosten: Die nächste Einheit kostet weniger als der Durchschnitt. c s ( + 1) c s () c s()

26 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 26 / 43 Sinkende Durchschnittskosten MC s () < AC s () Sinkende Durchschnittskosten: ACs() < 0. AC s () = c s() AC s() = c s() c s () 1 2 < 0 c s() c s () < 0 MC s () = c s() < c s() = AC s ()

27 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 27 / 43 Kurzfristige Grenzkosten und Durchschnittskosten Im abnehmenden Bereich der kurzfristigen Durchschnittskostenkurve gilt: Die kurzfristigen Grenzkosten sind kleiner als die kurzfristigen Durchschnittskosten. Analog lässt sich für den zunehmenden Bereich der kurzfristigen Durchschnittskostenkurve zeigen: Die kurzfristigen Grenzkosten sind größer als die kurzfristigen Durchschnittskosten.

28 Verlauf der kurzfristigen Grenzkostenkurve Kosten AC s () MC s (ȳ) = AC s (ȳ) AVC s () MC s (0) = AVC s (0) 0 ȳ abnehmender Bereich zunehmender Bereich MC s () < AC s () MC s () > AC s () Die MC s -kurve schneidet die AC s -kurve im Minimum! Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 28 / 43

29 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 29 / 43 Kurzfristige Grenzkosten und Durchschnittskosten Herleitung des Schnittpunktes der Grenzkostenkurve mit der Durchschnittskostenkurve Im lokalen Minimum der kurzfristigen Durchschnittskostenkurve gilt: AC (ȳ) = 0. AC s(ȳ) = cs(ȳ) ȳ = c s(ȳ) ȳ c s (ȳ) 1 ȳ 2 = 0 Übung: Überprüfe, ob AC (ȳ) > 0. MC s (ȳ) = c s(ȳ) = c s(ȳ) ȳ = AC s (ȳ)

30 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 30 / 43 Zahlenbeispiel: c s () = c v () = AVC() = MC s () = > AVC() 0 MC s(t)dt = 0 ( t)dt = = c v () AC() = AC (ȳ) = 0 27 ȳ = 0 ȳ = 9 AC(ȳ) = = 15 = = MC(ȳ)

31 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 31 / 43 Beispiel c s () = MC s() = Kosten, ACs() = , AVCs() = MC s () AC s () 15 AVC s () 9 9

32 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 32 / 43 Kurzfristige und langfristige Kosten Anmerkung zum Lehrbuch Herleitung in Kapitel 21 (für konstante Skalenerträge): Die langfristigen Durchschnittskosten sind konstant. Im Widerspruch hierzu: Abbildungen 22.7 und 22.8 des Lehrbuchs zeigen langfristige Durchschnittskostenkurven mit U-förmigen Verlauf.

33 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 33 / 43 Kurzfristige Kostenfunktionen mit x 2, ˆx 2 und x 2 kurzfristige Kostenfunktion c s (, x 2 ) c s (, ˆx 2 ) c s (, x 2 ) w 2 x 2 w 2 ˆx 2 w 2 x 2 Output c s (, x 2 ) = w 1 x s 1(, x 2 ) + w 2 x 2

34 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 34 / 43 Langfristige Kostenfunktionen Kapitel 21: Konstante Skalenerträge langfristige Kostenfunktion ist linear: c(, w 1, w 2 ) = c(1, w 1, w 2 ) Cobb-Douglas: c(1, w 1, w 2 ) = ( ) ( ) w 1 α (1 α) α w2 1 α Leontief: c(1, w 1, w 2 ) = w 1 a + w 2 b Perfekte Substitute: c(1, w 1, w 2 ) = min { w 1 a, w } 2 b

35 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 35 / 43 Langfristige und kurzfristige Kostenfunkionen Kostenfunktionen c s (, ˆx 2 ) c s (, x 2 ) c s (, x 2 ) c() Steigung: c(1, w 1, w 2 ) w 2 x 2 w 2 ˆx 2 w 2 x 2 Output c(, w 1, w 2 ) = c(1, w 1, w 2 )

36 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 36 / 43 Langfristige und kurzfristige Kosten Beobachtungen: Die kurzfristigen Kostenfunktionen liegen oberhalb der langfristigen Kostenfunktion. Die kurzfristige Produktion ist teurer als die langfristige. Jede kurzfristige Kostenfunktion berührt die langfristige Kostenfunktion in einem Punkt. Für jedes Outputniveau gibt es genau eine kostenminimale Restriktion für Input 2. Wir nennen diese kostenminimale Restriktion optimale Kapazität k().

37 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 37 / 43 Optimale Kapazitäten Kostenfunktionen c s (, ˆx 2 )c s (, x 2 ) c s (, x 2 ) c() w 2 x 2 w 2 ˆx 2 w 2 x 2 ȳ ŷ ỹ Output k(ȳ) = x 2, k(ŷ) = ˆx 2, k(ỹ) = x 2

38 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 38 / 43 Formale Darstellung der Beobachtungen Die kurzfristige Produktion ist mindestens so teuer wie die langfristige: c s (, x 2 ) c() für alle und x 2 min c s (, x 2 ) = c() für alle x 2 Für jedes Outputniveau gibt es genau eine kostenminimale Restriktion für Input 2: arg min c s (, x 2 ) = k() x 2 c() = c s (, k()) für alle Die langfristige Kostenfunktion umhüllt die Schar aller kurzfristigen Kostenfunktionen.

39 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 39 / 43 Die optimale Kapazität k() minimiert c s (, x 2 )! ( c s (, x 2 ) = ω 1 MP ) 2! + ω 2 = 0 x 2 MP 1 Tangentialbedingung: c s (, x 2 ) x 2 = 0 ω 1 ω 2 = MP 1 MP 2

40 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 40 / 43 Durchschnittskosten in der langen und der kurzen Frist Durchschnittskosten AC s (, x 2 ) AC s (, ˆx 2 ) AC s (, x 2 ) c(1) AC() ȳ ŷ ỹ Output

41 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 41 / 43 Summar (lange Frist) Konstante Skalenerträge lineare Kostenfunktion c() = variable Kosten (keine Fixkosten) konstante Durchschnittskosten AC() = konstante Stückkosten c(1) = c( + 1) c() für alle = konstante Grenzkosten MC(1) = MC() für alle

42 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 42 / 43 Summar (kurze Frist) Abnehmendes Grenzprodukt: f (x 1, x 2 ) konkav in x 1 Faktornachfrage x1 s(, w 1, w 2, x 2 ) konvex in Kostenfunktion c s () = w 1 x1 s() + w 2 x 2 konvex steigende Kostenzuwächse / Grenzkosten MC s () MC s () > AVC() steigende variable Durchschnittskosten AVC() MC s () < AC s () sinkende AC s () MC s () > AC s () steigende AC s () MC s () = AC s () AC s () minimal

43 irtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017 Kapitel 22 Kostenkurven, Lars Metzger 43 / 43 Summar (Vergleich kurze und lange Frist) c s (, x 2 ) c() für alle und x 2 AC s (, x 2 ) AC() für alle und x 2 Optimale Kapazität k(): c s (, k()) = c() AC s (, k()) = AC()