Produktion und Kosten

Transkript

1 Robert Stehrer The Vienna Institute for International Economic Studies - wiiw 20. Mai 2015

2 Produktionsfunktion 1 Produktion (Output) abhhängig von Inputs (z.b. Arbeit) 2 Hier: nur ein Inputfaktor (Verallgemeinerung möglich) wobei x = ϕ l α 1 ϕ... Produktivität (Multifaktorproduktivität) 2 l... Arbeitseinsatz 3 α... Parameter 3 Um wieviel steigt Output wenn man Input erhöht? 1 Annahme: Erhöhung des Arbeitseinsatzes führt immer zu höherem Output 2 Frage ist: Um wieviel? 3 Erste Ableitung: dx dl = α ϕ lα 1 4 Abhängig vom Parameter α

3 Beispiel Produktion Die Produktionsfunktion sei gegeben mit: Daraus ergeben sich folgende Werte: x = 2 l α α = 0.5 α = 1.0 α = 1.5 Arbeit x x dx/dl x x dx/dl x x dx/dl Je mehr Arbeiter eingesetzt werden, desto größer ist Output. 2 Im ersten Fall (α = 0.5) bringt jeder zusätzliche Arbeiter allerdings etwas weniger zusätzlichen Output als der vorhergehende. 3 Im zweiten Fall (α = 1) bringt jeder zusätzliche Arbeiter gleich viel zusätzlichen Output als der vorhergehende. 4 Im dritten Fall (α = 1.5) bringt jeder zusätzliche Arbeiter mehr zusätzlichen Output als der vorhergehende.

4 Grafische Darstellung x x x l l l Fallendes Grenzprodukt (Steigung wird kleiner) Konstantes Grenzprodukt (Steigung konstant) Steigendes Grenzprodukt (Steigung wird größer)

5 Herleitung der funktion Produktionsfunktion: x = ϕ l α Herleitung der aus Produktionsfunktion: l α = 1 ϕ x l = ϕ 1/α x 1/α Eine Einheit Arbeit kostet w: C = w l = (wϕ 1/α ) x 1/α := γ x β Beispiel für x = 2 l 0.5 und w = 3: C = 3 l = x = 0.75 x 2 da β = = 2

6 funktion Produktion 1 abhhängig von Outputmenge wobei C = γ x β 1 γ... Parameter (abhängig von Produktivität und Lohnsatz) 2 x... Outputmenge 3 β... Parameter 2 Um wieviel steigen die, wenn man Output erhöht? 1 Erhöhung der Produktion führt immer zu höheren (da immer mit mehr Arbeitseinsatz verbunden) 2 Frage ist: Um wieviel? 3 Erste Ableitung: dc dx = β γ xβ 1 4 Abhängig vom Parameter β

7 Die funktion sei gegeben mit: Daraus ergeben sich folgende Werte: C = 0.75 x β β = 1.5 β = 1.0 β = 0.5 Output C C dc/dx C C dc/dx C C dc/dx Je mehr Output erzeugt wird, desto höher sind die. 2 Im ersten Fall (β = 1.5) impliziert jede zusätzliche Produktionseinheit mehr zusätzliche wie die vorhergende Einheit. 3 Im zweiten Fall (β = 1) impliziert jede zusätzliche Produktionseinheit gleich viele zusätzliche wie die vorhergehende. 4 Im dritten Fall (β = 0.5) impliziert jede zusätzliche Produktionseinheit weniger zusätzliche wie die vorhergehende.

8 Grafische Darstellung C C C x x x Steigende Grenzkosten (Steigung wird größer) Konstante Grenzkosten (Steigung konstant) Fallende Grenzkosten (Steigung wird kleiner)

9 Zusammenhang: Grenzprodukt und Grenzkosten Merke: x = ϕ l α }{{} C = γ x β }{{} Produktionsfunktion funktion mit β = 1/α 1 Abnehmendes GP α < 1 Steigende GK 1 α = β > 1 Zusätzlicher Arbeiter bringt relativ weniger zusätlichen Output Zusätzliche Outputeinheit kostet relativ mehr 2 Konstantes GP α = 1 Konstante GK 1 α = β = 1 Zusätzlicher Arbeiter bringt gleich viel zusätlichen Output Zusätzliche Outputeinheit kostet gleich viel 3 Zunehmendes GP α > 1 Fallende GK 1 α = β < 1 Zusätzlicher Arbeiter bringt relative mehr zusätlichen Output Zusätzliche Outputeinheit kostet relative weniger

10 Produktion Gesamtkosten = Fix + Variable K = F K + V K 1 Durschnittskosten: DK = K/Q 2 Durschnittliche Fixkosten: DF K = F K/Q 3 Durchschnittliche variable : DV K = V K/Q 4 Grenzkosten: GK = dk/dq

11 Beispiele Produktion 1 K = Q 2 1 DK = 2 Q Q 2 DF K = 2 Q 3 DV K = 0.5 Q 4 GK = Q 2 K = Q 1 DK = 2 Q DF K = 2 Q 3 DV K = GK = 0.5

12 Grafische Darstellung K K GK DK DV K DK DV K = GK DF K Q DF K Q 1. Fall 2. Fall

13 Betriebsoptimum Produktion Betriebsoptimum = Minimum der Durchschnittskosten 1 Bilde DK und setze 1. Ableitung gleich 0 (2. Ableitung is positiv) DK = 2 Q = 0 2 Q 2 = = 0.5 Q 2 4 = Q 2 Q = 2 2 Schnittpunkt von GK und DK Q = 2 Q Q Q 2 = Q Q 2 = 2 Q 2 = 4 Q = Produktion 2 und

14 Technischer Anhang

15 Grenzprodukt Produktion Produktionsfunktion: x = ϕ l α 1 3 Fälle 1 Fallendes Grenzprodukt: α < 1 dx dl = α ϕ lα 1 > 0 and d 2 x dldl = (α 1) α ϕ lα 2 < 0 2 Konstantes Grenzprodukt: α = 1 3 Steigendes Grenzprodukt: α > 1 dx dl = ϕ > 0 and d 2 x dldl = 0 dx dl = α ϕ lα 1 > 0 and d 2 x dldl = (α 1) α ϕ lα 2 > 0

16 Grenzkosten Produktion funktion: C = γ x β 1 3 Fälle 1 Steigende Grenzkosten: β > 1 dc dx = β γ xβ 1 > 0 and d 2 C dxdx = (β 1) β γ xβ 2 > 0 2 Konstante Grenzkosten: β = 1 3 Sinkende Grenzkosten: β < 1 dc dx = γ > 0 and d 2 C dxdx = 0 dc dx = β γ xβ 1 > 0 and d 2 C dxdx = (β 1) β γ xβ 2 < 0